В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Едночлен.Нормален вид на едночлен .Събиране,изваждане ,умножение и деление на едночлени .Задачи за 6 клас

1.Едночлен .Нормален вид на едночлен.Подобни едночлени .

1.1 Едночлен

Едночлен   е всеки   цял рационален израз  ,който е  произведение от   числа и променливи 

Примери  за едночлени:

3хy;   19x2;    2xy3;     3xy2(23) 4x3;     5,9 xn y n     (nN)

Едночлените  могат  да  са само числа или само променливи   

Примери 0.12 ;   3    ;   −0,5    ;    x ;    y  ;   b2 ;   z n  (nN)

 Целите  изрази  2a+3b;   2x5 ; (2y+3)   НЕ са едночлени,защото ,те не  са  само произведение от числа и  променливи

1.2 Нормален вид на едночлен

Да разгледаме  едночлените :

  • 2xy3  
  • 5x y2(32) y3.4x3


В   едночлена  2xy3  е  записано  едно число и  всяка буква се среща само по веднъж

Всеки едночлен  записан по този начин  казваме,че е записан в  нормален вид

Нормален (стандартен)  вид има  всеки  едночлен  записан   :

  • само с  един числов  множител ,който е  пред другите множители
  • произведението от еднаквите  букви и променливи е  записано като степен


Всеки едночлен може да се приведе   в нормален вид ,като :

  • намерим  произведението  на всички числови множители  и  го  запишем на първо място
  • като умножим всички степени  с равни основи 

 

ЧИСЛОВИЯТ  МНОЖИТЕЛ  на всеки едночлен записан в нормален вид   наричаме   КОЕФИЦИЕНТ  НА ЕДНОЧЛЕНА


Вторият едночлен 5x.y2(32) .y3.4x3    не  е  приведен  в нормален   вид .

Той има коефициент   5.(32) .4=-180 

Тогава  нормалният вид  на едночлена  е   5x.y2(32) .y3.4x3   =-180 y2+3х1+3   =  -180.y54  

КАЗВАМЕ,ЧЕ сме заменили  едночлена  с тъждествено  равен  нему  едночлен  

Можем  да  разместим местата на променливите  в даден едночлен ,защото сме приложили  разместителното  свойство на действие умножение


Задача 1:Представете   едночлена 0,5 х 4.z(−10 x 2z 2) в нормален  вид   и определете неговият коефициент  .

Решение

0,5 х 4z(−10 x2z2)=−0,5.4.10xx2zz  =20x3z3  

Коефициентът на този едночлен е   −20.

 


Задача 2:Представете  едночлена   xy3z2x2z2y6  в нормален вид   и определете  неговият  коефициент: 

Решение

  x y3z2x2z2y6  =  xx2y3y6z2z2 =  x3 .y9. z4  

Коефициентът на този едночлен е  1.

 


Задача 3:Ако  a и  b  са параметри  ,а   x  и   y  са  променливи ,намерете нормалният вид  на едночлена   2х2a4xy3b1,5ay  и определете  неговият коефициент

Решение

 2х2a4xy3b1,5ay  =2.4.1,5. аabх2x y3y= 12а2bх3y4

Коефициентът на този едночлен е  12а2b

 

 


Задача 4.Намерете   числената стойност  на едночлена  3b3b2a     за    а= -2,b=0,5

Решение

За да работим бързо и рационално  :

  • намираме стандартният вид на едночлена 
  •  заместваме в него , дадените стойности за  а и  b  .

За  а= -2,b=0,5  , числената стойност на израза е  3а3b3b2a =3а4b5=3( -2)4 2-5= 1,5

 

 

Задача 5 .Намерете   числената стойност  на  едночлена 2х3y2х.0,20y  ,ако  x=2 и y=-1.

 Решение

Нормалният вид на едночлена   е   2х3y2х.0,20y=0,4х4y3  

За  х= 2,y=-1  , числената стойност на израза 0,4х4y3 =0,4 .16.(-1)=-6,4

 

1.3 Степен на едночлен

1
1

СБОРЪТ от степенните показатели на ПРОМЕНЛИВИТЕ  в даден едночлен  се нарича степен на едночлена

Примери :

x4y5  е  едночлен от 9-та  степен ,защото   4+5 =9 ;

−3xy5z6  е  едночлен от 12 -та  степен,защото  1+5+6 =12 ;

10z  e едночлен  от  първа  степен ;

0,02   е  едночлен от нулева   степен

15bxy6 ,където b е параметър е от 7 степен ,защото  1+6=7



Примери :В  дадената таблица всички букви са променливи  .

Едночлен

Нормален вид

Коефициент   

Степен  

6x2y(2)3xy4

-48x3y5

-48

8

а2b4bcа ;

а3b5c

1

9

-2y.(0,5y)

-y2

-1

2

5.20

100

100

0

1
1

1.4 Подобни едночлени.Събиране и изваждане на подобни едночлени .

1
1

ЕДНОЧЛЕНИ  ,които имат  един  и същ нормален вид,или се различават само по коефициентите си  се наричат ПОДОБНИ ЕДНОЧЛЕНИ

Подобни са едночлените :

  •   12х и 15х  
  •  3yх3 и  15yх3
  •   3xcxc  и  3x 2c 2  ;  
  • 9  и 9;


Не са  подобни едночлените  : 3a2  и  12ab2  

 

Ако два подобни едночлена  имат равни коефициенти ,то те се наричат равни едночлени 

Примери :   и 2хх


Ако два подобни едночлена  имат противоположни  коефициенти  ,то те се наричат противоположни  едночлени 

Примери : - 2а и  2а2 : - 3n  и 3n ;- xy  и  xy

 

Задача 6 :Попълнете таблицата

Едночлен

Подобен на дадения

Противоположен  на дадения   


Равен  на дадения  

 (-1)3x

 

 

 

а3b5c

 

 

 

-4y.y4

 

 

 

(2)3xy

 

 

 



Подобни едночлени  събираме  или изваждане  като  :

Първо -  съберем  или  извадим   коефициентите  на  едночлените ;

Второ  -  запишем променливите без промяна

 

Примери : 

2х+3х =(2+3)х = 5х

2 +0,5 х2 = (7+0,5) х2 =  7,5 х2

10х-3х =(10-3)х = 7х

23х2 -21 ,5 х2 = (23-21,5) х2 = 2,5 х2

 

Сборът  на два противоположни едночлена е нула 

Примери : 

х2 - х2 = 0 ;

2y -2y =0

 

ВАЖНО!  :Правилата за  разкриване на скоби са същите ,както при действия с рационални числа

Примери :

х +(−)5х = х - 5х = -4х

х −(−)2х =х+2х =3х



ДЕЙСТВИЕТО  събиране или изваждане   на  подобни едночлени  се нарича ПРИВИДЕНИЕ


Задача 7.Извършете означените действия

А) 2х +(−)6х  +х 

Б) 3ах +5ах – 8ах

В)−2х2k−(−0,7х2k)−0,2х2k

Решение

А) Разкриваме  скобите и получаваме :

2х +(−)6х  +х  =

2х −6х  +х =

(2-6+1)х

=-3х


Б) 3ах +5ах – 8ах

= (3+5-8)ах

=0.ах

=0


В)−2х2k−(−0,7х2k)−0,2х2k

=−2х2k+0,7х2k−0,2х2k

=(-2 +0,7-0,2) х2k

=-1,5х2k

 

 

С привидение   на подобни едночлени намираме неизвестно число в дадено равенство

 

 

Задача 8  .Намерете неизвестното число

 А) x  + 9x = -80

Решение  От   x  + 9x = -80, получаваме ,че 10.х=-80 с неизвестен множител х=-80:10  ,   х  =-8

 

B)  - 12x + x  = 11

Решение  

-12 x  + x  =11 .Тогава  -11.х=11 , откъдето намираме,че   х=11: (-11)  ,  х=-1


C)   х+0,5х+4,5х=  12           

Решение  След привидение на  подобните едночлени   х+0,5х+4,5х         

 ,получаваме равенството ( 1 +0,5 + 4,5).х=12  с неизвестен множител х=12: 6 ,  х =2


Бележка :При действие привидение на подобни едночлени прилагаме дистрибутивното (разпределителното свойство) на действие умножение




Задача
9.По данните на чертежа ,намери х ,ако сборът от всички ръбове на правоъгълния  паралелепипед  е 80 см

Решение  Изразен чрез  х ,сборът от всички ръбове на паралелепипеда е равен на :

4(1,5х)+ 4.х+4.(2,5х)

= 6х+4х+10х

= 20х

За х получаваме равенството  20х=80 ,от което намираме,че х= 4 см

 



Задача
10 .Ако разликата в обиколките на правоъгълника и триъгълника на чертежа е 16 см,то намерете х.

Решение

Обиколката на правоъгълника е 2(8х+4,5х)=2.12,5х=25х

Обиколката на триъгълника  е  2.2,5х+4х=5х+4х=9х

От условието получаваме равенството  25х -9х= 16 ,от което намираме,че х=1 см




Задача 11 .Една тетрадка е три пъти по-скъпа от един химикал .За  2 тетрадки и 4 химикала  ученик платил  20 лева .Намерете цената на една тетрадка  ?

Решение :Нека цената на един химикал  е x лева .

Тогава една тетрадка  ще струва  3x лева .

От равенството 2.3x+4x=20 ,намираме,че  10x=20  лева, х=2 лева

Тогава тетрадката струва   2.3=6  лева

 

 


Задача 12 . Разтоянието между градовете  София и Плевен  е  150  км .Двама мотористи  единият със  скорост  80км/ч  ,а другият със скорост  100  км/ч  тръгват  едновременно  един  срещу друг от двата града  .Намерете в колко часа ще се срещнат мотористите ,ако  те са тръгнали в 11 часа


Решение :

Нека след  t часа мотористите се срещнат. 

Тогава мотористът със скорост  80 км/ч ще измине път равен на  80 t

,а мотористът със скорост  100  км/ч ще измине път равен на  100 t

Понеже пътуват  един срещу друг ,то е вярно равенството  80 t+100 t=150

,откъдето намираме,че  t =150/180= 5/6 часа ,което е 50 минути

Тогава двамата мотористи са се срещнали в 11 часа и 50 минути



Задача 13 . В един сладкиш  захарта ,маята и брашното са в отношение  1:2:56  Ако общият грамаж на продуктите е 590 грама ,то намерете  колко грама тежи всеки от продуктите .

Решение

Нека  един дял от всеки  продукт  тежи   х грама .Тогава  590 грама ще тежат 1х +2х +56х= 59х грама

От равенството  59х =590 ,намираме,че х=10 грама .Тогава брашното е 560 грама ,захарта 10 грама ,маята 20 грама .




1.5 Задачи за самостоятелна работа

Едночлен . Събиране и изваждане на подобни едночлени

1.задача :Запишете само тези изрази,които са едночлени 

А)4а+3в;

Б)-3вс;

В) 2х - y2;

Г) 22аxy 2(с)3



2. задача :  Намерете  нормалният  вид  на едночлените   и  определете  коефициентите им.             

А) 8n3x .(- 2) x4 .0,5n4   

Б) 7,4 х 5.z (− x 2z 2

В)  xy4z5x3z2y6   

 


3.задача : Намерете степента на всеки от едночлените  :

А) 72.x2 y3 z5      B) 62.x5y z4    C) 62.x4y2 z5       D) x6y4 z2             

 


4.задача  Кой от едночлените е от  10 –та степен

А) x y3 z5    

  B) x5y z4   

C) 2.x4y2 z5      

 D) y4z2             

 


5.задача :Приведете  едночлена  0,5.x2 y3 z5 (- 2)3.x4y2 z5   в нормален вид и  запишете неговият противоположен

 

 


6.задача :Намерете сбора на подобните  едночлени    :

А) 2x2 + x2  + 7x2  

 B) - 12х4 +1,5x4 + 2,5х4

C) -2а3x2 + 10,5х2а3               

 



7.задача Намерете разликата на подобните  едночлени

 А)12асх6-17асх6;

 Б) -5х2у3-12х2у3;

 В) 1,2ух-2ух;

 Г)  7авс3-9ас3в




8.задача:Опростете  изразите 

A)13 xy -28xy +19 xy

Б)  -7x3y3x  +25 x3y2x y  - 18y3x4

"/>


9.
Намерете неизвестното число

 А) -х  + 10x = 90

 B)  12x -8x  =- 12

C)   0,2х-1,2х+3,5х=8   

 


 10.Намерете неизвестното число      

А) 1,2= 0,8x + x

Б)  2 = (0,5x - 1,5) + 1,6x

С)  4,3x  - (0,8x + 1,6) = 5,8

Д)  4,1x + 2,7x  : 3= 1,6

 

 

11.  задача  Дължините на страните на триъгълник са в отношение 3:5:4 .Намерете страните му,ако обиколката му е  144 см .

 

 


12.задача.  От град   А тръгнал моторист , движещ се със скорост   50 km/h. Два  часа по-късно по същия път(от град A) след него тръгнал друг моторист  със скорост 60 km/h. Намерете след  колко време   вторият турист ще настигне първия  ?


2. Умножение , деление и степенуване на едночлени .

2.1 Умножение на едночлени

От предната точка  ние събирахме и изваждахме само ПОДОБНИ   едночлени.

Всеки два едночлена   умножаваме  като :

  • умножим  коефициентите им
  • умножим   степените с равни основи

 

Да разгледаме примерите:


Пример :   (5х).(10y) =( 5.10)xy =  50xy


Пример :  ( 1,5nm).(2mn ) = (1,5.2).n n m m=3n2m2


Пример :  (7x2yz4).(0,6yz3x4)=(7.0,6) x2 x4y y z4z3 =4,2x4y2z7


ИЗВОД : След като умножим два едночлена получаваме  едночлен  приведен в нормален  вид



Задача 14 : Намерете произведението на   едночлените   3x2y и 0,9 x5y5 

 Решение : (3x2y) . (0,9 x5y5) = (3.0,9) x2x5yy5 = 2,7 x7y6 

 


Задача 15 :Намерете произведението на едночлените


А)  x2 и  2xy5 

Решение (x2y).(2xy5 )=2.( x2х).( yy5)=2x3y6


Б)  0,5abx2     и  20 a 3b4x 

Решение (0,5abx2).(20a3b4x )= 0,5.20aa3 bb4x2x =10a4b5x3 



Задача 16  :По данните на чертежа  съставете израз , с който  да намерите :

  • лицето на правоъгълника,триъгълника и окръжността
  • обемът на правоъгълната призма 
Получените едночлени запишете в нормален вид .

Решение

Лицето на правоъгълника е : ( 3,5х) .(8х)=28х2
Лицето на триъгълника е   :  (4х).(1,5х)=6х2
Обемът на призмата е  :  (х).(2y).(3х) =6yх2
Лицето на окръжността  е :3,14.(3х)2=3,14 .9.х2 =  28,26х2



Задача 17. На чертежа е дадена е права триъгълна призма с основа правоъгълен триъгълник с катети равни на  3х см и 4х см  и хипотенуза 5х см .Ако височината на призмата  е  6х см ,то съставете изрази  ,за :

А) лицето на основата  В

Б) околната повърхнина S

B) пълната   повърхнина  S1

 

Решение

А) В=(4х.3х):2=12х2:2 = 6х2

Б) S=6х.(4х+3х+5х) =6х.12х=72х2

В) S1= 2В + S =2.2 + 72х2=84х2



2.2 Степенуване на едночлен

ПРАВИЛО : Едночлен степенуваме ,като  степенуваме всеки негов множител


Пример :   (5хy)2 = 52x2y2=  25x2y2


Пример :  (-2n3m4)3 = (-2)3 .(n 3 ) (m 4) 3  = -8n9m12


Пример

"/>
1
1



Задача 18 . Степенувайте  едночлена   (54х3y2 0,24yх)3 и  намерете   числената  му  стойност за   x=2 и y=-1.

 Решение

Извършваме означените действия и получаваме :

  (54х3y20,24yх)3 

={ (5.0,2)4 х4.y3}3

=  х12y9

За  х=2,y=-1  , числената стойност на израза  e :   -  212  =- 4096



Задача 19.Степенувайте  едночлена  (3а3b3ba) и  намерете неговата числена стойност  за    а= -4, b=0,5  ,

Решение  

Привеждаме основата на едночлена в нормален вид  и получаваме  (3а4b4)2= 32а6b6

Понеже  аb=  -4.0,5  = -2 ,то в този случай представяме едночлена,като  степен на произведението  аb

32а6b6 = 9.(ab)6

Тогава числената стойност на израза  (3а3b3ba)   за   а= -4, b=0,5,   е   9.(-2)6 = 576 




2.3 Деление на едночлени

За да опростим израза
В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg