В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Многочлен.Събиране и изваждане на многочлени.Задачи за 6 клас .

"/>

1.Определение .Основни понятия .

Правилна четириъгълна призма  с основен ръб  а см  и височина h  има обем 9 пъти по –малък  от  друга правилна четириъгълна призма  с основен ръб равен на  основният ръб  на  първата призма .Съставете  израз  за сбора от обемите на двете призми ,в който да участват  само а и h .

Решение

Обемът на призмата с  основен ръб а см и височина   е  равен на  V  =В.h ,където В=а2

Обемът на призмата V1 с височина h  е равен на  V1 =  В.h1 , където В=а2

От това,че   V1 =  9V  получаваме равенството  В.h1 =  9В.h    ,от  което  намираме,че    h1 =9h  

Тогава изразът , който  е сбор от обемите на двете призми   е   а2 h   + 2 h = 10а2 h  

Този  израз е сбор от подобни   едночлени .

Решенията на много задачи от   практиката  и науката  са  изрази ,които са  сбор от едночлени ,затова  те се изучават  в отделна  математическа дисциплина  наречена   алгебра .


 СБОРЪТ  ОТ ЕДНОЧЛЕНИ  СЕ НАРИЧА   МНОГОЧЛЕН (ПОЛИНОМ)

Примери   за многочлени   : -4x ; 5x +1  ;   3x3-3x2-5xy +x3 ;   yx3x2yx3 +1z2x  – z4


 

НОРМАЛЕН   ВИД НА  многочлен е такова представяне на многочлена , при което   :


  • ВСЕКИ ОТ    ЕДНОЧЛЕНИТЕ е  приведен в нормален вид   
  • МЕЖДУ  ЕДНОЧЛЕНИТЕ няма   подобни едночлени


Примери за многочлени приведени в нормален вид :

  • 5x + 4y -6
  • 3x3-3y2-5y  - x
  • 4z -3z4 +x3 -2
  • x4 + x3x2x +1



Примери за многочлени
, които  не са  приведени  в   нормален вид :

  •   x - 4x1
  • 3y2-5yy  - x2
  •   z -3z4 +z4 -2
  • x4 + x32x3 – х2x2 +1
1
1

НАЙ-ВИСОКАТА  от степените   на едночлените  на  eдин  многочлен   се нарича СТЕПЕН  на  многочлена .




КОЕФИЦИЕНТИТЕ НА  ЕДНОЧЛЕНИТЕ В НОРМАЛНИЯТ ВИД   СЕ НАРИЧАТ  КОЕФИЦИЕНТИ НА МНОГОЧЛЕНА



В зависимост от броя на  едночлените  в нормалният вид на  многочлена ,то многочлените  се делят на едночлени,двучлени,тричлени  и т.н.

Примери :

Многочлен

Нормален вид

Вид

Коефициенти   

Степен  на многочлена   

-x2х

-x3

 Едночлен

-1

3

а2b4 2b2  + 4a2b4 ;

5а2b4 2b2  

 Двучлен

5 ; -2

6

-2y7 +3y4 + y +y +1

-2y7 +4y4 + y +1

 Четиричлен

-2;4;1;1

7

Коефициента  ,на които променливата е от нулева степен се нарича  свободен член .




1.задача .Приведете   многочленът   xy +xz +10y+y+6xy2+9y  в нормален вид .Намерете  неговите коефициенти  и  определете  неговата степен.


Решение

 ПОДЧЕРТАВАМЕ  ПОДОБНИТЕ ЕДНОЧЛЕНИ   С РАЗЛИЧНИ  ЧЕРТИ

 

"/>

 

 СЪБИРАМЕ ИЛИ ИЗВАЖДАМЕ   ПОДОБНИТЕ ЕДНОЧЛЕНИ   


От нормалният вид на многочлена  7xy2 + xz +  20y, намираме,че  неговите  коефициенти са  - 7; 1 ; 20 .Даденият многочлен е от   3-та  степен (едночлена с най-висока степен е  7xy2 )



2.задача .Приведете   многочленът   b +7ab  +8b6+2x+ab    в нормален вид .Намерете  неговите коефициенти  и  определете  неговата степен.

Решение

"/>

Той  има    коефициенти  - 9; 2 ; 8    и  е от степен 6-та



3.Задача Приведете многочлените в нормален вид  .

а) 2,5 .4х  + 9х +1 ;

б)  5х5 +3х2 – х5 + 2х2 – 6х +х - 2

в) 0,9х5 +3х2 – х5 + 2х2 + 4х – х

 

 

4.задача Приведете многочлените в нормален вид и намерете числената им стойност за  x= 3 , y = -2

а) х5 +4y2 – х5 3y22х +х – 2y

б) 0,2 х3- 9y2  –  х3 + 10y2 + 0,8х3 – х

 

 

5.задача Приведете многочлените в нормален вид и намерете числената им стойност за  а= 2 , b= -0,5

а) 2а5b5   -  аb(-5а4b4) +  4а3 + а3;

б)-2a2b.(-3ab2) - 6a3b3+ 30b2   -70b2;




Следващата  задача   е  приложение на  многочлените за решаване на практически задачи .

6.задача.На  чертежа   са дадени градовете A и B  разтоянието , между които е 30 км .В  11 часа  едновременно  от град А тръгнал моторист ,а от град В  в  същата  посока  велосипедист.Мотористът  пътувал със скорост  50 км/ч  , а велосипедистът   със скорост  10 км/ч  . Намерете в колко часа  мотористът  ще настигне  велосипедистът ?

Решение

"/>

Нека  след   t  часа  мотористът  и  велосипедистът  се срещнат  в  точка С .

Тогава велосипедистът е изминал път равен на 10.t ,а  мотористът  път равен на 50 t

Тогава разтоянието   50 t  -  10 t    е    точно 30 км .

От равенството    50 t  -  10 t =30  ,намираме,че  t = 3:4=45 минути

Тогава  мотористът е настигнал велосипедистът точно в  11часа и  45 минути

2.Събиране и изваждане на многочлени

1
1

1
1

   МНОГОЧЛЕНИ СЕ СЪБИРАТ ИЛИ ИЗВАЖДАТ   по правилата за събиране и изваждане на едночлени .Ако има скоби ,разкриваме  скобите и  извършваме приведение  на подобните едночлени 



Пример :  Дадени са многочлените 

f=5x +1  , q=3x3-3x2-5x  и  g = x3x2x +1

А)Намерете  нормалният вид  на  многочлена   f  + q  +  g

Б) Намерете  нормалният вид  на  многочлена   f  + q  -  g

Решение

А)   f  + q  +  g  = 5x +1  +3x 3x -  5x + x3 x2 – x +1

=4x3 – 4x2 – x + 2

Б)   f  + q  -  g  = 5x +1 + 3x3-3x2-5x  - ( x3x2x +1)

=5x +1  +3x 3x -  5x - x3 + x2 + x -1

=2x3 – 2x2 – x



7.задача  Дадени са многочлените 

f=2x2 -х+1  , q=3x+1  и  g =  – x2 – x -1

А)   Намерете  нормалният вид на многочлена  f  - q  +  g

Б)  Намерете  нормалният вид на многочлена  f  + q  -  g




8.задача.Разкрийте скобите и направете   приведение на подобните едночлени

А)  6y5 +3y4 + 4y3 +y +1  -( 2y7 +3y4 + y3 +5y +1 )

Б)  х5 -(3y4 + х5 +y +3)+  х  - ( 2х7 - 7y4 + 2y  ++1 )

 


9.задача.Покажете,че числената стойност на израза А= 5х5 –(х5+ 2х +х +6) -( 4х2 х3 -2 х-х +7 ) не зависи от х

Решение

Разкриваме скобите ,унищожаваме противоположните едночлени  и правим привидение на подобните едночлени

А=   5х5 –(х5+ 2х +х +6)  -  ( 4х2х3 -2х-х +7 )

А=   5 –х5- 2х3   - 6 - 5+3 х - 7

А= - 6-7=  -13

Тогава А  не зависи от променливата  х .



10.задача.Разкрийте скобите , направете   приведение  и покажете,че числената стойност на израза не зависи от х .

А)  х5 +3х4+3  +х +1  -( х2х3+2.1,5х4 +2х3 +х +7 )

Б)  а3х3 - y3 -( ах)3 + 2.х2 х5  - ( 2х7 - y3 + a +1 )




11.задача Съставете израз ,който е сбор на три последователни естествени числа

Решение

Нека най-малкото число е х ,тогава  числото след  него е  х+1 .

Тогава числото след х+1 е х+2  

Тогава търсеният израз е :х+х+1+х+2=3х+3 

 

 

12.задача Съставете израз ,който е сбор на три последователни  четни  естествени числа

Упътване : Означете първото число с 2х

Отговор 6х+6

 


13.задача Намерете  четири последователни естествени числа със сбор   34 .  

Решение

Числата са х ,х+1,х+2,х+3   и имат сбор  х +х+1+х+2+х+3=4х+6 

От равенството  4х+6  =34  ,намираме,че 4х=28   и х= 7

Тогава числата са 7,8,9  и 10

 

 

14.задача Намерете   три   последователни  нечетни  естествени числа със сбор   69 .  

 


15.задача Опростете израза   M  = 104 (х3y20,5 )4 624 х12y8 +  0,5xy +1   

 и  намерете   числената  му  стойност за   x= -2 и  y=1.

 Отговор 212 =4096



16.задача  Даден е   изразът    А  х5 – (-2x2 +x5 ) + 1  . Покажете,че за  всяка стойност на променливата х, изразът А  приема само  положителни  стойности .

Решение Опростяваме изразът и получаваме  А  =  х5 + 2x2 –x5  + 1 = 2x2  + 1   

За всяка стойност на променливата х,числото  2х > 0  ( по-голямо или равно на нула )            

Тогава  изразът  А  =   + 1 > 0  (по-голямо от нула )

 

 


17.задача  Даден е   изразът    N  =  2x3 – 2x2 – x  -  (2x3 – x  ) -5    

А) покажете,че за  всяка стойност на променливата х  , изразът N  приема само отрицателни стойности .

Б)  Намерете за кои стойности  на х ,изразът   N  приема   най-голяма стойност

Решение

А)   N  =  2x3–2x2–x -2x3 +x -5= -2х2 -5    

 За всяка стойност на променливата х ,числото -2х е  отрицателно  или нула .

Тогава  изразът   N  = - 2х2 -5  < 0


Една примерна таблица за числената  стойност на N за избрани стойности на  х .

х

1

-2

0

3

N

-2 .(1)2-5= -7

-2 .(-2)2-5 = -13

-5

-23



  Б)   Числената стойност на  многочленът   = - 2х2 -5  < 0  ще е най-голяма за х =0 , защото за всички други значения на х , N ще има числена стойност   по –малка  от  (-5)   .

 





18.задача  Даден е   изразът    N  =  2x4 + 2x2 – x  -  (2x4 – x  -7)    

А) покажете,че за  всяка стойност на променливата х  , изразът N  приема само положителни  стойности .

Б)  Намерете за кои стойности  на х ,изразът   N  приема   най-малка   стойност



Полезна връзка

Бележка :Темата е разгледана след действие умножение на многочлени
В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg