В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Обиколка на окръжност и лице на кръг .Задачи за 6 клас и 7 клас


Съдържание :

1.  Обиколка на окръжност .Полуокръжност и четвърт от окръжност .Задачи  за 6 клас

2.  Лице на кръг .Задачи за 6 клас .

3.  Задачи подходящи за  състезания по математика  за   6 клас

4.  Задачи подходящи за   състезания по математика  за  7 клас



1.Окръжност .Дължина на окръжност .

1.1 Основни елементи

На чертежа е построена окръжност с център О .

Всички точки от тази окръжност са на равни разтояния от центъра на окръжността .

Разтоянията    OA =OB = OM = r    се наричат  радиуси на окръжността  . Означават  се с  r  (R).

На чертежа точките A ,O и  B  лежат на една права .

Отсечката AB =2r =d  се  нарича диаметър на окръжността . Означава се с  d

Диаметърът    е   най-голямото разтояние между две точки от окръжността



Задача 1:Начертайте окръжност с център т.О и радиус r= 2 см .Постройте  радиусите  ОM ,  ON  и  диаметъра  FQ .Определете дължината на диаметъра   FQ.



1.2 Дължина на окръжност

Дължина  на окръжност -това е цялата обиколка на окръжността  .Бележим я  със буквата  С.

Ако разрежем  окръжност  направена от тел и  я разгънем   по  права линия  ще измерим дължината на тази окръжност .Това е трудно и не винаги възможно при големи радиуси .Затова трябва да изведем формула за дължина на окръжност .


Исторически бележки :

Древните  математици  са стигнали до извода  ,че  ако  разделим  обиколката на всяка окръжност С с  нейният диаметър   d се  получава   винаги  едно и също число  ,независимо от дължината на диаметъра  .Това частно  се бележи с буквата  π(пи)

Числото пи има близо 4-хилядолетна история:

  • жителите на Месопотамия,  забелязват, че за  да оформят  дъно  на кошница  с фигура на  окръжност  , е нужно материалът им да е  с три пъти по-голяма дължина  от  диаметъра на дъното  на кошницата
  • древните египтяни   смятали, че  обиколката на  окръжността е по-дълга от диаметъра 3,16 пъти,
  • древните римляни  смятали, че  обиколката на  окръжността е по-дълга от диаметъра 3,12 пъти


Това  загадъчно   число  в математиката, което  може да бъде открито навсякъде в заобикалящият ни свят, е известно  като   Лудолфово число (на името на  холандският  математик Лудолф   Ван  Цойлен ) .

То не може да се запише  нито  с обикновена дроб , нито с крайна  периодична десетична дроб .

Числото п   има безкраен брой цифри след десетичния знак . Най-мощният компютър е изчислил и показал "само" 1,2 трилиона цифри.

Затова   частното от   обиколката на всяка окръжност и нейният диаметър  се  приема  със закръгляне  до стотните  и се  записва   п ≈3,14

От равенството

"/>
 
получаваме,  формулата за обиколка на окръжност   :  С = 2 • п • r




Задача 2 :Колко метра  ще са необходими за направа на обръч  с форма на окръжност  с радиус   8 метра   .Резултатът   закръглете   с точност  до  стотните .

Решение

C = 2πr ≈ 2 • 3,14 • 8 ≈ 50,24 м



В някои от задачите числото п се записва ,  без да се пресмята .


Задача 3:Намерете обиколката на окръжност  с диаметър  d = 28 см .
Решение 
От d = 28 см ,получаваме,че r=14 см .
Тогава  С = 2πr = 2 • п • 14 
С = 28 • п  см



Задача 4: Обръч  с радиус  30 см  прави две пълни завъртания   .Колко метра е изминал обръчът  .

Решение

ВАЖНО !Всяко пълно  завъртане  на обръча е равно на   обиколката му .               

Тогава за две завъртания ,обръчът  ще направи  две обиколки на дължината си  .                                                
 
Тогава обръчът ще измине път равен на 2.(2.п.30см) =120.3,14=376,8 см



Много често се решават практически задачи,при които се търси  обиколката на  полуокръжност,   четвърт от окръжност  и т.н.



Задача 5 :В квадратна мрежа с дължина на единичното квадратче ,равна на един сантиметър , са построени  полуокръжност   и  три четвърти от окръжност .  Намерете  обиколките им ?

Решение 
От чертежа намираме,че r= 2 см
Тогава дължината на окръжност  с радиус  2 см ,  е  С = 2 • п • 2 =4 • п  см 
А) Тогава полуокръжността ,ще има обиколка  • п : 2 = 2 • п  см
Б) Тогава три четвърти от окръжността  ,ще има обиколка ,равна на : 
"/>



Задача 6 : Като използвате,че   п ≈  3,14  и  r =5 см  намерете :

А) Обиколката на окръжността  с точност до стотните

Б) Обиколката на полуокръжността  с точност до стотните  

В)  Обиколката на  четвъртината от тази окръжност с точност до стотните

Г) Обиколката на три пети   от тази окръжност с точност до стотните



Много често в зависимост от разглежданата задача   се използва приближението на  числото п  чрез   обикновена дроб,което е равно на  : 
"/>




Задача 7 :
Като  използвате, приближението на числото  п  чрез обикновена дроб ,намерете обиколката на окръжност с  диаметър  56  см.
Решение
Заместваме във формулата за обиколка на окръжност и получаваме :
"/>
1
1

Задача 8:В квадратна мрежа с дължина на единичното квадратче ,равна на един сантиметър е построена фигурата оцветена в червено . Намерете  обиколката на тази фигура .
Отговор :18,84 см

Решение

Обиколката на фигурата в червено се състои  от  полуокръжност с радиус 3 см и две четвърти от окръжност с радиус  3 см .

Като съберем тези дължини  ,получаваме точно обиколката на една окръжност   с радиус равен на 3 см.

Тогава търсената  обиколка ,е :
 С = 2πr = 2 • 3 • 3, 14 =18,84 см.




Задача 9 .Колко метра изминава върхът на голямата стрелка на часовника за 3 часа , ако тя е с дължина 10 см.

Решение

Да проследим движението на минутната стрелка

За 1 час тя прави една пълна обиколка

Тогава за 3 часа ,ще направи 3 обиколки  на окръжност с радиус 10 см .

Тогава минутната стрелка ще измине  път равен на 3.( 2.3,14.10) =188,4 см






Задача 10 : В  дадената  квадратна мрежа   дължината на всяко квадратче е  1 см .Ако  дължината на страната на равностранният триъгълник е 6 см  и п ≈  3,14  ,то намерете разликата от обиколките на  триъгълника и окръжността .
"/>





Задача 11 .Колко метра изминава върхът на малката стрелка на часовника за 3 часа , ако тя е с дължина 7 см.

Отговор:  С=22 см

Упътване:  За 24 часа ,часовниковата стрелка изминава  цяла  окръжност  .




Задача 12  .За да спечели даден автомобил  състезание  ,колелото му  трябва да извърши  1000 оборота в минута . С каква скорост трябва да се движи автомобилиста,ако колелото на автомобила  има радиус  50 см  ?

Решение

Скоростта ще изчислим , като намерим, колко  километра изминава колелото  за    1 час
За 1 минута ,оборотите му са 1000 броя
За 60 минути =1 час ,оборотите му са 1000.60=60000 броя
На всеки един  оборот ,колелото изминава път в метри ,равен на обиколката на колелото ,която е   2.0,5 .3,14 =3,14 м
Тогава за  60000 оборота ,пътят е  60000 .3,14 =188 400 м =188,4 км
Получихме,че търсената скорост е  188,4 км





Много често,знаем обиколката на окръжност ,а търсим нейният радиус .

Задача 13  :Обиколката на окръжност е  113,04  см. Намерете диаметъра на тази окръжност .
Решение 
Като заместим дадените елементи в равенството   С = 2πr , получаваме ,че   113,04 = 2.3,14 .r 
Тогава  r= 113,04 : 6,28 ,  r= 113,04 : 6,28 =18 см .
Тогава  d = 36 см .



Задача 14 : Като използвате,че   п ≈  3,14  и  С = 2,512 см  намерете :

А) радиуса на окръжността

Б) диаметъра на окръжността  

Отговор  : r=0,4 см   d=0,8 см



Задача 15 : Човек  изминал с  велосипед 25,12  метра. По колко завъртания са направили колелетата  на велосипеда, ако и двете са с диаметър 0,8 метра?

Решение
Като заместим дадените елементи в равенството   С = 2πr , за обиколката на едното колело  получаваме
С = 2.3,14 .0,4
Тогава  С = 2.3,14 .0,4 = 2,512см
Тогава  броя на обиколките е равен на частното   25,12 : 2,512 =10 броя





Задача 16 : На чертежа  фигурата  ,  се състои от  квадрат със страна х см и полуокръжност  с диаметър х см  .Ако фигурата   има  обиколка   равна на  45,7  см ,то  намерете  страната на квадрата .

Решение :

"/>

Решение

Изразена чрез х   обиколката  на фигурата  е  равна   на   3х + п.х:2  =х.(6+3,14):2  = (х.9,14):2

Тогава получаваме,че    (х.9,14):2: = 45,7

Тогава  х =91,4 :9,14

Тогава  х =10 см

2.Кръг .Лице на кръг .

Всяка окръжност  огражда фигура  ,която се нарича кръг  .На чертежа кръгът е оцветен в жълто .Центърът ,радиусът и диаметърът на окръжност са център,радиус и диаметър  на кръга .



Лицето
   S   на кръг с радиус    се пресмята с формулата
"/>



Задача 17 :Намерете лицето  на окръжност  с диаметър  d = 20  см .

Решение 

От d = 20 см ,получаваме,че r=10 см .

Тогава   S  = π • r2 ≈  3,14 • 100 ≈ 314 см2

 

 

Задача 18 :Колко кв . метра  е площта на   огледало  с   форма на окръжност  с радиус  4  метра   . 

Решение

S  = π • r2 ≈  3,14 • 16 50,24 м2.

 


Задача 19 Окръжност има дължина 12,56 см. Намерете  лицето на :

А)  Половината от кръга ,ограден от тази окръжност .

Б)  Три  четвърти  от лицето на кръга

Решение

От това,че  С= 12,56 см  получаваме равенството   2.3,14 .r = 12,56 см ,от което намираме,че r=2 см

Тогава  S=3,14 . 22 =12,56  см 2

А) Тогава половината лице е  6,28   см 2

Б)  Тогава три четвърти от лицето на кръга  е     (12,56  : 4).3=9,42  см 2

 

 

Задача 20  Мама  плете покривка за нашата кръгла маса  с  диаметър на  1,2  м. Колко  квадратни  метра   дантела трябва да изплете  мама , ако  покривката  пада от всички страни  с  20  см.

Упътване :  

От условието правим изводът ,че   радиусът на покривката   е  :  0,6  +0,2  =0,8 м .

Отговор : 2,0096 м2




Задача 21 : Радиусът на окръжност  е  увеличен   2 пъти .Колко пъти лицето на тази окръжност е по-голяма от лицето на дадената окръжност .

Решение

Нека първата окръжност има  радиус r и лице S= π • r2

Втората окръжност има  радиус 2r и лице S= π •4 r2

Тогава новата окръжност има лице,което е четири пъти по-голямо от дадената окръжност .

 



Задача  22: Радиусът на окръжност  е  намален   4 пъти .Колко пъти лицето на тази окръжност е по-малко  от лицето на дадената окръжност.

 




Задача
23  :В квадратна мрежа с дължина на единичното квадратче ,равна на един сантиметър е построена фигурата оцветена в червено .   Намерете  лицето  на тази фигура .
"/>

Решение

Разглежданата фигури се състои от :

  • полуокръжност  с радиус  r = 3 см  и лице   S=  (9.3,14):2 
  • Ако от лицето на правоъгълника   с размери  6 см и 3 см  извадим лицето  на две четвърт окръжности с радиуси равни на  3 см ,ще получим лицето на втората част  .От това,че двете полуокръжности  са с равни радиуси ,то сбора от лицата им е равен на  една полуокръжност с радиус  3 см.  Тогава  лицето на тази част от фигурата е  6.3 -(9.3,14) :2 
  • Тогава цялата площ в червено има лице  ( 9.3,14):2 +6.3 -(9.3,14) :2 =18 см2




Задача 24  В квадратна мрежа с дължина на единичното квадратче 1 см  е построена окръжност,която е разположена   в    правоъгълен  триъгълник  с катети   равни  на 8 см .Намерете лицето на фигурата оцветена в червено .

Отговор :  19,44 см2



Задача 25 .Поръчвате  огледало с форма на кръг с  диаметър  2  метра . За материала трябва да платите  10 лева на  кв.метър , а за рамката   2 лева на метър . Колко лева трябва да  платите за да ВИ изпълнят поръчката ?

Решение

За да пресметнем , колко  лева   трябва да платим за  материала , намираме  площта на огледалото   S=п.1=3,14 кв.м

Тогава   за  материала ще струва   3,14 .10= 31,4  лева

За да намерим, колко ще трябва да платим за рамката , намираме  обиколката  на  огледалото

С = 2.п.1=2.3,14 = 6,28 метра

Тогава  рамката на огледалото  струва     6,28 .2= 12,56  лева

Общата сума която трябва да платите  е :  31,4  лева  + 12,56  лева = 43,96 лева



Много често,знаем лицето на окръжност ,а търсим нейният радиус

Задача 26. Сборът от лицата  на  две окръжности  е  равен на  100.п .Ако единият радиус е  два пъти по-голям от другият, то намерете   дължините  на  радиусите на двете  окръжности:

Решение

Ако  радиуса на малката  окръжност е r ,то радиуса на голямата  е  2r  .Тогава за сборът от лицата на двете окръжности  получаваме  равенството  п. r2+п.4r2= 100.п

Тогава    5.п.r2= 500.п

Тогава  r2 = 500п:5п

Тогава  r= 10 см

Тогава  по-голямата окръжност има радиус  20 см .

   

 

3.Задачи от окръжност подходящи за състезания за 6 и 7 клас

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg