В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Колко са фигурите на чертежа?Различните пътища до даден маршрут са :

1
1
1
1

 

П

О

Д

О

Б

Н

И

 

 

Т

Е

М

И

 

 

 

1
1
1

ПЪРВА ЧАСТ: Колко са фигурите на чертежа ?

Започваме с една оригинална задача ,решена с анимация

1
1
1


                                


Задача Колко правоъгълника има на шесто ниво?

А) 12             B) 64              C) 32          D) друг отговор

(Великденско математическо състезание)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Първо  

ниво

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Второ

ниво

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Трето

ниво

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Четвърто

ниво

 

 

 

 

 

 

 

Решение.
На първо ниво  -1
На второ ниво  -2
Разглеждаме броя на правоъгълниците в следващите две нива на чертежа  и  откриваме
закономерност - на всяко следващо ниво са два пъти в повече.
На трето ниво  - 4
На четвърто ниво -8
На пето ниво -16  
На шесто  ниво -32

                                


Задача  Открийте закономерността и продължете  редицата от правоъгълници. От колко   квадратчета е съставен осмият правоъгълник?

               A) 90      B) 72   C56    D) 45     E)40

(Математическо състезание "Европейско  кенгуру")

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Решение 

Първият  правоъгълник  има размери    1 на  2  сантиметра
Вторият  правоъгълник има размери      2  на 3  сантиметра
Третият правоъгълник  има размери      3 на   4 сантиметра
Четвъртият правоъгълник има размери   4 на  5 сантиметра 
 По това правило   осмият правоъгълник  ще има размери  8 на 9 сантиметра  и  ще се състои от 72 квадрата .


                                

Задача. . Колко отсечки има на чертежа?

                   А.                                      В.                     С.                                D. 

                    a) 6                         b) 14                     c) 12                                 d) друг отговор

                                                                      Отговор а).

  Преброяваме отсечките  с начало точка А - отсечките  са :  АВ , АС  и  AD

Продължаваме  да преброяваме  с начало точка В - отсечките са:   ВС и BD 

Последната отсечка с начало  точка С е  С D

По този начин сме преброили всички отсечки   и  те  са  3+2+1=6  броя

                                

Задача. . Колко отсечки има на чертежа?

А.                                      В.                     С.                                D.                           E

a) 6                         b) 10                     c) 12                                 d) друг отговор

                                                                 Отговор b)

                                

 Задача  Пребройте правоъгълниците на чертежа. Полученото число е :                                              

  А) 1                               B) 4                             C)8                          D)6    

 

 

 

                     

                                                                                Отговор: D)                                                                                                                                                                                                

                                


Задача
Начертайте фигура .Разделете я на по-малки .Пребройте  получените фигури.

                                

Задача Пребройте правоъгълниците на чертежа

 

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)


                            Решение

За да не пропуснем   правоъгълник  броим  по следният начин :

  •   С  един  правоъгълник   -  точно   четири
  •  С два правоъгълника      -  точно четири
  •   С четири правоъгълника - точно един

По този начин сме преброили всички правоъгълници и те са:  4 +4+1=9

                                

Задача.  Колко е броят на правоъгълниците на  чертежа,(фигурата е съставена от  8 квадрата с размери 1 на 1)

които   имат  обиколка равна на 6 cm?

                                                  (Коледно математическо състезание)   

                                     А)  60        B)  10          C)  49         D)  друг отговор

  1      1           1            1

 

 11



 

 


 

 

 

  

                                                                 Отговор B)

     Упътване  Само правоъгълници  с размери  2 на 1

или с  размери   1 на  2 могат да имат обиколка 6 .Потърсете ги на чертежа.

                               


Задача .Колко  са правоъгълниците на чертежа?                                                                                                           А)16     B) 17     C) 7   D   ) друг отговор


 


 

 

 

 

 


 

 

 


 



Решение  

 Важно !  Броим така,че да не  пропуснем правоъгълник.

(1) съставени от  едно     квадратче -  общ   брой  7

(2)  съставени от  две      квадратчета  -  общ   брой  6

(3) съставени от  три       квадратчета  -  общ   брой  3

Извод !  Общия брой е  7+6+3=16  


                                

Задача  Колко   правоъгълника   на чертежа  съдържат  звездичка ?

 

 

*

     

A) 3        B) 5          C) 6          D) 7            E) 9

Решение

Съдържащи звездичка  в  един  правоъгълник -  1  брой

Съдържащи звездичка  в  два правоъгълника  -2 броя

Съдържащи звездичка  в  три правоъгълника  -  2 броя

Съдържащи звездичка  в четири правоъгълника - 1 брой

                                                              Общо: 6 правоъгълника 

                                

"/>

 


 

                                

Задача. Колко триъгълници има на чертеж 1?

 А) 20                       B) 10                            C) 24                            D) 26 

Решение.На чертежа за по-лесно преброяване сме означили  малките триъгълници с номера (1),  (2) , (3 ) и  (4)

  • Четири триъгълника  с  номера 1,2,3 и 4
  • Три триъгълника образувани с двойките триъгълници  (1 и2 ) ,  (2 и 3) ,  ( 3 и  4 )
  • Два триъгълника  образувани от тройките     (1,2 и 3)  и   (2,3 и 4)
  • Един триъгълник образуван от  четворката триъгълници   (1,2,3 и 4)

По този начин  сме преброили всички възможни триъгълници и те са  10

                                

Задача. Колко са правоъгълните  триъгълници на чертеж 2 ?      

 (Математически  турнир „Черноризец Храбър”)

A)  6            B)     4         C)    7           D) 5                       D) 5             E)3

Отговор:

                                

"/>


Задача .Колко са триъгълниците на чертежа ?
(Математическо състезание "Свети Георги Победоносец)

                                

Задача.   Със седем квадратни плочки може да се състави буквата П (чертеж. 1), с 11 плочки може да се състави буквата П  два пъти (чертеж. 2). Колко пъти ще изпишем буквата П, ако по този начин подредим 2011 плочки?

                                                        ( Великденско математическо състезание)

а)502;                        b) 503;                        c)505;                                    d)друг отговор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Чертеж 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                 

Чертеж 2

 Решение:  Щом със 7 плочки се съставя буквата П, а с 11- два пъти буквата П следва, че за всяка следваща буква са необходими по 4 плочки. Следователно 2 011-7=2 004 плочки са използвани за съставянето на останалите букви след първата. 

Всички  букви след   първата са :  2 004:4=501

                                                         Отговор a)

                                

"/>
Задача Колко са квадратите на чертежа ?

                                

Задача  Колко  са квадратите на чертежа ?

 Решение  Разполагаме с квадратна мрежа с размери 4  на 3.

 

 


 

 

 


 

 

 

 


 

 

 



Квадрати с размери  1 x 1       - 12 броя
 

Квадрати с размери  2 x 2       -   6 броя

Квадрати с размери 3 x  3       -   2 броя

                                                         20 броя                     

                                

                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
 

Задача  Пребройте правоъгълниците на чертежа.

                                         Решение


 

 


 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 
  • изброяваме всички правоъгълници  с размери 1 на 1

            10 броя.

  • изброяваме всички правоъгълници  със размери 2 на 1- 13броя.
  • изброяваме  всички правоъгълници 3 на 1

6броя.

  • изброяваме всички правоъгълници с размери 4 на 1

2броя.

  • изброяваме всички правоъгълници с размери 2 на 2

3броя.

  • изброяваме всички правоъгълници с размери 2 на 3

 2броя.

  • изброяваме всички правоъгълници с размери 4 на 2

 1броя.

  • изброяваме всички правоъгълници с размери 4 на 4

1 брой

                      

 Задача. С помощта на 10 еднакви кубчета са образувани всички възможни правоъгълни паралелепипеди. При образуването на паралелепипед не е необходимо да се използват всички кубчета. Броят на различните паралелепипеди е:                                                                                                                                                                                  а) 10              b) 12              c) 13                          d) друг отговор

                                  (Великденско математическо състезание )

                                                            Решение.

  -Първите 10 паралелепипеда се получават, като се подреждат кубчетата едно  до  друго- с едно кубче,с две долепени кубчета и так нататък до 10                             

1

2

3

4

5

6

7

8

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Нека   основния ръб на куба с а.                                                                                                                                -Останалите 6 имат измерения:

                   a,2a,2a          a,2a,3a          a,2a,4a          a,2a,5a          2a,2a,2a        a,3a,3a

                                                                                      Отговор    d )  

                      

Задача. С помощта на 12 еднакви кубчета със  ръб  1 сантиметър ,са образувани всички възможни правоъгълни паралелепипеди. При образуването на паралелепипед не е необходимо да се използват всички кубчета. Броят на различните паралелепипеди е:

а) 10              b) 12              c) 13                          d) друг отговор

 

                                                           Отговор  d)

                      



ВТОРА ЧАСТ  

Задачи  за  ПРЕБРОЯВАНЕ  на маршрути  

За ученици от  3 до 7 -ми клас 

 


                                

Задача  На картинката е показан магически лабиринт.  Във всяко квадратче на лабиринта има парченце      сирене. Мишката Рони влиза в лабиринта и целта и  е да излезе с възможно най-много взети парченца            сирене. Не се разрешава преминаване два пъти  през едно и също квадратче. Колко най-много парченца сирене може да вземе мишката Рони?                                                                                                                       (Математическо състезание «Европейско кенгуру»)

А) 17                  В) 33                   С) 37                           D) 41                        Е) 49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 Отговор С)

*

 

 

 

*

*

*

*

*

*

*

*

 

*

 

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

 

*

*

*

 

*

*

*

*

*

*

*

*

 

 

*

*

 

*

*

 

 

*


Съвет .При затруднение  пробвайте с  таблиците   в  Word  - Копирайте лабиринта, слагайте  по една  снежинка вместо сирене във всяка клетка  .Спазвайте правилото на движение на мишката и  посочете по –кой маршрут ще имаме най-много парченца сирене на мишката .

                                

Задача .Всеки два от градовете А ,В и С  са свързани с директна  авиолиния .

Ани се намира в А и  иска да посети  всеки от останалите  градове точно по веднъж . По колко начина  може да планира  Ани своята обиколка ?

                                                           А) 1       В) 3     С) 2    D) 4    

     

A

 

 

 

 

 

 

C

 

B

 

 

                                                                 


      Първа възможност за  Ани- От  град   А отпътува за град  В  и после  до град  С
                                                                Втора  възможност за Ани – От град А отпътува за град С и после  до  град В

      Следователно за да посети градовете точно по   веднъж , Ани може  да   планира два маршрута .   

                                                                           Отговор C)            

                                

Задача .  Нека  градовете  са  А,В, С и D. При условията на предходната задача намерете  броя на   различните начини   по които  Ани може да планира своята обиколка

   

A

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

C

 

 

B

 

 

 

 

                                                                  

                                                          А) 6     В) 4     С) 3      D) 7 

                                                                                 Решение.   

                                                                 Отново тръгва от  град А 

                                               Подреждаме    възможностите  по следния начин:

·        А             В             С             D      (1)

·        А             В             D              C     (2)

·        А             С             В              D      (3)

·        А             С             D              В      (4) 

·        А             D             В               С      (5)

·        А             D             С               В      (6)  

По този начин  сме описали всички възможни маршрути

                     

                                           Отговор  A)

 

Задача . Един букет съдържа 1 червено,1 синьо,1 жълто и 1 зелено  цвете. Пчелата Мая  посещава всяко цвете точно по-веднъж .Тя започва с  червеното цвете  и не отива от жълтото направо   към зеленото .По колко  различни начина  може Мая да посети  всичките цветя.

                                     (Международно състезание „Европейско Кенгуру”,2009 година)

                                                А) 7              В) 2       С) 3    D) 5     Е) 4

                                                                                     Решение.

                 Да съставим  всички различни пътища на Мая ,които  започват  от червеното цвете.

·        червено      синьо      зелено       жълто           (1)

  

·        червено     синьо     ( жълто       зелено    )      (2)

 

·        червено     зелено        жълто     синьо            (3)

 

·        червено     зелено        с        жълто                 (4)

 

·        червено   (  жълто     зелено   )      синьо         (5)

 

·        червено     жълто     синьо        зелено             (6)

    Различните начини са 6 на брой. От тях  ще    изключим  невъзможните   пътища за Мая   - това са пътищата  с номера 2  и 5   от    жълто към зелено     ,точно два броя.

    Следователно възможните пътища  са 4 .

                                                                         Отговор Е) 

 

Задача     В страната Чудо има 5 града, изобразени на картата с точки. Всеки два града са свързани с по един път,  който на картата е начертан с видимо или невидимо мастило.  Алис има магически очила,  през които може да вижда    седем видими  по сложен начин   само невидимите пътища на картата. Ако на картата на Чудо има само 7  видими пътища, колко невидими пътища вижда Алис? 

A) 9                    B) 8                      C) 7                      D) 3                       E) 2

(Международно състезание „Европейско кенгуру”)

                       

Задача В долното ляво поле на шахматна дъска 3х3 е поставен цар. На всеки ход

имаме право да го местим едно поле надясно, едно поле нагоре или едно

поле по диагонал – надясно  и  нагоре. По колко различни пътя може да

стигне царят до горното дясно поле?

(Математически  турнир  "Академик  Кирил Попов")

 

 

 

 

 

 

Ц

 

 

                                                   

                                                                          Решение

              При  появата  на  всеки нов път на царя , записваме   ново число  в  полетата  и   на  изхода,ще преброим  всички    пътища.Пътищата описваме така,че  движението им да  е  описано  във всяка  клетка  до  изхода  (клетката оцветена в  жълто)

  

На  фигурата сме описали   всички  възможни пътища  ,ако  първият  ход на царя е  през главния диагонал

 

 

2,

1,2,3

44

1,2,3,

3

Ц 1

 

 

  Поради симетрията  на  пътищата  «надясно «    и    «нагоре»   ще опишем пътищата  само, ако първият ход на царя е  "нагоре"

 

8

2,5,7,8

1,2,3,4,5,6,7,8

444,5,6,7,8

1,3,4,5,6

3,6

Ц 1

 

 

 

Получихме  още 5 нови  възможни  пътя за царя.Като добавим  и   другите пет ,ако  царят тръгне   надясно  ,то  различните пътища на царя са 3+5+5 =13

                       

Задача  Мравка (М) се движи само наляво или надолу. Възможните различни

пътища да достигне до трохата (Т) са:

                                               A) 2    B) 4   C) 6     D) 8

(Състезание по математика и информационни  технологии „Свети Николай Чудотворец”)


 

 

(М)

 

 

 

(Т)

 

 

 

 Отговор C )

                                      

Задача  Дадена   е   квадратна  мрежа   с  размери на 4 cm на 4  cm.Всички клетки  на мрежата     са  номерирани ,така както е показано  на чертежа .Мравка    тръгва от  клетка с номер 1  и  иска да   стигне  до    стигне до клетка с  номер  16 ,като има право да преминава само през  клетки с обща  страна .Минималният брой  единични  квадрати през, които минава  мравката  за да стигне  до   клетка   с  номер 16  са ?                                                         

 А)6               B)4           C)9      D)друг отговор

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

              Решение

-Пътищата   (  1, 2 ,3 ,4 и 8)  и  (1 ,2,6,7 и 8 )  са равни,защото   преходите  от  клетка  2   до    4     и    от    6   до   8  са    равни . 

-Аналогично  пътищата    (1,5,9,10,14 и  15) и (1,5,9,13,14 и 15) са равни. 

                     Тогава  минималния брой единични  квадрати през,  които  минава мравката   е  6.         

                     Пример: Пътят 1,2,3,4,8,12,16   е път, при който се преминава през най-малък брой квадрати.

                                                                                      Отговор  A)

                                   

 Задача .Дадена е квадратна мрежа с размери 10 на 10  сантиметра .На най-горното  дясно  ъглово  квадратче от мрежата   е  поставена  пионка .Тя има право да преминава  само   през  квадратчета  с  обща страна.Минималният брой квадратчета,  през които,  ще премине пионката,  за да дотигне  до   най-долното ляво ъглово квадратче на мрежата  са :

                          А)16               B)24           C)18      D)друг отговор

                                                                         Отговор  C)

 Покажете,че : Ако квадратната мрежа  е  с  размери      n cm  x  n cm  ,покажете, че в този случай  квадратчетата,  през които ще преминава  пионката  са        ( n-1 )+( n-1 )    =    2 n -2     броя.

                                     

                                               

Задача  В  най-горната клетка  ( на фигура 1) е поставено топче.То започва да се спуска надолу: От клетката ,в която е в момента ,може да се  спусне  в някоя от двете  клетки под  нея, и  така нататък  ,докато стигне  до най-долната клетка .     По колко различни пътя може да  стигне    топчето  от  най-горната до най- долната клетка?

(Математически турнир „Иван Салабашев”

                                             A) 9        B) 6              C) 7    D) 3       E) 2                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 Отговор B)

                                   Решение 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

1,2

 

3

 

 

 

 

 

1,2

,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пътищата на топчето вляво  и  вдясно са симетрични. Достатъчно е да изброим   всички    възможни пътища    вляво.

 Добавяме в квадратчетата ново число, тогава и само тогава, когато  имаме  нов  различен път за топчето.    Преброяваме  на  изхода .  

Всеки възможен път   на топчето е означен  с  броя на  изходите  ,тръгвайки от   едно   до     изхода 

  (последната клетка) 

Ново число в клетка   поставяме , при поява на нов път за топчето.  Пътищата отляво  на  топчето са  три.                                                                                                 

 

Задача     В  най-горната клетка   на чертежа  е поставено топче.То започва да се спуска надолу: От клетката ,в която е   в момента ,може да се  спусне  в някоя от двете  клетки под  нея, и  така нататък  ,докато стигне  до най-долната клетка .                                                                                                                                                                      

По  колко различни пътя може да  стигне    топчето  от  най-горната до най -долната  клетка?

 

 

 

 

 

 

   0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

П

И

Т

А

Й

 

 

С

А

М

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

Т

 

Г

 

О

В

О

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

3

45

6

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

123

456

78

910

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12345

678910

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение Отново при изброяването на различните пътища  добавяме в квадратчетата ново число, тогава и само тогава когато  имаме  нов  различен път за топчето. При   преброяване отляво  на изхода  получаваме  10 различни  пътя,поради симетрията получаваме  отдясно още 10  .

      Следователно броя на различните  изходи /пътища/  на топчето  е  20.

 

Задача.На рисунката вляво(чертеж 1 ) ,мишката -М трябва да стигне  до  сиренето- С   ,като може   да преминава от дадена клетка  към съседна  клетка отгоре  или отдясно на нея. По колко различни начина  пътя може да стигне  мишката  до  сиренeто?


"/>


Задача  На долния чертеж има  шест полета.В горното ляво  поле е кацнала  муха-М От  даденото поле мухата може  да  се премести  в  полето  под  него, в  полето дясно от него  или в полето ,което се  намира   по  диагонал  нагоре и на дясно от него.

  По колко различни пътя  може мухата да стигне до тортата   в  долното дясно поле?

 (Математически  турнир  „Черноризец   Храбър”)

Решение

Разгледай означенията на чертеж  2  и чертеж 3 

Пътищата на мухата във   всяко поле са     три : под  него,  вдясно  

или  по диагонал

      На чертеж   2  ,  са   описани     всички     пътища    ,ако мухата започне отдясно.    

      Във всяка клетка  ,всеки нов път   е  означен  с ново число .На изхода в този случай са    три  пътя.                                                         

       Така изброените пътища  прехвърляме  на чертеж 3 .

       В  нея  са описани всички    възможни пътища  ,общо 8                                                                                                              

 

СТРАНИЦА  СЪС  ЗАДАЧИ  :

Колко са фигурите на чертежа?

Колко са различните  пътища до даден маршрут?Да се разходим в магически  лабиринти.

Страницата с решени задачи и примери за самостоятелна работа   предлагаме в развитие  от лесни  примери   до   задачи с  повишена трудност .

Темата е подходяща за всички ученици от  трети   до   седми  клас.

В този вид задачи   може интуитивно да се намери отговора .Някои от задачите  изискват умения за намиране на точни   критерии на броене на елементите на дадена фигура ,на различните  пътища  до даден маршрут .

Елемент са във всяка състезателна тема   по   математика за всички класове.

Започваме всяка  страница   със  задачи   за  най- малките от   2. -3.   клас   и  завършваме страницата   със задачи  за  ученици  от  7 –ми клас.

Нашата цел всеки един от Вас да може да проследи състезателните теми  от най-лесните   до  най-трудните и нестандартни решения.

 
В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg