В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Сфера и кълбо .Задачи от лице на повърхнина на сфера и обем на кълбо за 6 клас .

Съдържание:

1.Сфера и кълбо .Елементи и  получаване на  кълбо и сфера .

2. Лице на повърхнина на  сфера  .Основни задачи  за 6 клас

3. Обем на  кълбо .Основни задачи  за 6 клас

4.Изходно ниво : Тест върху ръбести и валчести тела за 6 клас


1.Сфера и кълбо .Елементи и получаване на кълбо и сфера .

    Всеки от Вас  е играл футбол ,баскетбол ,  хандбал  или  водна топка .Всяка една от тези игри се играе  с  топка , която има    гладка ,  кълбовидна повърхнина .

 Много    валчести  тела  имат  форма  на топка – лампиони,балони и  други

Тези тела имат геометрична  форма ,която се нарича    кълбо .

  Ако  разрежем  диня с форма на топка   на  две половини, ще забележим,че   повърхността на отрязаната част   е познатата  ни геометрична фигура  кръг , оградена от окръжност .

"/>

окръжност 


кръг


Логичен е  въпросът :  " Каква е връзката между кръг и кълбо " 

Отговорът ще получим със следният опит :

Правим пълно завъртане  на  кръг( или полукръг)   с  център  т.О ,  около  диаметърът му  АВ

"/>

В резултат   на това пълно завъртане  получаваме :

  • Повърхнина ,която се нарича  сфера
  • Тяло ,което се нарича кълбо 
"/>
1
1

Елементи на сферата и кълбото

"/>

Центърът на окръжността т.О , се нарича център на сферата и кълбото

Радиусът на окръжността ОС , се нарича радиус на сферата и кълбото

Всяка отсечка,която свързва центъра на сферата с произволна нейна точка е радиус на сферата

Диаметърът на окръжността АВ , се нарича диаметър на сферата и кълбото

Всяка отсечка, с краища две точки от сферата ,която минава през центъра на сферата е неин диаметър


Окръжност  с  център т.О  и диаметър  2r  се  нарича  голяма окръжност  на сферата

Кръг  с  център т.О  и диаметър  2r  се  нарича  голям   кръг  на   кълбото

Всяка голяма окръжност  разделя  сферата на две полусфери

Всеки   голям  кръг   разделя  кълбото  на две полукълба 

"/>


Модел на сфера и  кълбо получаваме с три  големи   окръжности  , така както е показано на чертежа .

"/>



Упражнение   Попълнете липсващият текст  ,като работите с  модела на сфера      

А)  Повърхнината   получена  от завъртането на   окръжност  ,около  неин  диаметър   , наричаме (………)   ,а радиусът и   r ,наричаме (……………………)

Б)  Валчестото тяло    получено  от завъртането на   кръг   ,около  негов  диаметър   , наричаме (………)   ,а радиусът му   r ,наричаме (……………………)

В)Всяка  точка от сферата се намира на равни   разтояния от  нейният (……..)  

Г) На чертежа  отсечките    (… ..)   са  радиуси на сферата , а отсечката (….) е неин диаметър  

Д) На чертежа  точките  (……..) лежат  на голяма  окръжност  

Е) Сферата е част от (......)

2. Лице на повърхнина на сфера .Основни задачи за 6 клас


Както и да разрежем сфера  ,то ние не можем да  получим нейна  развивка , с помощта  на  която  да  изчислим   лицето на повърхнината Ѝ.



Затова ,приемаме , че :


Всяка сфера с радиус r , има лице на повърхнината си :


  Sсфера =4п.r2


Извод : Лицето на сферата е 4 пъти по-голямо от лицето на голям кръг



С новите знания ,които ще получите  в по -горните класове , ще може да обосновете   формулата  за лице на сфера .
 
Бележка : Под "   лице на сфера "  ще разбираме  лице на повърхнина на сфера .


Основни задачи от лице на сфера



1.задача  Кръг с  лице  10 м2 е  завъртян около свой диаметър .Намерете лицето на повърхнината на полученото  тяло.

Отговор : 40 м2 



2.задача  Дадена е сфера с радиус   r= 5 дм ,п ≈3,14

А) Намерете лицето  на  сферата

 Б) Колко  грама боя са необходими за боядисване на сферата ,ако за 1 кв.дм са необходими  350 милиграма

Решение

А)  S =4пr2 = 4.3,14 .52 =314  дм2

Б)  За боядисването на повърхнина с лице   S  =314  дм2 , са необходими  314  .350 =109900  милиграма 109, 9  грама боя 

 


3.задача Намерете лицето  на  сфера с диаметър

А) d= 20 см

Б) d= 0,8 м



4.задача Колко квадратни  сантиметра са необходими  за да се направи топка  от кожа  с диаметър 36 см  , ако   за резерви са предвидени  30 %  от  материала ?

Решение

S =4пr2 =3,14 .4.182=4069,44  см2  4069  см2 

Тогава за материали са необходими  4069 + 0,3 . 4069 = 4069 .1,3 = 5289,7 см2

 




5.задача  Как ще се измени  лицето на повърхнината  на сферата , ако:

                       А)   радиусът му се увеличи три пъти;

                       Б)   диаметърът му  се увеличи 8  пъти;

  Решение

А)    Преди увеличението ,лицето на сферата е равно на :

 S=4пr2 

 След увеличението  на радиуса  ,лицето на сферата е :                     

 S=4п(3r)2 =4.9 r2 

Тогава  лицето на  повърхнината  се  увеличава   9 пъти


Б) Отговор )  16 пъти





6.задача Намерете лицето на повърхнината  на полусфера  с диаметър  4 дм

Решение

Лицето  на  повърхнината  на     полусферата,   без  главната   окръжност е : (4пr2 ) :2 = 2пr2

  

 Лицето  на  повърхнината  на  главната окръжност    е  пr2

 

Лицето  на  повърхнината  на  всяка    полусфера  е  :  2пr2  + пr2 =3пr2

 

Тогава  лицето на търсената полусфера е  S = 3.п.22 = 12п см2





7.задача  Кубе  на  църква   има форма на  полусфера с радиус 20 м . Колко   злато  е необходимо за позлатяването му , ако за  1 кв.метър  са необходими  150 грама злато ?

Отговор : ) 376,8 кг 

Бележка : Позлатява се полусферата ,без големият кръг .






8.задача Лицето на  сфера   е 324.п см2   .Намерете  радиусът  на  сферата  .

Решение

S=4пr2

Тогава

    324 π =  4π . r2

Тогава  

 r2= 81  ,откъдето   = 9 см

 



9.задача  Лицето на  сфера  е  5184.п см2   .Намерете  радиусът  на  сферата  .

Решение

             От  това,че   5184 π =  4π .r2  ,то 


   r2= 5184 :4 = 1296   см2

 

   r2= 1296   см2

 

   1296   =24 .34 = 42.92 = (36) 2 

 

   r= 36  см

 

 



10.задача
 Лицето на  повърхнината на  полусфера  е  675.п см2   .Намерете  радиусът  на  полусферата .

Отговор - 5 см



3. Обем на кълбо .Основни задачи за 6 клас

Обемът на кълбо с радиус r , намираме със следният опит:

В съд с  деления  с  форма на цилиндър с радиус  2r , наливаме вода с височина  2r

На  дъното  на   съда  поставяме  метално кълбо  с  радиус r 

"/>
След  потъването на  кълбото  , нивото на водата в цилиндъра  ,се е покачило  точно с

   r
  —— единици
   3

Ние ,знаем че  количеството изместена вода  е точно  обемът на кълбото

а , самото количество вода е  равно  на  обемът на цилиндър с радиус 2r  и височина

   r
  —— единици
   3

ТОГАВА 

                                            r
Vкълбото   =   П(2r)2  . ——
          
                                  3

ТОГАВА

                              4пr3
Vкълбото   =      ——
          
                     3

1
1

Основни задачи от обем на кълбо



 11 .задача Намерете обемът на кълбо  в кубични сантиметри  , ако :

А) r = 9 см 

Б) r = 3 дм 

С) d = 20 мм  ,

 


12 .задача Тяло има форма  на  полукълбо  с  радиус  на основата r = 0,6 дм .Намерете  с  колко милилитра   вода  може да се напълни това тяло ?


Решение Търсим вместимостта на  полукълбо  в милилитри .

  1 милитър = 1 куб.сантиметър   

  

Тогава  работим в сантиметри    -   r = 0,6 дм = 6 см  

           2п.63.
V  =      ——    =  4.л.36 см3  = 452,16  милилитра
              3




13.задача  Как ще се измени  обемът на кълбо, ако:

                       А)   радиусът му се увеличи два пъти  

                       Б)   радиусът му се намали  три   пъти,.

Решение

                       4п r3
 А)   От       V  =   —— 
,  правим  изводът ,че
                             3

 , обемът  се увеличава   23 = 8  пъти 

Б)  Отговор ) Обемът се намаля  27  пъти





14.задача Съд с форма на  кълбо   има  вместимост  972 п литра. Намерете радиусът  на кълбото в  метри.

Решение

    1  литър = 1 куб.дециметър 

972 литра = 972 дм2

 

              4пr3.
 От  V  =   ——    ,  получаваме  равенството :
                3

р    

                   4пr3
 972п   =      ——    ,  откъдето   намираме,че  972.3 = 4.r3   и    r3  =  729 дм3  
                    3

От това,че    729 = 36 = 93  ,  то   r  =  9 дм  = 0,9 м




15.задача  Дадени  са две кълба ,   с радиуси   3 см  и  6 см .

А) Колко пъти  обемът на едното кълбо е по-голямо от обемът на другото  кълбо ?

Б)  Колко  процента  е   обемът   на  по-малкото  кълбо   от обемът на  по-голямото  кълбо

Отговори : А) 8 пъти    Б)  12,5 %      

 



16 .задача Намерете обемът  на кълбо ,ако   лицето на повърхнината  му е  S=13500п см 2  

 Отговор: 4500п см3



17. задача Петър и Стоян  правят  балон с форма на  сфера   пълен с водород  , с който да се издигнат във въздуха .Възможно ли е  радиусът  на  този    балон  да  е   3 м , ако общото тегло  на  двамата е  120 кг    и  с  1 м 3  водород  , може да  се вдигне   1 кг  тегло .

 

Решение  

От това,че  с  1 м   може да се  вдигнат    1 кг  товар  ,

то за  120  кг  ще са необходими   120 м 3 водород 

Тогава  вместимостта  на балонът   е    120 м 3 

Ако радиусът  на балонът    3 м ,то обемът  му е   113,4 м и   с него  могат  да се  повдигнат  не –повече от    113,4  килограма  тегло .

Тогава  Петър и Стоян трябва да   купят балон с радиус по-голям от 3 м




18.задача От метален конус   с диаметър   12  см   и   височина  h = 30 см  са   излети метални топчета с радиус 3 см. Колко   топчета  са излети

Отговор : 10 броя




19.задача  В   правилна четириъгълна призма  с основен ръб 4 см  има известно количество вода .В нея се пускат  100  броя метални топчета с форма на сфера с радиус  6 мм .С колко сантиметра ще се повдигне нивото на водата в паралелепипеда ?

Отговор 5,652 см




20 .задача
Тяло е образувано от полукълбо и цилиндър .По данните на чертежа намерете
"/>

А) лицето  на повърхнината на полученото тяло

Б) обемът на полученото тяло 

Задачи за отличници

21.задача Тяло е образувано от полукълбо  с  радиус 30 см  и цилиндър ,така както е показано на чертежа по горе  .Намерете каква трябва  да е  височината  на цилиндъра , за да   има  тялото  лице на повърхнина  , равна на   3000 п см2 :  

Решение  

S=пr.l +п r2 +2пr2

Тогава

S=пr.(3r +l)

Тогава

3000п=п30.(90 +l)

Тогава

100=90 +l , откъдето l =10 см

 

 



22.задача Тяло е образувано от полукълбо  с радиус  60 см  и цилиндър ,така  както е показано  на чертежа по –горе  .Намерете каква трябва  да е  височината  на цилиндъра , за да   има  тялото  обем  , равен  на   180000п см3 :  

 Отговор : 10 см

 


23.задача  . От куб  е изрязано възможно най –голямото кълбо .Ако кълбото има  радиус  3м , то намерете   обемът на куба  . 

ВИДЕО  РЕШЕНИЕ  ТУК !  https://www.youtube.com/watch?v=ha3bwi9p6Dc



В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg