В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Общ делител .Най-голям общ делител .5 клас


Съдържание :

1.Обобщение на  понятието делител на естествено число

2.Общ делител .Най-голям общ делител

3.Тест

 

1.Обобщение на понятието делител на естествено число

Делител - това е естествено число , на което дадено число се дели без остатък.

Примери :

Числото  6 е делител на числото 18 .

Числата  3 и 4  са делители на  числото 12 .

Числата  3 и 5  са делители на  числото 30 

Числата  2  ,3  и 7  са делители на  числото 42  

 

Числото 1  е делител на  всяко число 


Всяко  естествено число ,което   има  само  два делителя – едно и себе си се нарича просто число


Примери: Числата   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19  ... са прости числа

Делителите на числото 17 са 1 и 17

Делителите на числото 11 са 1 и 11 

 

Задачата да намерим  всички делители на едно съставно  естествено  число  е основна в математиката .


Пример:  Намерете   всички делители на числото  42   и  ги запишете  във възходящ ред

За да открим   по –лесно  всички делители  на числото 42,го  представяме  ,като произведение от  прости множители  : 42=  6*7 =  2*3*7

42=2*3*7

"/>



Важно !Всяко произведение от простите множители  в разлагането на числото 42  е делител на  числото 42


След това  съставяме всички възможни произведения  от простите множители в разлагането на 42

Подреждаме  делителите във възходящ ред

 

1

2

3

2.3

7

2.7

3.7

2.3.7

 

                                               

Записваме   Д 42  = {1 ,2 ,3 ,6 ,7,14, 21,42}

                                                                                      

                                                                Да обобщим :

 

Число 42

 

 

Разлагане на пр.множители

 

2*3*7

Делители

 

1 ,2 ,3 ,6 ,7,14, 21,42

Брой делители

 

8

 



 Пример : Намерете  всички делители на числото 72

Правила :

  • Разлагаме  числото 72 на прости множители   72 =  8*9 =  2*2*2*3*3

 

72=2*2*2*3*3

 

  • Намираме  всички възможни  произведения  от простите  множители  на числото .Подреждаме  делителите  на числото във възходящ ред

 

1

2  

3

2.2

2.3

2.2.2

3.3

2.2.3

2.3.3

2.2.2.3

2.2.3.3

2.2.2.3.3

  

Записваме   Д 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

                                                                  

                                                                         Да обобщим : 

Число 72

  •  

 

Разлагане на пр.множители

  •  

72=2 *2*2*3*3

Делители

  •  

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

Брой делители

  •  

12

 

 

 

 

Задача Колко са естествените числа ,които се делят  на числото 18 без остатък ?

Решение

18=2 *3*3

 18 има 6  делителя :

Д 18  = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

 

Задача Колко са естествените числа ,които се делят  на числото 25 без остатък ?

Решение

18=5 *5

25   има   3 делителя:  

Д 25 = {1, 5, 25}

 

Задача Колко са естествените числа ,които се делят  на числото 71 без остатък  ?  

Решение

71 има  2 делителя:  

Д 71 = {1, 71,}

 

Задача за упражнение : Колко са естествените числа ,които се делят  на числото 60 без остатък  ?

 

Число 60

 

 

Разлагане на пр.множители

 

60=2 *2*3*5

Делители

 

 .

Брой делители

 

 


Отговор : 12

 

 

 


Задача за упражнение Попълнете таблиците 

А)

Число 45

 

 

Разлагане на пр.множители

 

 

Делители

 

 .

Брой делители

 

 


Б)

Число 28

 

 

Разлагане на пр.множители

 

 

Делители

 

 .

Брой делители

 

 

 

В)

Число  70

 

 

Разлагане на пр.множители

 

 

Делители

 

 .

Брой делители

 

 

 


Задача  : Намерете    всички делители на числото 5940

Числото   5940 ,завършва на 0 ,тогава то  се дели на 10,т.е на 2* 5

Сборът от цифрите на числото  5940 е 18 ,тогава  се дели на 9 ,т.е на 3*

 

Числото  5940 има следното разлагане на прости множители

                                      5940 =  (2*5 *3*3)*66=2*2*3*3*3*5*11

Числото  5940  има  48  делителя  

Д 5940 = {1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,........}

 

Когато се работи с големи числа се използват програми

На този линк може да намерите останалите  делители на числото 5940



Решенията  на  много  практически задачи ,са свързани  с намиране на  всички делители на едно естествено  число :

 

 

Задача Имате  30 ябълки ,които трябва да разделите между няколко деца,така ,че всяко дете да получи  по –равен брой ябълки.

 

А) По колко ябълки ще получи всяко дете ,ако децата са 6

Решение :30:6=10 броя

 

Б)  По колко ябълки ще получи всяко дете ,ако децата са 15

Решение :30:15=2 броя

 

В) Запишете  всички възможности за  разделянето на 30 ябълки,по-равно между няколко деца  

Решение :

Всяка  възможност е делител на числото 30   

От това,че  Д 30 = {1,2,3,5,6,10,15,30},то всички начини за разделяне на ябълките са 8

 

 

Задача .Стоян  иска да    раздели  48 жетона за игра  между   негови   приятели ,така че всеки от тях да получи по равен брой  жетони .Известно е ,че  броя на  приятелите на Стоян се делят на  2 и  3  и  са по – малко от  15. Намерете по колко  броя  жетони е получил  всеки от приятелите на Стоян  ? 

Решение Числата 2 и 3 са  прости .Тогава броя на приятелите на Стоян се дели на 6    

От всички делители на числото 48 , Д 48= {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}  ,само   6 и 12 се делят на 6  и са по-малки от 15

Ако Стоян раздели жетоните си с 6 приятеля,всеки от тях   ще получи по 48:6=8 жетона 

Ако Стоян раздели жетоните си с 12 приятеля,всеки от тях   ще получи по 48:12 =4 жетона  



2.Общ делител .Най-голям общ делител

 

                                         О  Б  Щ        Д  Е  Л  И  Т  Е  Л    

 

Ако естествените числа   а и b се делят  без остатък на естественото число  с, то  с се нарича общ делител на числата   a и b .

Пример: Числото 18 се дели на  6  и числото 42 се дели на 6 .

 

Тогава 6   е общ  делител на числата   18  и 42

 

Вярно е,че :  

 

Числото  11 е общ  делител на числата   22  и 33

 

Числото  5 е общ  делител на числата   20  , 35 и  70

 

Числата  3 и 4  са  общи   делители на  числата   12  и   60

 

Числата  2  ,3  и 7  са общи  делители на  числата   42  и 84  

 

Числото 1  е  общ  делител на  всяко  естествено   число   

 

Простите числа имат само  един  общ  делител – числото 1

 

 

 

   Всички общи делители на естествените   числа   а   и   в   означаваме   ОД (а;в)

 

 

Примери :

ОД   (5;7)   =1

ОД   (41; 2) =1

ОД   (2; 4) ={1,2,4}

ОД    (6; 9) ={1,3}

 

 

Задачата да намерим  всички общи  делители на  няколко   естесвени  числа  ,които  са съставни   е основна в математиката .

 

 

Пример:  Намерете всички общи делители на числата 30 и 24

Всички   делители на числото   30 =2*3 *5  са :       Д 30 = {1,2,3,5,6,10,15,30}

Всички   делители на числото   24 = 2*2 *2 *3  са :  Д 24= {1,2,3,4,6,8,12,24}

"/>



Като сравним  делителите на двете числа  ,виждаме ,че само числата: 1,2,3 и 6  се  делят  едновременно на  числата 30 и 24 



Записваме  ОД(24;30) = { 1,2,3,6 }

 



Пример:  Намерете всички общи делители на числата 40 и 72

Всички делители на числото  72 = 2 *2*2*3*3 са 72={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

Всички   делители на числото 40  = 2 *2*2*5  са : Д 40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}

Числата  : 1,2,4 и  8   са  всички  общи делители на числата 40 и 72

                                        Записваме  ОД(40;72) = { 1,2,4,8 }

 


                        П Р А В И Л А З А   Н А М И Р А Н Е   Н А    В С И Ч К И    О Б Щ И     Д Е Л И Т Е Л И        


1.Разлагаме числата на прости множители

2.Намираме всички делители

3.Намираме общите им делители

 

Задачи за упражнение : Намерите всички делители на числата :

А) ОД(34;68) = { .......... }

Б)  ОД(24;56) = { .......... }

В) ОД(60;70) = { .......... }

Г)  ОД(110;55) = { .......... }

 

 

 

                                      Н А Й  -Г О Л Я М      О  Б  Щ     Д  Е  Л  И  Т  Е  Л    ( Н О Д)


Най-голям общ   делител (НОД) на две естествени  числа,   е най-голямото

  естествено   число, което се   дели  и  на   двете числа без остатък.

                                             

                                                Най-големият общ делител на a и b се означава като  НОД (a,b),                                                            


Пример :Намерете НОД на числата 12 и 18 :

ОД(12;18) = { 1,2,3,6 }

Числото 6 е   най-големия  общ делител на числата  12 и 18  

Записваме  НОД(12;18) =6 


Пример :Намерете НОД на числата 15 и 20 

 ОД(15;20) = {  1,5 }   

Числото 5 е   най-големия  общ делител на числата  15 и 20  

Записваме  НОД(15;20) =5


Примери:

  • ·         НОД(6;18) = 6
  • ·         НОД(6 ;14) = 2
  • ·         НОД (8;20  ) = 4.
  • ·         НОД(5; 7) = 1.



Ако най-големия общ делител на две или няколко числа е равен на единица ,то казваме,че тези числа са взаимно прости

  

Примери :

  • Числата 6  и 17 са взаимно прости ,защото   НОД (6;17)=1
  • Числата 4  , 9  и  23   са взаимно прости ,защото   НОД (4; 9;23 )=1
  • Всеки две последователни  естествени числа  са взаимно прости .
  •  Числото 1 е взаимно просто с всяко естествено  число

 

Задача : Напишете  три  взаимно прости числа ,  едното  число от които  е 7      

.

      Ако естественото  число а  е делител на  числото  b , то  НОД(аb)= а   

 

Примери:   

НОД(7; 28 )=7   

НОД(100;3000)=100  

"/>


Най-големия  общ делител на няколко числа ,можем да намерим като:

·         Разложим  числата на прости множители

·         Намирим всичките им  делители

·         Намерим общите им делители

·         Намерим   НОД



Пример: .Намерете  НОД(18,24)=?

Решение : 

18 = 2*3*

Д 18 = {1,2,3,6,9,18}

 

24 = 2*2*2*3

Д 24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}

НОД(18,24)=6 

 

 

Задача   Намерете НОД ( 40 , 72 )

Първи начин:

Числото   72 = 2 *2*2*3*3 са : Д 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

Числото   40  = 2 *2*2*5  са : Д 40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}

Тогава   ОД(40,72) = { 1,2,4,8 }

Тогава   НОД(40,72) = 8

 

Втори  начин:

Лесно се съобразява ,че числото  8 е общ делител на двете числа

Тогава

40= 8* 5

72= 8*7

Тъй като (7,5)=1 ,то   НОД (40 ,72)=8   

 

                  С признаците за делимост ,бързо и лесно можем да намерим  НОД  


Задача Намерете   НОД (45; 120) =?

Решение

От признаците за делимост ,виждаме,че  и двете числа се делят на 3 и 5

Тъй като  ОД (3;5)=1 ,  то  двете числа се делят на  15 

Тогава 15  е   общ делител  на двете числа

45 =15 *

120= 15 *2 **2

 Тъй като (2,3)=1 ,  то,  НОД(45;120)  =15  

Отговор 15;

 



Задача Намерете   НОД (3300; 6300) =?

Решение

Числото  300  е   общ делител  на двете числа,защото 

3300  =300 *11 

6300   =  300 *3 *

Тъй като (11,3,7)=1 то,  НОД(3300;6300)  =300  

Отговор 300;

 

 


Задача Намерете   НОД (234; 180).

Решение

От признаците за делимост ,виждаме,че  и двете числа се делят на 2 и 9

Тъй като  ОД (2;9)=1 ,  то  двете числа се делят на   18 

Тогава 18  е   общ делител  на двете числа

234   =18  * 13

180  = 18 *2 *5  

Тъй като (13,2,5)=1,  НОД(234; 180 )  =18  

Отговор 18;

 


Задача  :Намерете   НОД (725; 400).

От признаците за делимост,виждаме ,че и двете числа се делят на  25

На 25 се делят числата ,които завършват на две нули или на 25,50 или 75

725=25.29

400=25.16

Тъй като (29,16)=1, то  НОД(725; 400 )  =25   

Отговор :25

 


Задача :Намерете НОД (270;945).                                                                                                     

От признаците за делимост,виждаме ,че и двете числа се делят на  9 и 5 .                                     

Тъй като  ОД (9,5)=1 , то  двете числа се делят на  45                                                              

Тогава 45  е   общ делител  на двете числа

270=45* 6=45*2*3= (45*3)*2

945=45*21= 45*3*7 = (45*3) * 7

Тъй като (2,7)=1 , то  НОД  (270 ,945 )  =45*3=135   

Отговор :135

 




Задачи за упражнение  .Намерете :

А )  НОД(48,60) =

Отговор : 12

 

Б)  НОД(18,84) = ?.

Отговор :6

 

 Б)  НОД(56,64) = ?.

Отговор :8

 


Бележка :Един бърз начин за намиране на НОД на две числа е  алгоритъма на Евклид.

Учениците с математически способности ,могат да се запознаят с него на този линк 



Когато числата са по –големи ,ползваме програми за намиране на НОД 



Учим  ОД  и НОД на числа,за да решаваме практически задачи

 


Задача Баба  купила   48 играчки  и 56 шоколада  за своите внуци .Направила  8 торбички – във всяка по равен брой  подаръци .По колко общо  подаръка  е сложила бабата във всяка торбичка ?

Решение

48 : 8 = 6  играчки

56 : 8  = 7 шоколада

Бабата е поставила във всяка точбичка по 6+7=13 подаръка

 


Бележка : Разделянето  на подаръците в 8 торбички ,по равен брой във всяка е възможно,защото числото 8 е общ делител на 48 и 56

 

 

 

 Задача Разполагате  с 40 ябълки и  24 портокала .Трябва да ги разпределите в  торбички по –равен брой плодове във всяка .По колко начина може да направите торбичките ?

 Решение

За да разделим плодовете в торбички ,във всяка по равен брой,те трябва да са общи делители на числата  40 и 24

Д40={1,2,4,5.8,10.20.40}

Д24={1,2,3.4,6.8.12.24}

ОД={1,2.4.8}

Ако торбичките са 8 ,то във всяка има по 5 ябълки и по 3 портокала Ако торбичките са 4 ,то във всяка има по 10  ябълки и по 6  портокала Ако торбичките са 2 ,то във всяка има по 20  ябълки и по 12  портокала Ако торбичката  е  една  ,то в  нея има  40  ябълки и  24  портокала

 

Отговор : 4 начина

 

 

Задача Торта е украсена с черешки и чадърчета .Ако черешките са 210 , а чадърчетата – 120 ,и ако на всяка торта се поставят по –равен брой черешки и по –равен брой чадърчета , колко най-много торти могат да се направят с тях ?

Решение

Търсим  колко най-много торти могат да се направят  с 210 черешки и 120 чадърчета,ако на всяка  торта се поставят по-равен брой  от всеки вид украса

Търсим НОД ( 210,120)  ,защото тогава,тортите ще са най-много

НОД={120,210}=?

210 =  (2 * 3 * 5 ) * 7

120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = (2 * 3 * 5 ) * 2 * 2

НОД = 2 * 3 * 5=30

Отговор 30 торти

 


Задача  за упражнение  Разполагате с 60 портокала , 15  банана и 30  броя  ананаси.Трябва да направите  еднакви  пакети с плодове ,като  използвате  всички плодове .Колко вида еднакви пакети може да  направите ?

Отговор  :4 вида

 

 

Задача за упражнение  Разполагате с 150 портокала ,210  банана  и   375  броя  ананаси .Най-много  на колко деца можете да раздадете  еднакви  пакети с плодове ?

Отговор   :15

 

3.Тест

1. задача Кое от произведенията се дели на 18 :

A)  6 .11  

 B ) 9.18    

 C) 15.16

 D) 20.4

 

2. задача Кое от произведенията се дели на  15 :

A)  5 .16  

 B ) 9. 14   

 C) 5.9

 D) 14.5

 

 

3.задача Разлагането на числото   90   на  прости множители  е :

А) 2*5*9            

 

B) 2*5*3*3               

 

C) 10*3* 3            

 

D)3 *5*2* 7          

 

 

 

4 .задача Числото ,което е взаимно   просто с 10 е :

А) 12         B)5            C)9           D) 8

 

 

 

 

5.задача. Всички делители на числото  24 са :

 

А) Д 24={1,2,4,6.12,24}

 

      

B) Д 24={1,2,3,4,5.6,12}

 

          

C) Д 24 ={1,2,3,4.6,8,24}

 

        

D) Д 24={1,2,3,4.6,8,12,24}

 

 

 

 

6.задача. Броят на всички делители на числото   56   е :

 

А) 5        B)6            C)7          D)8

 

 

 

 

7.задача Кое от числата е общ делител на числата  35 и 28

 

А) 4        B)6            C)7          D) 5

 

8.задача  Най-големият общ делител на числата   30  и 150 е :

А) 10          B) 30            C) 50            D) 20

 

 

 9.задача  Най-големият общ делител на числата  30    и   105  е :

А) 3         B) 5           C) 10           D) 15

 

 

10 . задача  Имате  20 ябълки , 60 портокала и  30 мандарини . Най-много  на колко деца можете да раздадете  еднакви  пакети с плодове   ?

                 А) 5          B)10           C)20          D)друг отговор

 

КЛЮЧ  ЗА ВЕРНИТЕ ОТГОВОРИ  И УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ

 

  • В таблицата за отговорите са посочени точките на всяка вярно решена задача .
  • Общият брой точки от теста е 40.
  • Оценката ( M )  се пресмята по формулата  M = 2+1/10N, където N  е броят на получените точки.

 

Задача

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Отговор

 В

 С

В

 C

 D

 D

C

 В

D

 B

Точки

2

3

3

4

4

4

4

 4

 4

 8

 

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg