В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Правилен многоъгълник .Лице на многоъгълник .Задачи от многоъгълник за 6 клас .

Съдържание: 

1.Многоъгълник .Преброяване на диагонали .Обиколка и лице  .Задачи за състезания .

2.Правилен многоъгълник

2.1 Свойства  и елементи

2.2 Обиколка и лице на правилен многоъгълник

2.3 Решени основни  задачи от обиколка и лице на правилен многоъгълник .

2.4 Изходно ниво : Тест  върху  лице и обиколка на правилен многоъгълник .

2.5 Как да си начертаем правилен многоъгълник



1.Многоъгълник .Преброяване на диагонали .Обиколка и лице .Задачи за състезания .

2. Правилен многоъгълник

Природата  е създала  пчелите ,така,че с  восъкът полепнал по тялото им  да оформят восъчни  топчета ,от които с удивителна точност да построят   дом за себе си и своето  поколение  –  пчелната пита

Тя е построена така,че :                                                                     

  • да се изразходва най-малко восък
  • да няма  празно пространство  между построените килийки
  • да  се  изразходва най-малко енергия  
  • всяка килийка да е място  за отглеждане  на  нова пчела  


Така пчелите   са  решили една сложна  математическа    задача

В математиката е известно ,че  запълване на  равнината без празно  пространство само с  една  фигура ,може да стане   само с  три геометрични фигури – равностранен  триъгълник , успоредник   и една непозната за Вас фигура  ,която има шест равни страни и шест равни ъгъла  .Тя се нарича правилен шестоъгълник .

"/>


    Едно примерно запълване на равнината с  посочените геометрични фигури .

Бележка:

Математик откри неправилен петоъгълник, с който  може  да покрие  изцяло равнината.

Пчелите безпогрешно направили своят избор  -  открили са интуитивно ,че  единствената  възможна геометрично фигура ,която е добра за пчелното семейство е правилният   шестоъгълник  .

Ето как изглеждат  снимани отгоре   една пчелна пита  и една  пчелна килийка с форма  правилен шестоъгълник .
"/>

Да разгледаме сега  една футболна топка

"/>
Нейните стени  са   многоъгълници от два различни вида :  шестоъгълници с равни страни и ъгли  и петоъгълници с равни страни и ъгли  .
В природата и в  нашето ежедневие  има много   обекти  ,които  са многоъгълници с  равни страни и  равни ъгъли  : сложни молекули на въглерода,сечението  на  някои отвертки, сечението на някои  моливи ,всяка  звезда е  образувана от  равностранни триъгълници.

Затова  си поставяме задачата да  Ви запознаем подробно с елементите и свойствата  на всички многоъгълници,които имат равни страни и равни  ъгли .

В математиката тези фигури  се наричат  правилни многоъгълници .

Примери :

  • ·Равностранният триъгълник   е правилен  триъгълник  с  три равни страни  и три равни ъгъла
  •   Квадратът е правилен  четириъгълник  с четири равни страни  и четири равни ъгъла
  • ·Многоъгълник с десет равни страни и десет равни ъгъла е  правилен  десетоъгълник



2.1 Свойства и елементи на правилен многоъгълник

Елементи

За всеки правилен многоъгълник  въвеждаме следните означения :  

  • С  b  означаваме  страната на многоъгълника .
  • С  n означаваме  броя на равните  му страни  
  • С  Р = n .b означаваме и намираме   периметърът му .
  • С  В  означаваме лицето му


Нашата  цел  е  да намерим  обща  формула , с която да пресмятаме  площта В (лицето) на всеки   правилен многоъгълник .

Ако начертаем  окръжност около всеки правилен многоъгълник ще забележим,че :

  • върховете на всеки правилен многоъгълник лежат на една  окръжност
  • върховете  делят окръжността на равни дъги
  • центърът на тази окръжност  наричаме център на правилният многоъгълник


На   чертежа  т.О е център на правилните  многоъгълници : равностранен триъгълник ABC  , квадрат ABCD  , правилен петоъгълник ABCDE и правилен шестоъгълник ABCDE

  • Всеки правилен многоъгълник  са  разделя  на равнобедрени триъгълници  с бедра равни на радиусите  на тази окръжност   и основа равна на страната на правилният многоъгълник. Пример: В квадрата  ABCD  триъгълниците AOB, BOC, DCO  и ADО са равнобедрени .
  • Ако разрежем тези триъгълници и ги наложим, то те съвпадат .Тогава те имат равни лица .

 

ИЗВОД : Сборът от  лицата на всички равнобедрени триъгълници  е равно на лицето В на всеки правилен многоъгълник

 
За да изведем обща формула за лицето на  всеки правилен многоъгълник  въвеждаме още един елемент общ за всички правилни многоъгълници

На  чертежа височината   ОМ  в триъгълник  АОВ  наричаме апотема и бележим с а.Тя е най-късото разтояние от т.О до страната  АВ

2.2 Лице на правилен многоъгълник

Лицето В на  всеки правилен многоъгълник с основен  ръб   b  и апотема а  е равно на :  В = n.SABO



               b.а           P .a
        В= n.  —       =   ———
                 2               2 
 
където   P =n. b   е периметърът  на основата

Пример: Лицето на всеки   правилен шестоъгълник със страна в =6 см и апотема а = 5,2 см е равно на 



                                                                     6.5,2         
                                                                       В= 6.    —       =   93,6 см2
                                                                      2             

2.3 Решени основни задачи от обиколка и лице на правилен многоъгълник

 

1. задача Намерете  периметъра на правилен  многоъгълник със страна b= 3 см ,ако той е  е:

А) правилен триъгълник

Б) квадрат

В) Правилен петоъгълник 

Отговори : А)  Р= 3.3 = 9 см   Б) Р= 4.3 = 12  см      В)  Р= 5.3 = 15  см        

 

2. задача Намерете дължината на страната b  на правилен многоъгълник  с периметър  96 см ,ако той е :

А) правилен триъгълник

Б) квадрат

В) Правилен шесто ъгълник 

Отговори : А)  b= 96: 3 = 32 см   Б) b= 96: 4 = 24 см         В) b= 96: 6 = 16 см                

 


3. задача  Намерете броя на страните на правилен многоъгълник,  ако той има периметър  Р=  94,5  и   страна  b=10,5 см

Решение  Във формулата    Р = n. b ,заместваме дадените елементи  и получаваме равенството :    94,5 = n. 10,5  ,от което намираме,че  n = 9       

 


4. задача Футболна  топка  (виж  чертежа  по- горе ) се получава от  зашиване на   правилни  многоъгълници с една и съща  страна b  .Тези многоъгълници са   два вида – правилен  петоъгълник и правилен шестоъгълник .
Ако  обиколката на фигурата получена от  зашиването на  правилен петоъгълник с правилен шестоъгълник  е 90 см ,то намерете  страната на правилните многоъгълници .
Решение

На чертежа сме  означили   с  b страната на правилните многоъгълници .Изразена чрез b получената фигура има обиколка равна на 4b  + 5b=9b .От равенството  9b =100 намираме,че  b= 90:9= 10 см



5.задача Намерете лицето на правилен шестоъгълник  със страна b = 45 см и височина  h = 38,5 см

Решение

 


                 b.а            45.38,7
        В= 6.  —
   = 6.   ———  =  8707,5 см2
                    2             
    



6.задача : Колко страни има  правилен многоъгълник ,ако в=7 см,а=6 см и В=126 см 2    

Решение  :

Във формулата за лице на правилен  многоъгълник   заместваме   дадените елементи  и получаваме равенство с неизвестно число  n


               
                      6.7
           
        126  = n   ———  ,откъдето намираме,че n = 126:21=6
                 
                      



7.задача  Правилен шестоъгълник има лице В =374,4 см2    и апотема  а = 10,4 см  .Намерете периметъра и страната на шестоъгълника .

Решение Във формулата за лице на правилен   шестоъгълник ,


                 Р.а          
        В=    —
   
,заместваме дадените елементи                                                                                              
                  2              

и получаваме  равенството  : 
                       Р .10,4          
        374,4=    —
        
                                                                                             
                         2               

от  което намираме,че  Р= 374,4 :5,2 = 72 см

От Р=72 см  ,то в =72:6=12 см



8.задача Квадрат има лице 36 см2 .Намерете апотемата му .

Решение

От това,че   лицето В=36 см2, то  b=6 см.

Изразяваме лицето на квадрата по два начина

36=(4.6.а) :2  ,откъдето намираме,че а = 3 см



9.задача :  Квадрат и правилен шестоъгълник имат  страна равна на  7 см .Ако апотемата на шестоъгълника е  6 см ,то намерете  колко процента е лицето на квадрата от лицето на шестоъгълника

Решение  :

Лицето на квадрата е   7.7=49 см 2                                                                                                    

Лицето на правилният шестоъгълник 


                  6.7           
        В= 6.  —
   =  126 см 2
                                                                                                   
                    2                
 
Тогава търсеният процент  e 


          49          
          —
   .100 %=  38 и 56/63 %   
                                                                                                   
         126                       
 


10 .Задача  Чадър има  форма  на правилен осмоъгълник  със страна   в= 50 см и  апотема  0,6 м  .Колко квадратни метра плат е необходим за ушиването му, ако за  ръбове са  предвидени  5 % от плата?

Решение  Лицето на правилният осмоъгълник  в метри е :


                   0,5.0,6            
        В= 8.    —
           =  1,2 м 2
                                                                                                   
                      2                
 

Тогава за ушиването  му  ще са необходими  1,2 + 5% от 1,2 , което е  1,2 +0,0 5 . 1,2= 1,26 м 2                                                                                                    



11 .задача  Покривка с форма на кръг  е изработена в два цвята - бял и жълт . Частта в жълт цвят  има форма на  правилен шестоъгълник  със страна b=3 см и апотема  а= 2,6 см  ,върховете на който са разположени в окръжност с радиус  r= 3 см .Частта  изработена в бяло  е  частта от окръжността разположена извън  правилният  шестоъгълник (виж чертежа) .Намерете лицето на частта от покривката изработена   в бяло .

"/>

Решение

Лицето  на  частта в бяло  е разлика от лицето  на кръг с радиус  3 см и правилен шестоъгълник  със страна b= 3 см и апотема а = 2,6 см

От това,че  S окръжността  = 3,14 .32 =  28,26 см 2 ,  а 


              18.2,6           
        В=    —
    =  23,4 см   
                                                                                              
                   2                
 

то, лицето на търсената фигура е  28,26 -23,4 = 4,86  см2

 

Всеки от Вас е забелязъл че ,в този задача радиусът на правилният шестоъгълник е равен на страната му

С новите знания получени в 7 клас ,ще обосновете,че това твърдение е вярно за всеки правилен шестоъгълник

1
1

2.4 Изходно ниво : Тест върху обиколка и лице на правилен многоъгълник .

 

1.задача Коя от изброените фигури ,Не е  правилен  многоъгълник :  

А)  равностранен  триъгълник

Б) квадрат

В) ромб

С) Правилен шестоъгълник

 

 

2.задача Ако свържем центъра на правилен десетоъгълник с  всеки от върховете  му ,получаваме : 

А) 5  равнобедрени триъгълника 

Б) 10  равнобедрени триъгълника 

В) 9  равнобедрени триъгълника 

С)  8 равнобедрени триъгълника 

 

 

3.задача Ако периметъра на правилен  седмоъгълник  е 21  см,то  дължината на страната му  b  е :

А)21 см

Б) 5 см

В) 3 см

С) друг отговор

 


4.задача . Фигура  е  съставена от правоъгълник и два равностранни триъгълника  построени  външно  за правоъгълника  със  страна  равна на ширината на правоъгълника .Ако  дължината  на правоъгълника е 80 mm, а обиколката на всеки триъгълник е 120 mm,то обиколката на фигурата е :

                    A)33 cm   B) 36 cm   C) 32 cm   D) друг отговор


5.задача :  Външно  за  квадрат са построени  правилни петоъгълници със страна b равна на страната на квадрата  .Ако обиколката на получената фигура е  72 см,то лицето на квадрата е :

                    A) 21 cm2   Б) 20,25  cm2    В) 236 cm2    Г) друг отговор



6.задача Лицето на  правилен шестоъгълник с периметър Р=60 см и апотема а =8,7 см  е :
                     A) 221 cm2   Б)261  cm2   В) 336 cm2    Г) друг отговор



7.задача : Колко страни има  правилен многоъгълник ,ако b =10 см , а=15,6 см и В= 780 см 2   


                        A)3   B) 6    C) 10    D) друг отговор



8.задача  Изобразете  в   правоъгълна координатна система  с  единична отсечка  равна на 1,5  см  точките: т.А (-2;2)  т.В (2;-1) , т.С (4;0)  т.D (2;2) , т.Е (-2;2) и т.F (-4;0)  . Лицето  на  фигурата   ABCDEF е :
                  A) 24 cm2   Б) 54 cm2   В) 36 cm2    Г) друг отговор



9.задача  Правилен многоъгълник   има основен ръб b см , обиколка Р см ,лице  В см2 и  апотема  а см .

Попълнете   таблицата 

 

b

P

B

 

n

  a

Първи случай  

1,08

 

 

 

12

 2

Втори случай

 

44

 132

 

5

 

Трети случай

 4

 

99

 

 

5,5

 

 






 

Задача с описание :

10.задача Златар  изработва  петолъчка , направена от злато . За да я конструира ,той  чертае правилен петоъгълник със страна равна на 7,3 мм  и апотема 10 мм .След това  построява всички диагонали  на петоъгълника и получава петолъчката .Известно е,че всички  триъгълници на чертежа оцветени в бяло имат равни лица  и една и съща височина  към основата  на петоъгълника  равна  на 6 мм .Намерете колко грама злато е необходимо на златарят да направи петолъчката,ако за 1 кв.см са му необходими   2 грама  злато

                                                           


                                                   ВЕРНИТЕ ОТГОВОРИ :

 

Задача

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Отговор

 B

 Б

 В

 C

 Б

 Б

 C

 Б

 -

 1,46

 

 














Вярно попълнена таблица на задача  9 :

 

b

P

B

 

n

  a

Първи случай  

1,08

 12,96

 12,96

 

12

 2

Втори случай

 8,8

44

 132

 

5

 6

Трети случай

 4

 36

99

 

 9

5,5

 

 






 

2. 5 Как да си начертаем правилен многоъгълник с транспортир

За да си начертаем  правилен многоъгълник чрез окръжност  делим  окръжността на равни дъги .Това ще направим ,като използваме   знанията си за централен ъгъл .Ние знаем,че :

  • на половин окръжност съответства централен ъгъл равен  1800
  • на цяла окръжност   - 3600
  • Ако разделим една окръжност  на 5 равни  централни ъгъла  ,то  централните   ъгли  са с  големина  360:5= 720
  • Ако разделим една окръжност  на 6 равни  централни ъгъла   ,то всеки от тях е с  големина  360:6= 600
  • Ако разделим окръжност на n равни централни ъгли ,то големината на ъгъла е 3600 : n

·        

 

Пример : Правилен шестоъгълник  можем да построим с транспортир  със следният алгоритъм :  

1. Чертаем окръжност  с произволен радиус

2. Намираме ,че на  всяка от шестте  равни дъги ще  съответства централен ъгъл с големина  360 :6=600

3. Избираме произволна точка А от окръжността и с транспортир чертаем  < AOB=600

4.Измерваме с пергел дължината на дъгата определена от < AOB=600

5.С помощта на пергел разделяме окръжността на 6 равни  дъги

6.Свързваме с линийка  получените  6 точки на окръжността  и получаваме шестоъгълника   

 

"/>


Задача за самостоятелна работа :  С помощта  на  транспортир , линийка  и  пергел    начертайте :

А ) Равностранен триъгълник

Б  )  Квадрат

В )  Правилен  петоъгълник

Г ) Правилен  шестоъгълник

 

Как да си построим правилен многоъгълник само с линийка и пергел

Една класическа задача на геометрията е построяването на правилни многоъгълници само с линийка и пергел .

Разгледайте анимацията   и вижте как древногръцкият  математик Евклид е построил  правилен шестоъгълник  само с   линийка и  пергел.


Един друг метод  е   чрез удвояване броя на страните.

Пример : Разгледайте чертежа и вижте как  от квадрат е построен  правилен осмоъгълник само с  линийка и пергел

"/>

Тук Ви  показваме  с  примери  как  само с линийка и пергел  могат да се построят  правилни многоъгълници.

 Със  знанията за  7 клас на средното общообразователно училище ,Вие ще обосновете  и докажете  ,защо избраното  построение е такова,че получената фигура е  правилен многоъгълник. 

Правилен многоъгълник . Няколко избрани задачи от състезания

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg