В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Пирамида .Лице на повърхнина и обем на правилна пирамида .Задачи за 6 и 7 клас

Съдържание :

 

1.Пирамида .Правилна пирамида .

2.Лице на повърхнина на правилна пирамида.Основни задачи  за 6 клас

3. Обем на правилна пирамида. Основни задачи  за 6 клас

4.Изходно  ниво : Тест за 6 клас  върху темата : Лице на повърхнина и обем на правилна пирамида.


Най-значителните  архитектурни   обекти , построени в Древен Египет, които всеки турист  разглежда  с удивление, са мистериозните пирамиди. Най-уникалната  сред тях е  Хеопсовата пирамида .Тя е  приета за най-голямата каменна сграда, построена в света до днес .

Човечеството все още чака отговорите на следните въпроси :

Защо са построени , с каква  строителна технология са построени,защо техните архитекти  и математици  са избрали точно  това тяло  .

Размерите и елементите на построените   пирамиди , са  изчислени така ,че да  разкрият  знанията  на  древните египтяни   по геометрия,земята,звездите и вселената.


Тук можете да прочете  за това .

http://www.kamennataepoha.com/kabatas_devri_02_b.php

 

Ние с  Вас с примери и задачи  ще се запознаем с това интересно тяло .



1.Пирамида .Правилна пирамида .

1.1Пирамида

Пирамидите са  ръбести тела  едната стена, на  които е   многоъгълник  с   n  страни  и  всички останали стени са  n  триъгълника с  общ връх

В зависимост  от  броя на страните на многоъгълника  ,пирамидите се делят на –триъгълни ,четириъгълни ,петоъгълни и т.н  

На чертежа са изобразени :  четириъгълна,петоъгълна и седмоъгълна пирамида
"/>
1
1

Всяка пирамида има следните елементи :

1
1

        Многоъгълникът се нарича основа на пирамидата .

        Страните на основата се наричат основни ръбове

        Стените, които са триъгълници с общ връх се

        наричат околни стени на пирамидата.

        Страните на околните стени  се наричат околни  ръбове

        Общият връх на околните стени се нарича връх на пирамидата.


ЗА ВСЯКА  ПИРАМИДА ,  БРОЯТ НА ОСНОВНИТЕ РЪБОВЕ Е РАВЕН НА БРОЯ НА  ОКОЛНИТЕ РЪБОВЕ


ИЗВОД :Ако сборът от всички ръбове на една пирамида е  20,то тя е десетоъгълна .




1.задача  : Като използвате следния  алгоритъм   начертайте   триъгълна  пирамида :


  • .Начертайте   произволен   триъгълник  ABC .Изберете го за основа на пирамидата .
  • Изберете си  произволна  точка  M  за връх  на пирамидата (да не е точка  от  равнината на триъгълника ABC )
  • Свържете всеки връх на триъгълник  ABC  с  върха на пирамидата M ,като скритите ръбове  чертаете с пунктирана линия




1.2 Правилна пирамида .

1

ПИРАМИДА ,ЧИЯТО ОСНОВА Е ПРАВИЛЕН МНОГОЪГЪЛНИК ,СЕ НАРИЧА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА

1
1





Ще започнем изучаването на правилните пирамиди  с   правилна триъгълна пирамида .На чертежа са обозначени  всички елементи ,които ще ни трябват  за да  решаваме задачи  свързани с нея .

 

 

      DO =h    -  ВИСОЧИНА   

 

 

      DМ =к    -  АПОТЕМА   

 

 

     Δ  ABD ,  ΔBCD  и  ΔACD- ООКОЛНИ СТЕНИ     

                          



      AD =DB=DC    -  ОКОЛНИ РЪБОВЕ    

 

      Δ  ABС – ОСНОВА    

 

         AВ =BС=А  -  ОСНОВНИ  РЪБОВЕ     

 

 

                                                     ВЪВ  ВСЯКА ПРАВИЛНА ТРИЪГЪЛНА ПИРАМИДА  : 

 

  • Основата е равностранен  триъгълник
  • Отсечката ,която  съединява  центъра на основата  т.О  и върхът  D  на пирамидата  наричаме  височина на пирамидата   и означаваме   DO =h   Височината на пирамидата   е перпендикулярна на основата .

 

  • Височината към основата на всяка околна стена  се нарича  апотема и се означава с k .

 

  • Всички околни стени са равнобедрени триъгълници с равни  бедра ,основи  и апотеми .Затова те имат равни лица  и обиколки .



ОСНОВНИЯТ РЪБ НА ВСЯКА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА ,ОЗНАЧАВАМЕ С  - b , А  ОКОЛНИЯТ РЪБ С -  l 


 

ОКОЛНАТА  СТЕНА НА  ВСЯКА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА ,Е РАВНОБЕДРЕН ТРИЪГЪЛНИК  С ОСНОВА  ,РАВНА НА ОСНОВАТА НА МНОГОЪГЪЛНИКА , И БЕДРА ,РАВНИ НА  ОКОЛНИЯТ РЪБ НА ПИРАМИДАТА

 

ПРАВИЛНА ЧЕТИРИЪГЪЛНА ПИРАМИДА



                                     На чертежа  е дадена правилна четириъгълна пирамида 
"/>


2.задача .  Попълнете  пропуснатият текст,  за да опишете   основните  понятия и твърдения свързани с  ПРАВИЛНА ЧЕТИРИЪГЪЛНА ПИРАМИДА   

1.Основата  на  пирамидата е  четириъгълника   ( ...............) ,който е  (…………)

2.На чертежа основните ръбове са : (……,……,………,……..). Те са равни на страната на (..........)

3. На чертежа околните стени  са : (..........),(...........), (............),(..........) .Те са   (…………..) триъгълници 

4.На чертежа  околните ръбове са : (........),(........), (........),(........)

5.На чертежа височината на пирамидата е отсечката  (............)

6. На чертежа апотемата на околната стена  BCM  е : (...........)



 


3.задача .
Намерете  периметъра  на  основата на правилна шестоъгълна пирамида  ,ако тя  има основен ръб  b=3 см .

Отговор :
18 см)




4.задача . Периметърът на основата на правилна  деветоъгълна пирамида  е 63 см  а , околният и ръб e 10 см .Намерете  периметъра  на една  околна стена .

Отговор :
27 см)

Решение

От това,че  Pосновата   = 63 см  ,то  b=63:9=7 см

От  b=7  см  и  l=10 см , то  P околната стена = 7 +2.10= 27 см

 

5.задача Периметърът на основата на правилна  триъгълна пирамида е 27 см  ,а периметърът на една околна стена е 38 см .Намерете дължината на околният ръб на пирамидата .
Решение
От това,че  Pосновата   = 27 см  ,то  b=27:3=9см

От  b=7  и P околната стена = 38 см  ,получаваме,че 2. l =38-7

Тогава   l =31:2=15,5 см



6.задача .
Намерете  лицето на  една околна стена  на правилна четириъгълна пирамида ,ако тя има основен ръб  b=3 дм  и апотема  k=  5 дм .


Отговор : 7,5  дм 2

Решение

Търсим лицето на триъгълник  BCM  (виж предходния чертеж) ,ако са известни :
  • основата му  BC=b= 3 дм   и
  •  височината към нея (апотема в пирамидата) MN=k=5 дм .
 
Заместваме във формулата за лице на триъгълник и получаваме  :
 



               3.5           
        
S=   —       =  7,5  дм2
              
   2               
 


ИЗВОД :АКО ЗНАЕМ  ЛИЦЕТО   S   НА ЕДНА ОКОЛНА СТЕНА НА ПРАВИЛЕН МНОГОЪГЪЛНИК С  n  РАВНИ СТРАНИ ,ТО СБОРЪТ ОТ ЛИЦАТА НА ВСИЧКИ ОКОЛНИ  СТЕНИ Е  РАВЕН  НА   n .S 


 


7.задача .
Намерете  сборът  от  лицата  на всички  околни стени  на правилна  шестоъгълна пирамида ,ако тя има основен ръб  b=2 см  и апотема  k= 5 см .
Отговор : 30  см 2

Решение

Лицето на една околна стена  е равно на :   


                b.k            2.5
        
S=   —       =   ———  = 5 см2
              
   2                2 
 
Тогава сборът от лицата на всички околни стени е 6.5=30 кв.см



8.задача .  Периметърът на основата на правилна  шестоъгълна пирамида  е  48 см  а , лицето на една околна стена е  27,6 см .Намерете  апотемата   на пирамидата  .

Отговор :
6,9 см

Решение


От  Pосновата  =48 см  ,  то  b =8 см

Апотемата участва във формулата   S околна стена  =( b.k) :2 

Заместваме с  известните елементи и получаваме  равенството  : 

27,6 =(8.k):2 , от което  намираме,че   k=27,6:4=6,9 см







Много често  при задачи  от   правилна пирамида ,ще  намираме лицето на основата на правилен многоъгълник .


Лицето на  основата на всяка  правилна пирамида  с основен  ръб b  и апотема а  е равно на :



               b.а           P .a
        S= n.  —       =   ———
                 2               2 
 
където   P =n. b   е периметърът  на основата

Така например  лицето на правилен шестоъгълник със страна в =6 см и апотема а = 5,2 см е равно на 



        6.5,2         
        S= 6.    —       =   93,6 см2
            2              
 

2.Лице на повърхнина на правилна пирамида.Задачи за 6 клас

 

ВСИЧКИ ОКОЛНИ СТЕНИ НА ДАДЕНА ПИРАМИДА ,ОБРАЗУВАТ  НЕЙНАТА ОКОЛНА ПОВЪРХНИНА .

СБОРЪТ ОТ ЛИЦАТА НА  ВСИЧКИ ОКОЛНИ СТЕНИ    НАРИЧАМЕ   ЛИЦЕ НА ОКОЛНА  ПОВЪРХНИНА 

ЛИЦЕТО НА ОКОЛНАТА ПОВЪРХНИНА  ОЗНАЧАВАМЕ  С  S  

 

 

ЛИЦЕТО  НА   ОКОЛНАТА   ПОВЪРХНИНА  НА  ВСЯКА ПРАВИЛНА  n – ЪГЪЛНА    ПИРАМИДА ,Е   , РАВНО  НА   :

 

"/>


Ако   лицето на  основата на пирамидата    означим   с   В  ,  то за   лицето на цялата  повърхнина  S1  получаваме  формулата :
"/>


Бележка : Лицето на околна повърхнина на правилна n - ъгълна  пирамида можем да намерим  и с формулата:   


              n.b.k            P.k
        
S=   —       =   ———
              
   2                2 
 

където P =n. b   е периметърът  на основата



9.задача . Правилна триъгълна пирамида има периметър на основата 120мм и  апотема равна на  50 мм.Намерете  лицето  на  околната  повърхнина на  пирамидата  в квадратни сантиметри .

Отговор :S =30 см2

Решение  :

Във  формулата за лицето на околна повърхнина ,заместваме  с    Р=120мм=12 см   , к=50 мм =5 см


              Р.k           12.5
        
S=   —       =   ———
              
   2             2 
 

и получаваме ,че S= 30 см 2




10.задача .  Правилна петоъгълна  пирамида има периметър на основата 40 см и лице на  околна стена 20см2. Намерете  апотемата на пирамидата .

Отговор : k=5 см

Решение  :

Във  формулата за лицето на околна повърхнина ,заместваме    Р=40 см  и   S=5.20=100 см2


                   40.k     
       
100 =   —       
              
        2           
 

и получаваме ,че  k= 5 см




11. задача: Колко  квадратни дециметра  ламарина   са  необходими  ,за да  построим   правилна  четириъгълна пирамида  , с основен ръб  b = 8 дм , и апотема  k=3 дм

Решение

За да отговорим на този въпрос , търсим   лицето на  повърхнината  на   правилна четириъгълна пирамида .Тя е  сбор от лицата на :

  • основата - квадрат със страна  b = 8 дм  и  лице  В=8.8=64 кв.см
  • на околната  повърхнина  с лице  S =4.( 8.3):2  = 48 дм2

Тогава   S1 = В+ S= 64+48=112  дм2 

 




Ако разрежем  пирамида по околните и ръбове  и я поставим в равнината на основата и ,ще получим   нейната   развивка .Да разчитаме данни от  развивка на тяло е основна задача ,защото  с нея изчисляваме и построяваме всяка пирамида .

 



12.Задача  Начертана е    развивката  на правилна  петоъгълна    пирамида .По данните от чертежа намерете пълната повърхнина на пирамидата .




Отговор : 105 см 2

Решение

 Правилния   петоъгълник   се състои от пет   триъгълника  ,всеки с   основа b=6 см и апотема на основата   h=4,1 см

Тогава неговото лице   B = 5 . ( 6.4,1 ):2 = 61,5  см

Околната повърхнина се състои от пет триъгълника, всеки   с основа  b = 6 см и  апотема  k = 4см

Тогава   S = 5.( 6.4):2 = 6 см 2

Тогава   S1 = В + S = 61,5 +60 = 121, 5 см 2




13.задача  Правилна  четириъгълна пирамида  има основен ръб b см , обиколка Р см ,лице на основата В см,апотема  k см , лице на  околна повърхнина  S см 2 и лице на  повърхнината си   S1 см 2

Попълнете   таблицата 

 

b

P

B

 

k

  S

S1

Първи случай  

3

 

 

 

5

 

 

Втори случай

 

20

 

 

8

 

 

Трети случай

 

 

25

 

 

160

 

 

 




14.задача .  Правилна десетоъгълна   пирамида има периметър на основата 100 см , апотема k= 8 см  и  апотема на  основата  равна на  15,6 см. Намерете  повърхнината  на пирамидата .

Отговор : S1 =1180 см2




15.задача . Майстор  строи дървен  покрив  на беседка  с   форма на правилна петоъгълна пирамида (без основата )  .Поради разсеяност ,той  увеличил  апотемата на пирамидата  2  пъти  .Колко пъти повече дървен материал е използвал майсторът за да  направи  покрива на беседката ?

Решение Щом майсторът строи само покривът,то ще проследим изменението на  лицата  на  околните им  повърхнини :  

  • Лицето на околната повърхнина на правилна  5-ъгълна  пирамида  намираме с формулата:   


              n.b.k            P.k
        S=   —
      =   ———
                 2               

 

  • Новият покрив ще има  апотема ,два пъти по-голяма от дадената .Тогава  лицето на околна  му  повърхнина  е :   


              n.b.2k         
        S=   —
      =  
P. k
                 2               

 

Следователно майсторът е използвал два пъти по-повече дървен материал .

 

Много често знаем повърхнината на дадена пирамида,търсим нейни елементи


16.задача . Лицето на  повърхнината на правилна четириъгълна пирамида  с основен ръб  b=5см  е  S1= 210 см2  . Намерете  апотемата на пирамидата.     

Решение 

Нека  апотемата  на  пирамидата  е  k см .

В  равенството   S1 = B+ S  заместваме  дадените елементи   и получаваме:  

210 = 5. 5 +4.(5.k):2                                                                                                                   

210 -25 = 10k                                                                                                                                                                       

k= 185:10

k=18,5см



17.задача: Правилна петоъгълна  пирамида има лице  на повърхнината си  166,5  см 2   ,дължинана основният ръб  b=  6 см ,и апотема на  пирамидата   k= 7 см. Намерете  апотемата на основата  .

Отговор : 4,1 см

Решение

Нека апотемата на основата означим с х                                                                                      

Във формулата  за  повърхнина на пирамида 

                                                S1 = B+ S

заместваме  дадените елементи и получаваме равенството 

"/>

Тогава   165,5.2 = 30.(х+7)

х+7 = 333:30

х= 11,1-7
х=4,1 см



18.задача  Правилна четириъгълна  пирамида  има  околна повърхнина  S=84 см2 и пълна  повърхнина S1= 184см2. Намерете основата на пирамидата  .

Отговор : b=10  см




19.задача : Правилна  четириъгълна  пирамида има лице  на повърхнината си   54,25  см 2   Дължината на основният ръб  е  3,5  см  .Намерете  апотемата на  пирамидата  .

Отговор : 6 см

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg