В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Трапец . Задачи от лице на трапец за 5 , 6 и 7 клас .Равнобедрен трапец в 7-ми клас .Задачи за състезания и олимпиади .

"/>
Темата "Трапец .Лице на трапец .Задачи за състезания и олимпиади"   разглеждаме в две части  , съответстващи  на  програмата по математика  за  5 ,6 и  7-ми клас. Тук ще направим  ОБОБЩЕНИЕ   на темата с цел ,Вие  да познавате фигурата трапец  , неговите елементи  и свойства .



Съдържание

Първа част  - за ученици от 5 и  6   

1. Трапец .Елементи  на трапец .

2.  Лице на трапец

2.1  Формула за лице на трапец. Основни задачи от лице на трапец за 5 -ти клас  . 

2.2 Интересни задачи от  трапец за 6 -ти клас .Равнолицеви фигури .


Втора   част – за ученици от 7 клас

3.Обобщителни задачи от трапец.                                 

3.1   Равнобедрен трапец .Задачи от трапец за 7-ми клас .

3.2 Интересни задачи от   разрязване  с  трапец.

 

АКО СТЕ КАНДИДАТ - СТУДЕНТ: ПОЛЕЗНИ ВРЪЗКИ

1
1
1

1.Трапец.Елементи на трапец .Видове трапец .



Учените все още търсят отговор на въпроса: Как е  построена  пирамидата на Хеопс
"/>

Създаването на последният дом на фараона Хеопс е дело, както  на  инженерната  мисъл на този народ   ,така  и на  хиляди  работници и роби , които  с непосилен труд са успели да пренесат  и подредят с точност до милиметър на неимоверни височини огромни дялани каменни блокове

Днес, 5000 години след завършването си, Хеопсовата пирамида в Египет е технически  шедьовър за своето време  и  едновременно с това е   загадка  с  уникалността на построяването  си . Нейните създатели не са оставили чертежи  за  бъдещите поколения .

Със сигурност обаче , египтяните   са познавали  в детайли  фигурата трапец ,защото в изображението по-долу има четири фигури с форма на трапец, които са етап от построяването на пирамидата .

"/>

 Вие  , 5000 години след  построяването на  
 пирамидите от Гиза , изучавате  в  5 -ти клас   фигурата  трапец .



ВАЖНО !  Нови знания за тази фигура ще получите в 6 и  7 клас ,след  изучаване на еднакви триъгълници .В следващите класове,  с помощта на  науката тригонометрия ,ще  знаете  нови правила  за  намиране на всички елементи на трапец –основи , диагонали , ъгли ,радиус на вписана и  описана окръжност в трапец .

Затова по стълбицата на  знанията за  фигурата  трапец  Вие не трябва  да имате пропуски .




Определение  Трапец  е всеки четириъгълник, чиито две срещуположни страни са успоредни, а другите две срещуположни страни не са успоредни.


 Основни   елементи   на трапец

"/>
  •  Успоредните страни   са  основите   на трапеца : долна  AB = a  и горна  DC= b.
  • Страните  AD  и  BC   са   бедра на трапеца  
  • Отсечките  AC  и  BD  са   диагонали  на трапеца .
  •   Отсечката   DH = ha   е височина на трапеца



Видове трапец

  • Трапец, чиито бедрa са равни, се нарича равнобедрен, така е ,ако AD=BC , то трапеца ABCD  е равнобедрен.
  • Трапец, един от ъглите на който е прав, се нарича правоъгълен.


"/>


Свойства на правоъгълния трапец

  • От  AD   DC  и  AB     AD , то < DAB = <ADC = 90 °
  • Триъгълниците    АCD   и   BAD  са правоъгълни
  • Височината на трапеца  h  = AD
1
1
1



Занимателна задача 
.Петър   поставя  върховете B  и C  във  възли  от  мрежата на чертежа ,така ,че четириъгълника  ABCD  да е правоъгълен трапец с прави ъгли   <BAD   и  <ADC

Колко различни  правоъгълни трапеца   ще получи  Петър ?

"/>
A)45               B) 17                    C)25                             D) друг отговор


Отговор : A)

Решение

Понеже правите ъгли <BAD   и  <ADC  са известни , за по лесно преброяване номерираме  възможните възли от мрежата  на първи и четвърти  ред ,така както е показано на чертежа

Ще преброяваме така,че  не пропуснем трапец.

  • Нека върхът  C e във  възел 1 от четвърти  ред  .Тогава върхът  може да е във възел 1 ,2 ,3 ,4 …….9 от първи ред  .По този начин получаваме  9 трапеца
  •  Нека върхът  C e във  възел 2 от  четвърти  ред .Тогава върхът  може да е във възел  2 ,3 ,4 …….9 от първи ред .По този начин получаваме  8  трапеца
  •   Нека върхът  C e във  възел 3 от четвърти  ред  .Тогава върхът  може да е във възел 3 ,4 …….9  .По този начин получаваме  7 трапеца
  •    ………………………………………………….
  •   Нека върхът  C e във  възел 9 от четвърти  ред  .Тогава върхът  може да е само възел 9  .По този начин получаваме  само един  трапец

Тогава  броя на всички трапеци е 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45

2. Лице на трапец

2.1 Формула за лице на трапец

 

Със знанията си за  лице на  правоъгълник,триъгълник  и успоредник , ние можем да намерим  лицето на всеки трапец.



Пример  1 .   В   квадратна  мрежа  с дължина на единичното  квадратче  1 cm ,   четириъгълника ABCD   е правоъгълен  трапец .

  Лицето на  трапеца  ABCD  с познатите ни фигури можем да намерим по два начина :

"/>



Първи начин : Допълваме трапеца ABCD до правоъгълника ABCM  и  изваждаме от него   лицето на правоъгълния  триъгълник ADM ( разгледай  чертежа)   

Получаваме,че   S = SABCM  -  SADM  = 4.2 –( 2.2 ):2 = 6 кв.см


"/>


Втори начин :Разбиваме
трапеца  ABCD  на  квадрат   MBCD   и  правоъгълен  триъгълник AMD    ( разгледай  чертежа )
"/>

Получаваме,че   S = SMBCD  +  SADM  = 2.2 +( 2.2 ):2 = 6 кв.см





Пример 2.  В   квадратна  мрежа  с дължина на единичното  квадратче  1 cm ,   четириъгълника ABCD   е   трапец .

"/>

За да намерим лицето на трапеца ABCD   ,трябва  от лицето на  квадрата ANBM   да извадим лицата на триъгълниците  ANB   и  DCM

Тогава   SABCD   = 4.4 – (4.4) :2 - (2.2) :2 = 6  кв.см.





Много по лесно и бързо  бихме намерили лицето на трапеца  ,ако знаем формула за пресмятане на лице на трапец



 


Основна задача :Да се намери  лицето на   трапец ABCD   с основи   a и b   и   височина  h  

"/>

На чертежа диагоналът BD   разделя трапеца на два триъгълника  -  ABD  и   BCD  .

Тогава лицето на трапеца ABCD  е  сбор от лицата на ABD  и   BCD  

така е ,    SABCD     SABD +SBCD  

Тогава   лицето на трапеца е :SABCD     (a.h):2 +(bh): 2

Тогава за формулата за лице на трапец ,получаваме :
"/>

В нея  участват  четири  величини – лице ,дължини на основите  a  и b и височината на трапеца h

 

Следователно задачите от лице на трапец ,които ще решаваме можем да разделим  на два вида:

  • ·         По дадени елементи  търсим лицето  на трапец
  • ·         По дадено лице търсим елементи на трапеца

 



От формулата за трапец правим извода,че има безбройно много фигури на трапец с едно и също лице

Например на  чертежа в квадратната мрежа  са разположени  три трапеца – ABCD ,ABMN и  KLPQ  .

Те са такива,че имат равни основи и равни височини ,тогава   те имат равни лица .

1
1
1

Задачи от лице на трапец


Задача 1 .  В   квадратна  мрежа  с дължина на единичното  квадратче  1 cm ,   четириъгълника ABCD   е   трапец .Лицето на трапеца е :


A)4 кв.см.             B) 10 кв.см.                  C)9 кв.см.                             D) друг отговор

Отговор : C)

"/>

Решение Задачата решаваме с формулата за лице на трапец :

От данните на чертежа a = 7 cm  , b=2 cm ,а височината h = 2  cm

Тогава   S = {  (7 + 2).2}:2 =9  кв.см.







 Задача 2 :Да се намери лицето на трапеца оцветен в червено .
"/>


Решение

От данните на чертежа a = 7 cm  , b=1 cm ,а височината h = 4  cm

Тогава   S = {  (7 + 1).4}:2 =16 кв.см.




Задача 3 Даден е  трапец с лице S= 36 кв.см ,малка основа b = 6 cm  и височина h= 4 cm.Намерете голямата основа на трапеца.

Решение

Ако голямата основа на трапеца  означим с  a  и заместим дадените елементи   във формулата за лице на трапец , получаваме,че:

36 = { (a+6) . 4 } :2

Следователно a + 6 =18 cm    и   a =12 cm  




Задача 4.  Ако лицето  на  трапец   е  25  кв.см.,  и  a =  6 cm   ,b = 4 cm   , то намери височината на трапеца                                                                                           

Отговор : h= 5 cm




Задача 5.Ако лицето  на  трапец   е  48 кв.см  ,  и  a 26 cm   ,h = 3 cm   , то намери малката основа на трапеца                                                                                                             

Отговор  b = 6   cm

 



Задача 6 : На чертежа е даден трапец с лице   S= 27 кв.см.  и периметър  P=28  см .По данните на чертежа , височината на трапеца  е :

              A)1 cm               B) 2 cm                    C)3 cm                             D) друг отговор

 

"/>

Решение

От    P=28  cm  , получаваме,че     b+ b+ b+13 = 28 .Тогава  b = (28 -13):3=5 cm

Ако височината на трапеца  означим с  h   и заместим  във формулата за лице на трапец , получаваме,че

27 =  0,5(13+5).h 

Следователно h =27:9    и    h= 3 cm  

Отговор : C)

 

 


Задача 7. На чертежа  е  даден  трапец ABCD, за който  < ADB=90 ° . Ако   AD = 5 cm ,DB=7 cm  и   височината   CM  към  страната  BD   в триъгълник  BDC   е  3 cm, то  лицето на трапеца ABCD  e :

"/>
В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg