В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Задачи от делимост на числата .Степени и периодичност на остатъците . Приложение на формулите за съкратено умножение . Задачи за ученици от 6 . и 7 . клас

 

П

О

Д

О

Б

Н

И

 

 

Т

Е

М

И

 

 

 


ДЕЛИМОСТ НА ЧИСЛАТА . ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТЪК .ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ 


ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Нека a и b са цели числа( b е различно от нула).Казваме ,че a се дели на b,ако съществува такова цяло число c , че a =b . c

Това означаваме с b/a

СВОЙСТВА НА ПОНЯТИЕТО ДЕЛИМОСТ В МНОЖЕСТВОТО НА ЦЕЛИТЕ ЧИСЛА .

1.Ако a се дели на b  и   b  се  дели на  c, то а  се  дели на  c

          Означава се : ако  a /b   и  b /c   то   a /c

2.Ако a и b се делят на c, то а + b също се дели на c

Означава се : ако c /a   и  c / b   то   c /a +  b

Нарича се делимост на сбор(разлика ) на цели числа  

3.Ако  а се дели на с и числото b е произволно цяло число, то а . в също се дели на с

Означава се : ако  c /a , то c /a . b

4.Ако a дели b и ІаІ >І b І , то a=0.                                                                                                                            Числото 0 се дели на всяко цяло число ,а всяко цяло число се дели на - 1 и 1 .

5.Ако a се дели на b и b се дели на a, то а = b или а = -b                                                                                      Означава се : ако  a /b и b / a , то а = b или а = -b

6.Ако сумата на две цели числа и едното от събираемите се делят на цялото число  c , то и другото събираемо също се дели на c

Означава се : ако  c /a + b и c /a , то c /b

7.Ако a /c и b / d , то ab /cd

8.Ако a /b  то,  ak  / bk      


                                                                     ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТЪК                                                                                                За всеки две цели числа a и b (b>0), съществуват  единствени цели числа q и r , такива, че  

                                        a = b.q + r  .Числото  q  наричаме  частно, а r – остатък   ,   0 ≤ r < b.

ОСНОВНИ ЗАДАЧИ  ЗА  ПРЕГОВОР   ОТ  5  И  6   КЛАС - ПРЕПОРЪЧИТЕЛНО Е ДА НАПРАВИТЕ  УПРАЖНЕНИЯТА ЗА ВХОДНО  НИВО  - ПОСЛЕДВАЙ  ВРЪЗКАТА   ПО-ДОЛУ   

                                                                       ПЪРВА  ЧАСТ  

                              СТЕПЕНИ .ПЕРИОДИЧНОСТ  НА ОСТАТЪЦИТЕ  .ЗАДАЧИ ЗА  6 И 7 КЛАС 

                                                            ЗАДАЧИ  ОТ    ТОЧЕН КВАДРАТ

Задача  Кое  от  написаните   числа  не   може   да   е    точен квадрат ?

                  a)12352        b) 15376        c)15129              d )друг отговор

                                                           Решение

Всяко цяло  число повдигнато на  втора степен  завършва на едно от числата :  0,1,4,9,6,5

От всички  числа  ,числото 12352  ,не може да е точен квадрат ,защото  завършва на  2

                                        Отговор a)

 

Задача  Двуцифреното число  със запис  ab  е   точен квадрат ?Колко са числата с това свойство ?

                              a) 5      b) 6        c)4        d )друг отговор 

                                                         Отговор b)                 

 

ЗадачаКое от написаните прости числа  не  можем да запишем като сбор от квадратите на прости числа?

          a) 5      b) 13        c)29              d )31  

                                        Решение   

Точните квадрати  до  31  са  : 1,4,9,16,25

Само за числото   31  ,не съществува  комбинация за представяне като сбор от  квадрати .

Числата 5,13 и 29  можем да запишем като сбор от  квадрати на прости числа .Например 29 =25+4

                                      Отговор d)

 

Задача    Кое от числата е нечетно за всяко естествено  n ?

A)3n         B) n2+2             C) n3          D) 2n2 +13

                          ( Математическо състезание“Стоян  Заимов“)

                                                   Решение

Числото   2n2  е четно , независимо  от четността на n .Тогава сборът 2n2 +13 като  сбор    от четно и нечетно число е винаги  нечетно число .

 

Задача   Кое от  числата  не  може  да  е  точен  квадрат  за всяко естествено число   n?

A)3n         B) 10.n2+2             C) n4          D) друг отговор

                                    Решение

Ако  съществува  число,последната цифра на която ,не е  0,1,4,9,6,5 то това,число  не е точен квадрат.  Такова  число  е  10.n2+2  ,защото независимо от избора на n ,числото  завършва на 2.

Числото 3.n е точен квадрат  за n = 3  , а  числото  n4    е  винаги точен квадрат .

                                                 Отговор B)

                        

  Задача .За кои    цели  числа   x и е изпълнено  xy2 =  8

                                          Решение

От това,че  y2 >0 , то y2 =1 или  y2 =4

Ако    y =1  или  y =-1  ,то x=8 

Ако    y =2  или  y =-2 ,  то x=2

Следователно  търсените числа и   y   са  двойките цели  числа :(8,-1),(8,1),(2,2),(2,-2)

 

Задача .За кои    цели  числа   x и е изпълнено  

a)xy3 =  8

b)xy4 = 16

 

Задача   Намерете сбора от цифрите  на естественото число ,чийто квадрат  е равен на                                              444444 - 888      

                       (Математически турнир  „Черноризец Храбър“)   

      A)няма такива числа         B) 15             C) 18        D) 24              Е)30          

                                       Решение

Разликата  444444 - 888  = 443556  е точен квадрат     

От това,че 700.700=490000>443556  и числото  443556 завършва на 6, възможните числа , които са квадрат на даденото число   са : 696,686,676 и 666. Числото 6662  =443556   и сбора от цифрите му е 18

                                              Отговор C)

 

Задача  Намере цифрите a и  b ,за  които  числото  със  запис   aabb   e   точен квадрат

                                                        Решение

Числото  aabb  = 1000a +100 a +10b+ b =1100a +11b =11.(100a + b )

От това,че 11 /11  и 11 е просто число то ,следва , че  за да е точен квадрат ,

то 11 /100a + b   и

  100a + b =11.x2  , тогава   aabb =121.x2

Числото  aabb =121.x2 е четирицифрено,ако x2  е  :16,25,36,49,64 или 81

Само при x2  =64 ,числото 

                                                         121.64=7744  е  от  вида  aabb ,тогава a=7 , а  b=4

 

Задача  Петцифреното  число  със запис  abcba  се   дели на 11  и  е  точен квадрат ?Намерете числото ?    

                                             Решение

От това,че  11 е делител на  abcba  и 11 е просто число , то abcba = 11.11x2 

                                    или  11.11.11.11.x2

                   Нека abcba  = 11.11.11.11.x2  =14641.x2

Ако  x2 =1 ,то числото 14641 е търсеното число , а ако   x2 =4 ,то  14641.4=58564 не отговаря на условието,числото да е огледално . Не е възможно   x2 >4 ,защото полученото число  е шестцифрено

                  Нека abcba  =   11.11 .x2   =121.x2  Очевидно  x2  >9

Тогава  x2  може да е : 100 ,121 ,144 169,196 ,225 ,256, 289,324,361 ,   

                           400,441,484 ,529,576 ,625,676 ,729 ,784 

        Само при  x2  =121  и  x2  =576  петцифрените числа  14641 и 69696  са огледални

Отговор : 14641 и 69696

          

Задача . Да се намери броят на всички четирицифрени числа, за които при премахването на първата цифра на всяко от тях се получава число, девет пъти по-малко от първоначалното.

а) 4                         b) 7                      c) 9                         d) друг отговор

 


Задача  Иван написал на дъската едно пет цифрено положително цяло число и изтрил една от цифрите му, получавайки четирицифрено число. Сумата от така полученото четирицифрено число и първоначалното петцифрено е 52713. Намерете сумата от цифрите на първоначалното петцифрено число.

                                       A) 26 B) 20 C) 23 D) 19 E) 17

                     (Математическо състезание „Европейско кенгуру“)

                                                                                          Решение

Нека даденото число има запис  abcde .

Ако  е  задраскал първата цифра  ,то сбора от числата

abcd e +bcde =  a104 +bcde + bcde = a104 +2.bcde

Тогава  числото  a104 +2.bcde  трябва да  завършва на 3 ,а това е невъзможно

защото   a104 завършва на нула , 2.bcde  е  винаги  четно  число

Аналогично  се показва,че  не може да  е задраскал цифрата на стотиците ,хилядите и десето хилядите .

Да разледаме последната възможност :задраскана е цифрата на единиците

Тогава 10.abcd  +e+ abcd= 52713

Тогава 11.abcd =52713-e и  11/ 52713-e .

Ако  e =1 ,частното е  52712:11=4792   ,тогава a+b+c+d +1= 23

За  всяка  друга   стойност на e>1 ,остатъкът от деление с 11 е различен от нула .

 

Задача Остатъкът от деление  на  3 x2  с  5  не  е  :

                           a) 1      b) 0        c)3        d ) 2 

              Числото  x2  завършва на  0,1,4,5, 6  или  9

Тогава числото 3 x2  завършва на  0,3,2, 5, 8  или   7

Тогава при деление с 5 , числото  3 x2   ,не може да има остатък 1

                                              Отговор a)

 

Задача  Остатъкът от деление  на 5 y2  с  3  не  е :

                                a) 5      b) 0        c)3        d )друг отговор  

                                              Отговор c)

 

Задача Кое е най-малкото естествено число, по-голямо от 2000, което може да се запише във вида 3x2 + 5y2, където x и y са естествени числа?

                              (Математически турнир „Иван Салабашев“)

Ако 3x2+5y2= 2001, числото 3x2  трябва да дава остатък 1 при деление на 5,което е невъзможно .   Ако 3x2+5y2= 2002, числото 5y2 трябва да  дава остатък 1 при деление на 3 и                                                         аналогична проверка показва, че това е невъзможно.  

Тъй  като 3.12 + 5.202= 2003, търсеното число е 2003.

 

Задача .Докажете,че  не съществуват    цели   числа   x и за , които  да  е изпълнено                                              Y2   -  5x  =  12

                                         Доказателство

   Разглеждаме уравнението    Y2   = 5 +  12. Дясната страна    5 +  12  завършва на   2  или  7, а  лявата  на   0,1,4,9,6 или 5  .  Следователно ,не съществуват  цели числа  и  за  които,                                                            Y2   -  5 =  12

 

 Задача Решете ребуса   ab (cb a+1) = 2008 , където   а , b  и  c  са  естествени

числа.

                    (Зимни математически празници -2013 година )                

                                                 Решение:

     Разлагането на 2008 на прости множители е 2008 = 23 .251

                   Възможните произведения от два множителя са :                                                                         

                               1.2008 , 2.1004 , 2.2.502 , 8.251

                                  Нека  ab (cb a+1) = 23  .251.

             -Ако  първият множител в лявата страна на ребуса  е от вида 251k, и  251 е просто число , тогава следва, че a = 251 и b =1, при което лявата страна  става по-голяма от 2008 .

-        При ab =23 получаваме 23.(c3.2 +1) = 2008 ,   a =2 , b =3 , c= 5

-         При  ab=22   или  2  не получаваме  решение       

                                  Нека  ab (cb a+1) = 1.2008

-        Получаваме 1.(c .1+1) = 2008 ,  c = 2007 .Решението  a =1, b =1, c = 2007

                        Нека  ab(cb a+1) = 2.1004

-        При 2008 = 2.1004 от 2 (c.2 +1) = 2008 не се получава решение .

                        Нека  a b(cb a+1) = 2.2.502 

-        Възможните случаи са :  22(c2.2 +1) = 2008 или 41(c1.4 +1) = 2008 , от                                            които също не се получава решение .

           Отговор : ( a = 2 , b = 3 , c = 5 ) и  ( a =1, b =1, c = 2007 ).

 

Задача. Имам шест цифрена парола  на моята електронна поща.Намерете  моята  парола , ако отговаря на  условията:                    

(1)Четена отляво надясно и от дясно наляво е една и съща

(2)Номерът е число което се дели на 9

(3) Ако задраскам първата и последната цифра ,ще получа четири цифрено число което е степен на числото  11.

                                                      Решение 

Ако   моята  парола  е   записана   с   цифрите  a , b  и  c  то ,от  условие (1) тя ще    има  вида      abccba

Разгледам  условие (3)  при което числото   bccb  е  степен  на 11 .                                                                           Числата  които са степен на 11    са   11,  11.11 ,  11.11.11 ,........

Търсеното число  е  четирицифрено   и   се записва  симетрично .

От  всички числа които са степен на числото 11 , само  11.11.11 =1331 отговаря  на условията на задачата .

Така  намерих   четирите   цифри   на паролата си .

         Разгледам  условието :  номерът е число ,което се дели на 9 .Знаем,че  за да се дели                                                            дадено число  на   9 , то сборът от цифрите му  трябва да  се дели  на  9

                                              Сборът  на известните цифри  е  1+3+3+1= 8

        Остава да проверя кога числото   2.a +8 се дели  на  9  ,като   a  е число         измежду числата :  0,1,2,3,4,5,6,7,8   и   9

                                   Само при   a=5  числото 18 се дели на 9

                                                     Отговор   5133 15

 

Задача Естествените числа n и k (k>0)са такива,че сборът от цифрите на числото  nk  е  равен на 9 ,а произведението от цифрите му е 24.Да се намерят n и k ?

                            (Зимни математически празници)

                                             Решение

От това,че 24=1.2.3.4 ,следва,че числото  nk   няма  цифра 0   

Ако nk   е съставено от две цифри,то възможностите са  6 и 4 или 8 и 3

,като и в двата случая  сбора от цифрите е различен от 9

Ако nk  е  съставено от  три цифри , то възможностите са 2, 3  и  4 и 1,3 и 8  и  1,4  и 6 

Само   при  2,3 и 4   сборът  от  цифрите  е  9

Получаваме точно 6  числа – 234,243,342,324,423,432

               От тях  числата  324=2.2.3.3 = 362    n=36, k=2  

                                      и  243=3.3.3.3.3= 35 , n=3 ,  k=5                                                                                                                  Ако nk  е  съставено от  четири  цифри , то те са 1,1,8 и 3 или 1,1,4,6        

                             1,2,3,4 или   2,6,2,1или 2,3,2,2

            Само при 2,3,2,2  сумата от цифрите е 9 . Числата са  3222,2322,2232,2223 , като                                                                                           нито едно не   е  степен  от  вида    nk

                     Ако nk  е  съставено от  повече от четири цифри,то тяхната сума е по-                                                                                 голяма от 9 . Единствените решения  са  n=36, k=2   и  n=3 ,  k=5   

                  СТЕПЕНИ .ПЕРИОДИЧНОСТ НА ОСТАТЪЦИТЕ ПРИ ДЕЛЕНИЕ С 10  .ЗАДАЧИ ЗА 6 И 7 КЛАС        

 

                                         Ще проследим периодичността  на остатъците при деление с 10 .

Последната  цифра  на  степен със степенен  показател  естествено число  зависи от последната цифра  на основата.

             например :последната  цифра    на      7 100    и  367100    е  една и съща  . Затова ще проследяваме   изменението при степенуване само на последната цифра на основата на дадената  степен 

                                              Остатъците при деление с  10 са :  0,1,2,3,4, 5,6,7,8, и 9                               

                                                                     

       (1)  Ако  числата   ,които степенуваме   завършват  на  0,1,5 и 6

            то  и всяка  от   степените  завършва съответно на     0,1,5 и 6 

        Тогава и остатъците при деление на дадените степени с 10  не се променят           

                                                  Пример :106 ,523 ,1613  ,111114 

      (2 ) Ако   числата ,които степенуваме   завършват на  4  или   9

                                      Първи случай – завършват на 4

-Ако степенният показател е  четно число ,степента  завършва на 6

Пример 46 =4.4.4.4.4.4 ,  завършва на 6.

-Ако степенният показател е  нечетно число ,степента  завършва на 4

Пример :  4111  завършва на 4,защото 110=55.2 и 4110 завършва на 6,                                                                           тогава 4111  завършва  на 4

 Забелязваме следната периодичност на последната цифра на  степента  4n

Ако n=2k , то  42k  завършва на 6

                      Ако   n=2k +1, то  42k+1 завършва на 4            

                                      Втори   случай – завършват на  9 

                             Забелязваме следната периодичност  на последната цифра на   степента  9n

Ако n=2k , то  92k завършва на 1

                      Ако   n=2k +1, то  92k+1 завършва на 9             

   Пример: 11139246  дава остатък  1 при деление  с 10,защото 246 =123.2  а,                                                       произведението на 123  множителя   от  вида 9.9  винаги завършва на 1 

   Пример: 557947  завършва  на 9 ,защото 47 =23.2 +1 и 946 завършва на 1,  следователно   947   завършва на 9

    Пример: Докажете,че  сборът  5947+   968  се дели на 10

Числото  5947 е с нечетен показател и завършва на 9,а числото  968 е с четен показател и                                      завършва на 1 .  Следователно сборът  5947+   968  завършва на 0 и се дели на 10.

                         

                                          (3)Ако    числата ,които степенуваме   завършват на  3   

За да определим периодичността  на последната цифра при степенуване на число завършващо на 3 , попълваме следната таблица .

Степен -3n

31

32

33

34

35

36

37

38

39

310

311

312

313

Степенен показател

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Последна цифра

3

9

7

1

3

9

7

1

3

9

7

1

3

От  таблицата забелязваме,че последната цифра  се повтаря през 4 ,така, е   периодичноста  на  повторение на последната  цифра  зависи от остатъка ,който дава   степенният показател при деление с 4  .                            

Остатъците при деление   с 10 са:3, 9,7 и 1 

 Обикновено в задачи  с общи съображения се определя последната цифра .Най-лесно се работи  като се използва че  , 3.3.3.3  завършва на  1 

  Пример :Числото 315 завършва на  7 ,защото  15=3.4+3 

                                                   Пример :   314 + 310 +  39  завършва на  9+9+3 ,така е на  1

(4) Ако   числата ,които степенуваме   завършват на  7,така е ,степента е 7n              

Ако наненем данните в таблица   ще получим че, отново последната цифра се повтаря през 4 и  остатъка от деление с  10  е :1,7,9 и 3 :   

                               Обикновено в задачи  с общи съображения се определя последната цифра .                                  Най-лесно се пресмята,  като се използва че  , 7.7.7.7   завършва на  1  .

                                Пример :     1274003 -  завършва на 3  ,защото  7.7.7.7 завършва на 1 , и    

                                4000 =4.1000 и 74000 ще  завършва на 1 ,а   74003  на  3

                      (5 ) Ако   числата ,които степенуваме   завършват на  2

Ако нанесем данните в таблица   ще получим че,  последната цифра се повтаря през 4  и периодичността на последната цифра е 6,2,4 и 8 .   

                          Обикновено в задачи  с общи съображения се определя последната цифра .                                                                  

                      Най-лесно се пресмята,  като се  използва че  , 2.2.2.2   завършва на  6  .

                           Пример :Намерете остатъкът от деление с 10 на числото  2700  

                          От това,че  700=4.175 ,то 2700   завършва на  6 и остатъкът от деление с 10 е 6

                          Пример: Намерете  последната цифра на числото   219 + 259+  216   

                                  Степените  завършват съответно   на  8+8+6 ,така е на  2.                                                

                                      (6 ) Ако     числата ,които степенуваме   завършват на  8 .

 Ако наненем данните в таблица   ще получим че, отново последната цифра се повтаря през 4 и остатъците при деление с 10  са :6,8,4 и 2 .

     Обикновено в задачи  с общи съображения се определя последната цифра на дадената степен .      

                               Най-лесно се пресмята  ,  като се  използва че ,  8.8.8.8 завършва на  6  .

                                      Пример :Докажете,че   5/   820 + 855   + 912  +372

                                                                                      Решение   

820  завършва на  6 ,защото  20=4.5

855 завършва на  2 ,защото 55=4.13+3

912  завършва на  1

372   завършва на  1

Тогава  даденото  число    завършва на 0 , и се дели на 5

                                                                 ЗАДАЧИ    6 И 7 КЛАС

                     

Задача  Коя е последната цифра на числото   367100                                                                                                  

                                     Решение

1)   Последната цифра е остатъкът от делението  на       367100          с 10

2)   последната  цифра    на      7100     и  367100      е  една и съща  .

3)   От това,че  7.7.7.7=74  завършва на 1 ,произведението от 4.25 =100 седмици също ще завършва на 1.                                                                                                                                                                                    Тогава числото  367100   ще завършва на 1  

 

Задача  Докажете ,че    разликата   130672002  - 118   се дели на 2

                                    Решение

Отново  търсим последната цифра  на  72002  .От това,че 2002=4.500+2 правим извода,че  72002                         завършва  на  9                                                                      

Произведението 118  завършва на  1 ,тогава даденото число  завършва на 8 и се дели на 2

 

Задача 4. Последната цифра на числото  20082008   е:

                                              Решение

 20082008 = 20088.251  

  От това,че 8.8.8.8 завършва на 6 и 2008 =2.4.251, 

следва,че   последната цифра на  даденото число   завършва на 6 .


Задача Да се намери остатъкът, който се получава при делението на (20112  2013)2011    на 9.

А) 0 B) 1 C) 2 D) 7

(Математически турнир „Иван Салабашев“)

Тъйк ато сумата от цифрите на числото 201122013= 4042108 е 19 = 2.9+1,

остатъкът при делението на това число на 9 е равен на 1.

Тогава и след повдигането на 2011-та

степен остатъкът при деление на 9 ще е 1.

Отговор: B).


                       ЗАДАЧИ  ЗА  САМОСТОЯТЕЛНА  РАБОТА

Задача  Коя е последната цифра на числото   1364100

                            

Задача Остатъкът от делението  на   числото 32003   с 10 е  е:

                                      А) 2; Б) 9; В) 7; Г) 3; Д) 1.

                           (Математически турнир“Иван Салабашев“)

 

Задача .Последната цифра на числото 32007 – 22006 е:

А) 2           B) 3              C) 1                   D)  4             E) 6

                      (Математическо състезание „Стоян Заимов“)

 

Задача .На каква цифра  завършва:

a) 316   + 24 7  -  133

b) 3400  - 623

 

Задача   Най- малкият прост делител на числото  77+55   e:

                         a) 5      b) 0        c)2        d )друг отговор  

 

Задача   Докажете,че числото  2364   + 275  + 28 5  -  4419  се дели на 2,5 и на 10

 

Задача  Цифрата на единиците на израза 20082011 – 2011 е:?

                                           a) 2     b) 0        c)3        d )друг отговор  

 

Задача . Определете последната цифра на израза   20112011 +20122012 +20132013 .

                                  (Математическо състезание „Стоян Заимов“)

                                a) 5      b) 0        c)3        d )друг отговор

 

 

Задача  Кои  са простите   числа   m ,n и  p  за ,които    mnp=539

 

 

                                     ЗАДАЧИ  СЪС  СТЕПЕНИ  В   КОИТО   , НАМИРАМЕ   ОСТАТЪЦИТЕ ПРИ 

 ДЕЛЕНИЕ  НА  СТЕПЕН     С   ПРОИЗВОЛНО   ЕСТЕСТВЕНО  ЧИСЛО.

ОСНОВНИ  СВОЙСТВА: 

 1)  Ако остатъците   при деление на  целите числа   a и с  числото  са

 съответно    r1 и r2,то  остатъкът от деление на  произведението  a . b                       

 с  е   остатъкът от делението на   произведението  r1 . r с  m :                                                                                                      

 Свойството следва от  равенствата :a = m.q +  r1  и  b = m.t + r2,   ,където  q и t  са съответните частни от делението на числата  и   с m   Тогава  a . b = (m.t + r2 ) ( m.q +  r1 ) = m.m.t. q+ m.t .r1   + r2 . m.q +r1 r2 

                                                       a . b =m.(m.t. q+ t .  r1  +  r2 .q) + r1 r2   

                                      Следователно  остатъкът  от деление на     a  . b   с   m    е               

                                           остатъкът от делението на     r1. r 2     c   m 

                              Пример :Остатъкът  от деление на  9 със 7 е 2

                                             Остатъкът  от деление на  11 със 7 е 4

    Твърдим,че остатъкът от деление на 99 със 7 е остатъка от деление на  2.4=8 със 7 ,така е   1

                                              Проверка: 99 =7.14 +1

2)   Ако   m/a-1     то,     m/ak - 1  ,където  е  произволно естествено число 



Задача   Остатъка от деление на   2999  с  числото  7 е :

                               a) 5      b) 1         c)3        d )друг отговор

                                                   Решение 

                              От това,че  7/23 -1 ,следва ,че

                7/23.333 -1  ,тогава   остатъкът  от  деление на  7 с 23.333  е 1

                                                             Отговор: b)


Задача   Намерете  остатъка от деление на  776776  с  числото  3 .

                                                      Решение

Числото  776 има сбор от цифрите  20 и следователно има остатък  2 при деление с  3

Следователно   остатъкът от деление на  7762   със  3  е  2.2 =4 ,така е 1

                      Тогава    7762.388   има остатък  1 при  деление с 3  


Задача Докажете,че числото 716  - 1 се дели на  6,15 и 48  за  всяко n

                                                      Решение

(1) От това,че  6/7  - 1   то , 6/716  - 1 (извод    3 и 2  делят 716  - 1)

(2) Числото  716  - завършва  на 0,защото  7.7.7.7 завършва на 1, тогава  и  716 завършва на 1 .

 Следователно даденото  число се дели на 5 . От това,че  (3,5)=1  ,то  15/716 -1                                                                  (3)  От това,че  16/72  - то , 16 /716  - 1  .                                                                                                                          Числото 48=2.2.2.2.3  ,като (16,3)=1 ,тогава 48/ 716  - 1

 

Задача Намерете  остатъка от деление на 31587 с  числото  4 .От това,че  4/32 -1 ,то                                                   4/32.793 -1,така е числото 31586   има остатък 1 при деление с 4

От това,че 4/3-3  ,то произведението  3.31586  има остатък  1.3 ,така е  3 при деление с 4 .        

 

Задача Намерете остатъка от делението  на   2101  -  8    с   5

                24 -1  се дели на 5 ,тогава и 24.25 -1 се дели на 5

  От това,че 5/5-5  ,то остатъка от делението на   2.24.25  с 5  е  произведението от остатъците 1.2 =2                  

От това,че  2101    има остатък  2 при деление с 2 ,а остатъкът на 8 при деление с 5 е 3 ,                                                       то остатъкът  на  2101  -  8  с 5 е 2-3 = -1 ,така е 4 


Задача   Докажете,че числото 776776 +777777 +778778    не се дели на  3

Решение

1)От  предходната задача  показахме,че    776776   има остатък  1 при деление с 3

2)Търсим остатъка  на  777777   с  числото  3 .Числото  777 има сбор от цифрите 21  ,тогава   ,то се дели на 3 ,тогава  остатъкът на  777777  е  нула при деление с 3

3)Числото  778  има  сбор  от  цифрите  22 ,следователно  остатъкът от деление на  778  с 3 е   единица

     Тогава и  остатъкът от деление на 778778   е единица  при деление с 3

Тогава  даденото  число     има съответно остатъци 1+0+1=2 .                                                                  

 

Задача Докажете,че числото 25n + 23 се дели на  24  за  всяко n

                                                       Решение

От това,че  24 / 25-1 ,следва,че   24 / 25n -1 

От друга страна 24/24

От свойствата на сбор и разлика следва,че 24 / 25n -1  +24 ,така е

                                              24 / 25n   +23


Задача Съществуват ли цели положителни числа  y , за които 8 дели 3y +1

                                                 Решение

                                   Известно е,че   8/32 -1

Нека числото  y =2k , тогава  8/32k -1  и остатъкът при деление  с 8  е 1.Тогава остатъкът от                                деление на    3y +1 с  8  е 1+1=2   Следователно  8  не е делител на  3y +1

Нека    y = 2k+1   , тогава ,от това,че  8/32k -1  и 8/3 -3  ,то  следва,че остатъкът  от делението на                           3.32k е точно произведението от отстатъците  1.3 =3 ,тогава  3y +1 при деление с 8                                                      има остатък  3+1 =4 

                    Следователно ,  не съществуват цели положителни числа y ,за които  8 да е                                                                                                              делител  на   3y +1                


Задача Намерете остатъка от деленето:  35101  със  12 


Задача Намерете остатъка от делението  на  6202 със 11

                                               Решение

 От това,че   6202 =2202 .3202   ще търсим остатъците  от двата множителя 

 (1)От това,че  11/ 25      +1 =  25     -(-1)  ,то  11/  25.40   -1 ,така  е остатъкът е  1 при деление с 11                         но 11/22-22 .Тогава остатъкът от делението  на                                 

                                       22 .2200     е  1.4 ,така е  4

 (2)    От това,че  11/ 35      - 1 ,следва,че      11/ 35.40     - 1   ,но 11/ 32-32 ,,тогава остатъкът от делението на        32  .3200  с  11  е   1.9 = 9                                                              

От (1) и(2) следва,че  остатъкът  от  делението на  6202  с 11  има остатък  4.9=36  , така е   3

 

                                               ЗАДАЧИ  ЗА  САМОСТОЯТЕЛНА  РАБОТА

Задача Да се намери последната цифра на числото A = 9999 + 1.

 

 Задача   Намерете  остатъка от деление на  15719 с  числото  3 .

                               a) 2     b) 1       c)3        d )друг отговор

                                                        Отговор b)


Задача Намерете  остатъка от деление на  3888  +9  с  числото  4 .

                                 a) 2     b) 1       c)3        d )друг отговор

                                                        Отговор a)


Задача Докажете,че числото 133892  - 1 се дели на  12 и 21 

                                                     


Задача Докажете,че числото 23n  - 1 се дели на  7  за  всяко n


Задача Намерете остатъка от деленето:  35101  със  12  

                                    a) 0    b) 11       c)3        d )друг отговор

                                                         Отговор b)


Задача   Докажете,че числото  22222222 +44444444 +88888888     се дели на  3

 


За повече знания за състезания  от    делимост  на числата  -последвай връзката по-долу 

 МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ "БАБА ТОНКА" ,РУСЕ , тема:Сравнения

                                               ВТОРА ЧАСТ  -ЗАДАЧИ     ЗА   7   КЛАС

     ПРИЛОЖЕНИЕ НА ФОРМУЛИТЕ ЗА СЪКРАТЕНО УМНОЖЕНИЕ.  ДЕЛИМОСТ НА  ИЗРАЗИ .ЗАДАЧИ ЗА 7 КЛАС

 

Задача Естествените числа a и b са такива, че числото  c =a2 b + a b2 +a+ b a b е просто.   Колко различни стойности може да приема числото с ?

                                 (Коледно математическо състезание )

                                                         Решение 

                                            Разлагаме на множители

                c =a b(  a+b)  + (a+ b )-(a b + 1)  =(  a+b)(a b + 1)  -(a b + 1) =

                                                 (a b + 1) (  a+b-1)

                Тогава  c = (a b + 1) (  a+b-1) е просто  число ,когато  най-малкото число    a+b-1=1,а                                по голямото  число  a b + е просто

Тагава    a+b=2 ,което е възможно  само,ако a=1  и  b=1  и  c =2 е просто число .

 

Задача  Числото  A=   58 – 56+ 55  не се дели на :

                              a) 11     b) 5        c)25        d )15

                (Математическо състезание „Свети Георги Победоносец“) 

                                               Решение

58 – 56+ 55  =55  (53– 5+ 1)= 55 .121

Тогава  числото  A не се дели на 15

 

Задача    Докажете,че   изразът    20012 – 20042   се дели на  5

                                                    Решение

От формулите за съкратено умножение   20012 – 20042   =(2001 – 2004 )(2001 + 2004 )=                                                                                (2001 – 2004 ).4005  и  се дели на 5.

 

Задача . Сумата от квадратите на три последователни естествени числа никога не е кратна на:

 a) 2       b) 3       c) 5    d) друг отговор

                                    Решение

Сбора на три последователни числа е    x2  +(x +1)2   +(x+2)2  = 3x2  +6x  +5

Ако  3/3x2  +6x  +5  , то  следва,че  3 е делител на 5.Следователно  сборът не се дели  на 3.

 

Задача Докажете ,че  за всяко  естествено число   n,числото                                                 

                            A=  n4 + 4n2  +4  е съставно

                                       Решение

Числото  A=  n4 + 4n2  +4 = (n2 +2)2   и   n2 +2>2 .Следователно за всяко n, числото  A  е съставно .

 

Задача  Да се докаже,че  числото  A=   340 – 220   се дели на  5

                                                   Решение

                    340 – 220  =8110 – 410=( 815 – 45  )(815 + 45)

От това,че множителят   815 + 45   завършва на 5  ,то   числото  A  се дели на 5

 

Задача Цифрата на десетиците на числото 74 е равна на:

                                 А) 0   B) 1 C) 2 D) друг отговор

                 (Математически турнир „Иван Салабашев)

 Имаме, че 741 = (721)(72+1) = 48.50 се дели на 100. Следователно  цифрата на десетиците на                  даденото число е 0.

                                                Отговор: A.

 

Задача Числото  77772222 +22227777  се дели  на 9:

                        a) 9      b) 10       c)7        d )друг отговор

  Решение

1)  От  това,че  9 / 77772 -1=7776. 7778 , то следва ,че   9 / 77772.1111 -1 ,тогава остатъкът при                   деление на 9 с  77772222  е 1

 2)  Числото  22222 -1 =2221.2223  се  дели  на  9

  Тогава  9 / 22222.3888 -1  и  числото  22227776   дава остатък  1 при деление с 9

    Числото  2222  има сбор от цифрите си  8 ,и остатък  8 при деление  с 9  .                                                              Тогава  числото  22227777  , ще има остатък  1.8=8   при деление с 9

3) Тогава   числото   77772222 +22227777    има остатък  1+8=9  при деление  с 9 ,следователно се дели на  9.

 

Задача .Да се докаже,че за всяко цяло число n>1 изразът :

a)   A  = n3  n се дели на  3

b)   B  =   n5  n   се  дели на  5

                                    Решение  на b)

B  = n5 – n  =n(n4– 1)=n(n2 – 1)(n2 +1)  =n(n – 1)(n +1)(n2 +1)

 Ако   n=5k ,то първият множител  n се дели на 5

 Ако   n=5k+1  ,то вторият множител   n – 1= 5k се дели на 5

 Ако   n=5k+2 , то множителят  (n2 +1)=25k2 + 20k  +4+1 се дели на 5                

 Ако   n=5k+3 ,отново множителят  (n2 +1)=25k2 + 30k  +9+1 се дели на 5

  Ако   n=5k+4 , множителят    n +1=5k+4 +1 =5k+5  се дели на 5

     Следователно  изразът  B  се дели на  5  за всяка цяла стойност на n

 

Задача .Да се докаже,че за всяко цяло число n>1 изразът :

a)   A  = n7  n се дели на  7

b)   B  =   n11  n   се  дели на  11

 

Задача Да се намери броят на наредените двойки (x; y) от цели числа, за които x2+y2+x+y = xy  

                    (Математическо състезание „Иван Салабашев“)

                                                         Решение

 След умножение на даденото равенство по 2 и добавяне на 2 от двете страни, то  може да се                         запише във вида   (xy)2 +(x+1)2 +(y +1)2 = 2. От последното следва, че един от

квадратите отляво е равен на 0, а другите два – на 1.                                                                

                                  Ако x y = 0, то (x + 1)2 = (y + 1)2 = 1

Тогава  x = y, откъдето намираме две от исканите двойки(0,0) и (-2,-2)                                                               

                                 Ако x + 1 = 0, то x = 1 и (y + 1)2 = 1,откъдето намираме още две  решения.                                                                                           

                                 Ако  y + 1 = 0 получаваме още две решения  и следователно търсеният брой е 6.

                                                                       Отговор: 6)

 

Задача Да се докаже,че  числото  A=   x8  y8   се дели на  на  x y

                                            Решение

x8  y8 =(x4  y4  )(x4 + y4)=(x2  y2  )(x2 + y2) (x4 + y4)=

(x + y) (x y )(x2 + y2) (x4 + y4)

 

Задача  Докажете,че  ако  n  цяло  число,  изразът   n3+ 3n2+ 2n   е  кратен  на   6  .                                 

                                                             Решение

                     Разлагаме на прости множители  

 n3 + 3n2 + 2n =n ( n2+ 3n+ 2)  =  n ( n + 2) ( n + 1)  

От ,това че даденият израз  е произведение от три последователни числа ,следва че се дели на 6 .

 

Задача Да се докаже ,че сумата от  кубовете на три последователни цели  числа  се дели на 3 .  

                                                 Доказателство

В много задачи е удобно   последователните числа  да представим във вида :

n-1 ,n и n  +1

Тогава  сборът им S=(n-1)3+ n3 +  (n  +1) 3=3n(n2 +2),откъдето 3/S

 

Задача Докажете,че числото  A= n5 + 5n4+5n3 -  5n2  -6n се дели на 120

Упътване .Представете числото  A , като произведение от 6 последователни числа.

 

Задача Докажете,че за всяко нечетно  цяло число n ,числото

 A= n2 (n2 +14) +49 се дели на  64

                                               Решение

                    Нека   n=2k+1                                                                                       

  A= n2 (n2 +14) +49 =n4 +14n2 +49=(n2 +7)2

 ={(2k+1 )2 +7)2 =(4k2 +4k+8)2={4.k(k+1)+8}2

 От това,че 8/4.k(k+1) , k(k+1) са две последователни цели числа ,то 64/A

 

 Задача  Намерете  всички   цели   числа  n,за   които числото   

A= n2 : (n-1)  е цяло

                                      Решение

A= (n2 -1+1 ):(n-1)  ,тогава   A=  (n2 -1):(n-1)  + 1 :(n-1)=n +1 +  1 :(n-1)

Тогава  A= n2: (n-1)  е цяло  число,ако  n-1=1 или n-1=-1  ,тогава  n=2 и n=0

 

 Задача  Намерете  всички   цели   числа  n,за   които числото   

A= (n4+9): (n2+1)  е цяло число .

                                      Решение

n4+9 =n4-1+10=(n2+1)( n2- 1)+10

A= (n2+1)( n2- 1):(n2+1 +10:( n2+1)= n2- 1+ 10:(n2+1)

За да е цяло числото  A, то  числото  n2+1  делител на 10 .

Тогава n2+1=1 или  n2+1=5 или    n2+1=10

откъдето ,  п=0, ±2, ±3,

 

 Задача  Нека x и y са  естествени числа, за които 3x2 + 3xy + 2x y= 56.  Произведението xy  е  равно на :

                                            А) 12  B) 14  C) 16  D) 18

                          (математически турнир“Иван Салабашев“)

                                                     Решение

            Нека x и y изпълняват дадените условия.                                                   

Тогава y = (562x3x2  ): 3x-1= (x + 1) + 55:( 3x-1)

                      и следователно 3x 1 дели 55.

Тогава   3x 1= ±1  3x 1 =±5,     3x 1=   ±11 и   3x 1=±55,

  От това,че , x и  y са естествени  числа ,единствените решения  са:                                        

                              x = 2 или x = 4   и   xy = 16.

                                                 Отговор: С

 

Задача  Намерете  всички   цели   числа  n,за   които :   

a)  n+1 дели  n2 +1  

b)  n+1 дели  n4 +1 

c) 2n-1 дели  4n2 -4n+5 

d) n-3 дели  n3 -3 

                                Решение на  b)

Представяме n4 + 1=(n2-1).(n2+1)+2

Нека  ( n4 + 1):(n+1),  но  (n2-1).(n2 +1):(n+1) 

Тогава 2 е  делител  на  n+1   ,така е  :

n+1=2 или n+1=-2 или n+1=1 или n+1=-1

Съответните стойности за n са :1,-3,0,-2         

 

 Задача За  кои  естествени  числа  n, са прости  числата:

        a )  n2-1

        b)  n2+4n -5

        c)n4+4                                                                                                                        

        d)  4 + n4+4n2

                                         Решение на  b)

След  разлагаме на множители получаваме, задачата :"За кои естествени  числа  n, числото                                         (n-1)( n+5) е  просто число ?" 

От това,че   n-1>n+5 ,то по-малкият множител    n-1= 1  а , другият е  n+5 е просто число .                                          Следователно n=2 и числото   n2+4n -5  =  7   е  просто число .

 

Задача За кои естествени числа p, числото   p и 8p2+1 са едновременно прости .

                                                       Решение

 Простите числа , спрямо остатаъците им при деление на 3 са  :3k , 3k+1, 3k+2                                                        Ако p=3k ,    то   p  е  просто ,ако k=1  .Тогава 8p2+1 =73 е също просто

 Ако p=3k+1 

Тогава    8(3p+1)2+1=3. (24 k2 + 16k+ 3)   и от това,че  8p2+1>3,за всяко k,то числото                                                        3. (24 k2 + 16k+ 3)  e  съставно число.

 Ако p=3k+2   

Тогава    8(3p+2)2+1=3. (24 k2 + 32k+ 11)   и от това,че  8p2+1>3,за всяко k,то числото                                                                       3. (24 k2 + 32k+ 11)  е  съставно .

                      Получихме , единствено решение   p=3 .                                      

 

 Задача   Простите числа p и q са такива, че (p + q +r)(p+q−r) = pq , където r е естествено число.                          Да се  намерят всички възможни стойности на r.

                       (Математически турнир „Иван Салабашев“)

                                   Решение

 Тъй  като p+q+r > p  ,  p+q+r > q , то  p+q+r = pq ,  а  p+q −r = 1.                                                                                                         Като изключим r от тези равенства, получаваме                                                                                                       pq −2p−2q +1=0, откъдето  (p−2)(q−2) = 3.                                                                                               Следователно ,  p = 5, q = 3 или p = 3, q = 5, като и в двата случая  r = 7.                                                   

  

       Задача .Да се намери най-малкото естествено число n, за което квадратите на            

        числата  n  и  n +18  са трицифрени числа, които се записват с едни и същи                   

 цифри, но в   обратен ред.

                                               Решение

                              Нека  числото abc = 100a +10b+ c = n2

                            а ,числото  cba= 100c +10b+ a = (n+18)2

                                   От това,че    (n+18)2    >n2 за  всяко n

                            100c +10b+ a -100a -10b- c =  (n+18)2   -    n2

                                                       99(c-a)=18(2n+18)   и  11.(c-a)=4(n+9)

                                    Следователно  4/c-a  , защото   (11,4)=1

                                       Тогава  c-a  =4  или  c-a =8

Нека   c = a  +4 , тогава  4(n+9) =44   и  n=2  ,но 4 не е  трицифрено число

Нека   c = a  +8 , тогава  4(n+9) =88   и  n=13 , 

                         Проверка : n2 =169  и   31.31 =691 =(n+18)2

 

Задача  Да се намерят всички петорки числа със следното свойство :Квадратът на всяко от тях  е равен на сбора от останалите четири .           

 

Задача  Нека a,b ,c са естествени числа, за които a + b + c = 2012. Да се намери най-голямата  възможна стойност на abc.

                          (Математически турнир“Иван Салабашев)

                                        Решение

 Нека две от числата a,b, c се различават с повече от 1, например a b+2.

Като ги заменим с a1 и b+1 запазваме сумата и увеличаваме произведението на трите числа,

защото (a 1)(b + 1) = ab + a b 1 > ab. Следователно поне две от числата a, b  и  c трябва да са равни и понеже сумата им е 2012 третото число е с 1 по-малко от тях.

                                                    Отговор: 670.6722

 

Задача Естествените числа x, y и z са такива, че

x3= 2009 zx2.y2

Да се намери сумата на всички възможни стойности  на  z . 

                 (Математически турнир“Иван Салабашев)

         Разлагаме на множители  и получаваме   x2 (x zy2)=1.41.49 

                                                        Тогава x2 = 1 или 49.

В първия случай получаваме zy2 = 2008 = 8.251, откъдето   y2 = 1 или 4 и                                                                                                            съответно z =  2008  или   502.

                              При x2 = 49 имаме zy2 = 34, откъдето y = 1 и   z = 34.

                              Следователно търсената сума е 2008 + 502 + 34 = 2544.

 



Задача Докажете ,че ако 3/ a2 + b2, то 3/ a и 3/ b

Доказателство

(1)квадратът на всяко число при деление с три има остатък 0 или 1 защото :

- ако числото е от вида 3k ,остатъкът e нула

-ако числото е от вида 3k ±1 ,то (3k ±1)2=9k2±6k +1 и

остатъкът е 1

(2) Тогава всички комбинации от остатъците за двете числа са :

a2 има остатък 0, 0 , 1 , 1

b2 има остатък 0 , 1 , 0 , 1

Тогава a2 + b2 има остатък 0, 1 или 2

Следователно 3/a2 и 3/ b2 .От това,че 3 е просто число ,следва,че

3/ a и 3/ b

Забележка : От това следва,че 9/a2 + b2 ,


Задача Намерете целите числа a и b ,за които 5/ a2 + b2 ,но 5 не е делител на a и b



   ЧАСТ  ТРЕТА  

РЕШАВАНЕ НА  НЕОПРЕДЕЛЕНИ УРАВНЕНИЯ ЧРЕЗ  СВОЙСТВАТА НА ПОНЯТИЕТО  ДЕЛИМОСТ  НА ЧИСЛАТА  .ЗАДАЧИ ЗА УЧЕНИЦИ ОТ 7 КЛАС 

 


   ЧАСТ  ЧЕТВЪРТА

    ИЗБРАНИ   ЗАДАЧИ  от   СЪСТЕЗАНИЯ  и ТУРНИРИ   ЗА   7  КЛАС   

 

Задача Кое е най-малкото естествено число, което може да се представи като сума на 9, 10  и 11  последователни естествени числа?

                 (Математически турнир“Иван Салабашев)

Нека a; b; c са първите числа в съответните редици.

Tогава n = a+(a+1)+.... +(a+8) = 9a+36 = 10b+45 = 11c+55:

  От  равенството 10b+45 = 11c+55=>следва, че b се дели на 9 и  b1 се дели на 11.

Най-малкото b с  това свойство е  b = 45 и търсеното n е n = 10.45+45 = 495.

                                          Отговор: 495.

 

Задача. Растящата редица 2,3,5,6,7,10, 11..............се състои от естествените числа, които не са точни  квадрати и кубове. Да се намери 500-ят член на тази редица.

                              (Математически турнир „Иван Салабашев“)

 Първият квадрат по-голям от 500 е   23 .23 = 529 и има 23 точни квадрата и 8 куба , по-малки от 529.

Но 1 и 2 на 6 степен  са едновременно точен квадрат и куб, така е  има точно 529 23 8 + 2 = 500 числа в дадената редица, които са по-малки от 529.

Следователното търсеното число е 528.

                                            Отговор: 528.

 

Задача  Намерете  всички   естествени  числа  a  и  b  , за които                                                             

                                           b/2a  +  1  и  a/1  +  2b

                                                          Решение  

    От това,че   a/1  +  2b     а,   b/1  +  2a , то числото ab/(1  +  2b)( 1  +  2a)  

Тогава  и числото  (2b   +  2a +1) : ba  e  естествено число и  b.a  е нечетен   делител  2b   +  2a +1

 Нека    a>5  и   b>7 ,тогава  ще докажем ,че  b.a  > 2b   +  2a +1                            

             от a>5  , то   2:a  < 2:5 

            от  b>7 ,     то   2:b  <  2:7    

                             то  1:ba  < 1:35

Тогава   2: + 2:b +1: ba   2:5+2:7 +1:35 < 1

Доказахме,че   ba  не е делител  на  (2b   +  2a +1)  за  a>5  и b>7 ,

                      Тогава  разглеждаме   случаите ,ако  a и  са 1,3 ,5 или 7                                                    

  Получаваме две решение 

a =b =1    или   a =3  , b=7 (или обратно)


Задача  Дадени са   3  последователни естествени числа, по-големи  от 4.

Най-малкото от тях се дели на 3, следващото на 4, третото на 5

Кое може да бъде най-малкото от тези числа?

                                                                   


Задача  Ани   дели   едно число на 6 и получава остатък 3. Боби дели същото число на 8 и получава остатък 5. Вики дели това число на 24. Какъв остатък ще  получи тя?

                                                  А) 3;   B) 9;   C) 15;    D) 21;    E) 23

                                                        Решение

                                                  Нека това число е x.

Тогава         6/x-3 тогава    24/4x-12

Тогава        8 / x-5 тогава   24/3x-15

         24 ще дели и тяхният сбор  24/7x-27,тогава  24  / x - 3

Следователно остатъкът от деление е 3     


Задача  При деление   с   36   получавам  остатък   21 , ако разделя  същото число на     24   получавам  остатък  6 .Какъв остатък ще получа при деление на това  число   с  72 ?

                                    А) 36;   B) 49;   C) 48;    D) друг  отговор

                                                  Отговор: C)


Ако към естественото  число  A прибавим 5, ще се получи число, което се дели на 6; ако прибавим 6, то новополученото число ще се дели на 7, ако прибавим 7, то новополученото число  ще се дели на 8. Кое е най-голямото трицифрено число с това свойство ?

                          а) 840   b) 839    c)      d) друг отговор

                                                Отговор: b)

 

Задача За домашно учителката даде следната задача: „Да се намери произведението от числата със запис  a,ab, bb

, ако то  е  четирицифрено число  и  точно два от трите множителя са прости.“ Няколко деца намериха по една стойност на произведението и се оказа, че всяко от получените числа е различно. Колко най-много са децата?

                      (Математически турнир“Кирил Попов“)

                                                 Решение

Броят на различните произведения  a.ab. bb е точно броят на децата .

Ако b е четна цифра или 5, то няма да имаме  две прости числа от трите.

Следователно възможностите за b са да е 1, 3, 7 или 9.

Нека b = 1, тогава получаваме решение при a = 4, a = 5 и a = 6, а именно 1804, 2805 и 4026.

Нека b = 3, тогава получаваме решение при a = 2 а = 5, a именно 1518, 8745.

Нека b = 7, тогава получаваме решение при a = 3, а именно 8547.

Нека b = 9, тогава получаваме решение при a = 2, а именно 5742.

Следователно децата са най-много 7 на брой.

 

Задача  Цифрите a и b са такива, че    (9b+8a)/9  = (a2b b2a)/8

Да се намери a + b.

                                         А) 10   B) 9   C) 8    D) 11

                               (Математически турнир“Иван Салабашев“)

 От условието получаваме 8(9b+8a) = 9ab(ab).                                                                                                                    Оттук следва, че a се дели на 9

и значи a = 9 и 8(b+8) = 9b(9b).                                                                                                                                                     От последното следва, че b+8 се дели на 9,                                                                                                           откъдето b = 1  и a + b = 10.

                                               Отговор: А)

 

 Задача На дъската са записани последователно числата 1, 2, 3,....2012, след което точните квадрати и точните кубове са изтрити. На кое място в списъка е 2012 след това изтриване?

                              А) 1956  B) 1958  C) 1959  D) 1960

                    (Математически турнир“Иван Салабашев“)

Тъй като 442 < 2012 < 452, изтритите точни квадрати са 44 на брой. Аналогично

от 123 < 212 < 133 следва, че са изтрити 12 точни куба.                                                                                                      В това преброяване по два пъти са  отчетени точните 6-ти степени, които поради                            

 363 < 2012 < 463 са 3 на брой. Следователно 2012  стои на 2012 44 12 + 3 = 1959 позиция.

 

 Задача Колко са трицифрените числа, които дават остатък 11 при деление на 13?

                                         А) 70  B) 69  C) 71  D) 80

 Разглежданите числа са 102 = 7.13 + 11, 115 = 8.13 + 11, . . . , 999 = 76.13 + 11 и се преброяват лесно по множителя пред 13.  Следователно търсеният брой е 76 7 + 1 = 70.

                                                         Отговор: А.

 

Задача Колко четни числа между 4000 и 7000 имат четири различни цифри?

                                   Решение

Цифрата на хилядите е 4,5 или 6. Ако е 4 или 6, то има 4 възможности за  цифрата на единиците и следователно 8-за стотиците и 7 за десетиците, така е, общо 2.4.8.7 = 448.

Aко цифрата на хилядите е 5, то има 5 възможности за цифрата на единиците, 8-за стотиците  и 7 за десетиците, така е  общо 1.5.8.7 = 280.            

                              Търсеният брой е 448 + 280 = 728.

                                                  Отговор: 728.

 

Задача Иван, Деси и Илиана притежават монети, издадени от министър Дянков. Известно, е че  монетите са три вида и всеки от тримата има поне по една монета от всеки вид. Иван има 4  монети, Деси има 5 монети, а Илиана има 3 монети. Всеки вид монети има различна левова равностойност, която е естествено число, като левовите равностойности на монетите на Иван и

Деси са съответно 32 и 21 лв. Да се намери левовата равностойност на монетите на Илиана.

                             (Математически турнир"Иван Салабашев")

                                     Решение

 Нека левовите равностойности на трите вида монети са естествените числа a, b и c. Тогава от условието за Иван следва, че 2a + b + c = 32. За Деси имаме a + 2b + 2c = 21 или 2a+b+3c = 21

Ако е първото, получаваме 3(a+b+c) = 53, което е невъзможно от съображения

за делимост на 3.

Следователно 2a + b + c = 32 и a + b + 3c = 21, откъдето a = 11 + 2c.                       

При c 2 получаваме  a 15 и равенството 2a+b+c = 32 е невъзможно.                 

Ако c = 1, получаваме a = 13 и b = 5. Тогава

левовата равностойност на монетите на  Илиана  е   a + b + c = 13 + 5 + 1 = 19 лева

                                                Отговор: 19.

 

Задача Числата a, b, c и d са такива, че abc = 4, bcd = 8, cda = 16 и dab = 64. Да се намери

2(a + b + c + d).

                                        (Математически турнир"Иван Салабашев")

 Умножаваме почленно дадените равенства и получаваме (abcd)3 = 22.23.24.26 =215.

Следователно abcd = 32 

От   abc .bcd = 32  и abcd = 32   ,следва,че bc=1 ,тогава  a  = 4

От   cda . dab = 64.16  и  abcd = 32 ,следва,че ad =32 =>d =8

Тогава от cda = 16 ,следва,че  c=1/2   и  от  bcd = 8, следва,че b=2

                                           Тогава   2(a + b + c + d)=29

 

Задача Броят на двойките цели числа (a, b), за които  a(a+b) = 2009, е:

                                    А) 12;     B) 14;           C) 6;          D) 8.

 От условието следва, че a е делител на 2009. Ако този делител е фиксиран,  определяме b = 2009  a − a еднозначно.                                                                

Обратно, за всеки  делител имаме такова равенство.

Следователно търсеният брой е равен на броя на делителите на 2009, които са:

 ±1, ±7, ±49, ±41, ±287,±2009, така е  на 12.

                                                Отговор: А

 

Задача  В  числото a=501x73y цифрите x и са такива,че a се дели на 5 и на 9  и дава остатък 2 при деление на 4.Да се намери x?

 

Задача Да се намери броят на четните трицифрени естествени числа, които не се делят на 11.

А) 409 Б) 408 В) 400 Г) 410

                                      (Математически турнир"Иван Салабашев")

. Броят на четните трицифрени числа е 900 : 2 = 450. От тях на 11 се делят

числата 110,132,154,...,990, общо 41 на брой. Следователно търсеният брой е 450−41 = 409

 

Задача По колко начина числото 420 се представя като произведение на три естествени числа, по- големи от 1, всеки две от които са взаимно прости (редът на множителите няма значение)?

                                              А) 13; B) 8; C) 4; D) 6.

                                  (Математически турнир“Иван Салабашев“)

 

Задача  Какъв остатък дава число при деление на 60,ако при делението на това число с 6 се получава  остатък 4, при деление с 10 - остатък 8 и при  деление с 12 - остатък 10?

                                                А) 4; Б) 8; В) 12; Г) 20; Д) 58.

                                        (Математически турнир“Иван Салабашев“)

   Ако прибавим 2 към числото, то ще се дели на 6, 10 и 12. Следователно числото плюс  две се дели на НОК(6; 10; 12) = 60, откъдето следва, че остатъкът при     деление с 60 е 60 ¡ 2 = 58

                                                         Отговор: Д.                               

 

Задача.Намерете   всички  естествени    числа  a  и  b  , за които да са верни  твърденията     a + 1  се дели на   b  и  a = 8b + 5  е  просто ?

                                             Решение

От    a = 8b + 5  то е  вярно,че   е   a +1 = 8b + 6

но по условие    b /a + 1  ,тогава   b / 8b + 6  ,тогава  b /6

Получихме,че   b е делител на 6 .Всички  цели делители на  6  са:1, 2, 3,  и 6,

 

 Търсим b,  така,  че  a = 8b + 5  да  е  просто.

Ако  b=1 ,  a  е  13

Ако  b=2 ,  a  е  21 ,не е  решение

Ако  b=3 ,  a  е  29

Ако  b=6 ,  a  е  53

 

Задача Броят на естествените числа, по-малки от 1000, които се делят на 4 и имат поне една цифра 4, е:

                                 А) 86;    B) 87;    C) 88;    D) 89.

 Интересуващите ни числа могат да бъдат разделени на три вида:                  

(1) 25 три цифрени числа, които започват с 4 и се делят на 4;                         

(2) 9.3 = 27 числа, които имат втора цифра 4,делят се на 4 и не са от вид (1)

 (3) 9.4 = 36 числа, които имат последна цифра 4 и не са от вид

или (2).                                                                                                                          

 Така получаваме общо 25 + 27 + 36 = 88 числа .

 

                                              
В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg