В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Задачи по математика с естествени числа .Задачи за състезания.


1
1
1

 

П

О

Д

О

Б

Н

И

 

 

Т

Е

М

И

 

 

 

1
1
1

Първа част :Задачи за ученици от 2-ри и 3 -ти клас




ПЪРВА ЧАСТ

За ученици  от  2 и 3 клас

 

 

 

Задача .Запишете   най-малкото   четно число   с   две еднакви цифри.

Решение

  • ·Четните двуцифрени числа са 10,12,14,........18,20,22,24 .. ....
  • От  тях най- малкото четно  число  записано с еднакви цифри е  22 

Отговор 22 ) 

 


Задача  Запишете  най-голямото  двуцифрено   нечетно число с  две еднакви цифри

а) 121                          в) 99                  c) 11                      d) 95

Отговор в)

 

Задача  От най-голямото двуцифрено число, записано с различни цифри, извадете сбора на най-  голямото едно цифрено число и числото, което има 6 десетици . и   5 единици.

а) 34                     b) 35                           c) 33                                  d) друг отговор

Решение 98 – (9 + 56) = 98 – 65 = 33




 

Задача.Две  двуцифрени числа по-големи от 17   и  по малки от  35   имат  сбор  4 0 . .Известно е ,че  едно от числата  е  записано с еднакви цифри .  ?Колко е разликата  на числата ?

А) 9               B) 4                           C) 12                   D) 8             E)13

Решение  Числата които можем да запишем с две еднакви цифри  между 17 и 35  са  22  и  33 

При допълване  до сбор  40  съответните  числа са 18 и 7 

От тях  само 18 е двуцифрено число.

Тогава разликата им е   22 - 18 =4

 


 Задача  Намерете  най-голямото двуцифрено число с цифра на единиците с 3 по-голяма от цифрата на десетиците. ?

 а) 20;                          b)47;                  c) 58;                      d) 69 

Решение.

  • Търсим  двуцифрено число  
  • Цифрата на единиците му е с три по-голяма от цифрата на  десетиците

Цифрата на   единиците  може да е само едно от  числата   4,5,6,7 ,8 и 9

                                         Съответната  цифра на десетиците     е  1,2,3,4,5 и 6

  • От тези числа най-голямото е 69 

 


Задача Сумата от цифрите на едно двуцифрено число  е  равна на най-голямото едно цифрено четно число.Разликата между цифрата на единиците и десетиците е 2.  Кое е това число ?

                                          А) 16     B) 12    C) 11   D   ) друг отговор

                                                                                          Решение

      (1) Най-голямото едно цифрено четно  число    е   8

(2) Сбор  8  от цифри  можем да получим  ако :

  • Числата са  80
  •  Числата са  17 или 71
  • Числата са  26 или 62
  • Числата са  35  или 53
  • Числото е    44

                                    (3)  Знаем,че цифрата на единиците  е  по-голяма и разликата им    е 2   

                    Само  числото  35  отговаря на условието на задачата

Отговор С)


 

Задача . Най-голямото двуцифрено число с различни цифри намалете с числото, което се получава ако   към сбора на четните числа между 13 и 19 се прибави числото, което показва колко пъти в записа на   числата от 1 до 100 се използва цифрата 7. 

а) 12              c) 10                d) 24               e) друг отговор

(Коледно  математическо състезание   -2 клас)

  Решение

Ще стигнем до отговора   като последователно  намерим

(1)  Числото 7  се съдържа в  записа на числата от 1 до 100

          От 1 до  10  -1

          От 11 до 20 -1

....................................

          От  61 до 70 – 2  

          От 71  до  80  -10

          От 81 до 90 -1

          От  91 до 100 -1

Общо  20 пъти

(2)Четните числа от 13 до 19  имат сбор  14+16+18=48

(3)    98-(48+20)=30

 

Задача . Написани са две последователни двуцифрени числа. Сумата от цифрите на първото е  8, а второто се дели на  8. Второто число е:

а)  17              b) 81               c) 64                d) друг отговор

Решение  

Второто число е   едно от числата :

2.8 ,      3.8,           4.8,     5.8,         6.8,    7.8,    8.8,     9.8,   10.8,   11.8 и 12.8

Съответното  предходно на всяко число  е :

15     , 23    ,  31   ,            39   ,    47 ,         55  ,   63   ,   71    ,  79  ,   87   ,  95    

 

Само  числото   71  има сбор от цифрите 8  и   това е първото търсено число ,съответното му    второ  е 72 


 


Задача.  Двадесет и  шест     ученика     посетили  куклен театър .Класната им ръководителка  ги поставила на  пейки по 11 и  5  места .Колко пейки са заели учениците при посещението си  на куклен театър ?

а) 5   b) 6    c) 4     d) друг отговор

Решение

                        (1)Пейките по 11 места са  една или две .

                         Ако са две,  обаче 26 -11.2 =4 , не можем да ги разпределим по пет

                          Следователно  децата  са седнали на една пейка  с  11 места . 

(2) От това,че    26  = 1.11 + 3.5  правим  извода,че заетите пейки са точно   1+3=4

Отговор   c)

   

Задача Учениците   от  2 а  клас  били на посещение на театър .Учителката ги разпределила  на   пейки  с  по три  и пет  места .Колко са учениците от  2 а клас   ако  са   по-малко от  30 ?

 а) 15   b) 16    c) 13     d) друг отговор

Решение

Броят на децата  трябва да е число което е по малко от  30  и да се дели на

3 и 5

Числата по-малки от 30  са :

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,...........30

 

ОТ ТЯХ  САМО ЧИСЛОТО  15  СЕ ДЕЛИ НА 3 и 5

Отговор a) 

 

Задача Учениците   от  2 а  клас  били на посещение на театър .Учителката ги разпределяла  на пейки .Ако седнат по трима  на  пейка  остават  две прави деца,а ако седнат  по четирима  три  места остават  незаети.Колко  ученици от 2 а клас са  присъствали на представлението ,ако са  по-малко от 23  и повече  от  5

а) 15   b) 16    c) 13     d) друг отговор

Решение

(1)             условие –„Ако седнат  по четирима  три  места остават  незаети „

Числата   до   23    кратни  на  4  са :        4, 8,12,16  и  20

Броя на децата  не е кратен на четири ,а е измежду  числата

                                                                      1, 5,9  ,   13 и 17

Тук  имаме   пет    възможности за броя на децата ,затова ще потърсим отговора   от второто условие

(Отпадат 1 и 5  ,децата са повече от пет )

(2)              условие –„ Ако седнат по трима  на  пейка  остават  две прави”

                                от    9  ,   13 и 17

 само ,ако са    17  две остават  прави ,защото  17 =3.5 +2 

 

Следователно децата от 2 а  клас присъствали на представлението са 17

Отговор   d)

Опитай сам !

Задача Имам по-малко от 20 ябълки. Забелязах, че ако махна две от тях, ще мога да ги разпределя по 3 на  моите приятели. А ако прибавя две, ще мога да ги разпределя по четири на моите приятели. Колко  са моите приятели?

а) 5 b) 6 c) 3 d) друг отговор

(Великденско математическо състезание )

 

Задача   Намерете  най-малкото двуцифрено число  за което цифрата на единиците е точно два пъти цифрата на десетиците .

а) 12;                 b) 24;                 c) 48;                             d)друг отговор .

Отговор а)


 

Задача   Намерете  разликата на  най-голямото  двуцифрено    и   най-малкото двуцифрено, които  могат да се образуват  от  цифрите  7,0 и 8 

 

А) 18;     B) 17    C) 14; D   ) 16.

Решение

(1)  най-голямото двуцифрено число  е 88 ,а  най-малкото   е  70

(2) Търсената разлика е  88-70 =18

Отговор А)

 

Задача Колко са двуцифрените числа, на които сбора   от цифрите е винаги   6 .

Едно такова число е 51 .

Решение .

Сбор 6  можем да получим по един от следните начини :

  • 6+0=6  , Възможното число  с това свойство  е  60
  • 1+5=6 ,Възможните числа с това свойство са  15 и 51
  • 2+4=6, Възможните числа с това свойство са  24  и  42
  • 3+3=6, Възможното число  с това свойство  е  33

По този начин сме записали всички числа и те са 6

 

Задача   Кое от посочените  числа  е най-малкото  двуцифрено число ,което не е сбор  на три различни цифри?

А)   10              B) 15             C)23          D) 25                    

Решение

Числата   10,15 и 23  можем да представим като сбор на три различни  едно цифрени числа    -   1+5+4   ,9+4+2     и   9+8+7.

Достатъчно е ,че сме посочили поне една възможност за да твърдим,че не са от търсените числа.

     От това,че   7+8+9= 24 ,то можем да твърдим,че при представянето на  25 като сбор от три едно цифрени числа  е необходимо две от събираемите да са  равни на числото 9 ,  25 =9+9+7  , и друго представяне не е възможно.

    Отговор D) 

 


Задача
Произведението на числата 7 и 8 извадете от най-голямото  три цифрено число.Получихте :

а) 121                          в) 943                  c) 237                      d) 95

Решение 

999 - 56  =943

Отговор  в):

 

Задача   Ако умножим разликата на две последователни естествени  нечетни числа с 10, ще получим сбора  на тези числа. Колко е произведението на тези две числа?

Решение  

  • Разликата на две последователни нечетни  числа е винаги 2.Следователно  сборът на тези числа  е  20
  • Сбор  20  на две последователни нечетни числа можем да получим  само  от   9 и 11 
  • Тяхното произведение е  9.11 =99


 

Задача.Произведението от цифрите на едно двуцифрено число е  9 .Колко числа имат  това свойство ?

Решение . Цифрите с които записваме числата са  :0,1,2,3,4,5,6,7,8 и  9

Произведение  9  можем да получим  само ,ако те са    9 и 1    или   3 и 3

Ако цифрите са  1  и 9  

 

Ако цифрите са  3  и 3  

 

Първо число   19

 

Трето число   33

 

Второ число    91

 

 

 

Числата които притежават  това свойство са :19,91 и 33 - точно три

 

Задача  Произведението от цифрите на едно двуцифрено число  е  8.За числото е известно,че  цифрата на десетиците е със седем по-голяма от цифрата на единиците.Кое е това число ?

а) 42                        b)18                        c) 24                  d) друг отговор –

Отговор d)

 

Задача . Като  използвате   три   от  цифрите точно по  веднъж  7,0,6,1  и 4     запишете   възможно най-голямото три цифрено четно  число с различни цифри 

.

Решение  : Числото е 764

 

 

Задача .С четири от  цифрите   3, 8,2,1 ,0,9 и 4     запишете   възможно най-малкото четири цифрено число с различни цифри ?

Решение .За да се получи най-малкото четири цифрено число с различни цифри , трябва първата му цифра да е възможно най-малка. Затова цифрата  на хилядните е единица ,на стотните  е нула , на десетите  е 2  и  последната цифра на единиците  е 3 .

Отговор : Числото е 1023


  Помисли   и   реши  самостоятелно !

 

Задача  За числото 325 пет момчета казват: Андрей: „Това е три цифрено число.”

Борис: „Всички цифри са различни.” Вальо: „Сумата от цифрите е 10.”

Гриша: „ Цифрата на единиците е 5.” Димо: „ Всички цифри са нечетни.”

Кой от петимата греши?

( Математическо състезание "Европейско кенгуру ")

Отговор :     Димо греши защото ,цифрата 2 е четно число .(Всички останали отговори са верни)  

 

Задача Намерете  сбора на най-малкото и най-голямото   три цифрено  число,образувани  с някои от цифрите 2,0 и 5.

а) 755                      b) 725                 c) 770               d) друг отговор

Решение Не е  задължително да   участват всички цифри , само условието, че някои от тях в зависимост от това , кое е   най-малкото  и най-голямото  три цифрено число.Търсения сбор е  200+555=755

 

Задача  Като използватe всяка от цифрите 1, 2, 3, 4, 5 и 6  точно по веднъж, съставете две

три цифрени числа така, че сумата им да е възможно най-голяма. Намерете тази най-голяма

сума.

A) 975                           B) 999                    C) 1083                  D) 1173              E) 1221  

(Математическо  състезание „Европейско кенгуру „)

Отговор D)

 

Задача .Кое е най-малкото число, което е по-голямо от 2011 и има същия сбор на цифрите?

а) 2020;                          b)2101;       c) 2009;       d) 2002 

Отговор а )

 

Задача Произведението на числата 9 и 8   извадете  от най-малкото  три цифрено число. Колко е сумата от цифрите на получената разлика?

а) 21                          в) 28                 c) 10                      d) 95

Отговор  с):

 

  Задача С цифрите 3, 0, 5 и 1 са записани всички двуцифрени числа. Сборът на най-малкото и най-голямото от тези числа е:

 

а) 42;                 b) 81;                 c) 63;                             d)59.

Отговор с)

 

 

Задача  Намерете броя на  двойките двуцифрени числа  a и b, за които a + b = 50.

                                   A) 40 B) 30 C) 50 D) 60 E) 10

                              (Математическо състезание „Европейско кенгуру”)

                                                 Решение

         Търсените двойки са (10,40),(11,39)....(24,26),(25,25)

                        Тогава тяхният брой е 25-10+1=16

 

Задача  Намерете броя на  двойките двуцифрени числа  a и b, за които a b = 50.

                                   A) 40 B) 30 C) 50 D) 60 E) 10

                              (Математическо състезание „Европейско кенгуру”)

                                           Отговор  A)

 

Задача. : Сборът на най-малкото четири цифрено число, записано с различни цифри и най голямото    три цифрено число, записано с различни цифри е:

а) 2221;                          b) 2220;          c) 2009;       d) друг отговор  

(Коледно математическо състезание)

Решение1023 +986=2009

 

Задача .Броят на всички три цифрени числа, чиято цифра на  стотиците е 5, а цифрата на     десетиците е с 1 по-голяма от цифрата на единиците е:

а) 4;                 b) 5;                 c) 6;                             d)9.

Решение  

Цифрата на стотните за всички числа е 5 .    

 Едно такова число е 501 .

За да опишем точно  и  без пропуски всички  три цифрени    числа  ,съставяме табличка в която  на първия ред  записваме  всички  възможни цифри на единиците – 0,1,2,3,4,5,6,7  и  8 

а,на втория  ред  съответните   цифри   на  десетиците .

 

Цифра на единиците

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Цифра на десетиците

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

Имаме точно  9  възможности за цифрата на единиците и съответната цифра на десетиците .

Следователно всички  възможни три цифрени числа с първа цифра  5 са: 501,512,523,534,545,556,567,578,589


 

 Задача Едно число  е  красиво ако е записано с различни цифри  и произведението от цифрите  е 6.

Разликата между  най-малкото три цифрено  и  най-голямото двуцифрено е ?

(Математически турнир „Иван Салабашев)

Решение  

Произведение 6 от три различни  цифри можем да получим  по единствен начин       6=1.2.3

 Три цифрените  „красиви” числа са  321,312,213,231,123,132  от тях  най-малко е 123

Произведение  6  от две различни числа можем да получим по два начина

6.1 и  2.3. Двуцифрените красиви числа  са  16,61,23,  32  ,като  най-голямото е  61  Търсената разлика е 123-61 =62 

  Помисли   и   реши  самостоятелно !

 


 

Задача Броят  на всички  три цифрени числа с цифра на стотиците 8 и цифра на единиците с две по-малка от цифрата на десетиците е :

а) 3;                 b) 5;                 c) 8;                             d)9.

Отговор с)

 

Задача  . Колко са три цифрените числа с цифра на единиците 4, които са между числата 500 и 700?

а) 10                        b) 20                        c) 32                   d) друг отговор

(Коледно математическо  състезание-  2  клас

Решение :

С първа цифра  5 -  504 ,514,524 .........594 – това са  10 числа

С първа  цифра  6 – 604,614,624 ,----------694- това са 10  числа

Това   са   всички числа  и те са точно 20

Отговор b)

  Ако задачата за преброяване на числа   и   цифри  в даден  ред ти е трудна или  интересна  последвай  връзката  по -  долу

 

 

Задача  Едно число наричаме симетрично, ако то не се променя, когато го четем от ляво на дясно и от дясно на ляво. Такива са например числата 101 ,232, 1991  Колко е разликата между 232 и следващото  по  големина  симетрично число.

а) 10                        b)5                        c) 30                  d) друг отговор –

Упътване .Следващото симетрично число е 242

 

Задача Колко са  три цифрените  симетрични  числа  между   100   и 300

а) 20                        b)42                        c) 8                  d) друг отговор –

Решение

(1)Всяко симетрично три цифрено число  притежава свойството –цифрите  на единиците и стотиците  са  равни  .

Примери :  343, 565 , и така нататък

(2) Броим  по  големина  101 ,111,121,131,...........191  -   общо 10 числа

                           и              202,212,222,   .......292  -            общо 10  числа

Отговор а)

                                      

  Помисли   и   реши  самостоятелно !

 


Задачи Цифрите 112 233 могат да се прегрупират, за формиране на "Специалното" число 231213. То е

"специално", защото има една цифра между единиците, две цифри между  двойките и три цифри

между тройките. Следвайки това правило, направете от 11223344  "специално" число.

(Математически турнир  «Академик Кирил  Попов»  )          

 

Задача  Едно три цифрено число е симетрично и прекрасно, ако  цифрата на стотиците е равна на цифрата на

единиците и е по-голяма от цифрата на десетиците. Например, числата 303 и 767 са симетрични и прекрасни

. Колко на брой са всички симетрични и прекрасни три цифрени числа?

 

Задача.Мими имала с една кукла повече от Лили.Ако умножим броя на куклите им, ще получим произведение 6 .Колко кукли има  Мими ?

"/>

Решение

Първа   възможност -    Мими  има  6  кукли  ,Лили   има  1 кукла   ,защото   6=1.6

Втора    възможност -  Мими  има  3 кукли  ,Лили   има  2 кукли   ,защото   6=2.3

   Само  при втората възможност  Мими има една кукла в повече от Лили

Отговор –Мими има 3 кукли

 

Задача Посочете две последователни естествени числа  с  произведение 56

Отговор-7.8 =56

 

Задача .Сборът на три последователни естествени  числа е 39.Кое е най-голямото  число ?

Подготовка

Нека разгледаме  три  произволни последователни числа  15,16 и 17 

Всяко  следващо е с  единица по-голямо от предходното.

Следователно ,ако знаем техния сбор ще намерим  числата ,защото разликата

 (15+16+17)-3=45  разделена на три  е точно най-малкото от трите числа  и то  е    45:3=15 .Следващите числа са 16 и 17

Решение

(39 -3):3=12   и  най-голямото от трите числа е 14

 

Задача.  Сборът на три последователни числа е с едно по-малко от най-малкото четно двуцифрено число записано  с еднакви цифри. Колко ще получим ако този сбор го увеличим с най-малкото от тези три числа?

              а) 11                   b) 21                 c) 27               d) 28 

(Коледно математическо  състезание)

·        Най-малкото  двуцифрено число  с  това свойство   е   22

·        Тогава произведението  на трите последователни числа  ще е 21

·        От това,че  21 е сбор на  три последователни числа ,следва че най-малкото от тях

е   (21-3):3=6

·    Последователните числа са  : 6,7 и 8   и търсеният сбор  е 21 +6=2


Задача . Произведението  от  цифрите  на  едно  три цифрено число   е  9 .Колко числа имат  това свойство ?

а) 6                        b)4                       c) 8                  d) друг отговор

 Решение . Намираме   различните начини  за получаване на произведение  9  от три числа  и после образуваме числата.

Първа възможност

9= 1.1.9   

Възможните числа са  :119,191,911

Втора възможност 

9=1.3.3

Възможните числа са : 133,313,331

Общо  6  числа

 

Задача    За едно двуцифрено число е известно, че цифрата на единиците е три пъти по-голяма от цифрата на   десетиците. Ако разменим цифрите, се получава число, което е с 36 по-голямо от първоначалното  число. Кое е числото?

а) 14                      b) 26                 c) 93                   d) друг отговор

Решение

·        От условието цифрата на единиците  е  три пъти по-голяма от  цифрата на десетиците   правим извода,че   цифрата  на десетиците може да  е

                                                       1 , 2  или  3 .

·        Съответните  цифри      на      единиците     са:  3,  6 или   9

·        Възможните двуцифрени числа с това свойство са : 13 , 26 и 39

·         При размяна на цифрите получаваме числата          31 ,62   и 93

От това,че  само при двойката  62 – 26 = 36 следва,че търсеното число е 26

ДВЕ  ИНТЕРЕСНИ ЗАДАЧИ  ! 


Задача  Милена и Яна  имат  общо  30  кукли.Куклите на Милена са нечетно число, което се дели на 9.Известно е,че  куклите на Милена са повече от  куклите на Яна.Колко кукли има  Яна ?

А)4              В)3           С)16            D)18              Е)15

Решение

(1)             Куклите  на  Милена са повече от 15

(2)             Те се делят на 9 и са по-малко от  30 

(3)             Куклите на Милена може да са  18 или  27

(4)             Само 27 е нечетно число  .Тогава  куклите на Милена са 27

(5)             Куклите  та  Яна са  30 – 27 =3

Отговор В)

 

Задача Марийка трябвало да събере две естествени числа. Иванчо дописал нула след едно от числата. Така Марийка, вместо да получи 281 получила 1001. Колко е разликата на първоначалните две числа?

                              А)14              В)13           С)12            D)друг отговор

Упътване  

Нека намислените числа са  x   и   y

(1)       x   y  = 251

(2)   .10x   y =1001

 

 

Задача .Теодор  и Явор  имат  общо  32  колички.Количките на Теодор  са  число, което се дели на 7  и  2. Известно е,че  количките  на Теодор са повече от  количките  на Явор.Колко колички има  Явор ?

А)14              В)13           С)12            D)друг отговор

Отговор А)

 

Задача  В гимнастически салон има следните уреди: обръчи, топки и ленти. Те са общо 30. Лентите са с 11 по – малко, отколкото обръчите, а топките са повече, отколкото лентите и  обръчите взети заедно. Колко на брой са топките?

(МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР „Академик  Кирил  Попов „ Шумен)

Решение

(1)   обръчите +лентите + топките   са   30                                             

(2) От това,че   топките са повече от  лентите и обръчите заедно, правим извода ,че     те  са повече    от  15

               Нека топките са  16  ,тогава  2 пъти обръчите са  30-16 +11=25 не е възможно ,защото 25 не се дели на 2

               Нека топките са  17  ,тогава  2 пъти обръчите са  30-17 +11=24

В този случай всички условия са изпълнени  топките са 17 ,обръчите 12 и лентата е една

              Не  може топките да са повече  от   17 ,

ако са   18   и   обръчи  +ленти   са  12  -не е възможно

ако са  19  и обръчи и ленти са  11   - не е възможно

Отговор  17)

ВТОРА  ЧАСТ

За ученици  от   4  и  5 клас

Задачите  могат да се решават  и  от ученици от  трети клас

 

 

Задача  Да се намерят дължините на страните на правоъгълник, ако е известно, че те са двуцифрени числа, а лицето на правоъгълника е число, написано само с цифрата 4.

a) 44 и 101;     b) 6 и 74;               c) 4 и 111;            d) друг отговор

                           (Великденско математическо състезание )

 

Решение  Лицето на правоъгълника е равно на произведението от дължините на страните,които  са двуцифрени  числа.

.  Следователно  тяхното  произведение  е  трицифрено  или  четирицифрено число- то е  444 или 4444.

·          Нека лицето  е  444. Тъй  като  444 = 2.2.3.37, единственият начин за представяне на 444   като   произведение на две двуцифрени  чис­ла  е 12.37 и   търсените дължини на страните на правоъгълника са 12 и 37.

·         Нека  лицето  е  4444 .

 От това,че   4444 = 2.2.11.101 и понеже 101 е просто число, следва, че 4444 не може да се представи като произведение на две двуцифрени числа.


 

 

Задача Сборът  на   три естествени  числа  е  36 . Сборът   на  две от  тях  е  по-малък   от   най-голямото  от  трите числа и  е  кратен  на  8  , а разликата   им  е  2   .Кое е най-малкото от  трите   числа ?

Решение .Нека  най-голямото  е   естественото число  X

Първи  начин

(1) От това, че най-голямото от трите числа е по-голямо от сбора на останалите две  следва,че  най –голямото е  едно от числата:              19,20,21,22, ....36

(2)Започваме  да търсим другите две числа с разлика  2 и сбор кратен на 8

·         Ако  X=19 ,то   сбора  е  17  ,разликата  е 2  не е възможно     

Правим  извода,че  най-голямото число  е  винаги четно .                                         

·         Ако X=20  то  сбора е  16  ,разликата е 2  и числата са  9 и 7

Числата  20,9 и 7  са решение 

·         Ако X=22  то  сбора е  14  ,не е възможно 

·          Ако X=24  то  сбора е  12  ,не е възможно 

·         Ако X=26  то  сбора е  10  ,не е възможно 

·         Ако X=28  то  сбора е  8 и  числата са  5 и  3 

Числата  28,  5 и 3  са решение   

·         Ако X=30  то  сбора е  6 ,не е възможно

При всички останали случаи при проверка ще получаваме сбор  по-малък  от  8  

Най-малко число от  двете решения  получаваме при тройката числа

28,  5 и 3   и това е числото  3

Втори  начин

Сборът на две от числата  може да е  8,16,24 и 32

Разликата им  е винаги 2   

·         Ако сборът е  8 ,разликата две числата са  5,3 и 28

·         Ако сборът е  16 ,разликата две числата са  9,7  и 20

·         Ако сборът е  24 или  32  то, той ще е по-голям  от  най-голямото число .

 

                                                  


Задача .Сборът на  четири последователни естествени числа  е 62.Кое е най-голямото  от тях?

Упътване .Числата   8  ,8+1 , 8+2 , 8+3  са четири последователни естествени числа

 



ЗадачаЗа домашно учителката даде следната задача: „Да се намери произведението a.(10a+b).(10b+b) ,( ab≠ ), ако, то е четирицифрено число и точно два от трите множителя са прости.“ Няколко деца намерили по една стойност на произведението и се оказало , че всяко от получените числа е различно. Колко най-много са децата?

Решение.

Ако bе четна цифра или 5, то не може да имаме точно две прости числа от трите. Следователно възможностите за bса да е 1, 3, 7 или 9.

Нека b= 1, тогава получаваме решение при a= 4, a= 5 и a= 6, а именно 1804, 2805 и 4026.

Нека b= 3, тогава получаваме решение при a= 2 а = 5, aименно 1518, 8745.

Нека b= 7, тогава получаваме решение при a= 3, а именно 8547.

Нека b= 9, тогава получаваме решение при a= 2, а именно 5742.

Следователно децата са най-много 7 на броя


Задача Намерете   броя   на   всички   пет цифрени числа ,  образувани с помощта само на   цифрите 1, 2, 6, 4 и 5 без повторение със следните свойства: пет цифреното число се дели  на 9  : цифрата на единиците е число което е кратно на 3: числото, образувано от първите   две  цифри на пет цифреното, се дели на  4

A) 0             B) 1                C) 2               D) 6               E) 10

Решение

Цифрата на единиците може да е само 6 от  избор на  цифри  1, 2, 6, 4 и 5

От  останалите   цифри  1,2,4 и  5 , първите  две цифри  са  измежду четирите  възможности      показани   по-долу .

1

2

 

 

6

 

5

2

 

 

6

 

2

4

 

 

6

 



 

 



Възможност  1)     4  и  5  или  5 и  4   са  третата и четвъртата цифра ,сборът  от цифрите   е   1 8    и   числото  се дели на  9  .Получихме две пет цифрени числа с исканото свойство .  

От това,че сборът от числата е винаги 18  ,за всеки един от останалите случаи ще получим   по две числа  с  исканото свойство 

Отговор    D)                   

 

П

Задача Намерете   броя   на   всички   пет цифрени числа, кратни на 5, образувани с помощта само на

цифрите 1, 2, 3, 4 и 5 без повторение със следните свойства: числото, образувано от първите

две число цифри на пет цифреното, се дели на 2; числото, образувано от първите три цифри

на пет цифреното число, се дели на 3; числото, образувано от първите четири цифри на

пет цифреното число, се дели на 4.

(Математическо състезание „Европейско кенгуру „)

A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) 10

П


Задача .  Намислих едно число. Извадих го от най-голямото четири цифрено число записано с различни цифри. Получих произведението на най-малкото четири цифрено число с различни цифри и най-голямото едно цифрено число. Кое число съм намислил?

А) 690             Б) 669             В) 753             Г) друг отговор

(Великденско математическо състезание)

 

Задача. Понеделник, вторник и сряда Петя   слагала в една кутийка по толкова жълтици, колкото е най-малкото двуцифрено число, което се дели на 7. Колко жълтици общо е сложила в кутийката?
а) 14                           в) 28  
                       c) 34                           d) друг отговор

Отговор d)

 

Задача Кое е най-малкото двуцифрено число, което се дели на сбора от цифрите си   и  на

произведението от цифрите си?

                      а) 12              c) 10                d) 24               e) друг отговор

(Коледно математическо състезание )

Отговор  а)

 

Задача Сборът на две последователни числа е 113. Колко е сборът от цифрите на тези числа?

            А) 23       B) 25           C) 17      D) 13        E) друг отговор

Решение

По малкото число от двете последователни  числа    е    (113-1):2= 56 .

Тогава сборът от цифрите на двете  последователни  числа  е 5+6+5+7=23

 

 

Задача . Кое е най-малкото число, сборът от цифрите на което е 39 ?

А) 45999             B) 39999     C) 2227899        D) ) друг отговор

 

Упътване:Най - малко  число  ще получим  ако,то е записано с най-малко цифри .

Най-малко цифри ще използваме, ако запишем числото с цифрата  9 ,защото най-бързо ще достигнем  сбор  39.

 

Задача  .Като са  използвани цифрите   0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  точно по веднъж  са  съставени две пет цифрени числа. Каква е най- малката възможна разлика на тези две числа?

 

Задача. Едното събираемо   е  съставено от четните едно цифрени числа, като се започне от най-голямото и  се свърши с най-малкото и след втората цифра има десетична запетая. Другото събираемо е съставено   от нечетните едно цифрени числа и е образувано по същото правило. Сборът на цифрите на стотиците и

хилядните в полученият сбор е:

а) 13;                    b) 4;                    c) 2;                     d) друг отговор

(Димитровденско математическо състезание)

. Решение 86,42 + 97,531 = 183,951 1 + 1 = 2 

 

Задача. Колко са три цифрените числа, по-големи   от 777, в които не се срещат цифрите 0, 1, 2, 3,4 и 5? 

Две трудни задачи

 

Задача  Сборът на 10 различни естествени числа е 56. Намерете възможно най-голямата разлика на две от тези числа.

      А) 10            Б) 11                        В) 9                       Г) 8

(Коледно математическо състезание)

Решение    

 Сбора на първите  9 естествени числа  е  1 +2+3+......+ 9  = 9.5=45   Това са точно 9 различни естествени числа. За да получим  сума   56   добавяме числото  11.

Получихме  едно възможно решение       -    10   различни числа имат сбор 56..За тях възможно  най-голямата разлика е 11-1=10 

     Ще покажем ,че такава сума  можем да  получим  само по този начин .

    Ако   построим сума без единица , то най -малкия сбор  от различни  числа ще  е  44   (от 2 до 9) +10+11>56 (аналогично без двойка –винаги ще трябва да добавим  по-голямо от 9)

   Следователно  сбор 56 от 10  различни естествени числа  можем да получим по един единствен начин  :  

1 +2+3+......+ 9+11  и   най-голямата разлика ще   11-1 =10

 

Задача. Сборът на 14 нечетни естествени  числа е 40. Най-малката възможна разлика на най-голямото и най-малкото от тези числа е:

      А) 26          Б) 11                        В) 9                       Г) 8

(Коледно математическо състезание)

Решение Възможни решения са :

 1  + 1 +   1   +1   +1  + 1  + 1   +5+5+5+5+3+3+7  или 5+5+5+5+3+1+1+1+1+1+1+1+1+9  или  27 +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 

В задачата  се иска  да оценим  най-голямото и най-малкото число за които са изпълнени условията .

Нека най-малкото  число от  четиринадесетте числа е  х . Следователно  числото х е винаги  < 3 ,защото  40=2.14+12    х е равно на 1 или 2 От това,че събираме само нечетни числа,то следва,че х =1

    Ще покажем  че най-голямото число  е 27 (един възможен сбор е 27 +1+1+1+.....1-13 единици )

    Ако най-голямото число е 29 ,ще трябва да образуваме сбор 11 от 13 нечетни числа ,което е невъзможно .

    Следователно най-голямата разлика ще получим като извадим възможно най-голямото число и възможно най-малкото число  от всички комбинации   и  тя е 27-1=26


 

Задача . Произведението от   цифрите на едно три цифрено  число  е  64.

Колко са три цифрените   числа с това свойство ?

 

Задача  Ели записва само четири цифрени  числа, на които първата цифра (цифрата на хилядните) е равна на  сбора на втората и третата цифра, а третата цифра (цифрата на десетиците) е равна на  сбора от втората и четвъртата. Колко е сборът на най – малките 10 числа с това  свойство?.(Кирил Попов).

Решение

  •  Търсим сбора на първите десет най-малки  числа  с  това свойство .
  • Тогава започваме да записваме числата  с   най-малките  цифри ,като се стараем да не  пропускаме число

Числата са:

 1011, 2022, 2110, 3033, 3121, 4044, 4132, 4220, 5055, 5143. 

 


Задача Намерете броя на четири цифрените числа ,за които двуцифрените числа образувани от кои да е  две негови  съседни  цифри  ,се делят на 23

(Национален кръг „Европейско кенгуру”)

А)1               B)2              C)повече от  3              D)няма такива

Решение  Двуцифрените числа които се делят на 23  са :23 , 46 ,69  и  92

Не  е възможно първите две цифри да са  2 и 3 ,защото  не съществува число което да е двуцифрено ,да започва на  3 и  да се дели на 23.

Нека първите две цифри са  4 и 6 следващата цифра ще е 9 (69 се дели на 23) последната цифра ще е 2 (92 се дели на 23) Първото число с това свойство е числото  4692

Нека първите две цифри са  6 и 9 следващата цифра  ще  е  2 следващата цифра ще  е 3

Второто число с това свойство е  6923.

Да разгледаме и последната възможност .Нека първите две цифри са 9 и 2 следващата  цифра е  3  не можем да посочим последна цифра ,защото не съществува двуцифрено число ,което започва с три и се дели на 23.

 

Задача   Едно число се дели на три, ако  сумата от  цифрите му се дели на три .

С използване  само на цифрите  3  и  5  (всяка поне по веднъж) трябва да се запише число което се дели на 3 и на 5.Намерете  най-малкото такова число ?

А)3555                 В) 5335                   С) 5535                   D) ) 535

Решение

  • Щом ще се дели на  5  ще завършва на 5
  • От това,че сумата от цифрите се дели на 3  то,тя ще е едно от   числата :

  3,2. 3,  3.3,  4.3,   5.3,   6.3 .........(3,6,9,12,15,18 ......)                                                                                 

Първата възможно  най-малка сума ще ни  даде най-малкото число

С проверка се вижда,че  3,6,9,12 и 15 не можем да  получим  със  сбора на числата  3  и  5 .

Числото  18 = 5+5+5+3 и това е единствения възможен  сбор -?

·        Следователно трябва да запишем  най-малкото число записано с три петици и  една тройка и това е числото  3555

Отговор А)

 

 


Задача  Дадено е четири цифреното число 2 * 3 *  .Да се определят  другите две цифри на числото  ,така че полученото число   да се дели на 6 .Колко най-много такива числа може да получите ?

а)  16               в) 8               c) 14                d) друг отговор

                                                (Софийски математически турнир )

Решение

·        От това,че  6 =2.3 и  2 и 3 нямат общ  делител ,следва,че числото ще се дели на 2 и  3

·        От това,че се дели на 2 ,последната цифра   е    0 , 2,   4,   6, и   8

·        От това,че се дели  на 3 ,сборът от цифрите се дели на 3

 

 

Последна цифра

0

2

4

6

8

Втора цифра

1,4,7

2,5,8

0,3,6,9

2,5,8

2,5,8

Сбор на другите две

5

5

5

5

5

 

По този начин преброени ,това са всички възможни числа  и те са :3+3+4+3+3=16

 

 

 

Задача   Боян     имал     няколко    играчки .Ако  даде   две  на  Антон  полученият брой  ще  се  дели на   3 , ако  даде  две  на Петър   полученият  брой ще се дели  на 5 .Колко най-малко играчки  трябва  да  има  Боян  ?

а) 17                      b) 11                         c) 13                 d) друг отговор

Ако броя на играчките  е   А  ,то   А – 2  се дели  на  3

                                                        и   А -  2  се дели  на  5

но, числата   3   и   5  нямат общ делител (са взаимно прости)

Следователно  А – 2  е едно  от  числата   15, 2.15,3.15 ........

Следователно  А   е едно  от  числата   17, 32, 47 ........

Най-малкото от тези числа  е  17  .Тогава  играчките на Боян  са най-малко

15 +2 =17

Отговор  а)

 


Задача Едно естествено число има интересно свойство :

Ако  от него извадим    5  ще получим число което се дели   на  3  и  на  4.

Кое  е най-малкото число  с  такова свойство ?

а) 17                      b) 11                         c) 13                 d) друг отговор

 


Задача  Всички двуцифрени числа са записани  на  90  картончета (по едно на картонче). Колко най-малко картончета трябва да избера, без да гледам, за да е сигурно, че две от тях имат различни сборове на цифрите си?

А) 19                     B) 10                    C) 27                             D) 28

Решение

(1) Всички  сборове от цифрите с  които  ще запишем  двуцифрените  числа  с помощта  на   цифрите      

0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 

са   измежду  числата :

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18

 

(2) Ако вземем  18  картончета ,то е възможно  всички те да имат различен сбор и да няма две с еднакъв сбор .

 

(3)Следователно  ако  си   вземем  19  картончета ,винаги ще има поне две  с 

еднакви суми от цифрите на числата с  които са записани   . 

Отговор 19)

 

Задача На  21  картончета са написани    в  произволен ред   21  различни естествени числа .Колко най-малко картончета трябва да  вземем  ,за да сме сигурни ,че винаги   в тях ще има две числа, които имат един и същ  остатък  при деление с  числото 19.

а)  19          b) 20                    c) 21                d) друг отговор

Отговор b)

 

Задача Милена   си    намислила    двуцифрено число със  следното свойство:Сбора на числото което е намислила с числото записано със  същите цифри,  но в обратен ред   е   66 .  Колко числа е намислила Милена ? .

Решение

Нека цифрата на  единиците  е   числото  x , а  цифрата на  десетиците  е числото y

  • ·        Тогава числото   на   Милена    е            10.x+ у .
  • ·        Двуцифреното с разменени цифри  е     10.у+x
  • ·         Сборът  е : 10.x+ у  + 10.у+x =11.x +11.у
  • ·          11.x +11.у =66  ,получаваме,че  x +у = 6
  • ·        Сбор  6 от цифри  можем да получим , ако цифрите са :

единици

 

1

5

4

2

3

десетици

 

5

1

2

4

3

число

 

15

51

42

24

33


Отговор 5 числа

 

 

Задача Сборът на двуцифрено и три цифрено число е 596. Едното от тях завършва на 2. Ако тази цифра се зачеркне, ще  се получи другото число. Числата са:

а) 49 и 492         в) 552 и 44             c) 544 и 52            d)  друг отговор

(Коледно математическо  състезание )

Решение

  • ·        Ако зачеркнем три цифрено число  ще получим  двуцифрено

В този случай  числата  ще са :    100a+10b+2  и    10a+b

 Сборът им    е   110a + 11b  + =  596,

Получаваме    110a +11b=594 ,следователно

 10a b   =54 

В този случай числата са  54 и 542

  • ·        Ако зачеркнем  четири цифрено ще получим  сбор по-голям от 596

Отговор  542 и 54                                                                                                                                                          



  Помисли   и   реши  самостоятелно !

 


Задача. Сборът на две числа е 474. Последната цифра на първото число е 1.  Aко я задраскаме ще  получим второто число. Кои са числата?

а) 341 и 43                      b) 341 и 34                  c) 412 и 42                  d) друг отговор

(Коледно  математическо състезание)  

 

Задача   Ани  си  избра три различни цифри.Написа  всички възможни три цифрени числа,в записа на които  участват  и трите  цифри.

     Събра  числата  и  получи  633.

  Кои са избраните  от Ани първоначални цифри?

(СМГ „Математическо състезание за откриване на млади таланти”)     

Решение:  

  •  Нека между избраните различни три цифрени числа  няма цифра нула.

Тогава  можем да съставим шест различни числа ,чиято сума винаги ще е по-голяма от 633,защото  най-малкото възможно  число  с различни цифри е 123.

      Правим извода,че измежду избраните  цифри има цифра 0.Ако цифрите

избрани   от  Ани са    а,   в и 0  , възможните числа са :  аов,  аво,  воа  и  вао 

           Сборът на тези числа е сборът на всички стотици ,десетици и единици.

       Получаваме,че   211.а +211.в=633 , а+в=3 . Следователно  избраните в началото цифри  от Ани са  1 и 2.

        Не е възможно  две от избраните цифри да са  нула .



За

 

Задача  Моята парола   е съставена от четири цифри  и  е такава ,че  четена отляво надясно и отдясно на ляво  е една и съща .  Сборът от цифрите ми  е равен на числото, съставено от първите му две цифри." Коя е моята парола ?                                             Решение                                                                                                                                          

 Нека записът на числото е   abba

2(a + b) = 10a + b.
b = 8a.
Последното е възможно  само при а = 1 и b = 8. Номерът на  паролата   ми  е  1881





Задача Числото      1a2a3a...8a9a   се    дели на 99. Коя е цифрата a?

                                                       А) 1; Б) 3; В) 5; Г) 7.

                                   (Математически турнир“Иван Салабашев)

                                                                        Решение 

Сборът от цифрите на числото е 9a + 45 и от признака за деление на 9 следва,

че то се дели на 9.

За да се дели и на 11 е необходимо числото 9a−45 = 9(a−5) да се дели на11. Това е възможно само при a = 5.




 

Задача .Колко са двуцифрените числа  за които :  9    пъти  цифрата  на единиците е равна на  7  пъти цифрата  на  десетиците ?

а) 1;                           b) 2;                            c) 3;                            d) друг отговор

Решение.

Нека числото  има цифра   на  единиците   a   и  цифра на  десетиците  b

За тях е вярно,че   9. a =7 .b

От всички числа с които записваме цифрите   0,1,2,3,4,5,6,7,8, и 9

    9. a =7 .b   е   изпълнено   , ако   b= 9 

Тогава   a= 7 и  единственото число с това свойство  е  97

 

 

Задача  Съставете всички   двуцифрени   число със свойството :Три   пъти цифрата на десетиците  е равна  на  4   пъти цифрата на единиците . 

 


Задача   Боян     имал     няколко    играчки .Ако  даде   две  на  Антон  полученият брой  ще  се  дели на   3 , ако  даде  две  на Петър   полученият  брой ще се дели  на 5 .Колко най-малко играчки  трябва  да  има  Боян  ?

а) 17                      b) 11                         c) 13                 d) друг отговор

Ако броя на играчките  е   А  ,то   А – 2  се дели  на  3

                                                        и   А -  2  се дели  на  5

но числата   3   и   5  нямат общ делител (са взаимно прости)

Следователно  А – 2  е едно  от  числата   15, 2.15,3.15 ........

Следователно  А   е едно  от  числата   17, 2.17,3.17 ........

Най-малкото от тези числа  е  17  .Тогава  играчките на Боян  са най-малко

15 +2 =17

Отговор  а)

 


Задача Едно естествено число има интересно свойство :

Ако  от него извадим    5  ще получим число което се дели   на  3  и  на  4.

Кое  е най-малкото число  с  такова свойство ?

а) 17                      b) 11                         c) 13                 d) друг отговор

 


Задача . Дадено е естествено число А. Ако разделим 17748   на    А, се получава остатък 3, а ако   разделим 7655 на А, се получава остатък 4. Числото А е:

а) 7                      b) 11                         c) 15                 d) друг отговор

(Великденско математическо състезание )

Решение

(1) Числото   А  ще се дели без  остатък   на  17 748 -3 =17 745  =  5.3.7.13.13

(2)  Числото  А  ще се  дели без остатък  и  на числото  7 655 -4 =7651=7.1093,

където 1093 е просто  число

 

Следователно числото  А   е  измежду общите делители  на  двете числа.

Единтвения  общ  делител  на двете числа е числото 7 .

Следователно числото А  е 7 .

Отговор  а)

 


Задача . Дадено е естествено число   А. Ако разделим      157 на   А, се получава остатък 3, а ако   разделим   71 9   на  А, се получава остатък 4.  Числото А е:

а) 17                      b) 11                         c) 25                 d) друг отговор

Отговор b)

 

 

 Задача . Дадено   е   естествено число А. Ако разделим     157 на   А, се получава остатък 3, а   ако   разделим   290    на А, се получава остатък 4. 

Най-голямото число  А  е  :

а) 22                     b) 11                         c) 2                 d) друг отговор


Решение

154 = 11.7.2     се дели  на  А

286 = 2.11.13   се дели на А

Числото  А    е       общ  делител на двете числа

Всички  общи  делители     са  2,  11  и  22 

Най-големият е 22

Отговор  а)



 

Задача Колко трицифрени числа имат следното свойство: „След като от трицифреното число извадим 297, се получава трицифрено число със същите цифри, но взети в обратен ред.“?

                                           A) 6   B) 7   C) 10    D) 60    E) 70

                                 ( Математическо състезание”Европейско кенгуру „)

                                                         Решение

Нека  цифрата на единиците на даденото  число  е   a,цифрата на десетиците е b ,цифрата на  стотните  е c.

                                         Тогава  ще  е вярно,че  :

                 100. + 10.b +   c   - 297  = 100.c +  10. +  a   и

                                    99 a    -   99 c  =297  ,

                                      a - c = 3        

 От условието  е ясно,че   c< a

Възможните  числа с това свойство са :96,85,74,63,52,и 41

                                                   Отговор А)

 

                                               ТРЕТА  ЧАСТ

Задачи за ученици  от 6 и 7  клас

Част от задачите могат да се решават  и от ученици  от 4 и 5 клас

 

Задача. Да се намери броят на всички четири цифрени числа, за които при премахването на първата цифра на всяко от тях се получава число, девет пъти по-малко от първоначалното.

а) 4                                 в) 7                              с) 9                                 d) друг отговор

(Великденско математическо състезание)

 Решение

Нека след задраскване  на първата цифра сме получили  три цифреното число  y.

Ако първата цифра на четири цифреното е  x, за  всяко число 

 1000 x + у = 9 у    или 

  у  =  125 x. 

У  е три цифрено число, което може да се получи при x  = 1, 2, 3, 4, 5, 6 и  7, 

Отговор : Числата са седем.

 

Задача    Петър си намислил двуцифрено число . Умножил го с 8 ,разделил го на 3 и получил огледалното на даденото число.Кое число е намислил Петър?

Решение.

Нека двуцифреното число    на   Петър   е   10.a + b

За него ще  е   изпълнено    (10.a + b).8=3.(10 b + a)

След преобразуване  получаваме следната  зависимост  за  цифрите : 77.a = 22.b

  От  равенството    7.a = 2.b  правим  извода,че  в е цифра която е кратна на 7 .Това е възможно само,  ако   b =0  или  7

  Единствената възможност  е  b=7 , a = 2   и   числото на Петър  е  27

 

 

Задача Цифрите на единиците на две естествени числа са 2 и 5. Сборът им е равен на 1117. Ако разменим цифрите на единиците на тези числа, ще се получат нови две числа, чиято разлика е равна на 953.Кое е по-голямото от първоначалните числа.

а) 1112                           b) 1032                        c) 985                             d) друг отговор

(Великденско математическо състезание)

Решение Нека числата са :    10x + 2   и    10y + 5 , тогава   ще следва,че

  • 10x + 2 + 10y + 5 = 1117

10x + 5 – 10y –2   =  953      

x = 103           y = 8   числата са   1032   и   85.

 

  • Ако     10x + 2 + 10y + 5 = 1117

10y + 2 – 10x –5   =  953      

            тази  система има дробни решения.

  •  

    Задача  . Произведението на две естествени числа е равно на 192. Ако едното число се намали 4 пъти, а другото се увеличи с 18, стойността на произведението се запазва. Намерете сбора на двете числа.

а) 38;                         b) 60;                          c) 28;                          d) друг отговор

(Великденско математическо състезание)

Отговор  а)

 


Задача  . Сборът на две числа е 22, а сборът на квадратите им 274. Намерете произведението на тези числа.

Решение  

Знаем,че  за всеки две произволни числа a  , b  е  вярно  :  (a  + b)2  =    a2  +    b2   +  2ab

Заместваме  с дадените  условия в равенството и получаваме :  22.22 =274 + 2ab

и   ab =  45

ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА  С ИНТЕРЕСНИ СВОЙСТВА.ЗАДАЧИ  ПОДХОДЯЩИ ЗА СЪСТЕЗАНИЯ,ОЛИМПИАДИ И ТУРНИРИ

Естествените числа се използват при броенето :„На масата има 5 ябълки.“    и   при    номерацията :

„Той завърши на 3-то място“.                                                                                      

Това  са  числата    1,2,3,4,5,6,7,8................... N.

Наричат се естествени числа  и  се означават  с  N

                Естествените числа   се записват в десетична позиционна  бройна система  с помощта на десетте   цифри   0,1,2,3,4,5,6,7,8 и  9

Системата се нарича десетична защото основна роля при записването на числата  играе числото 10

   Например  56=5.10+6

          123=1.100+2.10+3

          2578=2.1000+5.100+7.10+8

В много задачи по математика   се търсят  естествени числа, които имат определени  свойства .

       Примери от  текстове  на задачи  :

-Цифрата на  десетиците  е  с едно по-голяма от цифрата на  единиците

-Цифрата на стотните е кратна (се дели на 5)

-Най-малкото или най-голямото число със  свойството..

-Цифрите  на  числото са огледални (симетрични)

-Търсеното число се дели на 3 ,5,4 или 9

-Числата са последователни естествени числа ...

            Ще   Ви   предложим   задачи от   състезания и олимпиади или задачи   подходящи  за състезания и олимпиади     за намиране  на естествени числа  с определени   свойства ,  решими  само със знанията   от училищния курс по математика.

 
В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg