В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Общо кратно. Най-малко общо кратно .5 клас

Съдържание :

1.Кратно .Общо кратно

2.Най-малко общо кратно

2.1 Най-малко общо кратно  на две числа

2.2 Тест  -  проверка на уменията за намиране на НОК  на две числа

2.3 Най-малко общо кратно на три числа

3.Практически задачи 

 




1.Кратно .Общо кратно

Кратно число — това е естествено число, което се дели на друго естествено число без остатък.


Примери :

  • Числото 18 е кратно на 9  (18:9=2)
  • Числото 45 е кратно на 5  (45:5=9)
  • Числото 30 е кратно на 2  (30:2=15)


Да разгледаме числото  9   


Делителите на числото 9 са числата  1,3 и 9  .Те са краен брой .


Числата    9,54,36 и  81 са  кратни на числото 9 .Има  безбройно  много  числа ,кратни на числото 9  .


Всички кратни на числото 9 ,можем да подредим  в редица ,като започнем от най-малкото .


Записваме :   К(9) = {9,  2.9, 3.9, 4.9, 5.9 ,........}= {9,18,27,36,45 ,......}


Всички кратни  на  естественото  число  а,съкратено записваме  К(а ) 

 


Задача за упражнение  .Запишете следващите две кратни на числото  9:

К(9) = {9,  18,27, 36, 45 , (..),(..)......}

 

 

Задача  за упражнение.

А) Запишете всички делители на числото 6 

Д (6) = {......}

 

Б) Запишете пропуснатите  кратни на числото  6 :

К (6) = {6,12,18, (....), 30 ,(...),......}

 


Да запомним!

Числата ,които се делят на дадено естествено число без остатък са безбройно много

Кратните на простото число   7  са : К (7) = {  7: 14, 21, 28, 35 .....}

Делителите  на простото число   7  са :   Д (7) = {  1, 7 }

 


Общо кратно на две естествени числа е такова естествено число, което се дели и на двете числа без остатък


Пример :

Числото 2 се дели без остатък на 12 и числото 3 се дели без остатък на 12


Тогава  естественото число  12 е общо кратно на числата 2 и 3


Вижте как  костенурката  Многознайка  е  получила   всички  общи кратни на числата 2 и 3

Общите  кратни  на числата 2 и 3 са безбройно много 

 Най-малкото от всички общи кратни е 6


Общото  кратно на естествените числа а и b се означава така : ОК (а, b)


Записваме : ОК (2, 3)= {  6, 12 , 18, 24 ..........}

 

 

Пример : Запишете  всички общи кратни на числата 2 и 5

Всички  кратни на числото  2 са  :

 К (2)  = {2,4,6, 8, 10 , 12,14 ,16,18,20,22 ,  ......}

Всички  кратни на числото  5 са  :  

 К (5)   = { 5,10,15, 20, 25 , 30,35   ......}

                               

Всички кратни на 2 и 5 са : 10, 2.10 , 3.10,4.10 .........................

Тогава   ОК( 2,5)  = {  10, 20 , 30,40 ..........}

 

Най-малкото от всички естествени числа,които се делят без остатък на 2 и 5 е числото 10

2.Най-малко общо кратно

2.1 Най-малко общо кратно на две естествени числа

Определение :

Най-малкото общо кратно на две числа – това е най-малкото естествено число , което дели и двете числа без остатък

1
1

Най-малкото общо кратно на естествените числа а и b се означава с НОК (а, b)


Примери : 

НОК(2,3) =6  

НОК(2,5) =10 


Първи начин за намиране на НОК на две естествени числа

Този  начин за намиране на  НОК вече Ви е познат


Записваме в редица  всички кратни и на двете числа ,докато открием първото число ,кратно и на двете числа

 

 

  Пример. Намерете най-малкото общо кратно на числата 6 и 9

К (6) = { 6, 12, 1824, 30,36 ...}

К (9) = {9, 1827, 36, ...}

НОК (6, 9) = 18

 


Пример  : Намерете най-малкото общо кратно на числата 12 и 18

К (12) = {12,24,36,48,60,72 .......}

К (18) = {18,36,54,,72 ..........}

НОК (12, 18) = 36




Задача за упражнение  : Намерете най-малкото общо кратно на числата  12  и 16 

 Отговор :  НОК(12,16 ) =48  



Когато числата са по –големи , търсим други  начини за намиране на  НОК


Втори начин : Намиране на НОК ,чрез разлагане на прости множители



Намерихме ,че  НОК(12,18 ) =36 

Да  разложим числата 12 ,18 и най-малкото им общо кратно  36 на прости множители 

12 = 2*2*3 = (2*3)*2 

18 = (2*3 ) *3 

НОК (12,18)=  36 = (2*3) *2*3  

ИЗВОД НОК  на двете числа   в разлагането си на прости множители,съдържа всички елементи от разлагането на прости множители на числата 12 и 18    



Извод : При намиране на НОК , умножаваме общите прости  множители   на двете числа с останалите прости множители на двете числа 


 

За да намерим НОК,първо трябва да намерим общите прости множители на двете числа


Задача .Намерете НОК на числата 70 и 42 

Решение : 
70 =   (2*7)* 5 
42 = (2*7) * 3 

Двете числа имат два общи прости множителя  - 2 и 7 .В  НОК  те се записват ,само по веднъж 

Тогава НОК (70 ,42) =( 2*7)*5*3 =14*15=210       

Отговор :  НОК(70 ,42)=210         






Задача .Намерете НОК на числата 78 и 45 
Решение : 
78 =2*3*13
45 =3*3 *5 

Двете числа имат един общ делител – 3 . В НОК той се записва ,само по веднъж . 

Тогава НОК(78 ,45) = 3*(2*13)*(3*5) =78*15=1170      

Записваме НОК(78 ,45)= 1170


Да си припомним !

Най-големият общ делител на две числа е най-голямото естествено число,на което се делят и двете числа






Задача .Колко е  НОК(126,70 )= ? 

Костенурката Многознайка  ще ви покаже един класически начин за подреждане на решението ви за намиране на НОК на по-големи числа .


 

  •  Записвам  числата едно след друго хоризонтално  и след последното число тегля черта.
  •  Започвам делението  с  общите   прости  множители
  •  Започвам с най-малкото просто число- общ делител на двете числа .Делителят  записвам  в дясно.
  •  Деля всички числа с него, а получените частни записвам под дадените числа.
  •  Числата, които не се делят на общия прост множител , преписвам на втория ред.
  •  С числата от втория ред постъпвам по същия начин.
  •  Като приключа с общите прости делители ,продължавам с делителите на всяко от числата
  •  Делението продължавам, докато в ляво от чертата от всяко число  получа частно единица.
  •  Умножавам получените прости  делители в дясно от чертата и получавам  НОК на дадените числа. 


Как да намерим НОК ,ако числата нямат общи делители

Ако  естествените    числа  а и b са  взаимно  прости ,то НОК (а , b)= а * b

Това е така,защото произведението а *  е най-малкото естествено число ,което се дели и на двете числа без остатък 

 

Пример : НОК(  3, 7) =21


Пример : НОК(  5, 71) =355 

 

Пример : НОК(  3 , 200 ) =600 

 

 

Задача за упражнение . Намерете НОК на числата

А)   8 и 9

Б)  18 и 5

В)  500 и 2


Колко е НОК ,ако едното число се дели на другото ?



  Ако естественото число а е делител на естественото число b , то   НОК(а, b)= b   


Пример :   НОК(68, 34)=68 ,защото  68 се дели на  34

Пример : НОК(300,6300 )= 6300, защото  6300 се дели на  300  
 
Пример : НОК(50,200 )= 200, защото 200  се дели   на  50  


 

Продължаваме с намирането на НОК на две числа в случаите ,когато имат общи делители



Задача . Намерете
А) НОК(105,90) =? 

Б) НОК(360,80) =? 

Решение А)                                                                                      Б)
105,903  360,802 
35,305  180,402
7,67  90,202
1,62  45,105
 ,33  9,22
 ,1   9,13
     3 3
     1  
  
НОК(105,90) =3*5*7*2*3                                          НОК(360,80) =2*2*2*5*2*3*3 
НОК(105,90)=630                                                     НОК(360,80) =720  



Задача за упражнение . Намерете 
А) НОК(65,90) =?

Б) НОК(250,80) =?

Решение

А)                                                                             Б)
65,905  250,802 
        
        
        
        
        
        
        
 

Отговор А )  1170                                                                      Отговор Б )  2000



Извод :

Щом общите прости множители се умножават, при намиране на НОК , можем спокойно да делим на произволни общи делители




Задача . Намерете 
А) НОК(150,90) =?
Б) НОК(560,160) =? 

Решение

А)                                                                  Б)
150,9030  560,16080 
535  722
133  717
 1   1  
        
        
        
        
  
НОК(150,90) =30*3*5                                                НОК(560,160) =80*2*7 
НОК(105,90)=450                                                      НОК(360,80) =1120    


2.2 Тест - проверка на уменията за намиране на НОК на две числа

Преди да продължим ,отговорете на въпросите :  



Задача №1.Най-малкото общо кратно на 4 и 5 е :

 

А) 4                Б) 5             В)   20            Г)10

 

 

 

Задача №2.Най-малкото общо кратно на 8 и 9  е:

 

А) 9                Б) 18               В) 16             Г)72

 

 

 

Задача №3.Най-малкото общо кратно на 4 и 16 е :

 

А)  4               Б) 16               В)8               Г) 12

 

 

 

Задача №4.Най-малкото общо кратно на 10 и 40 е :

 

А)   10              Б) 20               В) 40           Г)80

 

 

 

Задача №5. Най-малкото общо кратно на 8 и 12  е : 

А) 12                Б)36                В) 24                       Г)8

 

 

 

Задача №6. Най-малкото общо кратно на 70 и 15  е :

 

А) 10              Б)  140            В)70            Г)210

 

 

 

 

Задача №7. Най-малкото общо кратно на 80 и 120  е :

 

А)  160               Б) 240           В)  120                Г)180

 

 

Отговори :

 

 

Задача

1

2

3

4

5

6

7

Отговор

 В

 Г

Б

 В

 В

 Г

Б

 



Лесно и бързо се намира НОК чрез НОД

НОД е произведение от всички общи прости делители на двете числа


Задача .Колко е   НОК(64 ,72 ) =?  
Решение 

64 = 8*8 
72 = 8 *9 

Числото   8   е   НОД   на  двете числа ,защото (8,9)=1 

Тогава НОК(64 ,72 )=8*9*8=576 

 


 Правило : 

За да получим  НОК   от   НОД  го умножаваме  с  останалите  прости множители 

 

С признаците за делимост , можем бързо и лесно да намерим НОК


Задача .Колко е  НОК(160,240)= ? 
Решение
160 =80*2    
 240=80*3 
(2,3)=1 
НОД(160,240)  =80 
НОК(16,24)  =80*2*3=480       




Задача .Колко е  НОК(100,125 )= ?  
Решение
100 =25*4    
 125=25*5    
 (4,5)=1 
НОД(100,125)  =25 
НОК(100,125)  =25*4*5=500       




Задача .Колко е НОК(81,90 )=? 
Решение
81 =9*9     
90=9*10 
От това,че (9,10 )= 1 , то НОД(81,90)  = 9 

НОК(81,90)  = 9* (9* 10)  =  810    



Задача  : Колко е НОК  (725; 400).=?

Решение

От признаците за делимост,виждаме ,че и двете числа се делят на  25

На 25 се делят числата ,които завършват на две нули или на 25,50 или 75

725=25* 29

400=25 *16

Тъй като (29,16)=1, то  НОД(725; 400 )  =25   

Тогава   НОК (725; 400)= 25* (29* 16)  = 11600

 

 

 

 Задача .Намерете  НОК( 360 , 585)= ?

Решение

От признаците за делимост,виждаме ,че и двете числа се делят на  9 и 5 .                                     

Тъй като  ОД (9,5)=1 , то  двете числа се делят на  45                                                              

Тогава 45  е   общ делител  на двете числа

360=45* 8

585=45*13

Тъй като (8,13)=1 , то  НОД  (360 ,585 )  =45  

Тогава  НОК (360; 585)= 45* (8* 13)  = 4680

 

 

 

 

Когато числата са по –големи ,ползваме програми за намиране на НОК

1
1
1

2.3 Намиране на най-малко общо кратно на повече от две числа


Когато числата са повече ,отново разлагаме на прости множители 




Задача . Намерете
А) НОК(24,18,60) =? 
Б) НОК(72,30,45) =?
Решение 
А)                                                                                 Б)
2418606  7230753 
43102  2410255
2352  24252
1353  12155
 155  12 112
  1   1   
          
          
  
НОК(24,18,60)=6*4*15                                                    НОК(72,30,45) =15*10*12                             

НОК(24,18,60)=  360                                                       НОК(72,30,45) =1800                            





Задача . Намерете 
А) НОК(45,105,60) =?
Б) НОК(540,360,90,) =? 

Решение
А)                                                                                Б)
451056015  5403609010 
3743  543699
1744  6412
1717  32 2
 1    3 1 
       1   
 
  НОК(45,105,60) =15*3*4*7                                          НОК(540,360,90) =10*9*4*3                             
    
  НОК(45,105,60) =1260                                                 НОК(540,360,90) =  1080 



Задача за упражнение  . Намерете 

А) НОК(15,10,20) =?

Б) НОК(400,360,70,) =? 

Решение 

А)                                                                                    Б)
151020   40036070  
          
          
          
          
          
 

Отговор : А)  60                                                                        Отговор : Б)  25200



3.Практически задачи



Задача .Стоян за 15 минути обикаля  стадион , а Петър - за 20 .Ако  започнат да бягат едновременно  от  едно и също място в една и съща посока ,след колко  минути двамата , ще се срещнат за първи път отново на същото място ?  

Решение 
На същото място Стоян ще бъде след 15мин ,след 30 мин. ,45, след 60 мин , след 75 мин. .............. 
На същото място Петър  ще бъде  след 20 мин , след 40 мин. , след  60 мин , след 80 мин. .............. 
Тогава ,точно след   60 минути ,двамата спортисти ще се срещнат отново на старта 

Бележка : Числото 60 е НОК на числата 15 и 20 
Бележка :За първи път ще се срещнат отново , когато Стоян започне петата си  обиколка ,а Петър четвъртата .      




Задача за упражнение.На спирка пристигат едновременно три автобуса . След колко време тези три  превозни средства отново ще се срещнат на тази спирка, ако по график първият  прави пълна обиколка на маршрута си за  1 час и 30 минути , вторият -   за 1 час, а третият  за 45 минути ?

Упътване :Намерете НОК(90,60,45)

Отговор :след 180 минути=3 часа

   


Задача за упражнение   Възрастта на моята баба е равна на най-малкото естествено число,което се дели без остатък едновременно на числата   2, 3,6 и 11 . На колко години е моята баба ?

 

Отговор :НОК( 2, 3,6 , 11)=66 години 

 

 



Задача за упражнение Броя на учениците в един клас се дели на 5 и 6 .Ако те са по-малко от 35 ,то намерете   броя на учениците в този клас

Отговор : 30 

 

 


Често в задачи от практиката се  добавя  и уточняване на дата от месеца  

 



Задача Днес 1 април приятелите Петър и Стоян тренират заедно плуване .Ако Стоян ходи на тренировки на всеки  3 дни,а Петър на всеки 4 дни ,то коя е най-близката дата ,на която те отново заедно ще тренират плуване ?


Решение

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стоян


 

 


 

 


 

 


 

 


Петър


 

 

 


 

 

 


 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
















НОК(3,4)=12

Тогава на всеки 12 дни след първия път когато са тренирали заедно  ,те отново ще тренират заедно

Тогава точно на 13 април ,те ще са заедно на тренировка

 

 

 

Задача  за упражнение Днес 3  декември   Мая и Петър са заедно на урок по математика.Ако Мая  ходи на уроци   на всеки  4  дни,а Петър на всеки 5  дни ,то коя е най-близката дата ,на която те отново заедно ще бъдат на урок по математика ?

Отговор : 24 декември



Понякога  в задачи от практиката се  иска освен уточняване на датата ,да уточним и в кой ден от седмицата се случва това .  

 


Какво трябва да знаем

 

Всяка седмица има 7 дни

През всеки 7 дни ,дните от седмицата се повтарят

Ако днес 3-ти  е вторник ,то на   3+7 ,3+2.7 ,....е отново вторник

 


Ще завършим с една такава изследователска задача за ученици с математически наклонности



Задача На всеки 4 дни ,мама почива два  дни ,а на всеки  3 дни  татко почива един ден .Днес 1 септември ,ден неделя е втория ден от почивката на мама .На този ден  и татко не е на работа .


А) След колко  дни мама и татко ще  почиват  за първи път отново  заедно и в кой ден от седмицата  ?

 

Б)  След  колко дни мама и татко за първи път ще почиват отново в неделя .Намерете  месеца и датата 

 

Решение  

А)  1 септември   е вторият  ден от почивката на мама  и ден в който и татко почива

 

 

 

нед

пон

вт

ср

чет

пет

съб

нед

пон

вт

ср

чет

пет

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

мама

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Татко

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

От данните в таблицата ,правим извод ,че на 13 .ІХ ,ден петък ,двамата родители ще почиват отново заедно за първи път 

Б) На 13 ІХ  е първата обща почивка .

На всеки 12 дни ,те отново почиват  заедно 

Тогава  те почиват заедно на  25-тия ,на  37- мия ,на 49-тия ,на  51-вия ,61-я ,на 73-тия ,на  85-тия  ,на 97- мия , и т.н 

На 1 е неделя  .На 1+3.7=22 също е неделя 

Неделя е  и на 22,29,36,43,50,57,64,71,78,85 

Получихме,че на 85 –тия ден е отново неделя и в този ден и двамата почиват   

Търсим датата 
От 1 . ІХ до 31 .ІХ-31 дни
От 1 . Х  до 30 .Х-30 дни 
От 1 . ХІ до 24 .ХІ -  24  дни 

Отговор На 24 . ХІ   
В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg