В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Умножение на едночлен с многочлен и многочлен с многочлен .Задачи за 6 клас .Задачи за състезания по математика .



Съдържание :
1.Умножение на едночлен с многочлен
1.1 Правило за умножение на едночлен с многочлен
1.2. Задачи от умножение на едночлен с многочлен .
2.Умножение на многочлен с многочлен
2.1 Правило за умножение на двучлен с двучлен
2.2 Задачи от умножение на многочлен с многочлен .
3.Изходно ниво :Тест върху рационални изрази за 6 клас
4.Избрани задачи от състезания  от рационални изрази със знанията за 6 клас , входно ниво за 7 клас .

1.Умножение на едночлен с многочлен

1.1 Правило за умножение на едночлен с многочлен

"/>

Ще открием правило за умножение на  едночлен  с  двучлен със  следната задача

На чертежа   от   квадрат  със страна х см  и правоъгълник със страна х см  и 1 см   е получен нов правоъгълник  със  страни  (х+1) см и  х см .Съставете  израз , с който  да намирате лицето на получения правоъгълник .

Бележка :За нас променливата  х е произволно положително рационално число

 Решение

Израз  за лицето  на полученият  правоъгълник  можем да  намерим ,  като умножим  дължината   (х+1 ) см с ширината на правоъгълника  х см .

S = x.(x+1)

Израз  за  лицето на  същият  правоъгълник , можем да получим   и  като съберем  лицето на квадрата и  лицето  на    правоъгълника .

S=x.x +x.1

Тогава двата израза за лицето на правоъгълника са равни ,така е :

x.(x+1)=х.х+х.1

Това равенство ни показва,че :

- имаме действие умножение на едночлена х с многочлена х +1

- получаваме многочлена х.х +х.1


ИЗВОД:Резултата от  умножението  на  едночлена  х   с многочлена х +1 , получаваме  с помощта на   разпределителното   свойство  на действие умножение

"/>
В  много практически задачи  се иска да  умножим едночлен с многочлен
Като приложим  свойството  a.(b+c) = a.c +b.c ,получаваме следното правило за умножение на едночлен с многочлен
1

ЕДНОЧЛЕН УМНОЖАВАМЕ С МНОГОЧЛЕН ,КАТО :

- умножим едночлена с всеки член на многочлена

- съберем получените едночлени

1

Пример:Намерете произведението 10.(3х+ 4)

Решение : 10.(3х+ 4)= 10.3х+10.4=30х+40

1
1

Пример:Намерете произведението b(x-2с+1)

Решение : b(x-2c +1)=bx-b.2c+b.1=bx-2bc+b

1
1

Още примери :

"/>
1
1

1.2 Задачи от умножение на едночлен с многочлен .



1. задача  Извършете умножението
А) -3. (a – x)
Б) 10.(-3-х )
В)  x .(3+ 2x)
Г) –a.(а-3b)
Д) 0,2.(0,5a +10)  
Е)- 0,75х.(4х+4)

 

 

2.Задача Приведете многочлените в нормален вид .

а) 4х-х( 9х +1 )+9х2;

б)  5х5 (2 – х5 ) - 2 .( 7.5х5+х – 2)

Решение

а) 4х-х( 9х +1 )+9х2= 4х-х.9х –х.1 +9х2=4х  -2 –х +9х2=3х

б)  -5х5 (2 – х5 ) - 2 .( 7.5х5+х – 2)

= -5.3х52 +5х55 + 2.7,5х25 -2х2 .х + 2х2.2

=-15х7 +5х10+ 15х7 -2х3 +4х2

= 5х10-2х3 +4х2


 

3. задача Приведете  в  нормален вид   многочленът   z – 3x - 2x(3x - z) + 4y(3x - z)

Решение Извършваме означените действия  и получаваме :

z – 3х - 2x(3х - z) + 4y(3x - z)

= z– 3x - 2x.3x +2х.z + 4y.3x – 4у.z

= z – 3x - 6x2 +2хz + 12yx – 4уz

 

 

 4.задача Приведете  в  нормален вид   многочленът  4z2 – 3.z x 2 - (-3x + z2 + 4z(3x - z)

Отговор : 3x3 4.z x2+12xz




5.Задача Приведете многочлена  x-y + 4ху  -ху( 9х +1 )+9ух2   в нормален вид  и намерете числената му стойност за х=25 и y =0,4

Отговор: 27,6



 

6.задача   Опростете  изразите :

А)  y.(6y5 +3y4 + 4y+y +1)  - y2.(2y6 +3y3+ y2 +5 ) +5y2

Решение

А) y.(6y5 +3y4 + 4y+y +1)  - y2.(2y6 +3y3+ y2 +5 )+5y2

= 6y6 +3y5 + 4y+y2 +y - 2y8 -3y5 y4 -5y2  +5y2

=6y6  + 4y+y2 +y - 2y8  y4 

=  -2y8  +6y6  + 3y+y2+y  

 

Б)  х7 -  x2(y4 + х +3x)   - x2 ( 2х7 - y4 -3х)

Отговор : -2х9



7.задача Дадени са многочлените 

f=0,5x   , q=2x3-8x2-x   и  g =  4x3 -3,5x2 +1

А) Намерете  нормалният вид  на  многочлена   f . q  +  g

Б) Намерете  нормалният вид  на  многочлена    - f  .q  -  g

Решение

А)   f  . q  +  g  = 0,5x (2x3-8x2-x) +4x3 -3,5x2 +1

=1.х4 -4х3 -0,5х2 + 4x3 -3,5x2 +1

4 -4х2 +1

Б)  Многочленът  - f  .q  -  g = - ( f  .q  +  g)

Тогава  изразът   - f  .q  -  g = - (х4 -4х2 +1)= - х4 +4х2 - 1




8.Задача   Даден е трапец  за който : а= 2х+5 , b=2х +1  и h=х .Съставете израз за лицето на трапеца и го приведете в нормален вид .

Отговор :2х2 +3х

 



9.Задача   Права четириъгълна  призма има за основа  правоъгълник ,на който разликата от измеренията му са равни на 4 см .Ако височината на призмата е  8 см ,то съставете израз за обема на призмата  и го приведете в нормален вид .

Отговор : 8х2 +32х

 



10.Задача   Права четириъгълна  пирамида  има  за основа  ромб  с основен ръб равен на а см и височина  hа см . Ако  а : hа=  2:6  и   височината на пирамидата  h е  5 см  по-голяма от основният ръб  а , то  съставете израз с променлива  а  за обема на пирамидата  и го приведете в нормален вид .

Решение  :

За да намерим израз за обемът на пирамидата ,изразяваме всички елементи чрез променливата а

  • От отношението  а : h =  2:6   и основното свойство на пропорцията  получаваме равенството  6а =2h  ,от което намираме ,че  h =3а .Тогава В=а.3а=3а2
  • От условието ,че височината  е с 5 см по-голяма от основният ръб а ,получаваме,че h=а+5


Тогава обемът на пирамидата е равен на 

  • V =3а2(а+5):3=а3 +5а2



Често в задачи се налага да представим многочлен ,като произведение на едночлен с многочлен


11.задача Представете многочлена  ,като  произведение на  едночлен с многочлен

а) z2 - z

б)  х3 - х2

в)  y2х3 +yх

Решение
а)
  В  многочленът  z2-z , z  е  общ множител  за двата едночлена .След като го изнесем пред скоби  получаваме : z2- z=z(z-1)
б) х3 - х2= х2.(x-1)

в)
y2х3 +yх =yх(2+1)



12.задача Приведете многочлена  х(х5 +4y2 ) – х6 – 4y2 .( – 2ху +х – 2y)   в нормален вид и намерете числената  му  стойност за  x= -1 , y = 1000

Решение

х(х5 +4y2 ) – х6 – 4y2 .( – 2ху +х – 2y)

= х.х5   + х.4y2 - х6 + 4y2 . 2ху -4y2 х +4y2 .2y

= х6  + 4х.y2 - х6 + 8y3х -4y2 х +8y3

=     8y3х +8y3

Числената стойност на този израз ще намерим по –бързо ,като изнесем общият множител 8y3

Тогава  за  х=-1   и    y=1000  ,получаваме,че    8y3х +8y3= 8y3 +1)  = 8.10003 (1-1)=0



13. задача .Катетите на правоъгълен триъгълник  са две последователни  естествени  четни числа .

а) Съставете израз  за лицето на правоъгълния триъгълник 

б)  Ако лицето на правоъгълния триъгълник е 112 см 2 , то намерете   катетите  на правоъгълният  триъгълник

Решение

А) Нека единият от катетите е 2х см , тогава другият е 2х+2 см .

Тогава  S = 2х.(2х+2) :2 =х.(2х+2) =2х(х+1)

Б) От S=112 см 2 ,получаваме равенството   2х(х+1)=112 , от което  намираме,че  е 

х(х+1)=56

Понеже  х и х+1 са  две последователни естествени числа  и  56=7.8 , то х=7 см

Тогава  катетите са 2.7=14 см и  16 см



2.Умножение на многочлен с многочлен

2.1 Правило за умножение на двучлен с двучлен

"/>

Отново  ще открием правило за умножение на двучлен  с  двучлен   с  геометрична задача 

На чертежа   от   правоъгълник   със страна (х + 2)  см  и  х см  и    правоъгълник със страна 1 см и  (х+2)  см  е получен  нов  правоъгълник   със  страни   (х+2 )  см   и  ( х+1)  см .Съставете  израз , с който  да намирате лицето на получения правоъгълник  .

 Решение

Израз  за лицето  на полученият  правоъгълник  можем да  намерим ,  като умножим   ширината (х+2 ) см с  дължината   на правоъгълника  (х +1)   см .                       

 S = (x+2).(x+1)

Израз  за  лицето на  същият  правоъгълник , можем да получим   и  като съберем  лицата  на двата   правоъгълника .

S=(x+2).x +(x+2).1 =х.х +2.х+х.1+2.1

 

Тогава двата израза за лицето на правоъгълника са равни ,така е :

(x+2).(x+1)= х.х +2.х+х.1+2.1

Това равенство ни показва,че :

- имаме действие умножение на двучлена  х +2  с  двучлена  х +1

- получаваме многочлена х.х +2.х+х.1+2.1


Мнгочленът х.х +2.х+х.1+2.1 е получен,като :

-всеки член на единия двучлен е умножен с всеки член на другия двучлен

-получените едночлени са събрани

ЗАПОМНЕТЕ това правило за умножение на двучлен с двучлен


След привеждане на едночлените в нормален вид и привидение на подобните едночлени , получаваме,че :

S=(x+2).(x+1) =хх +2х+х.1+2.1= х2 +3х+2


1
1

Пример:(х+3) (с+1)=х.с+3.с+x.1 +3.1=сх+х+3с+3

`1
1

Пример: (х-1).(3х+ 4)= х.3х+х.4 -1.3х-1.4


След привеждане на едночлените в нормален вид и привидение на подобните едночлени , получаваме,че :

(х-1).(3х+ 4)= 3х2 +х-4


Пример: (2-z).(2z-3)= 2.2z-2.3 -z.2z-z.(-3)

След привеждане на едночлените в нормален вид и привидение на подобните едночлени , получаваме,че :

(2-z).(2z-3)= 4z-6 -2z2+3z = -2z2+7z - 6


Пример:

"/>

След  опростяване,нормалният вид на полученият многочлен  е: 2 +10х-28



2.2 Задачи от умножение на многочлен с многочлен .


1. задача
Умножете  двучлените
А) (х+3 )(2 + x)
Б) (1-х2)(1-х )
В) (4х -1) .( 4х +1 )
Г)(–a -3).(а-3b)
Д)(z-0,2)(0,5z-20)  
Е) (3х2- 0,45х)(2х+8)



2.задача :Попълнете таблицата

 

Многочлени  - U   и   V

 U  + V

    U - V

 U.V

U = х2- 2x   и   V  =  2x-1

 

 

 

U =1+аb2  и  V=1- аb2

 

 

 

U = 1 - 4y6 и  V= 1- (-2y2)3

 

 

 

 



Многочлен с многочлен умножаваме със същото правило :

Всеки член на единия многочлен умножаваме с всеки член на другия многочлен и съберем получените едночлени .

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg