В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Задачи в които се определя точното място на даден елемент.

Задачи от закономерности

Видео урок на руски :Какво е закономерност ?

Видеоурок на руски : „Какво е алгоритъм ?”


Задача В спортна зала са разположени 23 реда с по 18 стола на всеки ред .Местата са номерирани като се започне от първия ред с място №1.В кой ред е разположен стол с номер 288 ?

А)10 B)12 C)16 D) друг отговор

Решение

Броя на столовете след всеки ред са измежду числата: 1.18,2.18,3.18,4.18 .........23.18

Например: от първи до трети ред включително са заети общо точно 18+18+18=3.18=54 стола .Тук на 54 място се намира стол ,който е последен за трети ред . За да определим точно реда на който е стол с номер 288 , търсим частното 288:18=16

Тогава стол с номер 288 се намира на 16 ред и даже можем да кажем ,че е последен стол на този ред.

Отговор C)

.Забележка :На следващият ред с номер 17 са и всички столове с номера 289,290,291,292,.......до 17.18


Задача  В театрална зала са разположени 26 реда с по 24 стола на всеки ред .Местата са номерирани като се започне  от първия ред с място №1.В кой ред  е разположен стол с номер 375?

 

А)10       B)12        C)14         D) 15           E)16

(Математически турнир „Черноризец Храбър „ )

Решение   От това,че 375=24.15 +15,  то търсеното място е в 16 ред.

 

Задача.. Кабинките на лифта за връх “Снежанка” са номерирани. В един момент

се оказало, че кабинка с №  47 е срещу  кабинка с № 113, а кабинка с

№ 189 е срещу  № 210.

Намерете броя на кабинките.

а) 237       b) 238                c) 239;            d) друг отговор

(Коледно математическо състезание)

 

Задача.Румяна  оцветила шахматно таблицата  начертана по  долу и  започнала да

номерира   квадратчетата ,така  както е показано на чертежа.Мястото на всяко число тя може  да определи чрез реда и  колоната  - например числото 33  тя

записва  в ред 4 колона M.

     А)В кой ред и коя колона тя ще запише числото 330?

     B)Колко числа ще запише Румяна  в шахматна дъска с размери 19 на 19 ?

     C)Колко е сборът от числата, написани от Румяна ,в квадратна шахматна дъска с

размери 19 на 19 квадратчета ?

Математическо състезание  Академик „Кирил Попов” ,Отборно състезание-VI                                                                                                                                                                                    

 

 

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

 

1

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

 

10

 

2

 

19

 

18

 

17

 

16

 

15

 

14

 

13

 

12

 

11

 

 

3

20

 

21

 

22

 

23

 

24

 

25

 

26

 

27

 

28

 

29

 

4

 

 38

 

37

 

 36

 

 35

 

 34

 

33

 

32

 

31

 

30

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Задача Дамян поканил  Стоян на гости,но не му казал номера на къщата в която той живее , а само че, е от четната страна на улицата .Улицата на която Дамян  живее започва с номер 1.Стоян  знае ,че ако задраска всички номера ,които са кратни на 5 от страната на която е къщата на Стоян и му останат 84  не задраскани номера на  къщи ,то  къщата на Стоян е две къщи след последната задраскана  от Стоян .Кой е номерът на къщата в която живее Дамян  ?

                                 А) 210   B) 212   C) 214  D) друг отговор

Решение                                                                                                                                                                            Дамян живее на четната страна на улицата- номерата са :2,4,6,8,10,12, ......                                                             Кратните  номера на къщите ,които се делят на 5 са :10,20,30 ............                                                                   

От 2 до 10 –къщите са  1  задраскана  и  4  не задраскани                                                                                                

От 11 до 20 –къщите са  1 задраскана  и  4 не задраскани  и така нататък .                                                    

От това,че 84 = 4.21, то правим  извода ,че Стоян стига до къща с номер 210   и дотук не е задраскал  точно 84 къщи  .Тогава номерът на къщата на която живее Дамян   е 214 .

 



Зад

Задача Дамян поканил  Стоян на гости,но не му казал номера на къщата в която  живее .Улицата на която Дамян  живее започва с номер 1.Стоян  знае само ,че ако задраска всички номера ,които са кратни на 7 и 2  от  двете  страни на  улицата   и  му останат  общо  96   не задраскани номера на  къщи ,то  къщата на Дамян  е една къща след последната задраскана  от Стоян . Номерът на къщата в която живее Дамян е ?

                                 А) 240   B) 225   C) 266  D) друг отговор

Отговор B)



Зад

Задача Качвайки се на лифта ,забелязах ,че сядам на седалка с номер 5.Точно по средата на пътя срещнах седалка с номер 130 .

а)Намерете броя на седалките,ако те са подредени по номера .

б)Една седалка изминава 50 метра за една минута ,а разтоянието между всеки две седалки е 8 метра .За колко минути група от 26 ученици ще се изкачи на върха ,ако на всяка седалка пътува по един пътник ?

(Зимни математически празници )

Решение

а)(130-5).2=250 седалки

б)Дължината на въжето на лифта е 250.8 =2000 метра

Тогава разтоянието до върха е 2000 :2=1000 метра

Първият ученик се изкачва за 1000 :50 =20 минути

Когато той слиза ,26 -ият ученик след него се намира на разтояние 25.8 =200 метра .Това разтояние се изминава за 200 : 50 =4 минути

Следователно групата ще се изкачи за 20+4=24 минути .


Решение на  отбор класирал се на първо място

А)На всеки два реда общо числата са 19 .Забелязваме,че числата които се делят на 19 се намират  в колона Б. Тъй като 330= 19.17 +7 =323+7,то 17.2=34 реда са необходими на Румяна  да напише  първите 323 числа ,така 

нататък ,числото 323   ще е в ред 34 ,колона Б.

 Последователно в ред 35 ще запише  числата 324 (колона А),325(колона В) и 326(колона Д), .........330  (колона H)

Б)Тъй като 19=9.2+1,то броят на числата ще е 9.19+10=171+10=181 числа

В)Сборът е 1+2+3+4+.......181=(1+180).(180:2)=181.91=16471

Решение на отбор класирал се на  второ място

А)Числата които Румяна е записала  в  колона  Б  се делят на  19, намират на 2 ,4,6 8..... ...34,36...... четен ред , в тях числата са записани винаги  в   намаляващ ред .Това са числата :

1.19 =19,  2.19=38,   3.19=57 ............17.19=323,.......                     

Ще отбележим,че  на всеки два реда Румяна е записвала точно по 19 числа.

  Търсим  реда и колоната  на 330 ,като знаем че  323 е записано в 17.2=34 ред (колона Б) в който числата намаляват . Следващото число на  35 ред ще  започва  с 325  и понеже запиваме във възходящ ред ,то числото 330  попада в колона Н ,ред 35

  

Задача.Числата от 1 до 120 са записани на 15 реда,както е показано  в таблицата .В  коя колона  сборът от числата е най-голям ? (най-лявата считаме за първа)

(Международно състезание „Европейско кенгуру”,2012 г.)

А)  1-първа           B)  5-пета                      C) 7-седма                    D) 10-десетата                 E)13-тринадесета

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

8

9

10

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

13

14

15

 

 

 

 

 

 

 

16

17

18

19

20

21

 

 

 

 

 

 

-

-

-

-

-

-

-

 

 

 

 

 

106

107

108

109

-

-

-

 

 

 

 

120

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Верен отговор B)

 


 


Задача  Естествените  числа са разделени  на  групи  по правилото:Числото 1 е в първа група,числата 2 и 3  във втора група  ,числата  4,5 и 6 в трета група ,числата  7,8,9 и 10 в четвърта група  и  така нататък.   

 Записваме разделянето по групи :(1),  (2,3),  (4,5,6),   (7,8,9,10),  (11,12,13,14,15)..........

А)Намерете номера на групата  в която   попада числото  28

B) В  коя група е  числото 1987 . 

Решение  А)

 (1)1           (2,3), 2    (4,5,6),   3    (7,8,9,10), 4     (11,12,13,14,15) 5..............

Нека разгледаме групите като зидани редове .



 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

4

 

5

 

6

 

 

Следователно   всяка група  е нов зидан ред .

От това,че  1+2+3+4+5+6+7=28 ,то следва,че  числото 28 е в 7 група.

B)  От това,че 1+2+3+..............61 +62=(62.63):2=31.63=1953 следва,че   62 група завършва на 1953 .Следователно  числото 1987 ще е в  63 или 64 група.

От това,че    1+2+3+..............61 +62+63 =(63.64):2=63.32=2016 ,то група с номер 63  ще завършва на 2016 .Следователно  числото  1987 е в група  с номер 63.

Задача Едно след друго са  записани числата  от 1 до 100.Получаваме числото 123456789101112……100.  Намерете:

А)Коя цифра стои на стотното място  от ляво на дясно?

Б)Коя цифра стои на  стотното място от дясно наляво

В)Колко цифри има между горните две намерени цифри?

(Математическо състезание  Академик „Кирил Попов” ,гр.Шумен ,Отборно състезание -IV клас)

Решение А) Необходимо е да опредилим стотното място в записа на това число

  12345678910                          – 11 цифри

11121314151617181920         - 10.2=20 цифри

21................................30         - 10.2=20 цифри

31................................40         - 10.2=20 цифри

41................................50          -10.2=20  цифри

Можем да направим извода ,че със записаните 91 цифри на  100 място ще стои  цифрата 5 .(5152535455)

B)2

C)6

 


Задача  Хари Потър номерирал 100 карти с числата от 1 до 100.Той подредил картите една  след  друга  по следния начин :

-         Най-напред  всички карти  с номера кратни  на 2 в нарастващ ред (2,4,6,......)

-         След това (от оставащите карти) всички карти  с номера кратни на 3 в нарастващ ред.

-         После (от оставащите карти ) всички карти кратни на 5 в нарастващ ред .

-         После (от оставащите карти) всички с номера кратни на 7 :

 и така нататък , всички карти с номера съответно  кратни на 11,13,..... и останалите прости числа до изчерпване на картите.На кое място е  картата с номер 91?

А)66 място          B)68 място                C)75 място         D)77 място          E)78 място

( Национален кръг „Европейско кенгуру „)

Решение Числото 91 е кратно на 7   и   частното е 13.Следователно трябва да изброим всички карти  кратни на 2 , 3 , 5 и 7  и потърсим  съответната карта  с частно 13 при деление със 7

·        Числата кратни на 2 са :1.2,2.2,3.2,4.2 .......50.2  -  точно  50

·        Числата кратни на 3 са : 1.3.3 – от ,2.3,3.3,4.3,.....33  Вече са изброени четните -  2.3,4.3 ..........32.3 точно 16 числа , следователно  подреждаме  още 17 карти и стигаме до карта с номер 50 +17 =67

·        Числата кратни на 5 са  1.5,2.5,3.5,4.5,..........20.5 – от тях четни са 2.5,4.5....20.5  точно 10 числа , от останалите 10 числа кратни на 3 и нечетни  са 3.5,9.5 15.5,  .Следователно  ще подредим още седем числа и ще стигнем до карта с номер 67+7 =74

·        Числата кратни на 7 са : 1.7 ,2.7,3.7 ,4.7 ,.......13.7 ,14.7 – точно 14 числа,от тях кратни на 2 са 7 числа   , кратни на 3 и на 5  са числата 3.7,5.7 и 9.7

Следователно картите които ще продължим да подреждаме ,ще бъдат с номера 75( тя съответства на 7) ,76(съответства на 7.7) , 77(съответства на 11.7) 

 и 78 (съответства на 13.7=91)

Следователно общия брой се дели на 12 и  е число между  90 и 100 .Единственото число с това свойство е 96.



Задача Всички естествени числа са оцветени в четири цвята в тази последователност. Числото е 1 червено; числото 2 –синьо;3 –зелено; 4 –бяло; 5 –червено; 6 –синьо; 7 –зелено и т.н. Колко от числата между 100 и 120 могат да се получат като сбор на червено и на зелено число

А) 3

Б) 4

В) 5

Г) 7.

 

Математически турнир „АКАД. КИРИЛ ПОПОВ“ШУМЕН, 7 МАЙ2016

ПЪРВИ ЕТАП, ИНДИВИДУАЛНО  СЪСТЕЗАНИЕ,5 КЛАС

Решение

 

червено

1

5

9

.....

 

 

синьо

2

6

10

.....

 

 

зелено

3

7

11

.....

 

 

бяло

4

8

12

.....

 

 

Всички числа оцветени в зелено  ,дават остатък 1 при деление с 4

Всички числа оцветени в червено ,дават остатък 3 при деление с 4

Тогава сборът на зелено и червено число ще се дели на 4

Между числата  от 100 до 120 на четири се делят числата 116,112,108,104 –общо 4


Задача . Часовниковият механизъм на пералня всяка минута по-

казва минутите, които са изтекли от пускането на избра-

на програма за пране и минутите, които остават до края

ѝ. На екрана са показани изтеклите и оставащите минути

при програма с продължителност 60 минути.

 

1

2

4

8

Пламена избрала и пуснала програма. Забелязала, че всяка минута след началото сборът на цифрите на числата на екрана е равен на 13. Колко минути е продължителността на програмата, избрана от Пламена?

Математически турнир „АКАД. КИРИЛ ПОПОВ“ШУМЕН, 7 МАЙ2016

ПЪРВИ ЕТАП, ОТБОРНО  СЪСТЕЗАНИЕ

ТРЕТИ КЛАС

Решение.

Първи начин

Първите девет минути на часовника вляво се изписват едноцифрените числа от 1 до 9, затова вдясно също трябва да са девет поредни числа от една и съща десетица в обратен ред (сборът на цифрите е един и същ).

 Аналогично за следващите 9 минути и т. н. Следователно търсеното времетраене на програмата е число, завършващо на 9.

Числата 9, 19, 29 и 39 (1 + 3 + 8) не удовлетворяват условието – на първата минута сборът на цифрите няма да е 13. От друга страна, времетраенето не може да е повече от 49 минути, тъй като тогава вляво ще е изписано 49, а вдясно – число, по-голямо от 0, и сборът ще е повече от 13.

Втори  начин

Не е възможно  програмата да е  по –дълга от   49 минути ,защото в момента в  който в оставащото време  е 50 ,то в следващата минута,оставащото време ще е 49 и тогава сборът от цифрите на числата ще е винаги по-голям от 13

 

0

?

4

9

 

Тогава  в първата минута на таблото могат да са следните възможности :

 

0

1

3

9

 

                                                или

 

0

1

4

8

 

В първия случай  програмата е  40 минути,а във втория -   49 минути

Ако програмата е    40 минути ,то на 10  минута ,таблото ще показва

1

0

3

0

В този случай  програмата не изпълнява условието всяка минута ,до края на програмата  сбора от цифрите да е 13

Остава програмата да е 49 минути

Проверки ще направим при преходите към кръгли числа , в останалите случаи сборът  от цифрите е винаги равен на 13

0

9

4

0

 

1

0

3

9

 

1

9

3

0

 

1

1

2

9

 

2

9

2

0

 

 

 

 

Задача .

СЪСТЕЗАТЕЛИ

В нашия отбор има 30 състезатели –15 ветерани и 15 новаци. За предстоящия мач треньорът предложи странен начин да подбере половината от нас: „Ще застанете в кръг. Ще

започна да броя от капитана-ветеран и вървейки по кръга (все в една и съща посока) ще посочвам всеки девети, който ще излиза от кръга  и няма да участва. Продължавам броенето от следващия и така, докато в кръга останат 15 състезатели –те ще участват в мача!“

Аз, като капитан, съумях така да разположа състезателите в кръга, че за мача останахме само  ветерани.

Как са били разположени състезателите в кръга?

Математически турнир „АКАД. КИРИЛ ПОПОВ“ШУМЕН, 7 МАЙ2016

ПЪРВИ ЕТАП, ОТБОРНО  СЪСТЕЗАНИЕ

ШЕСТИ  КЛАС

Решение

Да номерираме състезателите в кръга от 1 (капитана) до 30. Започвайки броенето от 1, заграждаме 9; след това 18, 27, 6, 16, … Така ще бъдат заградени числата 5,6, 7, 8, 9, 12, 16, 18, 19, 22, 23, 24, 26, 27 и 30.

Следователно капитанът е разположил  ветераните (в това число и себе си) така: 4 ветерани, 5 новаци, 2 ветерани, 1 новак, 3

ветерани, 1 новак, 1 ветеран, 2 новаци, 2 ветерани, 3 новаци, 1 ветеран, 2 новаци, 2 ветерани, 1 новак.

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg