В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Правило на Гаус . Текстови задачи със суми.

"/>

 

П

О

Д

О

Б

Н

И

 

 

Т

Е

М

И

 

 

 

 


Задача  В понеделник Иво преплувал една дължина на  басейна; във вторник преплувал две дължини, в сряда   три и така увеличавал с по една дължина на ден  до неделя, когато преплувал седем дължини. Колко  дължини е преплувал Иво за цялата седмица?

(А) 7;    (B) 13;    (C) 21;   (D) 28;    (E) друг отговор.

(Математически турнир „Иван Салабашев)

Отговор C)

Решение  1+2+3+4+5+6+7 = 28

 

Задача  .Няколко последователни  дни  Мирослава  пробягвала  определено  разтояние. Първият ден  пробягала  една  дължина,на втория две дължини ,на третия три дължини така увеличавала с по една дължина на ден. 

Когато  пресметнала  всички дължини се оказало,че те са 21 .Колко дни е бягала Мирослава ?

а) 3    b) 8     c) 6     d) друг отговор

Отговор C)

Решение.

От това,че  1+2+3+4+5+6=21  правим извода,че е  бягала 6 дни

 

Задача  Милена  живее  в къща  с  номер  50  .Ако улицата на която живее  е номерирана ,така ,че от едната страна са четните номера,а от другата нечетните ,то колко къщи има преди къщата на  Милена ,ако номерът на първата къща на улицата  е единица?

А)34            B)49            C) 50                    D)24       E)друг отговор

Решение.

  • От това,че  номерът на къщата е четен правим извода,че тя живее от четната страна на улицата.
  • Подреждаме четните  номера от улицата  в редица   - 1.2 ,2.2 ,3.2,4.2 ,5.2 .....5.25
  • Тогава  Милена живее  в   25  къща от четната страна на улицата .
  •  Къщите преди къщата на Милена са точно 24

 

 Задача Колко къщи има от нашата страна на улицата ,ако сборът от номерата им е 81.

А)  8                       B)  9                      C) 10                          D)  11                     E)12

(Математически турнир „Черноризец Храбър”)

Решение От това,че  сборът от номерата  на  къщите  е нечетно число , правим извода,че  къщата е на страната на нечетните  номера .Номерата на къщите от нашата страна са съответно  1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,11,13,15,17,......

Следователно ще търсим  кога сборът им е 81.

От това,че  1+3+5+7+9+11+13+15+17=81 ,можем да направим извода,че броят на къщите е 9.

 

Задача  Сборът от номерата на къщите от едната страна на улица “Васил Левски ” е равен на  30. Да се намери броят на къщите от тази страна на улицата

 А)  4                       B)  5                      C) 6                          D)  7                     E)8

 

Задача  Рая трябва да продаде 10 стъклени звънчета с различни цени от 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10  лева. По колко начина може тя да разпредели всичките стъклени звънчета в три пакета така,  че и трите да са с еднаква цена?

A)   1 B) 2 C) 3 D) 4 E) не е възможно такова разпределение

                  (Математическо състезание „Европейско кенгуру)

                                            Решение

Понеже  звънчетата са  10 и цените са 10 и всяко от тях има различна цена ,то ако ги  продаде  Рая  трябва да  получи 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =55 лева.

За да ги продаде ,тя трябва да ги  разпредели  в три пакета с равни цени,което  е невъзможно ,защото  общата сума от  55 лева ,не може да се раздели на  3 равни суми.                                 

                                          Отговор  E)

 

Задача. Сумата от номерата на къщите от едната страна на улица е равна на 121. Да се определи номера на последната къща на тази улица, като се знае, че първата къща има номер 1.

А) 11;                         B) 17;                         C) 21;             D) друг отговор

Решение Ясно е, че номерата на къщите от разглежданата страна на улицата са нечетни. Понеже

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121, то номерът на последната къща е 21.

 

Задача Колко къщи има от нашата страна на улицата ,ако сборът от номерата им е 156.

А)  8                       B)  9                      C) 10                          D)  11                     E)12

 

Задача Сборът от номерата на къщите от едната страна на улица “Липа” е равен на 49.

а) Да се намери броят на къщите от тази страна на улицата. Опишете пресмятанията.

b) За изписване на номерата на къщите от същата страна на улицата (от подточка – а) са използвани цифри от пластмаса, като цифрите 1, 4, 7 и 0 тежат по 12 грама; цифрите 2, 5 и 8 тежат по 15 грама, а цифрите 3, 6 и 9 тежат по 14 грама. Да се намери колко общо тежат цифрите, с които са номерирани къщите.

(Математическа гимназия ”Баба Тонка”-прием  след   4   клас)

 

Задача  Да се пресметне сумата :  2-1 + 3-2 + 4-3+  .......... 99-98  + 100 -99

А) 99              B) 100                  C)98                     D)друг отговор

Решение  Всяка една  разлика  е равна точно на единица .Тъй като имаме 99 разлики, то  ще събираме  99 единици и резултатът ще е 99. 

 

Задача Да се намери разликата  между всички четни и  всички нечетни  числа по-малки от   201.

  А)199                         Б)100                   В)  198              Г) друг отговор 

Решение

Търсим   колко е следната разлика:

2 + 4 + 6 + 8 .........200  -  (   1 + 3+ 5 + : ........199)

 Образуваме следните разлики :

2-1 +4-3 + 6-5 +.........200-199  .Тяхният брой ще зависи от броя на числата от 2 до  200,а те са точно  100 числа.От това,че разликата между две съседни последователни числа е винаги единица  и числата са 100 ,то и  търсеният сбор  ще е 100.


 

ЗЗадача Сборът на 107 естествени числа е 108. Произведението на тези числа е :

    а) 2                b) 11556                             c) 215                    d) 1

 


Задача С колко сбора на всички три цифрени нечетни числа е по-голям от сбора на всички три цифрени четни числа?

а/ 451;                        b/ 500;                        c/ 550;                                    d/ друг отговор.

(Великденско математическо състезание)

Решение:  Три цифрените нечетни числа са: 101, 103, 105,…, 999. Три цифрените четни числа са: 100, 102, 104, …, 998. Образуваме разликите: 101-100=1, 103-102=1, 105-104=1, …, 999-998=1. Всички  числа са: 999-99=900 / 9 едно цифрени + 90 двуцифрени = 99/. Следователно разликите са два пъти по-малко от броя на 

 числата, така е 900:2=450. 

Понеже всяка разлика е равна на 1, то 450.1=450. 

Следователно сборът на всички нечетни три цифрени числа е по-голям от сбора на всички четни три цифрени числа с 450

 

Задача Чичо Тошо трябвало да забие няколко колчета по права линия край пътя. Той взел от куп с колчета първото колче и го забил на един метър от него. Върнал се до купа, взел второто колче и го забил на един метър след първото. След това  по същия начин – вземал колче и го забивал на един метър след предното.

а) След като забил пет колчета, той седнал да си почине до купа. Колко метра е изминал чичо Тошо до този момент?

в) Когато забил поредното колче, се сетил, че е минал 13 пъти край третото колче. Колко колчета са забити до този момент?

с) Когато забил последното колче, пресметнал, че е изминал общо 121 метра. Колко са всички колчета?

(Математическа гимназия  "Баба Тонка"Русе  -Прием след четвърти клас)

Решение                                     

а)

  • При поставянето на първото колче   изминал       1 метър 
  • за  второто  връщане  1 метър  за ново  колче  и  още  2 за поставяне  общо  3 метра 
  • за третото колче   връщане   2 метър   за  ново  колче     и   за поставянето му  още  3метра   общо  5 метра ,
  • за  четвъртото    колче   връщане за колче    3 метра  и   за  поставянето   му  4метра  , общо 7 метра
  • за петото  колче     връщане за колче  4 метра   и  за  поставянето му  5   метра общо  9 метра

              Следователно чичо  Тошо  е   изминал  1+3+5+7+9=25 метра 

       в)С  поставянето на  четвъртото  колче  е първото минаване покрай  третото колче . при   поставянето на 5 колче ще премине  още 2 пъти  покрай третото колче  и  т.н Следователно за 13 минавания  покрай третото колче,той ще е поставил точно  7 колчета(1+2+2+2+2+2+2)   след третото  и   трите в началото  общо   10  колчета .

       с)  От  първата  подточка  разбрахме ,че за поставянето на 5  колчета  ще измине  1+3+5+7+9=25 метра , в това под  условие знаем изминатите метри , а ще   търсим броя на поставените колчета .

   От това,че  1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=121 правим извода,че поставените колчета са 11.

 

Задача  Миши решила да направи картичка за дядо Коледа. Тя започнала да  лепи върху кадифена хартия обърнати сребърни  сърца  плътно едно под  друго. Най-горе сложила 1 сърце, долу    две и така нататък, като най-отдолу залепила 7 сърца.

                      а) Колко общо сърца е използвала Миши за картичката?

                      в) Ако „височината“ на сърцето е 2 сантиметра, колко висока елха се е     получила на картичката?

Решение. а)   За всеки нов ред Миши добавяла по още едно сърце . Знаем,че на последния ред има седем сърца .Тогава  общият  им брой  е  :   1+2+3+4+5+6+7 

Тази сума ще пресметнем по-лесно  като групираме събираемите   1+2+3+4+5+6+7 =(1+7) +(2+6)+(3+5)+4=  

3.8 +4=28 сърца. 

             в) Височината на всеки нов ред е 2 сантиметра ,редовете са 7  и височината на елхата ще е 14 сантиметра   

 

                                                     

 Задача. При включване на градската коледна елха лампичките светват в следния ред: на първата секунда

светват 10 лампички и на всяка следваща секунда – с 40 лампички повече. Колко са всички лампички

върху елхата, ако на петата секунда са светнали всички?

А) 450                    В) 170                       С) 210                         D) 130

 

Задача Намерете  сбора на числата от  1  до 100.

    Карл Фридрих Гаус е  един от най-великите математици на всички времена . Роден е  на 30 април 1777 година. в Германия като единствен син на бедно семейство. Едва на три години, той вече знаел как да брои и извършвал прости изчисления.  Когато бил малък в училище учителят казал на децата да съберат числата от 1 до 100. Той започнал да пише на дъската всички числа, но през това време Гаус притичал при учителя и му казал отговора, който самият учител не бил открил. Накрая след събирания се оказало, че единственият верен отговор е на Гаус. 

"/>

1+2+3+4+5+6+...........97+98+99+100 =(1+100) +  (2+99) +(3+98)  +(4+97)+......+(50+51) =50.101=5050 

 За бързо смятане  запомнете  правилото на  Гаус  за намиране на сбора на  първите N  естествени 

                                                                    числа   

 

Задача  Пресметнете  сумата на числата от   1   до   601 

 

Задача  Пресметнете   сумата на числата от  100  до  200.

Упътване.От  сумата от 1 до 200  извадете сумата от  1 до 100

 

Задача.Сборът от номерата на една улица  е  250500.Кой е номерът на последната къща  ,ако номерът на първата къща е 1?     

А)500                         B)1000                   C) 800               D) друг отговор           

 

                                      

Задача  Стенен часовник  на всеки кръгъл час бие толкова пъти колкото показва, а ,на всеки половин час  бие по веднъж.Колко пъти бие часовникът за 24 часа?

А)240                         B)196                   C) 180               D) друг отговор    

Решение  До обяд часовникът бие  1+2+3+4+............12 =78 пъти на кръгъл час

 И съответно още толкова пъти  от 1 часа на обяд  до 12 в полунощ .

 За  24 часа съответно 24 половинки ,съответно още  24  пъти .

Следователно общият брой е  2.78 + 24=180 пъти

 

Задача Да се намери сбора на всички  четни числа   от  2 до   200.

Упътване:  2+4+6+8+12+.................+200=2.(1+2+3+4+................100)

 

Задача  Сборът на пет последователни естествени числа е  60.Кое е най-малкото от тях ?

Решение.

Първи начин   Да разгледаме сбора на произволно избрани пет  последователни числа:  23+24+25+26+27=23+(23+1)+(23+2)+(23+3)+(23+4)=5.23+1+2+3+4=5.23+10. Тава представяне на сбора ще е вярно за всеки  пет последователни числа.Следователно  най-малкото число  ще  е: 

(60-10):5 =  10

Втори начин

Нека първото число е  x  . Cборът на всички числа   е x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=60

5.x +10=60 x=10

 

Задача Най-голямото от десет последователни числа е 106. Кое е най-малкото от тях?

         А) 96                     B) 97                     C) 116                      D) 98                        E) 100

(Математическа гимназия ”Баба Тонка”-град Русе ,прием след  4 клас)

Задача На посещение на куклен театър  от един клас  са  били  28  деца.Разпоредителката  ги поставила да седнат така,че на всеки следващ ред  да  са с  едно повече от предходния,като е започнала с  едно дете на първия ред.  .Колко  деца са седнали на последния  ред?                          

А)7                         B)8                   C) 9              D) друг отговор                                                      

    Решение                                                                                                                                                  

 Първи начин  Всички деца са 28 .От това,че  1+2+3+4+5+6+7=28,следва,че   на последния ред са седнали  7 деца .                                                                                                                                      

  Втори начин Нека на последният ред са седнали   x  деца. Тогава всички деца които са на посещение на театър са: 1+2+3+4+......x=28. Следователно е изпълнено,че   (x +1).x=2.28=56 Търсим  последователни  естествени числа  x  и x+1  чието произведение е 56 .От това,че 56 =7.8 правим  извода,че на последния  ред са седнали точно  7 деца.

 

Задача Дядо Коледа   раздавал подаръци  като  спазвал правилото:  на  всяко следващо дете по два    подаръка в повече .На един  клас  в   едно  училище  раздал   756   подаръка. Ако първото дете е получило    два подаръка  ,то  колко  деца  са      получили подаръци   в този  клас ?                                                                                                                                                    А)27                         B)28                   C) 31              D) друг отговор                                                    

  Решение  Ако на първото е дал 2 ,то   следващите ще получат   2+2,2+2+2 ,2+2+2+2,...........             Следователно  децата са получили съответно:  1.2  ,2.2 ,3.2,   4.2,  5.2 ......  x.2 ,където x е  детето което последно е получило подарък  от Дядо Коледа.                                                                   

Тогава    общият брой на получените подаръци ще  е 2(1+2+3+4+........х)=756  1+2+3+....x=378  Следователно    ще е изпълнено ,че    x(x+1)=  378.2  = 2.2.189 =2.2.3.63=2.2.3.3.3.7 =27.28.   и   децата   които  са  получили подаръци ще са  27  

 

Задача Дядо Коледа   раздавал подаръци  като  спазвал правилото:  на  всяко следващо дете по три  подаръка   в повече .На един клас в  едно  училище  раздал   513  подаръка. Колко  деца  са  получили подаръци   в този клас ,ако знаем,че първото е получило  3 подаръка ?                                                                                                                                                    А)27                          B)18                   C) 19              D) друг отговор

Отговор 18)

 

Задача.Зидар поставя 171  тухли ,така както е показано на чертежа .Колко цели реда от тухли ще се получат ако е започнал с една тухла ?   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


  
   а)  17                   в) 18                  с)  19         d) един от редовете е недовършен                                                                                                                                  

 Решение   От условието е ясно,че за всеки нов  иззидан ред   ще са необходими толкова тухли  колкото е номера на реда.Знаем,че   броят на първите  естествени числа   е    n(n+1) / 2                                            

     За  да намерим  колко  цели     реда   тухли ще се получат  ,търсим     n  естествено число  ,за  което                                                 

                           n(n+1)=2.171=2.3.3.19=18.19  .Следователно  n=18  

 

Задача  Естествените  числа са разделени  на  групи  по правилото:Числото 1 е в първа група,числата 2 и 3  във втора група  ,числата  4,5 и 6 в трета група ,числата  7,8,9 и 10 в четвърта група  и  така  нататък .   

 Записваме разделянето по групи :(1),  (2,3),  (4,5,6),   (7,8,9,10),  (11,12,13,14,15)..........

А)Намерете номера на групата  в която   попада числото  28

B)В  коя група е  числото 1987 . 

Решение  А) 

Нека разгледаме групите като зидани редове .

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

4

 

5

 

6

 

 

 (1)1           (2,3), 2    (4,5,6),   3    (7,8,9,10), 4     (11,12,13,14,15) 5..............

Следователно   всяка група с аналог от предходната задача е нов зидан ред .

От това,че  1+2+3+4+5+6+7=28 ,то следва,че  числото 28 е в 7 група.

Б)  От това,че 1+2+3+..............61 +62=(62.63):2=31.63=1953 следва,че   62 група завършва на 1953 .Следователно  числото 1987 ще е в  63 или 64 група.

От това,че    1+2+3+..............61 +62+63 =(63.64):2=63.32=2016 ,то група с номер 63  ще завършва на 2016 .Следователно  числото  1987 е в група  с номер 63.

 

Задача  Дадени са 15  последователни числа ,най-голямото от които е нечетно .Да се намери  най-малкото от тези числа ,ако сборът на четните числа  е 224 .

(Национален кръг „Европейско кенгуру”3-4 клас)

Решение 

От това,че най-голямото е нечетно  и числата са последователни ,правим  извода,че  първото число е също нечетно. Нека първото число   е   2x+1.Тогава  сборът на всички  15 числа ще е :

2.x+1 + 2.x+2+.........2.x+15  = 30.x+1+2+3.....+15 = 30.x+ 8.15 =30.x+120

Само  сборът на нечетните числа е  6.2x +40

Тогава разликата ,която е  сбора на четните числа  е  18.x +80=224 ,  x =8  и най-малкото от тези числа е  17

 

Задача Чичо Тошо трябвало да забие няколко колчета по права линия край пътя. Той взел от куп с колчета първото колче и го забил на един метър от него. Върнал се до купа, взел второто колче и го забил на един метър след първото. След това  по същия начин – вземал колче и го забивал на един метър след предното.

    След като забил известен брой  колчета, той седнал да си почине до купа. Ако чичо Тошо е изминал   255   метра ,то колко колчета  е  поставил  на пътя?





За


Задача . Макс и Мориц последователно вземат бонбони от масата. Макс взема 1 бонбон, Мориц- 2, след това Макс- 3, Мориц- 4 и така нататък. Когато на масата останали по- малко бонбони, отколкото трябва да вземе този, който е наред, тогава той взема всичките останали бонбони. Колко са били първоначално бонбоните, ако Макс е взел общо 26 бонбона?

СМБ – секция  Плевен и СОУ „Стоян Заимов” Плевен

МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ „ СТОЯН ЗАИМОВ” – 27.10.2012 година



За

Задача . Чудесен сбор 
Да наречем сборът на цели числа „ЧУДЕСЕН”, ако първото и последното събираемо са 1 и 
разликата на две съседни събираеми е най-много 1. Например, сборът 
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 3 + 3 + 3 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 
е ЧУДЕСЕН. Колко най-малко събираеми трябва да се използват, за да се запише числото 2013 като 
ЧУДЕСЕН сбор? 
(Математически турнир "Академик Кирил Попов "- отборно състезание за 5 клас )
                              Решение 
За да имаме колкото може по-малко събираеми, трябва да имаме колкото може по-малко 
повтарящи се цифри и в началото на сбора всяко следващо число трябва да е с 1 по-голямо от 
предишното, докато стигнем близо до половината от желания сбор, но не надхвърляме тази 
половина. 
Да направим проверка за сбора на числата от 1 до 50. 
 1+ 2+ ... 49 +50 =(1 +50)/2 .50 =1275.  Това е повече от 2013/2
, следователно трябва да имаме по-малко събираеми. 
 1 +2 ... 43+ 44= (1+44)/2 .44 = 990, 990 < а  2013/2
 1+ 2 ... 44+ 45 = (1+45)/2 .45= 1035, 1035 >2013/2
Тогава 1 +2 ... 43+ 44 +44+ 43 ...2 +1 =2.990= 1980.                                                                                                               Тъй като 2013 -1980 =33, то за да 
получим желаният сбор е достатъчно да имаме 89 събираеми – 
1 +2 ... +32+ 33+ 33+ 34... 43+ 44+ 44 +43 ...2+ 1 =2013.

 

Задача Колко е 2013 – 2011 + 2009 – 2007 + 2005 – 2003 + ......... + 5 – 3 + 1?

                              A) 1007   B) 1005   C) 1001   D) 20013   E) друг отговор

                                      (Математическо състезание "Стоян Заимов ")

                                                               Отговор A)

                                                                 Решение 

-Забелязваме,че всички разлики по двойки от вида 2013-2011,2009-2007,......5-3  са равни на две 

-От това,че числата от  1 до 2013  са 1006 четни и 1007 нечетни числа  ,то двойките от нечетни разлики без да участва числото 1 са 503

-Тогава сборът на тези събираеми е 503.2=1006 и търсеният сбор е 1006 +1=1007

                                            

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg