В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Упражнения за входно ниво за 6 и 7 клас .Тема: Делимост на числата

 

П

О

Д

О

Б

Н

И

 

 

Т

Е

М

И

 

 

 

ПРЕПОРЪЧИТЕЛНО

 

                 УПРАЖНЕНИЯ  ЗА  ВХОДНО  НИВО            

               ПЪРВИ МОДУЛ       

 

1

Задача 1.Напишете последните три цифри на числото  462***,така че полученото шестцифрено да се дели на  9 ,4 и 5                                                                                                                    Решение

-За да се дели на 5 ,трябва да завършва на 0 или 5 ,но числото се дели и на 4 ,тогава последната цифра е 0

-Само ,ако цифрата на десетиците е  0, 2,4,6 или 8 ,даденото число се дели на 4 .

-Тогава ,за да се дели на 9 ,съответната цифра на стотиците  е                           

                                                   6,4,2,0 и 7

 

2

Задача 2.Колко са двуцифрените естествени числа, сумата  от  цифрите  на които,     е   число ,което е  точен  квадрат ? (например 18 е такова число, защото 1+8=9 =3.3 )

                     (Математически турнир“Иван Салабашев“)                            

                                                        Решение                                                                     Следователно сбора от цифрите е : 1,4,9 и 16
Ако е 1 ,числото е 10

Ако  е 4 ,числата са:  40,31,13, и 22

Ако е 9,числата са: 90,18,81,27,72,36,63,45 и 54

Ако е  16 ,числата са: 79,97 и 88

                                              Отговор 17)

 

3

Задача 3.  На няколко  деца  разпределили по-равно  24  тетрадки  и  60  химикала  от всеки вид ,така че ,възможно най-много деца да получат подаръци .При това условие по колко подаръка   ще получи всяко от  децата ?

                                                       Решение

 Най-много деца ще получат подаръци ,ако те са  най-големият общ   делител  на 24 и 60

                                   24=1.2.2.2.3 ,   а   60  =2.2.3.5

                                                НОД(24,60)=12

Тогава 12 деца получават по 2 тетрадки  и  по  5 химикалки  -общо по 7   подаръка .

 

4

Задача 4. Най-малкото общо кратно на две числа , е 80 ,а най-големият им общ делител е 10 .Намерете тези числа ?

                                          Решение

От това,че НОД на числата е 10 ,то търсените числа са  10 x ,10y, където x и yса взаимно  прости числа.

От това,че НОД( 10 x ,10y)=80  и  (x ,y)=1   то,   x .y=8

          Тогава x =8 , y=1  или  x =2 ,y=4   но, 2 и 4 ,не са взаимно прости .                

               От това,че   числото 1 е взаимно просто  с всяко цяло число,

                                   търсените числа  са   80  и  10

 

5

Задача 5. Ако разделим  663    на   естественото число  А, се получава остатък 3, а ако   разделим  2314    на  А,  се получава остатък  4. Най-голямото число  А е:                  

Решение

От условието следва,че   A/663-3=660    и   A/2314-4=2310

Тогава A е делител на 660 и 2310 и A е  най-голямо ,когато е    НОД (660,2310)

Тогава  A =330

 

6

Задача 6. Ако от дадено трицифрено число извадим  5 ,получената разлика  се дели на 5,ако към числото прибавим 4 ,полученият сбор се дели на 4.Кое е най-голямото трицифрено  число кратно на  3  с  това свойство ?

                                            Решение

Нека търсеното число означим с  x

(1)Тогава  5/ x -5 ,но  5/5 ,тогава 5/ x

(2)Тогава  4/ x +4 ,но  4/4 ,тогава 4/ x

(3) 3/ x                                                                                                                                          От  (1),(2)и(3) правим извода,че НОК(5,4,3) дели  числото  x, така е                                                             60/x ,тогава  60 е делител на x

Числото x е от вида  60.y .Най-голямото трицифрено число  е 960

 

7

Задача 7. Намерете най-голямото естествено число  a, което при деление  с 15 дава частно 17

            Решение

Числото a=15.17 +r ,   0 < r <14

Тогава a  е най-голямо, когато остатъкът е най-голям .                                                              При r =14 ,a=15.17 +14=269

 

8

Задача 8.Разделили 155 на някакво число  и  получили остатък  12. Намерете   неизвестният делител

         Решение

 a = b.q +  r     ,0 ≤ r < b.

155 = b.q +  12    ,0 ≤ 12 < b.    

b.q /143  и 12 < b.                                                                                                                                 От това,че 143=13.11 и 12 < b , то b  е  13 или 143

 

9

Задача 9.Намерете  всички стойности   на естественото число  n  така, че дробите n/18  и n/30  да бъдат   правилни и  съкратими

                          Решение

Търсим  n, така че всяка една от дробите да  е  правилна  и  съкратима

18 =2.3.3 ,   а   30  = 2.3.5

-Ако  n е общ делител -  2, 3 или 6 то, дробите са правилни и съкратими

-Ако   е  4, 8, 9  ,10  ,12 , 14, 15 и 16, то, дробите са правилни и съкратими 

 

10

Задача 10.Какъв остатък дава естествено  число при деление на 60,ако при делението на това число с 6 се получава  остатък 4, при деление с 10 - остатък 8 и при  деление с 12 - остатък 10?

                                      А) 4; B) 8; C) 12; D) 20; E) 58.

                              (Математически турнир“Иван Салабашев“)

                                                Решение

Нека търсеното число е A .Тогава ако a,b и c са съответните частни от делението  с 6 ,10 и 12 е изпълнено:

A =6a+4  ,тогава   A+2 =6a+4+2 ,тогава     6/ A+2

A =10b+8,тогава   A+2 =10b+8+2 ,тогава  10/ A+2

A =12c+10,тогава  A+2 =12b+10+2 ,тогава 12/A+2

    Следователно числото A+2  се дели на НОК(6; 10; 12) = 60

60/A+2 и A>60,тогава остатъкът от деление с 60  е  58 ,защото  58-(-2)=60 

                                                         Отговор: E)

 

 

 

11

Задача

11.1 Запишете две числа от вида 5k+1,които  са кратни  на 3

                           Отговор

           за  k=1 ,5k+1=6   и  3/6

           за  k=4 ,5k+1=21  и  3/21

 

 11.2 Намерете  всички числа от вида 4k+7 ,които се делят на 7 .

                           Отговор

От това,че 7 /4k+7 и  7 /7  то 7/ 4k ,но (4,7)=1 ,тогава  7/ k .                                                 откъдето следва,че  k е  от вида  k=7s, и  търсените числа   са от вида  28s+7

 

12

Задача 12.Запишете със число  всички числа по-големи от 6 и взаимно прости с 6

                             Отговор 

Всички числа ,които не се делят на 6 са :

                    6k+1 ,6k+2 ,6k+3 ,6k+4 ,6k+5

    От тях   6k+2 ,6k+3 ,6k+4  имат общ делител – 2 или 3 с 6 

Разглеждаме числата   6k+1 и 6k+5.                                                                                                    Ще покажем,че всяко от тях е взаимно просто с 6

 Естествените делители на 6 са 2,3 и 6 .Числото 6k+5 е нечетно и не се дели на 2.Ако допуснем,че 3/ 6k+5,то следва,че 5 се дели на 3 .Следователно  6   и   6k+5 са взаимно прости .

     Често в задачи използваме   Теоремата  на Безу    : Две естествени числа   a и b  са взаимно прости ,ако  съществуват цели числа x  и y, такива, че   ax + by = 1 

                             Ще покажем,че  6k+1 е взаимно просто  с   6

           Да потърсим цели числа  x и y, такива, че 6x + y(6k+1)  = 1

                              Ако  x =-k  ,y=1 , то  -6k + (6k+1)  = 1

                      Показахме,че  6 и  6k+1 са взаимно прости    

 

13

Задача 13. За кои  естествени  числа  n  числото   =  (n-2). (2n-1)  е  просто число ?

                                    Решение

Ако   n-2 =1 , n =3 ,тогава  2n-1=7  и произведението  1.7 = 7 е просто число

Ако   2n-1 =1 , n =1,тогава n-2=-1  и произведението  -1.1 = -1,но числото                                       -1 не е просто число

                                           Отговор: n =3

 

14

Задача 14.Докажете че :Ако 17/a +5b ,  то  17 /12a +9b

                 Доказателство

От това,че 17/a +5b  ,то   17/12(a +5b) ,то                               

17 /12a+60b,то 17 /12a+9b+51b,

но 17 /51b,тогава дели и другото събираемо ,така е 17 /12a +9b

 

15

Задача 15. Намерете  всички естествени    и y ,за  които  е вярно 11x +2y =176

                                           Решение

                                   11x +2y =11.16

От това,че  11/11x   и  11/ 11.16  , то  11/2y   и  (11,2)=1 ,тогава 11/y

                        Тогава  е  11,22,33,44,55,66,77

Ако    = 11 от уравнението  x + = 16 ,     x=14

Ако    = 22 от уравнението  x +4  = 16 ,     x=12

Ако    = 33 от уравнението  x +6  = 16 ,     x=10

Ако    = 44 от уравнението  x +8  = 16 ,     x=8

Ако    = 55  от уравнението  x +10  = 16  , x=6

Ако    = 66  от уравнението  x +12  = 16 ,  x=4

Ако    = 77  от уравнението  x +14  = 16 ,  x=2

   

16

Задача 16. Да се докаже,че произведението на  4  последователни  цели  числа се            дели  на 24  

                                   Доказателство

                      Нека числата са   x  ,  x +1 , x +2 ,  x +3

                    Ще докажем,че 8/x .( x +1).(x +2).(x +3)

         Спрямо  деление  с  четири , естествените  числа  са  от  вида :                           

                                    4k,4k+1, 4k+2  и  4k+3

    Ако  x =4k, тогава  множителят x =4k, се дели на 4 ,а множитeлят                                              x +2=4k+2  на 2 , тогава  8/   ( x +1).(x +2 ).(  x +3) 

    Ако  x =4k+1,тогава    множителят    x +3= 4k+1+3= 4k+4 се дели на 4 и                   множителят x +1 = 4k+1+1 се дели на 2 , тогава                                                     

                 8/ ( x +1).(x +2 ).(  x +3)   се дели на 4                     

     Аналогично  за  x =4k+2 и x =4k+3 се доказва,че                                                       

                                8/ ( x +1).(x +2 ).(  x +3)  

Знаем,че 3/x .( x +1).(x +2).(x +3) защото от всеки три последователни 

                         числа , точно едно се дели на 3.                                                                                     От това ,че  (3,8)=1   следва  че  24/ ( x +1).(x +2 ).(  x +3) 

 

17

Задача

17.1 Да се намери  остатъкът от  деление на числото  4444 -77    с   10

                                  Решение

За да определим остатъка от деление с 10 е достатъчно да намерим последната  цифра на тази разлика  . 

   -   От това,че 4.4,4.4.4.4, ......42k   завършва на 6 ,правим извода,че 4444   завършва на  6 .

                                 - Числото  77     завършва  на 3

                          Тогава  числото  4444 -77     завършва  на 3

 

 17.2.   Докажете  ,че числото   722 +3400  сe дели на 10:

                                    Решение 

От това,че  7.7.7.7 завършва на 1 ,произведението от  20 седмици също ще завършва на 1. Тогава числото    722 ще завършва на 9.

Числото  3400   завършва на  1 ,защото произведението  3.3.3.3 завършва на  1 ,тогава и произведението на  4.25=100  тройки   отново завършва на 1                                                            Следователно  числото     722 +3400  завършва на нула и се дели на 10                        

 

                    

18

Задача 18. . Колко шестцифрени числа със запис ababab (aи b са цифри) се делят на 57?

А) 1 B) 2 C) 5 D) 4 E) друг отговор

(математически турнир „Стоян Заимов)

Решение

Числото ababab = ab .10101 ,където ab е двуцифрено число

От признака за делимост на 3 , следва ,че 3/10101

От това,че 3.19=57 и (19, 10101) =1 ,правим извода,че 19 е делител на двуцифреното число ab

Тогава числото  ab е 1.19,2.19,3.19,4.19 и 5.19 и броят на числата е 5

Отговор: C)

     

 

19

Задача 19.Намерете  всички   цели   числа  n,за   които числото   

                          A= n +5/n+2  е цяло

                                                  Решение

Представяме числото A= n +5/n+2 = (n +2+3)/n+2 =(n +2)/n+2 +3/n+2=

1+ 3/n+2                                                                                                                                               Числото A е цяло ,когато   3/n+2 е цяло ,така е  n+2  е ±1 и ±3  и    е равно на  -1,-3,1,-5

 

20

Задача 20.Числото A e 1988 -цифрено и се дели на 9 .Нека а е равно на сбора от цифрите на  A ,b е  равно на сбора от цифрите на а,c е равно на сбора от цифрите на b.Да се намери   c .

                                             Решение

                      От това,че  9/A  ,то   9/а ,то 9/b то,9/c

               Щом A е 1988 -цифрено число , и всяка цифра е  не     

                          по-голяма  от  9  ,то   за   е  изпълнено

                                             < 1988.9 <18000

                        Тогава  числото  a ,има  най-много 5 цифри  .

          Тогава b ,като сбор от цифрите на  a ,е  по-малко   от 5.9=45,

Следователно b е  9,18 , 27  и  36,

 Тогава c= 9 (c=3+6=2+7=1+8)

 

21

Задача 21.Дадено е  шест цифреното число   със запис  aabbcc .Колко са числата  със запис aabbcc   , ако  сбора от цифрите им  се дели на  5   и  при  деление   с  9  даденото число    дава остатък  5                                         

                                                                   Решение 

                   По условие  четното число    2a +2b+ 2 се дели на 5 .                                                                         Тогава ,то  е  10 ,20,30,40,50  от    2 <2a+2b+2c   <  54          

                               От условието    9/11000a + 1100b+ 11c -5                                             

                               то 9/10998a+1098b +  9 c + 2a+2b+2c-5                                                                                 Тогава 9/2a+2b+2c - 5,следователно и  остатъкът при                                                                                  деление на сбора  от цифрите на 9 е  също  5

Само при  2a+2b+2c =50 ,остатъкът  от  деление  с  9   е   5

Тогава  a+b+c =25  .Тогава цифрите  са не-по малки от 8 .

                           Това е възможно,ако цифрите са  9 ,  9 и 7  или  9 , 8  и  8  .                                      Тогава всички числа с това свойство са 6 .

 

 

 

    САМОСТОЯТЕЛНИ УПРАЖНЕНИЯ  ЗА ВХОДНО НИВО

                                                   ВТОРИ   МОДУЛ

 

1

Задача 1. Намерете най-малкото естествено число, което се записва с еднакви цифри и се дели на 18.

                            А) 999; B) 666; C) 688; D) друг отговор

 

2

Задача 2 .Да се намери най-голямото четно трицифрено число, което дава остатък 22 при деление на 23.

                            А) 988; B) 990; C) 968; D) 970

                          (Математически турнир“Иван Салабашев)

 

3

Задача 3. При посещение на учебен драматичен театър   няколко ученици  седнали в редици  по  24 .На следващото посещение, същият брой ученици  седнали  в редици по 60.Най-малкият брой  ученици  посетили  учебния драматичен театър е :

А)60                В) 120                  С) 360                  D)  300

 

4

Задача 4.Най-малкото общо кратно на две числа ,които не се делят едно на друго е 90 ,а най-големият им общ делител е 6 .Намерете тези числа ?

А)60 и 30           В)18 и 30        С) 6 и90       D)  друг отговор

 

5

Задача 5. В работилницата на  Дядо Коледа  две от джуджета   подготвили два  вида  подаръци  . Подаръците от първият вид  са  62 ,а  от  вторият са    143 .След като  джуджета  оставили  за  Снежанка   2   подаръка  от  първият вид   и  3   подаръка  от втория вид ,останалите  подаръци   разпределили    в   коледни пакети  ,като във всеки  пакет  имало по равен брой подаръци .Определете  по колко подаръка  от всеки вид трябва да има във всеки пакет ,ако броят  на  пакетите  е    възможно най-голям   ?                               

А)4 и 6           В)7 и 3        С) 6 и 7        D)  друг отговор

 

6

Задача 6.При деление  на числото 138  с  някакво естествено число  b  се  получава     остатък 28.  Кои са числата  b ?

           А)22 и 55           В)10 и 11        С) 55 или 110      D)  друг отговор

 

7

Задача 7.Няколко ученика   от 6 а клас  участват   в  състезание  по   народна топка.Известно,е че  18  ученика  от 6 а клас не участват   в   това   състезание, а  броят на децата в класа е кратен на 6.  Ако учениците от  6 а  клас  са  по-  малко от  30 ,  те  са :

                              а) 24   b) 30    c) 28     d) друг отговор

 

8

Задача  8. Трицифреното число  със запис  a7a  ,разделили с едноцифреното  c   и  получили  остатък 7 .Намерете делимото,делителя и частното

 

9

Задача 9.Какъв остатък дава число при деление на 90 ,ако при делението на това число с 9 се получава  остатък 6, при деление с 15 - остатък 12 и при  деление с 6- остатък 3?

                                      А) -3; B) 3; C) 87; D) 20; E)65

                        (Математически турнир „Иван Салабашев“)

 

10

Задача 10.Намерете  всички стойности   на естественото число  n  така, че дробите n/12  и n/30  да бъдат      правилни и  съкратими

 

11

Задача 11. Най- малкият прост делител на  7802 +3301

                          А) 3; B) 2; C) 5; D) друг отговор;

 

12

Задача

12.1  Да се намерят всички  естествени числа n,за които числото   A= (8-n) .(n -2)  е просто число ?

12.2    Да се намерят всички естествени числа n ,за които числото  A= (  n2  -  1 )(n2     +1) е  просто число 

 

13

Задача 13.  Да се докаже,че числото A= (n -2).n(n +5) се дели на 3 за всяко цяло число n.     

 

14

Задача 14.   Докажете че :

     a).Ако 7/2a +b ,  то         7 / 11a +100b

     b) Ако 19/3a +7b , то     19/43a +94b

 

15

Задача 15. Намерете всички    естествени  числа n и m  за които,    13  +9m=143 

 

16

Задача 16. Последната цифра на числото 32003    е:

                                      А) 2; B) 9; C) 7; D) 3; E) 1.

                           (Математически турнир“Иван Салабашев“)

 

17

Задача 17. Ако числото bc1 се дели на 3, числото 1bc се дели на 4, а числото c1bсе дели на 5, то c е равно на:

                                                  А) 2; B) 3; C) 5; D) 9; E) 6.

                                      (Математически турнир“Иван Салабашев“)

 

18

Задача 18. Числата a, b, c, d и е са 5 различни цели числа, за  които е изпълнено равенството  (2-a) (2-b) (2-c)  (2-d) (2-e)=18 .  Сборът  a+b+c+d+e   е равен на:

                                 а) 24   b) 30    c) 28     d) друг отговор

 

19

 Задача

19.1 Докажете,че не съществува число k ,такова че     числото    6k+5 да се дели  на 4

19.2  Намерете   всички  естествени    числа  a  и  b  , за които да са верни  твърденията          a + 1  се дели на   b  и  a = 8b + 5  е  просто ?

 

20

Задача 

20.1 За колко стойности на   изразът  240 / 2n     е цяло число? 

            А)6                В) 2                  С) 4                  D)друг отговор

20.2  Намерете  всички   цели   числа  n,за   които  числото   

                                 A= n +4 / n-3   е цяло

 

21

Задача 21 .За домашно учителката даде следната задача: „Да се намери произведението от числата със запис  a,ab, bb , ако то  е  четирицифрено число  и  точно два от трите множителя са прости.“ Няколко деца намериха по една стойност на произведението и се оказа, че всяко от получените числа е различно. Колко най-много са децата?

                      (Математически турнир“Кирил Попов“)

 

 


В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg