В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Неопределени диофантови уравнения .Задачи за ученици след 6. и 7. клас

"/>



 

                

1.Определение


 Науката алгебра  изучава  неопределените   уравнения  . Това са уравнения с повече  от едно неизвестно .Ние ще разгледаме само  уравнения,  на  които коефициентите и решенията са цели числа . Класическата теория на числата изучава тези  уравнения, които  обикновено са трудни ,защото за решаването им  се използват различни методи, основани на аритметиката      

Под решение на  неопределено  уравнение  ще разбираме  съвкупността  от ония значения на неизвестните ,за които уравнението  се превръща във вярно числово равенство 

Ако решението на дадено уравнение се търси не като произволно число, а като цяло число , и ако уравнението е с цели или рационални  коефициенти, то се нарича Диофантово 

Прост пример е линейното диофантово уравнение с две неизвестни a.x + b.y = c.С методите на аритметиката  ще  намерим  и опишем  всичките му  решения .

С увеличаването на степента на  неопределените  уравнения  ,  решенията  и  анализът им е   сложен, затова ще разгледаме само избрани подходящи уравнения  за ученици  след  6 и 7 клас   .При решаването на неопределени  уравнения  от втора и ли  по-висока степен ще използваме знанията си  за делимост на числата , ще оценяване  най-голямата или най-малката  стойност която неизвестните  могат да имат ,ще  разлагаме на прости множители   ,ще стесняваме   областта на решения  в зависимост от условието на задачата . 


Известни неопределени диофантови уравнения

  • Пример 1 .От теорията на числата знаем,че :Числата a и b  са взаимно прости , тогава и само тогава когато  съществуват цели числа x и y, такива, че  ax+ by= 1 .Това    е линейно диофантово уравнение от първа степен  с две неизвестни                   
 
Пример :Числата 4 и 5 са взаимно прости , тогава  съществуват  цели числа   x и y  , такива че  4x+ 5y= 1 .Числата    x=-1  и   y= 1  са едно възможно решение на съставеното от нас диофантово  уравнение .Съставете няколко уравнения .



  •  Пример 2 . Решения на   неопределеното диофантовото  уравнение  с три неизвестни от втора степен от вида : x2  + y= z2   са  познати от древността . В древен Вавилон учени и математици  се интересували кога такива квадрати на цели числа биха могли да се разбият на други квадрати от цели числа.За тях било важно  всеки стопанин, който притежавал поле с площ 25 квадратни единици да знае ,че би могъл да го замени за две квадратни полета: едно с площ 16 квадратни единици и друго с площ 9 квадратни  единици. Днес ние записваме тази   взаимовръзка чрез уравнение така: 5 =42  +  32  . Тройки от такива цели  числа, в случая 3, 4 и 5, чиито квадрати удовлетворяват уравнението x2  + y= z2, се наричат  питагорови тройки . .Решенията на това уравнение  са описани подробно от великият  математик  от  древността Питагор.

С него се свързва и откриването на Питагоровата теорема,свързваща квадратите на страните на правоъгълен триъгълник .

Питагоровата теорема гласи: Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на двата катета. Тя  е известна и преди във  Вавилон , Китай ,  Месопотамия и Древен Египет 
Ако катетите на правоъгълен триъгълник са x  и  y  , а  хипотенузата z , тогава   x2  + y= z2 .Питагоровата теорема е забележителна и с това, че за нея са известни най-много доказателства -  370! Питагоровата теорема се изучава в по -горните класове  ,но е препоръчително  този прост и елегантен  математически факт да се знае и от учениците от  6 и  7 клас .
Геометричният смисъл на теоремата на Питагор чрез площи е : За всеки правоъгълен триъгълник площта на квадрата със страна хипотенуза z е равна на сбора от площите на двата квадрата със съответни страни на  катетите x  и  y 
"/>
Всички решения на неопределеното  уравнение x2  + y= z2  в цели числа ще намерим  при разглеждане на  темата :Решаване на избрани  уравнения от втора и по -висока степен . 


  • Пример 3 .Последната теорема   на Ферма : Уравнението  x n  + y n= z n   няма решение в цели положителни числа при n>2 .

Тази  математическа загадка започва със следната   бележка от Ферма :  „ От друга страна, не е възможно да се представи даден куб като сума на два куба или биквадрат като сума от два биквадрата и изобщо всяка степен, с изключение на втората, като двойна сума със същите експоненти. Аз изнамерих едно наистина прекрасно доказателство за това, което това поле не е достатъчно голямо да побере.“ 
  До  1990 година било доказано, че такива цели числа за n по-малки от четири милиона не  съществуват, но е възможно  за по –големи числа да съществува решение .Твърдението  трябва да бъде доказано за всички цели числа и всички възможни степени .Самият Ферма успял да докаже своята последна теорема за n=4. Той използвал хитър метод, който нарекъл метод на „безкрайното спускане“ и  с него доказал ,че не  съществуват цели числа x ,y  и  z  ,които да са решение на уравнението  x4  + y4  = z4 . С този  метод  за решаване на неопределени уравнения  ще се запознаем при разглеждане на  темата :Решаване на избрани уравнения от втора и по -висока степен .
     Теоремата  най-накрая е доказана , доказателството   детайлно проверено от математици по цял свят.Доказателството на теоремата по начина, по който това било направено през деветдесетте години изисквало много повече математика, отколкото самият Ферма би могъл да знае. Дълбоката природа на теоремата се крие не само във факта, че тя се простира през цялата човешка цивилизация, а и в това, че окончателното решаване на проблема дошло след едно сплотяване и обединяване на цялото дихание на математиката. Това било едно обединение на изглеждащи откъснати един от друг клонове от математиката, които окончателно приковали теоремата. И независимо, че Андрю Уайлс е  човекът, който свърши най-важната завършваща част от финалната работа като доказа вариант на хипотезата на Шимура-Танияма, цялото начинание било плод на работата на много хора. 


Източник: Последната теорема на Ферма -разбулването на един древен математически проблем
"/>
1
1
1

Основните въпроси, от които ще  се интересуваме  при решаване  на конкретно  диофантово уравнение, са:

1.Съществува ли  поне едно решение на разглежданото уравнение .

2.Крайно или безкрайно много са решенията му .

3.Възможно ли е  всички решения да бъдат описани  и  намерени 




2.Решаване на линейно диофантово уравнение от първа степен с две неизвестни

Решаване   на  уравнението    ax +  by = c ,  където  a, b ,  c  , x и  y  са  цели числа   


Пример 1 : Уравнението    20 x + 10y =77     няма решение в цели числа , защото  10/20 x  и 10 / 10y , но  10 не  дели  77


Пример 2:  Уравнението   x + 2y =7  има безбройно много решения в цели числа , защото    за всяка стойност на  y  , получаваме съответната стойност за  x=7- 2y  . 
Примерно решение  е :   y=1 , x = 7- 2.1=5 , което като двойка записваме така  (5,1) 

Понеже y може да е всяко цяло число k , то решението   на уравнението  x + 2y =7  е  двойката числа :x = 7- 2k ,  y=  k  


От  пример 1   правим извода ,че решенията на   уравненията от вида ax +  by = c   зависят от общият делител  на  a и b .Отговор на въпроса дали дадено линейно диофантово уравнение има решение  ни дава следната 


Теорема :  Линейното  диофантово  уравнение  ax + by = c   има  решение тогава и само тогава  когато   най-големият общ делител на a и b  дели  с.


Следствие :Всяко уравнение  за което   НОД (a ,b )=1   има  решение .


Задача:Кои  от посочените уравнения имат   решение  в цели числа

a)    8x + 16y = 2       b) 13.x + 26.y = 169         c) 7x +  14y = 13        d ) 8x +  6y = 8         е)5x + 3y =  1 

 

Проверка :                                                                                                                       

a) НОД(8, 16)=8 , но  8  не дели 2 , тогава уравнението няма решение в цели числа

b) НОД(13, 26)=13 .От това ,че 13 /169 то , уравнението има  решения в цели числа

c) НОД (7, 14) =  , но   7   не   дели  13 , тогава уравнението няма решение в цели числа

d) НОД (8, 6) =2   От   това , че 2 дели  8  следва ,че   уравнението има  решения в цели числа

 e ) НОД (5, 3) =1   От   това , че 1 дели  1  следва ,че   уравнението има  решения в цели числа


Получихме,че уравненията  13.x + 26.y = 169  ,    8x +  6y = 8   и  5x + 3y =  1   имат решения в цели числа ,защото  най-големият общ делител на коефициентите пред неизвестните   x  и y   дели свободният член  .

 

Ако двете страни  на  всяко от първите  две  уравнения   разделим на НОД  на коефициентите пред неизвестните  x и  y , получаваме  еквивалентни уравнения , на които коефициентите пред неизвестните са взаимно-прости числа .

Това са уравненията  : x + 2.y = 13  ,    4x +  3y = 4      

Знаем,че тези уравнения имат решения .Остава да ги намерим и опишем .


Задача   Намерете всички решения на уравнението : x + 2y = 13 

 Отговор :( 13 -2k,k)

 



Задача   Намерете всички решения на уравнението : 4x + 3y = 4 

 

Решение В този  случай  нямаме неизвестно с коефициент единица .Решенията на уравнението ще намерим по метода на Ойлер със следният алгоритъм

1.От това ,че І3І < І4І  ,то   3.y = 4- 4x  

2.Записваме уравнението във вида : 3.y = 3- 3x  +1-x

3.Определяме едното неизвестно   y = 1 - x  +(1-x):3  

 y цяло число  тогава и само тогава  когато  3  е делител на  (1-x) .Следователно съществува цяло число  k , такова,че   1-x =3k ,

4.Тогава  x =1 - 3k  и след заместване  в  y = 1 - x  +(1-x):3 , получаваме ,че  y = 1 + 3k  +k =1 + 4k  

5.Проверка ,че x =1 - 3k   и  y  =1 + 4k  е решение на даденото уравнение  4x + 3.y = 4 . 

След заместване    получаваме  вярно числово равенство   4(1 - 3k)    + 3.( 1 + 4k ) = 4  , така е 4=4

6.Тогава  всички решения са (1 - 3k,  1 + 4k  ) .За всяка конкретна стойност на k  ,ще получаваме  точно едно решение на линейното диофантово уравнение  

В някои от задачите ,този алгоритъм   ще прилагаме няколко пъти  .Да разгледаме следната  задача . 

Задача   Намерете всички целочислени  решения на уравнението : 15x + 32y = 13

1. 15x  = 13- 32y = 15 – 30y  -2  -2y

2.  x = 1 – 2y  - (2  +2y):15

3. (2  +2y):15 =k , откъдето  получаваме ново  уравнение  2  +2y  =15 k

4.  От  2  +2y  =15 k    получаваме    2y  =15 k -2 = 14k -2 +k   , откъдето  y=7k -1 +k:2 

5.Правим ново полагане и получаваме    k:2  =  t или   k  = 2 t  и заместваме в y=7.2t -1 +2t:2 =15t -1 

6. За  x  получаваме  x  = 1 – 2(15t -1)  - {2  +2(15t -1)}:15=3-32t

7.След проверка в даденото уравнение , следва , че   всички решения в цели числа  са : (3-32t , 15t -1 )



Задача  Решете самостоятелно уравненията :

a) 2x   - 5y = 23

b)3x  +9y = 5

c)11x - y  =1 

d)5 x+ 3y=  9

e)7x +8y= 15



Задача :Докажете ,че  ако  числата x0  и  y0  са  решения  на уравнението ax + by = c   , то  и   x=x0+bk  и   y= y0 – ak , където k е произволно  цяло число са  решения  на уравнението

Доказателство 

  Заместване в  ax + by = a( x0+bk) + b (y0 – ak) и получаваме ,че ax + by= ax0+ by0 .От това,че  x0  и  y0 са  решения  на уравнението, то следва ,че ax+ by  = c .


Друг алгоритъм за решаване на  уравнението  ax + by = c  ще получим  от   следната теорема .


Теорема  Ако целите числа  x0  , y0 са решения на уравнението ax +by= c   , където  a ,b и c са цели числа , различни от нула и  ( a, b)=1, то  числата   x=x0+bk  и   y= y0 – ak , Където  k  е произволно   цяло  число, са всички  решения на  това  уравнение   в цели  числа


От  теоремата  следва ,че ако сме намерили едно произволно решение ,което наричаме начално , то  всички решения се получават с формулата x=x0+bk и y= y0 – ak

Обикновено началното решение  , се търси с налучкване или от уравнението   ax+by=1 (когато a  и  b  са взаимно прости , ако не са съкращаваме на най-големият общ  делител)


Задача Намерете целите решения на уравнението 15 x  + 9 y   =  27.

От това ,че НОД(15 , 9)=3 , то уравнението има решение  и  е еквивалентно на  5 x  + 3 y   =  9

Търсим частно(начално )  решение на уравнението 5 x  + 3 y   =  1

0= 2    и   y0= -3  е  едно такова решение

Тогава общото решение е  x=2 .9+3t      и         y= -3.9 -  5t  


В общият случай когато търсим  всички решения  с начално решение  работим със следният алгоритъм :

1. Намираме d = НОД(a,b).  

2. Ако d не дели c, то уравнението  няма решение .

3. Ако d/c, съкращаваме коефициентите в уравнението  с  d

 и получаваме уравнение с взаимно прости  коефициенти  -a1, b1, c1.

4. Намираме x и y, такива че a1x+b1y=1

5. Умножаваме x и y на c и намираме частно решение x0

, y0 .

 6. Общото решение тогава има вида: x = x0 +k.b, y = y0 –k.a

 



Задача  Решете   уравнението : 2x + y = 1  по двата начина :по метода на  Ойлер или с начално решение

Решение 

1)От  y = 1- 2x  , то следва ,че всички решения са   x =s , y = 1-2s 

2)От това ,че x  = 1  и  y=-1  са решения ,то всички решения са x =1 +k , y = - 1-2k

Ако началното решение  е  x  = 0  и  y=1 , то ще получим първата  зависимост . 


  На чертежа решението  x =1 , y=-1    на  диофантовото уравнение   2x + y = 1 е изобразено с   точка  от  правата  y =1 -2x 

"/>


















Задача  Намерете всички решения на уравнението  : 10x + 6y = 14  по двата начина :по метода на  Ойлер или с начално решение




Задача  Броят  на книгите с една и съща цена  , които Димитър може да закупи се определя с   формулата y = 15x + c, където x е броят на книгите  , а y е цената  им  в левове.Ако разполага с  150 лева  , намерете c >0 , така че  :                                                                                                   

a)    Да купи  възможно най-много  книги 
b)     Да купи  възможно най-малко  книги 
                               
Решение на  a)От условието следва,че c=150 - 15x От  c >0 ,следва , че 150 - 15x  >0  .
От линейното неравенство,следва,че   x<10 
Тогава най-голямата  стойност на x  e 9  и за нея c=15    




Задача  Намерете най-голямото  c , за което :уравнението  7x +9y = c  има  точно  6 цели положителни решения 




В много задачи от състезания  по математика има текстови задачи с математически модел :Съставяне и решаване на линейни диофантофи  уравнения .В тези задачи обикновено се търсят решения  в естествени числа и  те  са  краен брой .
"/>
1
1
1

3. Неопределени (диофантови )уравнения от втора и по -висока степен подходящи за ученици след 6. и 7. клас.

1
1
1

 В следващите задачи ще решаваме  неопределени уравнения чрез разлагане на множители .



Неопределени уравнения в цели числа с цели коефициенти  от вида ax + by + cxy = d, решаваме чрез преобразуване в произведение.Ако коефициентите са рационални числа ,то след привеждане под общ знаменател ,получаваме уравнение с цели коефициенти . 




Задача  Да се реши в цели числа уравнението   5x + 2y + xy = -7

Решение    Уравнението   е  еквивалентно  на    (x +2 )(y+5)= 3
От това ,че 3 е просто число и  3=1.3 =(-1.-3) , то възможните решения са :
 x +2 =1       y+5 =3 ,        x= -1  ,  y = -2
 x +2  =3      y+5=1           x=1    ,  y= -4
 x +2 =-1      y+5=-3         x= -3  ,  y=-8
 x +2  =-3     y+5=-1         x= -5  ,  y= -6


Задача Намерете  всички правоъгълници , чиито размери са естествени числа , и  числото  което е  утроеното му  лице  е с 21 по –голямо от числото което е половината му обиколка .

Упътване :Ако размерите са  a и  b  ,  то задачата се свежда до решаване на уравнението   

3ab= a +b +21 

 



Задача  Да се реши в цели числа уравнението   
a )3x - 2y + xy = 11
b)x - 5y + xy = 11
c)3x - 5y + xy = -3



Задача  Да се намерят всички цели числа    и  y ,на които ,произведението и сборът са равни .

Упътване :Използвайте,че  ( y-1).(x +1)=1

 



Решаване  на уравнения от вида   y2 = ax2 + bx + c



Задача   Разликата от квадратите на две естествени  числа  е  105  .Ако разликата на числата  е  най-малка , числата са :

                     А) 52  и 53 B) 11 и 4   C) 19 и 16   D) друг отговор

                                                Решение

Ако означим числата  с     и  y ,то е вярно,че  x2 - y2  =105

Следователно  (x – y).(x +y)=105 ,  и   x + y >x -y

                   От това,че  105 =1.105 или 3.35 или 5.21или 7.15

                                    тогава  x -y  е 1,3,5 и 7

                    а,  x + y  е съответно 105,35,21 и 15

    Следователно  2x  е 106,38,26 и 22 , а   е 53,19,13 и 11

                         а, съответно  за   y  намираме  52,16,   8 и 4 

                   Разликата  е  най-малка ,при x  =53  и  y = 52




Задача   Намерете всички  естествени числа ,разликата  от квадратите на които   е  69  .

 


 

 

Задача  Намерете  всички естествени числа   n   ,за  които числото  4 n2 -35   е  квадрат на просто число .

                                                     Решение

Нека  p е  просто число ,за което    4 n2 -35=p2

Тогава  (2n – p).(2n +p)=35,като 35=1.35=5.7

От това,че  2n +p >2n – p,  то   2n –  е    1 и  5

                                              а,    2n +p  е  35  и 7

откъдето 4n  e  36 или  12 , а  е 9 или  3

за  числото  p получаваме  съответно  17 и 29 ,които са прости числа

                                        Отговор:  3 и 9

 

 


                                       

Задача  Решете  в   цели числа  уравнението  2 x2 +5xy-12y2=28

Упътване :Разложете на прости множители .

 


 

Задача Намерете x + y  ,ако  x и  y   са естествени числа , за които   y 2= x2 +6x +37 

Решение  

От това ,че  y 2= x2 +6x + 9 + 28 , следва ,че    y 2–( x+3)2 =  28 , така е

(y   x -  3)( y  + x + 3)= 22.7  

От това , че лявата страна е  четно число , то  и   (y   x -  3)( y  + x + 3) е четно число .Ако числата   y   x -  3   и   y  + x + 3  са от различна четност , то следва ,че y   x  и  y  + x са  от различна четност ,което е невъзможно .Следователно  числата   y   x -  3   и   y  + x + 3  са четни .Това е възможно ,само ако  y   x -  3   = 2 , а   y  + x + 3 =14   .Тогава  намираме ,че x= 3  , а   y= 8    , x + y  =11 




Задача  Намерете  всички  двойки  (x; y) от цели числа, за  които x2  = y2  + 2y +13  





Задача Броят на двойките (x; y) от цели числа, за  които

y2- x 2 =1002



 

Задача   Решете  в   цели числа  уравнението :

 1:x+1:y =1:p  , където числата   и  са  различни от нула ,а p е просто число.                                                

Упътване :Даденото уравнение преобразувайте  като произведение                    

  x . y = p.(x  +   y ) => x . y - p.x  - p.y + p2 =p2      =>  ( x-p).(y -p) =p2  

  p  е просто число , и p2 има точно  6 делителя  ±1 , ±p  ,±   p2

 

 


В следващите задачи за решаване на дадено уравнение ще използваме основни понятия от делимост на  числата .


 

Задача   Решете  в   цели числа  уравнението :

2xy +3y2=24

Решение

От условието  следва,че   2/ 3y  ,но (2,3)=1, =>                                                                                                                   2/ y  , но 2  е просто число  => 2/y =>

Тогава   е четен делител на 24 ,така е  y е :

 ±2 ,±4 , ± 6,±8, ±12 , и  ±24

След заместване получаваме следните  решения :.

(3,2),(-3,-2),(-3,4),(3 , -4), (-7,6),(7,-6) , (-17,12),(17,-12)

 

 



 

Задача   Докажете че,не съществуват  цели  числа  x и  y   за които 

19x2 -65y2=1965

Решение

Записваме уравнението във вида    x2+y +1 =4(5x2 -16y2  -491)

Следователно  4  е делител на  x2 +y +1

Ще покажем,че това е невъзможно.  

Квадратът на всяко цяло  число при деление  с  4 ,има остатък 0 или 1 ,  в зависимост от това дали числото  е  четно или нечетно  .

        Ако е  четно число  ,то (2k)   =4 k2    и остатъкът от деление с  4 е нула .

        Ако е нечетно число ,то (2k+1)2  =4 k +4 k+ 1 ,то  остатъкът от деление с  4 едно.                                                                                 

 Следователно   x2 +y +1 не се дели на 4 и даденото уравнение няма решение в цели числа .

 

 

 

 

Задача Докажете че, уравнението   

x2 -3y=17 няма решение в цели  числа .

Решение

Ако  3/ x  ,то  3/x2 -3y  ,така е 3 е делител  на   17 ,което е невъзможно .

Тогава остатъците от деление на  x  с 3 са 1 или 2  .                                                       

 Тогава  числото   x  e  от  вида : x = 3k ±1                                                                                                                                       Заместваме  в даденото уравнение  и получаваме

9 k2   ±6 k+ 1 -3y=17 или  3(3 k2   ±2 k -y)=16

което е   невъзможно , защото 16 не се дели на 3

 

  

Задача Докажете че, уравнението   

x2 +4x-8y=11 няма решение в цели  числа .

 

 

 

Задача .Докажете ,че не съществуват    двуцифрени числа ,които са равни на сумата от кубовете на цифрите си ?

 Решение

Задачата  свеждаме  до решаване на неопределено уравнение

10x +y = x3 +y3 ,където 1 < x <   и  <   <  9

Преобразуваме уравнението     x ( 10-x2 )=(y -1)y (y +1)                                                                                                      Очевидно   y  е  различно   от  1 или 0

(1)От това,че дясната страна е положително число ,следва че 10-x2 >0 Това е вярно ако  x  е  1 , 2  и  3

(2)Дясната страна е произведение от три последователни числа

Ако    x  =1,  то  (y -1)y (y +1) =9                                           

Ако    x  =2,  то  (y -1)y (y +1) =12   

Ако    x  =3,  то  (y -1)y (y +1) =3   

 И в трите случая,не съществуват  числа  y, за които произведението  от  три последователни  числа   да са съответно    9,12 или 3

 

 

 


Задача .Да  се намерят две последователни трицифрени числа със следното свойство :Всяко от числата е равно на сумата от кубовете на  цифрите си .

                                  Отговор : 370 и 371

 


 


Задача .Да  се намерят всички  двуцифрени числа, които се делят на произведението от цифрите си .

 Упътване :Сведете задачата до неопределеното уравнение  10a+ b =k.a.b   

 

                         

                     

 

Задача Докажете че, уравнението   

3x2+2=y2  няма решение в цели  числа .

                        Решение

Ако  y = 3k ,то следва,че 3 е делител на 2 ,което е невъзможно

Ако y = 3k ±1,тогава  3x2+2=(3k ±1)2     =>   3x2  =9k2  ±6k +1-2 ,което отново е невъзможно .

 

 


 

Задача:Решете  в   цели числа  уравненията :

a)  16x2 -15y2=367

b)   5x2 -7y2=9

 

 


 


Приложение на неравенствата за решаване на неопределени диофантови  уравнения 



Задача  Да се намерят всички цели положителни  числа    ,  y  и  z  ,за  които :

 

"/>




За числата   (xy):  z ,   (xz):  y  и  (zy)  :  x  прилагаме неравенството между средно аритметично и средно геометрично  и получаваме ,че 
"/>




След заместване  получаваме ,че  xyz <  1  , което е възможно 
тогава и само тогава когато x=y =z=1 




.Задача Решете в естествени  числа уравнениeто
  x +y +  z = xyz

Упътване :Нека  x <  y < z  .Тогава  3z >  xyz





Задача  Докажете ,че уравнението 
"/>
няма решение в цели положителни   числа .Намерете  решение в цели числа .





Задача  Намерете  в цели числа решенията на уравнението  9y 2+ x2 =100

Решение  

Започваме решението  с ограничение   за  y  .От условието    x2 =100 - 9y 2  > 0

Откъдето  следва,че   9y 2  < 100  .

·                                 Нека y> 0 . Тогава  y   < 10 :3

Тогава  y   е 1 , 2 или 3 .След заместване ,получаваме , че ако  y  = 2 ,  то   x=8  и  x= -8

·                                 Нека y  <  0  , тогава    -10: 3    < y  <  0  , така е  y е -1 , -2 или -3  . След заместване ,получаваме , че ако  y  = - 2  ,то  x=8  и  x= -8

 

Окончателно получаваме решенията  (8 ,2 )  ( -8 , -2 )  (8,-2   )  ( -8,2   )

 

 

 

Задача  Намерете  в естествени  числа решенията на уравнението  10y 2+ x2 =2011

 

 



Задача  Да се решат в цели числа  уравнениeто

 x + y   =  x+ y-  x. y




Задача   Докажете че, уравнението   

3x (x-3y)=y2 +n2 няма решение в цели  числа ,различни от x =y =n =0.

                                                 Решение                                        

Нека   допуснем,че съществуват числа  x ,y  и   които , са решение на  даденото уравнение 

                                          Нека (x ,y , n )=1

От това,че  3/y2 +n2   ,то   3/y   и 3/n=>y = 3k   и  n = 3s  тогава 9/3x (x-3y),тогава  3/x  или  3/x-3y ,като извода е ,че 3/x и  следователно числата   x, y , и n  имат общ  делител  ,което е противоречие  с  това,че 

са взаимно прости.

    Следователно уравнението няма решение във взаимно прости числа.

                                          Нека (x ,y , n )=d

Тогава  x=dx1   ,y =dy1,   и   n =dn1   ,където  (x1    ,y1, n1  )=1

След заместване  и съкращаване  получаваме ,че числата  x1    ,y1 и  n1   са

решение на  уравнението 3x1 (x1-3y1)=y12+n12

За това уравнение ,като приложим  горните разсъждения  стигаме ,до извода,че  числата                                                                                              x 1   ,y и  n1  имат общ делител .

  Следователно и в двата случая стигаме до противоречие с  допускането,че съществува решение   различно от  x =y =n =0.

 

 

 

 

 Задача   Докажете че, уравнението   

x3 -2y3 - 4n3  = 0 няма решение в цели  числа ,различни  от   x =y =n =0.

                                               Решение

От това,че всички неизвестни са от една и съща степен  е достатъчно да    допуснем,че съществуват числа  x ,y  и   които , са решение на  даденото уравнение  и които  са взаимно прости .

                                          Нека   (x ,y , n )=1

От  x3 -2y3 - 4n3  = 0  ,следва,че 2/x3  ,но 2 е просто число  =>2/ x =>x=2x1  

Заместваме в уравнението и след съкращаване получаваме,че уравнението

                                 4x31 -y3 - 2n3  = 0

Следователно, 2 /y и от 2 просто число =>2/ y   ,тогава  y=2y1   ,заместваме в предходното уравнение  и след съкращаване  получаваме 

                                 2x31 -4y31 - n3  = 0

От полученото равенство ,следва,че 2/n  и следователно 2 е общ делител на       

                                                                                       x ,y  и  n

По този начин  стигнахме,до противоречие ,че с условието,че (x ,y , n )=1 Следователно  уравнението няма решение в цели числа , различно от x =y =n =0.

 

 

 

 

 

 Задача   Докажете че, уравнението   x3 -2y3 +4n3  -6x .y .n  = 0   няма решение в цели  числа ,  различни  от   x =y =n =0.

 

 

 

 

Задача   Решете  уравнението   x6 +3x3 +1=y4 




4.Задачи за упражнения



Задача .Кои от  предложените отговори  са  решения  на  дадените уравнения ?

 

 

1.)  m3 + 23 =  n 2                         (11;12), (-11;-12)

                                                         (-11;12), (11;-12)

2.) m2 - 48 =  n2                            (24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)

3.x (2 +1)= 48                        (48;0), (24;1), (24;-1)

4)y= 0,5x                                     x = 2m; y = m, m  е цяло число

 5 ) y = 2x – 1                              x = k: y = 2k – 1, k  е цяло число

6)  x2  = 16 y 2                             x = 4m; y = m; x = 4m; y = -m, m е цяло число

7) x2  = 5 y 2                                Няма решение

 

  

  Задача  Решете   в цели числа  следните уравнения :

1.(y-x)(1-x )= 4                                            (-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)

2.(x - 3)(xy + 5) = 5                                      (-2;3), (2;-5), (4;0)

3.(y + 1)(xy – 1)=3                                       (0;-4), (1;-2), (1;2)

4.x2  = 2 x y +3 y 2 + 5                                (-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)

5.x2  = 10 x - y 2 -25                                     (5;0)

6.x2  =  4 x -  y 2 - 2y - 5                              (2;-1)

7.x2  +  5 y 2 +  4 x y + 2y   =  - 1                (2; -1)





5.Неопределени уравнения със степени



Задача   Да се  намерят  всички   цели  положителни решения  на    уравнението :

3y =2x+5

                                          Решение

Очевидно , x  =2  и  y = 2  е  решения на уравнението  , а   x  =1 и y =1 не .

                                      Нека  x  >2 и y >2

                                          Нека y = 2k =>                                                                                                                                 От това,че  8/32 -1 ,то  8/32k -1 ,и  тогава остатъкът от делението на   8 с 3  е  единица .

 От това,че за  x >2  и 8/ 2x => остатъкът от делението на   8 с 2x+5 е 5 ,така е другата страна                                                                                има остатък 5 при деление с 8 .

            Следователно в този случай уравнението няма решение .

                                         Нека y = 2k +1=>

  От това,че  8/32k -1  и  8/3-3 , то 3.32k  ще има остатък  1.3,така е 3 при деление с  8, а  другата страна винаги има остатък  5  при деление с 8

             Следователно  и  в  този случай уравнението няма решение .



 

Задача   Да се  реши в   цели  положителни  числа    уравнението :

                                         2x -  1 =7y

От това,че   7/23 -1   , разглеждаме    x  в зависимост от остатъците ,които има при деление с 3

                                          Нека    x = 3k

Тогава 7/23k -1   и  остатъкът от деление  на  2x-  1   е 1-1= 0 ,но и  7/7y

Следователно  уравнението   има безбройно много решения от вида 

                                           x = 3k  и  y=(23k -1)/7  

                                          Нека  x = 3k + 1

Тогава от това,че 7/23k -1    и  7/ 2 – 2 , то остатъкът  от деление на  2. 23k   -1 , със  7  е  1.2 =2                                                    Тогава в  случай уравнението  няма  решение 

                                           Нека  x = 3k + 2

Тогава от това,че 7/23k -1    и   7/ 22 – 22 2 , то остатъкът от деление  със  7 е 1.4 =4 . Тогава  и  в  случай уравнението  няма  решение 

  Отговор: Уравнението   има безбройно много решения от вида 

                                           x = 3k  и  y=(23k -1)/7 

 


 

Задача   Да се  реши в     цели  положителни  числа    уравнението :

                                         14x +1991 =3y

                                             Решение

Ще докажем ,че при    >3 , уравнението няма решение .

8/14x   и  остатъкът  при деление  с  8  на  14x +1991  е 0+ 7 =7

                     Да разгледаме другата страна на уравнението  3y

Ако y =2 k , то  от това, че  8 / 32 -1 то 8 / 32y -1  остатъкът  е 1 (различен от 7)

Ако y =2 k +1  ,то от това,че  8/3-3 то 3.32k има остатък  1.3=3 (различен от 7)

        Следователно,ако съществува решение ,то  x  е 1,2 или 3

Отговор x =2 , y=7

 

 




Задача   Да се  реши в  естествени   числа    уравнението :

                                         3x - 2y =1

                                       

 



Задача Докажете , че уравнението   n3-2n2 -7n -  4 = 3y  няма решение в естествени числа .

 Решение

Допускаме ,че уравнението има решение в естествени числа .Дясната страна е произведение от тройки  , тогава и лявата страна е  произведения от тройки   или единици .Затова разлагаме n3-2n2 -7n -  4   на прости множители

От това ,че  при   n= 4 , то n3-2n2 -7n -  4  = 0 , то  разлагането можем да извършим по схемата  на Хорнер( Прочети за това от връзката посочена след задачата )Получаваме ,че     n3-2n2 -7n -  4   = (n+1)2(n-4)

Тогава  еквивалентното уравнение  (n+1)2(n-4) =3y  според допускането има решение

Ако n < 3 , то 3y<0

Ако n = 4  , то 3y е равно на  нула .

Ако n = 5  , то 3y=62 , което не е  точна  степен на 3

Нека  n   > 6  

Тогава всеки един от множителите (n+1) и  (n-4)   е  по-голям от едно и е степен на  числото 3 .От това,че   (n+1)  >  (n-4)   за всяко n , то ,ако (n-4)   =3m ,а  (n+1)  =3s, то m < s

Тогава     (n+1)  =3m+t =(n-4). 3t , така е  n2 +2n +1=  (n-4). 3t .Следователно n -4 дели n2 +2n +1 .От това ,че  n2 +2n +1=(n +6)  + 25: (n-4).) , следва ,че  n-4  е делител на 25 .Тогава    n-4  = 1 ,   n-4  = 5  или   n-4  = 2 5   От . n > 6   , следва ,че n  = 9 или   n  = 2 9     

Ако  n  = 9   ,то (9+1)2(9-4) =3y , то няма решение

Ако  n  = 29   ,то (29+1)2(29-4) =3y , то няма решение

Следователно  достигнахме до противоречие с  допускането ,че съществува решение 





Задача Да се реши  в цели неотрицателни  числа уравнението: n5+3n + 4 =2y

(Национална олимпиада по математика ,Областен кръг -17 април 2010 година )

Решение

Дясната страна е произведение от двойки , тогава и лявата страна трябва да представим като произведения от двоики или единици .Затова разлагаме n5+3n +  4  на  множители

От това ,че ако n= -1 , то n5+3n +  4  = 0 , то  разлагането можем да извършим по схемата  на Хорнер

От това ,следва че    n5+3n +  4 = (n+1)( n4- n3+n2– n + 4)

Понеже търсим решенията на уравнението (n+1)( n4- n3+n2– n + 4) =2y

 

 и всеки един от множителите е по-голям от едно , тогава всеки един е степен на числото 2                                                           

От това ,че (n+1) < ( n4- n3+n2– n + 4)  за всяко n  , то  ако  n+1 = 2m    , n4- n3+n2– n + 4 = 2k  ,то    m <  k  Тогава  k =m+s , откъдето следва ,че :

n4- n3+n2– n + 4 = 2k =2m+s   =(n+1)2s

Това е възможно само ако n+1  е делител на 4 , така е n+1   е 1,2 или 4

Ако n+1 =1  , то y=2 

Ако n+1 =2  , то y=3   

Ако n+1 =4  , то     35+3.3 +  4 =256=28   ,  то  y=8

 

 

 

6 . Две интересни уравнения .Метод на безкрайното спускане .



Задача 1 .

Задачата да се намерят всички питагорови тройки ,които са решение на уравнението   x2  + y2  =  z2  е  основна задача  от теорията на диофантовите уравнения .Решенията в цели чсла са безбройно много .

Пример :Знаем ,че тройката числа   3, 4   и  5   са решение на уравнението .След заместване в уравнението   x2  + y2  =  z2  получаваме ,че   тройката числа   x =3k  ,  y =4k  и   z =5k  ,  където  k е произволно цяло число  са също решения на даденото уравнение .




Теорема   Всички   решения на уравнението  x2  + y2  =  z2   са :



x  = m (u2   -  v2)

y  = 2uvm

z  =m (u2 + v2)

 

където  (u, v)=1 , а  m е произволно цяло число 


.



Задача Докажете, че  в питагоровите тройки ,поне един от катетите се дели на 3 

.Задача   Докажете, че  в питагоровите тройки ,една  от страните  се дели на 5 .





"/>







На чертежа  е начертана окръжност с център началото на координатната система   и радиус  z  .В по -горните класове  ще научите ,че уравнението на  окръжност с център  началото на координатната система е :  x2  + y2 = z2 .

 



"/>

 Уравнението на сфера с  център началото на координатна система   е  x2+ y2+ z2 = r2 






 

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg