Задача Обиколката на правоъгълника  е 46 cm. Линията в зелено  го разделя на две  фигури ,оцветени в червено и жълто ,така както е показано на чертежа ,съответно   с  обиколки 23  cm и 28 cm. Дължината на линията в  зелено   е:

A) 3 cm                      B) 2,5  cm                 C) 10 cm              D) друг отговор

                                                          Решение

       Нека дължината  на  зелената линия  е  x  сантиметра . Тя се съдържа   както в обиколката на  фигурата в  червено,така и в обиколката на фигурата в  жълто.

                           От   уравнението   23+28 -  2. x =46

                                        намираме  ,че   x=2,5 cm

                                                 Отговор В)

Задача Обиколката на четириъгълник е 26 cm. Единият му диагонал го разделя на два триъгълника   с  обиколки 11  cm и 17 cm. Дължината на диагонала е:

A) 3 cm                      B) 1 cm                 C) 10 cm              D) друг отговор

                             (Великденско  математическо състезание)

                                                     Отговор В)

Задача Правоъгълник и равнобедрен триъгълник  имат равни обиколки. Широчината на правоъгълника е 6,9 dm, а дължината му е по-голяма

със 170 mm от ширината . На колко сантиметра е равно бедрото на триъгълника, ако е два пъти по-дълго от основата му?

                   А) 31 cm   B) 62 cm    C) 93 cm    D) 124 cm

                                 (Математически  турнир „Иван Салабашев”)

                                                              Решение

• Обиколката  P=2.(6,9+6,9+1,7)=31 dm=310 cm  
• Ако основата на равнобедрения триъгълник е x cm ,то бедрото му е 2. x cm 
• От уравнението    x + 2. x + 2. x  =310  ,намираме че, x=62 cm ,а бедрото е 124 cm

                                                            Отговор D)

 Задача .Квадрат е разделен на три квадрата и един правоъгълник така,както е показано на чертежа.Ако страната на един от  квадратите е 8 cm  (виж чертежа), обиколката на  правоъгълника в зелено е:

                А)20               B)32                 C) 24         D)36      

                    (Математическо  състезание „Свети Георги Победоносец”)

                                                   Решение

                      Нека  страната  на   малкия квадрат е  x cm

·         Тогава и  страната  на другия малък квадрат е x и двата квадрата имат  равни размери  .Тогава  8 = 2.x  и   x=4  cm

·         Понеже  дадената  фигура е  квадрат  ,то  страните на оцветения правоъгълник  са  4   и   8+4=12 cm

·         Обиколката P=(4+12).2=32 cm

                                                        Отговор B)

Задача.Един голям квадрат съдържа в себе си два по-малки квадрата, единият с лице 9 cm2 , а  другият – с лице 1 cm2.  Обиколката на оцветената част  в зелено  е  :

               A) 3 cm       B) 2 cm       C) 14 cm        D) друг отговор

                                                           Решение

        От  това,че  лицата на двата квадрата са 9  и  1 квадратни сантиметра, то страните им са съответно  3 cm и 1 cm.

Тогава обиколката на получената  фигура  е  4+1+3+2+1+(4-1)=14 cm

Задача Квадрат    е  разрязан   ,така както  е показано  на чертежа - два  квадрата оцветени в зелено    и   два правоъгълника  оцветени в бяло . Колко е лицето  на даденият    квадрат  ,ако   лицето на  по-малкия  квадрат   е  1  квадратен сантиметър , а обиколката на правоъгълника  в  бяло  е  22  сантиметра 

                     A) 136       B) 126       C) 121        D) друг отговор

                                                           Отговор C)

 Задача   В правоъгълник   са разположени 9 квадрата и два еднакви  правоъгълника оцветени в червено,така  както е показано  на чертежа .Известно,е че квадратите оцветени в зелено са с еднакви размери.                                                             

Ако размерите на  еднаквите правоъгълници  са   2cm и 1 cm, определете лицето  на   даденият  правоъгълник.                              

                           A) 33        B) 25        C) 54        D) друг отговор

                                                                       Отговор C)

Задача. Правоъгълник и квадрат имат един и същ периметър 36 и са долепени един до друг  така ,както е показано на чертежа. Ако страните им са естествени числа обиколката на фигурата е:

                      а) 20 cm  b) 54 cm  c)  22 cm   d) друг отговор

Решение

• Страната на квадрата е 36 : 4 = 9cm.
• Страната на правоъгълника е  (36-18):2=9

Отговор b)

Забележка .Покажете ,че  ако обиколките са равни и едната фигура е квадрат ,то и другата фигура е квадрат

Задача .Обиколката на AMND е 28 cm, а лицето на  MBCN е 24 квадратни  сантиметра. Ако MB = 6 cm, колко квадратни сантиметра е лицето на ABCD?

                                          А) 54; B) 40; C) 72; D) 64.

                       (Математическо състезание „Иван Салабашев)

          D              N                           C                            

         А               M                            В

                                                              Отговор D)

Задача  Правоъгълна ливада с обиколка 500 m е разделена на две правоъгълни части с  обиколки по 300 m. Колко декара е ливадата?                 

а) 10                      b) 7                 c)  22                 d) друг отговор                                                        

  (ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО МАТЕМАТИКА „УМ, БЕЛИЯТ ДЕЛФИН“ –2012)                                                                      

                                                             Решение

·         Общата им страна  намираме  по познатият начин  (300+300)-500=100 и тя е равна на  100:2=50 m

·         Другата страна   на правоъгълната ливада е  ( 500 -100):2=200 m

·         Лицето на правоъгълната ливада  е :

                                  50.200 =10000 квадратни метра=100 ара =10 декара

                                            (1 ар =100 квадратни  метра  ,а   1 декар =10 ара )

                                                            Отговор a)

Задача Колко тона е  добива от   площ  с  форма  на  правоъгълник  с ширина    100 m   и   обиколка  700 m  засята с  картофи ,ако от  1 декар се добиват  8000  килограма картофи?                                                                                                           

 а) 125 тона                      b) 740 тона             c)200 тона                d) друг отговор                                                                         

  Отговор c)

Задача . Правоъгълник с лице 60 квадратни сантиметра е разрязан на два нови правоъгълника, като на единия от тях лицето е 4 пъти по-голямо от лицето на другия, а периметърът му е с 18 cm  по-голям от периметъра на другия. Намерете размерите на първоначалния правоъгълник?                                       

А) 30 и 2;        B) 1,5 и 40;         C) 3 и20;           D) 4 и 15.                                                                                  

(ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО МАТЕМАТИКА „УМ, БЕЛИЯТ ДЕЛФИН“ – 2012)

                                                                    Решение

(1)Двете лица са съответно   12 и 48 квадратни сантиметра

(2)Нека ширината е  a сантиметра ,тогава дължината   на по-големия е 48/a ,а  на по-малкия е  12/a

 (3) От уравнението  2(a  + 48/a)  - 2(a  + 12/a) =18,намираме  a=4

(4) Размерите на страните на правоъгълника са  4cm   и  15 cm

 Отговор D)

 Задача . Правоъгълна спортна площадка, дължината на която е 5 пъти по-голяма от ширината, е заобиколена от всички страни с пътека с еднаква широчина. Дължината на пътеката по външната й страна е с 24 m по-голяма от дължината и  по вътрешната страна – тази, която непосредствено опира до площадката. Намерете лицето на площадката, ако лицето на пътеката е 468 квадратни метра ?

(Национална олимпиада –Общински  кръг ,Стара  Загора)                                      

 А) 480                            B) 600                               C)7 20                         D) 120

                                                                  Външна страна

Решение

·         Нека  ширината на пътеката е  a m,  а  ширината  на спортната площадка е  x m.Тогава  дължината на площадката е  5.x m .

·         От уравнението    12 x+24 =12 x+8a ,определяме ширината на пътеката  и  тя   е равна  на    a=3 m

·          Лицето на пътеката  е  (5 x+6)( x+6)- 5x2=468     

                От горното уравнение  намираме,че  x=12 m

                Лицето на площадката е 5.12.12=60.12=720 m2

Отговор C)

Задача  В  нива   с    форма  на   правоъгълник    засяли 5 лехи със  слънчоглед  , така  както  е  показано на чертежа:                                                                               

             -Четири  лехи с еднакви размери  с  форма на правоъгълник ,оцветени в бяло                                                              -  една   леха  с форма на квадрат  оцветен в червено .                                

Известно  е,  че   размера на лехата оцветена в  червено  е  400m  ,а  ширината  на правоъгълника в бяло  е   третината  от  дължината му.Какъв  ще е добива от нивата ,ако от един квадратен метър от лехите в бяло  се  получават  30 грама  слънчоглед,а от лехата в червено  0,025 kg ?                                                                                                           

 а) 4000  kg      b)  3200kg         c)29,6 тона        d) друг отговор

Лехата в червено е квадрат  със страна  400 m.

·         Тогава  една от страните  на  четирите еднакви лехи е също 400 m.

·         Следователно  дължината на нивата  е  800m (те са обърнати при оразмеряването  )Тогава  ширината на нивата е 800 /3 m

·         Площта на четирите  еднакви лехи е 4.(800/3).800 m2 ,а добива  е 

4.(800/3) .800.30 грама =4.6400000 грама  =4.6400kg=4.6,4 тона =25,6 тона

·         Площта на  квадрата е 400.400 m²,а добива е  160000 .0,025=4000 kg=4 тона

·         Общо добива  е  4 тона +25,6 тона  =29,6  тона

                                           Отговор C)

Задача  Да се намерят дължините на страните на правоъгълник, ако е известно, че те са двуцифрени числа, а  лицето на правоъгълника е число, написано само с цифрата 5.

          a)  12 и 13          b)15 и 35          c)37 и 5            d) друг отговор

                                                                                    Решение 

Лицето на правоъгълника е равно на произведението от дължините на страните,които  са двуцифрени  числа.

.  Следователно  тяхното  произведение  е  трицифрено  или  четирицифрено число и  то е  555 или 5555.

·          Нека лицето  е  555. Тъй  като  555 = 1.5.3.37, единственият начин за представяне на 555 като произведение на две двуцифрени чис­ла е 15.37 откъдето търсените дължини на страните на правоъгълника са 15 и 37.

·         Нека  лицето  е  5555 .

 От това,че   5555 = 1.5.11.101 и понеже 101 е просто число, следва, че 5555 не може да се представи като произведение на две двуцифрени числа.

                                                                   Отговор d)

Задача   Известно е ,че дължината на   страната на даден квадрат е естествено число.Една от страните на този  квадрат    се    намаля с 1 dm, а  другата се увеличи със 7dm.

Получения  правоъгълник има лице равно на 9  квадратни дециметра.Определете  размерите  на квадрата .

                 A) 7 dm           B) 16dm     C) 8dm           D) друг отговор

                                                         Решение

• Нека дължината на  страната на квадрата  е  a dm.Известно е,че

a   е  естествено  число .

• От това,че  лицето е 9  получаваме уравнението  9  = (a-1).( a+7)

-Двата множителя (a-1) и ( a+7)  са естествени числа, с  произведение  9

- Това е възможно ,ако  са  1 и 9  или 3  и   3

-Само  ако  са  9 и 1 отговарят на условието на задачата

-Следователно    a=2 dm

                                                        Отговор D)

Задача   Известно е ,че дължината на   страната на даден квадрат е естествено число.Една от страните на този  квадрат    се    намаля с 6 dm, а  другата се увеличава с 2dm.Получения  правоъгълник има лице равно на 9  квадратни дециметра.Определете  размерите  на квадрата .

                 A) 4 dm           B) 6dm     C) 8dm           D) друг отговор

                                                           Отговор D)

Задача Площадка   има правоъгълна форма с  дължина  20m  и   ширина  5,5 m .Обиколката на площадката   е увеличена с 25 %,без да се изменя  нейната дължина . Колко  е  ширичината на получената  площадка ?

                         A) 6,3m    B) 6,2m     C) 17,4m      D) друг отговор

                                                         Решение

• Обиколката  на   площадката  е   P=2.(20+5,5)=51 m
• Обиколката  на  новата леха е   1.25 . (51)=63,75 m
• Следователно  новата леха  има   ширина  (63,75 -2.20):2=11,875 m 

Задача Цветна леха  има правоъгълна форма с  дължина  25m и ширина 6 m .Квадратурата на лехата е увеличена с 20 %,без да се изменя  нейната дължина . Колко  е  ширичината на получената  цветна леха ?

                  A) 6,3m           B) 7,2m   C) 17,4m           D) друг отговор

                                                     Решение

• Лицето на лехата  S=25.6=150 m2
• Лицето на  новата леха е   1.2 . (150)=180 m2
• Следователно  новата леха  има   ширина 180 :25 =7,2m

                                                               Отговор В)

Задача Обиколката на равностранен триъгълник е 24 cm и е равна на обиколката на квадрат. С колко сантиметра  страната на триъгълника е по-голяма от страната на квадрата?

                          A) 6cm           B) 7cm   C) 2cm           D) друг отговор

                                                       Отговор C)

Задача Правоъгълник има обиколка  2,8 dm .Външно  са построени два равностранни триъгълника .Ако обиколката на получената  фигура  е  3,6 dm,намерете  лицето на  правоъгълника ?                                                                                                                                                                                                                           A) 0,3           B) 2,2     C) 0,4         D) друг отговор

Решение

• Нека измеренията на правоъгълника са  a dm  и  b dm.Тогава обиколката му   P= 2(a + b )=2,8dm
• Обиколката  на  получената фигура  е   2b + a +2b + a =3,6 dm  .Следователно  2b +2,8=3,6  и  b=0,4 dm
• Следователно лицето на дадения правоъгълник  е  0,4.(2,8-2.0,4):2=0,4dm2

    Отговор C)   

Задача Правоъгълник  има лице 243 dm2 .Външно  са построени два равностранни триъгълника .Ако  страната на равностранният триъгълник  е  1/3 от дължината на правоъгълника ,намерете  обиколката  на    правоъгълника ?

                        A) 39           B) 72     C) 43         D) друг отговор

                                                                            Отговор B)   

Задача  Обиколката на един правоъгълник е 86 сантиметра.Ако една от страните му се увеличи два пъти, обиколката  ще стане 122 сантиметра. С колко квадратни сантиметра  ще се увеличи лицето му?

                  A) 450;   B) 400;   C) 500;   D) 350;  E) 200.

           (Математическо състезание „Иван Салабашев)

                                               Решение

·         Разликата в обиколките 122 - 86 = 36 cm е равна на удвоената страна на правоъгълника,

·         Следователно тази страна е 36 : 2 = 18 cm:

·          Другата страна е (86 - 2 .18):2 = 25 cm

·         От това,че ако увеличим  едната  страна на правоъгълник два пъти ,то и лицето му се увеличава два пъти ,търсенато увеличение е 

                                           18.25 = 450 квадратни  сантиметра

                                               Отговор A)   

Задача  С колко дециметра   ще се увеличи обиколката на правоъгълник, ако едното му измерение се намали с 1,2 dm, а  другото се увеличи със 7,5 dm.

                 A) 6,3dm           B) 1,26dm   C) 17,4dm           D) друг отговор

                             (Коледно  математическо състезание)

                                                       Решение

·         Нека  обиколката на дадения правоъгълник  е  P =2( a + b),  където  a и b са  дължината и широчината му

·         Обиколката  на новия правоъгълник е

         P1 =2(a - 1,2)+2 (b+7,5)

         =2 a + 2b-  2,4 +15

         =2 a + 2b+12,6

                   Следователно  P1= P+12,6 и  обиколката се е увеличила точно 12,6dm    

                                                         Отговор D)

Задача  С колко квадратни  дециметра  ще  се  намали    лицето на квадрат, ако едното му страна  се намали с 1,2 dm, а  другата  се увеличи със 1,2 dm.

                 A) 6,3           B) 1,26     C) 1,44       D) друг отговор

·         Нека  лицето  на дадения  квадрат   е  S =a.a , където,  a e дължината  страната на квадрата

·         Лицето    на  получения  правоъгълник е:

S 1 = (a –1,2).(a +1,2)

         =    a.a – 1,44

 = S -1,44

·         Следователно  S 1= S -1,44   и  лицето   се е намалило  точно с 1,44 квадратни  дециметра

                                                                          Отговор C)

Задача  С колко дециметра   ще се измени  обиколката на квадрат , ако една от страните му  се    намали с 1,5 dm, а  другата се увеличи със 7,5 dm.

                 A) 7 dm           B) 16dm   C) 12dm           D) друг отговор

                                                           Отговор C)

Задача  С колко квадратни  дециметра   ще се намали   лицето  на квадрат , ако една от страните му  се    намали с 3 dm, а  другата се увеличи със 3 dm.

                 A) 7            B) 16    C) 9        D) друг отговор

                                                           Отговор C)

Задача Лицето  на правоъгълник  е  25 % по-голямо от лицето на квадрат със страна  8,4 cm  Една от страните е  ¼ от  страната на квадрата .Другата страна на правоъгълника е :

А)42                B) 48                         C)38              D) друг  отговор      

Отговор А)

Задача Обиколката и лицето на квадрат се изразяват с едно и също число. Да се намери лицето на правоъгълник  със същата обиколка, едната страна на който е три пъти по-голяма от другата.

         A) 12                      B) 15                  C) 16              D) друг отговор

                                                    (Великденско  математическо състезание)

                                                                               Решение

·         Ако  страната  на квадрата   е   a  cm (или друга мерна единица),то ще е  изпълненo  

                     a.a (квадратни сантиметра) и 4.a (сантиметра) са едно и също число

                    това е възможно,ако   a =4  сантиметра ,и обиколката е 16 сантиметра ,

                    а лицето 16 квадратни    сантиметра

·         Нека страните на правоъгълника са  x  и  3x.

                    Тогава обиколката е  8 x = 16

                и  x =2  , а   S=2.6=12 квадратни сантиметра

                                                                                 Отговор А)

·    

Задача  Ани разполага с достатъчно фигурки от показания вид.

        Колко най-много такива фигурки може да разположи Ани в правоъгълник с размери 5  на  4 , без да ги          застъпва?

A)    2               B) 3                 C) 4                       D)5

                                                     (Математическо състезание „Европейско кенгуру )   

Решение                                                                       

         (1)  От това,че лицето на дадения правоъгълник е 5.4=20 квадратни сантиметра , а лицето на дадената фигурка е 4 квадратни сантиметра  и  20 :4=5, правим  извода, че  броя на фигурките е не повече от 5.

·        (2) За да получим  максимален брой  фигури е необходимо да ги поставяме така,че  при сглобяването  да получаваме  най-малък брой  не застъпени квадратчета.

·     (3)     От  това,че при  поставяне  на четири квадратчета по начина, по който е показан на чертежа, без застъпване и припокриване остават  четири квадратчета в  които,не можем да поставим нова фигура ,можем да направим извода,че   максималният  брой  фигури  е  точно четири .

                                                                         Отговор c)

Задача  Мариета  иска да направи квадрат със  страна по-голяма от 4cm,като използва само парчета  еднакви   с   показаното  на  чертежа по-горе.Колко   най-малко   такива парчета са и необходими?

                            А)8               В)16          С)12             D)80              Е)20

                                                   Отговор B)

Задача  Правоъгълник с  лице 100 квадратни сантиметра   може да се  разреже  на  4 еднакви квадрата .Да се намерят възможните дължини на страните му?

                                                                     Решение

·         Нека страната на  квадрата е  x

·         Тогава  за да получим четири еднакви квадрата  от правоъгълника    размерите му  са 

                                         x и 4x   или  2x и  2x

(1)  x .( 4x)=100  и  x=5 .Дадения правоъгълник  е с размери  5 на 20

(2)   2x .( 2x)=100  и  x=5 .Дадения правоъгълник  е с размери  10 на 10

Задача  Даниел иска да направи квадрат ,като използва само парчета  еднакви   с   показаното  на  чертеж 1.Колко   най-малко   такива парчета са му необходими?

А)8               В)10           С)12             D)80              Е)20

 (Международно състезание "Европейско кенгуру")

 Чертеж 1.                                                                                                                                                

Решение.   

·         Търсим възможно най-малкият квадрат с това свойство. )                                                                               Фигурата  на чертежа  е   съставена от точно 2   такива  фигури , има 10 на брой  квадратчета и    няма застъпване и припокриване.    Очевидно не можем да я   вместим   в  квадрат със страна  5.    

Ако квадратът е със страна  10, то  квадратчета са  100, и от това че 10 се  дели на 5 и 2  

и  100 :10=10 ,то  фигура 2  се   вмества точно   10 пъти                   

  Следователно  най-малкият брой  фигури    е   10.2=20 броя.   

 Задача Правоъгълника на чертежа  е получен от 7  квадрата.Ако обиколката на  правоъгълника е 114 cm,намерете лицето му?

         A) 12                      B) 15                  C) 16              D) друг отговор

                     (Математическо състезание „Иван Салабашев)

    Упътване:  Ще изразим  дължината и ширината по два начина

(1) Ако страната на зеленият квадрат е x cm ,то  и  другите  три  общи  квадрати ще имат страна  x cm.

                 Тогава  дължината  е   4.x cm

                Широчината  е  равна на   (114 -8 x):2  = 57 -4 x

(2) Нека  размера на един от тритe по-големи  квадрата е  y.Тогава  и  останалите два квадрата  са  с размери  y  и  дължината  на правоъгълника е 3. y   а, широчината  е   x+y

                   Решаваме  уравненията      

                                 4.x = 3. y   

                                  x+y=57 -4 x

                                      Отговор D)

Задача .От правоъгълна леха с размери 32 dm и 10,5 m набрали по 2,2 kg ягоди от квадратен метър. При преглеждането на набраните ягоди изхвърлили 1,12 kg развалени, а останалите поставили в щайги, като

във всяка от тях имало по 2,8 kg ягоди. Броят на напълнените с ягоди щайги е:

                         а) 24;     b) 25;     c) 26;     d) друг отговор

                                 (Коледно  математическо състезание)

                                                        Отговор c)

 Задача  Правоъгълник с  лице 100 квадратни сантиметра   може да се  разреже  на  4 еднакви квадрата . Симеон   иска да го разреже на  квадрати с дължини на страните 6 на  2 сантиметра.                                             Ако е възможно как трябва да го извърши ?

                     (Национален кръг «Европейско кенгуру»)                       

                                                      Решение

·         От това,че се разрязва  на  4 еднакви  квадрата  размерите са 5 на 20 или 10 на 10 

·         Не е възможно да е със страни 5 и 20  ,5 < 6

·         Остава  правоъгълника да е квадрат с  размери  10 на 10

  (1) От това,че  10.10=(6+4).(6+4)=6.6+2.6.4+4.4                                                                                              (Виж подобни задачи на страницата –Задачи от сглобяване и разрязване на фигури)                                     

Получаваме ,че квадратът може да се разреже  на   един квадрат с размери  6 на 6   , един квадрат     с размери  4 на 4  и  два еднакви  правоъгълника с размери 6 на 4

  (2)Всеки правоъгълник  с размери  6 на 4 можем да разрежем  точно  на  6  квадрата с размери 2 на 2

  (3) Следователно  разрязването става точно по един начин : един  квадрат с размери 6 на 6 и 4 квадрата с размери 2 на 2  и  още  6+6=12  квадрата с размери  2 на 2 

  общо :един  квадрат със страна 6 и 16 квадрата със страна 2 cm

,Даден  триъгълник ABC с дължина на страните : a, b, и c и дължини  на съответните височини към  тях : h_a,  h_b и  h_c  има  лице равно на :

(1)     S = (a.h_a):2

(2)     S = (b.h_b):2

(3)     S = (c.h_c):2

Задача  Триъгълник  с  лице 600 квадратни сантиметра  има височини 30 cm, 40 cm и 24 cm.            

Обиколката на  този триъгълник е:                                              

                                             А) 120 cm B) 60 cm C) 40 cm D) 20 cm                                                                   

                               (ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО МАТЕМАТИКА „УМ, БЕЛИЯТ ДЕЛФИН“ – 2012)

Изчисляваме дължината  на всяка  страна чрез  лицето и съответната височина

·         2S:  h a =a 

·         2S:  h b =b

·         2S:  h c =c

·         P=1200:30+1200:40+1200:24=40+30+50=120 cm

Задача Тракторист  изорал нива  с форма на  равнобедрен  триъгълник  с  лице 3 ара   и  височина към основата  20 m. Ако обиколката  на  нивата   е  80 метра, то    дължината  на  бедрото на нивата е:                                                                                                           А) 25 m B) 30 m C) 15 m D) 27 m

                                                        Отговор A)

                                                              Решение :

·         S =3 ара =300 квадратни метра

·          Основата  на триъгълника е равна на  2.300:(20)= 30 метра

·         Бедрото   на триъгълника е равно на  (80-30):2=    25 метра

Задача Обиколката на правоъгълен триъгълник е 30 cm, хипотенузата му е 13 cm, а  единият катет е с 1 cm по-малък от хипотенузата. Лицето на триъгълника е:                                                                                                              

 А) 30               B) 60                      C) 49                  D) 78                                

 (ПРОЛЕТНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО МАТЕМАТИКА „УМ, БЕЛИЯТ ДЕЛФИН“ – 2012)

(1) Катетите са   13-1=12 cm   и    30-(12+13)=5 cm

(2) Лицето S =(5.12):2=30 квадратни  сантиметра .

 Задача Даден е правоъгълен триъгълник  ABC (с прав ъгъл при върха C) с катети   а = 12 cm  и   b = 16 cm. Ако височината  към хипотенузата е hc = 9,6 cm, то дължината на хипотенузата е:

b)    10 cm              b) 20 cm       c) 40 cm         d) друг отговор

                                                            Решение

Изчисляваме  лицето по два начина  и от изравняването намираме хипотенузата на триъгълника

·         S=(а b):2 = (12 . 16):2=96 квадратни сантиметра .

·         96 =(9,6 .h):2    и   c=20 cm

                                                         Отговор b)

Задача Даден е правоъгълен триъгълник  ABC (с прав ъгъл при върха C) с катети   а = 3 cm и   b = 4 cm. Ако  хипотенузата е 5 cm ,то  височината към хипотенузата е  :

                  a)     1 cm              b) 2,2cm       c) 2,4 cm         d) друг отговор                                                                                                                                  Отговор c)

Задача .Даден е правоъгълен триъгълник  ABC (с прав ъгъл при върха C), с катети   а  cm  и   b cm . Ако  катетите са  естествени числа  , височината  към хипотенузата   hc = 1,2 cm  и  хипотенузата  е   5 cm  то, катетите   са :             

a)не съществува триъгълник      b) 2 cm и 3 cm     c) 1 cm и 6 cm     d) друг отговор

 Изчисляваме  лицето по два начина  и от изравняването намираме катетите на триъгълника

·          S = (5. 1, 2):2=  3   квадратни   сантиметра .

·         S =(а b):2=3  

·          Следователно  а .b=6 ,където  по условие   а и b са  естествени числа

-  Не  е  възможно  да са 1 и 6 ,защото  6>5

(КАТЕТЪТ  ВИНАГИ Е ПО-МАЛЪК ОТ  ХИПОТЕНУЗАТА)

-Не  е  възможно да са  2 и 3 (2+3=5)

Забележка:Лесно ще покажете,че не е възможно 2+3 да е равно  на 5 ,като използвате,че височината към хипотенузата я разделя  на две отсечки ,които са катети  в получените триъгълници)

                                   Отговор: а)

Задача  Катетите на  правоъгълен триъгълник имат  3 и 4 дяла , а хипотенузата 5  дяла от периметъра на триъгълника .Ако  периметърът му е 60 сантиметра,колко квадратни сантиметра е лицето на този триъгълник?                   

                                                 А) 7500;   B) 500;    C) 250;    D) 300;    E) 150                                                                                                                             ( Математически турнир „Иван Салабашев)                                                                                                                                               Решение

·         Нека единия дял е x сантиметра

·         От уравнението  3x + 4x + 5x = 60 ,  определяме x = 5  и  a = 15, b = 20, c = 25.

·         Хипотенузата е страната с най-голяма дължина , следователно лицето на триъгълника е  (15.20):2=150 квадратни сантиметра                                                              

Отговор  E)

Задача Милен   начертал     триъгълник  с  лице 30 квадратни сантиметра    и   височина към основата  4 сантиметра. След това  начертал  правоъгълник  с  лице  два пъти по -голямо от  лицето на триъгълника. Ако ширината на правоъгълника  е  равна на височината  на  триъгълника към основата ,колко е  дължината на правоъгълника ?                      

    А) 25 cm                   B) 30 cm               C) 15 cm                      D) 27cm                                                                          

Решение

·         Изрязаният триъгълник  има  основа   c= 2.30:(4)=15cm                                                                 Изрязаният правоъгълник ще има лице 2.30=60 квадратни сантиметра и дължина на страната 60:4=15 cm                                                                  

                                                                                 Отговор  C)

Задача Върху страната  CD на правоъгълника ABCD е  взета  произволна точка M.Ако лицето на триъгълник  ABM e 28  квадратни сантиметра и височината  към страната  AB  е  4cm  ,размерите на правоъгълника  ABCD са :                                                                                                                                  

                                              А) 120 cm B) 60 cm C) 40 cm D) 20 cm                                                              

                                                                    Решение                                                                                      

 (1)Лицето на правоъгълника  е 28.2=56 квадратни сантиметра

(2)Височината към AB е равна на ширината на правоъгълника

 (3) Дължината  на правоъгълника  е 56:4=14 cm

Задача Правоъгълникът  AMND има обиколка 36 cm, а правоъгълникът    MBCN  има обиколка 58 cm .Ако обиколката на правоъгълника ABCD e 64 cm  а,лицето на  триъгълник  ANB   e   51 квадратни сантиметра ,то  AD e :

А) 12 cm          B) 60 cm           C) 34/5 cm                       D) 21/3 cm                                                                                     D             N                         C                            

         А                M                            В

                                                                       Решение

(1)             Ширината на правоъгълника   MN={(36+58)-64}:2=15 cm

(2)             Лицето на правоъгълника  ABCD   е равно на 51.2=102 cm²

(3)             Дължината на правоъгълника  AB  е 102 /15 cm

Даден   е   произволен  триъгълник  ABC  с  лице  24 квадратни  сантиметра.

                                                  ИЗВОД ПЪРВИ (ЧЕРТЕЖ 1).                                  

Ако точка  M е среда на страната  AB ,то  лицата на  триъгълник  AMC и  BMC  са равни –РАВНИ СТРАНИ  УМНОЖАВАМЕ С ЕДНА И СЪЩА ВИСОЧИНА .Лицата  и на двата  триъгълника са точно  по  12 квадратни сантиметра .

                                                  ИЗВОД ВТОРИ  (ЧЕРТЕЖ 2). 

Ако точките  M   и  N  са  такива,че  AN = NM =  MB  ,то лицата на  триъгълниците     ANC ,  NCM  и    MCB   са равни  .Лицата и на тритe триъгълника  са равни точно  на  24:3=8  квадратни  сантиметра                        

                                               ИЗВОД ТРЕТИ   (ЧЕРТЕЖ 3). 

Ако  точка  Q  е  произволна точка  от страната  CM,където  M  е  среда на страната  AB,  то  лицата  на    триъгълниците     AQC и  BQC са равни, защото:

-         AMC и  BMC  имат равни лица  и 

-         AMQ и  BMQ  имат  равни лица

-         От равни лица изваждаме равни лица

                                              ИЗВОД ЧЕТВЪРТИ   (ЧЕРТЕЖ 4). 

Нека   точка     N   e   среда   на  отсечката AB , точка  M е среда на  CN ,а  точка  P   е   среда    на   BM. Тогава :

(1)             Лицето на  триъгълник  MNB  e  12:2=6  квадратни сантиметра

(2)             Лицето на триъгълник  MPC =6:2=3 квадратни сантиметра

Задача .Даден  е  триъгълник  ABC  (чертеж 4) .Нека  точка     N   e   среда   на  отсечката AB , точка  M е среда на  CN ,а  точка  P   е   среда    на   BM. Известно е,че лицето на триъгълник  BPC  e  1,5  квадратни сантиметра.Лицето на  триъгълник   ABC   е  :                                                                 

                             А) 12           B) 60            C) 12,5                       D) 21,5     

                                                       Решение   

(1)  От това,че  лицето на триъгълник     BPC  e  1,5  квадратни сантиметра ,следва ,че  лицето на  триъгълник   CMB=1,5.2  =3   квадратни сантиметра

(2) От  това,че  лицето на триъгълник    CMB  =3      ,следва ,че  лицето на  триъгълник   NBC=3.2  =6  квадратни сантиметра 

 (3)  От  това,че  лицето на триъгълник   NBC=6  ,следва ,че  лицето на  триъгълник   ABC= 12  квадратни сантиметра                                              

                                                                                     Отговор  A)

Задача .Даден  е  триъгълник  ABC  (чертеж 4) .Нека  точка     N   e   среда   на  отсечката AB , точка  M е среда на  CN ,а  точка  P   е   среда    на   BM. Известно е,че лицето на триъгълник  BPC   e  3,2  квадратни сантиметра ,  а височината  през точка P към  страната   BC   е 2 cm.  Височината на триъгълник    ABC  към  страната  BC  е  :                                                      

                                  А) 13 cm          B) 16 cm        C) 12,5 cm              D) 3,2 cm  

                                                  Решение   

(1) От това,че  лицето на триъгълник     BPC  e  3,2   квадратни сантиметра ,следва ,че  страната  CB =(3,2.2):2=3,2 сантиметра

(2)Лицето на триъгълник ABC ={(3,2.2).2}.2=3,2.8 квадратни сантиметра

(3) Височината към страната  BC намираме от уравнението 

                                       3,2.8 =(3,2. h):2   и h=16 cm     

Задача .Даден  е  правоъгълник  ABCD  . Нека  точка     N   e   среда   на  отсечката AB , точка  M е среда на  CN ,а  точка  P   е   среда    на   BM. Известно е,че лицето на триъгълник  BPC  e  2,5  квадратни сантиметра.Лицето на  правоъгълник    ABCD   е  :                                                               

                                 А) 40           B) 60            C) 38            D) друг отговор   

                                                            Отговор  A)

Задача .Даден  е  триъгълник  ABC  .Нека  точките   M,  N и P принадлежат на страната   AB  и  AM = MN = NP = PB .  Известно е,че лицето на триъгълник  APC  e  57  квадратни сантиметра.Ако точка  Q е среда  на страната BC ,то лицето на  триъгълник   CQP   е  :                                                                             

                                  А) 1,2           B) 6            C) 9,5        D) 21,5     

                                                 Отговор  C)

Задача . Даден е  правоъгълник  ABCD  и  точките   M и N принадлежащи на страните  AB   и  BC и  такива,че  AM = MB   и BN = NC.Броя на всички триъгълници  с върхове измежду  точките A ,B ,C, D , M и N ,които имат лице равно на  четвъртината от лицето на дадения правоъгълник  е :

a ) 4                      b )  6                      c  ) 8                       d)5                                        

Решение                                                                                                                                                                     

Преброяването извършваме по върхове 

           (1)През връх  D  са 4 броя -триъгълниците  AMD DMB  DBN  DNC                        

                                                 (2)През върха  A   e  1  брой  -   триъгълник  ABN

(3)През  върха  C е един  брой -триъгълник  CMB                                        

    Отговор :b)

Задача Едната страна на правоъгълник ABMK съвпада със страна на триъгълник ABC. Лицата на  двете фигури са равни. Каква е дължината на другата страна на правоъгълника, ако AB = 5cm и  височината CD = 4cm?

                             а) 2 cm    b) 2,5 cm     c) 4 cm    d) друг отговор

                              (Великденско ватематическо състезание )                               

 Отговор  a)

Задача  Дължината на страната на квадрата АВСD е равна на 4 cm. Точките М и N са средите съответно на АВ и АD. Лицето на триъгълника МСN е:

a) 6cm2;    b) 8 cm2;               c) 16 cm2;    d) друг отговор                                                                                   Решение                                                                                                                      

За да  определим  лицето на триъгълник  МСN е необходимо  да изчислим  лицата на  трите правоъгълни триъгълника

(1)Лицето на триъгълник  AMN е равно на (2.2):2=2 квадратни сантиметра                                                    (2)Лицата  на триъгълниците   NDC и BMC  са равни на  (4.2):2=4   квадратни сантиметра                                                  

(3) Лицето на триъгълник  МСN=4.4-6=10 квадратни сантиметра

                                       Отговор D)