В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Прав кръгов цилиндър .Задачи от лице на повърхнина и обем на прав кръгов цилиндър за 6 клас .


Всеки от Вас знае ,че  много предмети  имат  цилиндрична форма  -чашите за безалкохолно  , декоративни свещи ,  тръби  и  кабели ,  епруветки , консерви, теглилки ,барабани и  много други .

"/>

Всяко  геометрично  тяло,което има  формата на предметите от картинката   се нарича   прав  кръгов цилиндър .


За да  познавате свойствата   на  това  тяло ,Вие  трябва да знаете  отговорите на следните въпроси :


1. Как се получава това тяло и кои са елементите му ?


2.Как се чертае   развивка на прав кръгов  цилиндър ?   

                                                   

3. Какво  количество  материал  ще ми трябва за  облепване или оцветяване  на  прав кръгов цилиндър? 

                  

4. Колко литра  течност  събира  или  колко е теглото  на  тяло с форма на  прав кръгов  цилиндър  ?


С примери и задачи  ще си отговорим на тези основни  въпроси,свързани с валчестото тяло -  прав кръгов цилиндър .


Бележка : Нарича се валчесто,защото стените му не са многоъгълници ,както ръбестите тела .


Ще разгледаме  и много задачи  от  лице на повърхнина и обем на цилиндър , подредени по сложност за ученици от 6 клас


1.Как се получава прав кръгов цилиндър и кои са елементите му ?

    Чертеж 1             Чертеж 2

На  чертеж 1   е даден   правоъгълник AOO1A1  .

Около   правата   ОО1  ,  правим пълно завъртане   на  този правоъгълник  - започваме от точка А  и завършваме в точка А , като  въртим в една посока  .

С пунктирана линия е отбелязано  движението на върховете А и А1 .

Те описват две окръжности с равни радиуси ,защото :

  • АО =  ОВ = ..........=    r  (ширина на правоъгълника )  и  
  •  О1А = О1В1= ...........=   r  (ширина на правоъгълника )


На  чертеж 2   е  дадено тялото получено в резултат на пълното завъртане на даденият правоъгълник .

Това тяло има  цилиндрична повърхнина  и  се  нарича  прав кръгов цилиндър .




На чертежа е даден прав кръгов цилиндър и неговите елементи.

       Основа

 

  A1А2 l   -  ОБРАЗУВАЩА

 

O1О2= h    -  ВИСОЧИНА (ос на цилиндъра )

 

O1A1=O2А2 = r  -  РАДИУС НА ЦИЛИНДЪРА      

           

     основа              

-Двата кръга получени от завъртането на правоъгълника , наричаме основи на цилиндъра ,а радиусът им r ,наричаме радиус на цилиндъра

-Дължината на правоъгълника ,който завъртаме се нарича образуваща на цилиндъра и  се бележи  l . 

-Цилиндричната повърхнина ,която описва една образуваща се нарича околна повърхнина на цилиндъра

-Отсечката О1О2,която лежи на правата около,която въртим правоъгълника се нарича височина на цилиндъра и се бележи с h


Бележка :  h=l за всеки прав кръгов цилиндър




1.задача  Даден е правоъгълник с  дължина а=  10 см . и   ширина b= 3 см .

А) Ако го завъртите , около дължината  а=10 см  ,то намерете дължините на неговите елементи- r  ,  l   и   h  

Б) Ако го завъртите , около  ширината b= 3 см , начертайте  в квадратна мрежа полученият прав кръгов цилиндър


Поставяме си задачата всеки от Вас да може да си начертае развивка на цилиндър с размери r = 3 см и l = 10 см, от нея да си сглоби цилиндър ,да го боядиса и намери вместимостта му .

1
1

2..Как се чертае развивка на прав кръгов цилиндър?

       Чертеж 1              Чертеж 2 


На чертеж 1 е  показано как  да разрежем картонен цилиндър ,така,че да получим неговата  развивка

  • Първо разрязваме по произволна образуваща  l
  • После последователно  изрязваме двата кръга


На  чертеж 2  е дадена получената развивка ,която е образувана от :

  • Околна  повърхнина ,която е  правоъгълник с   размери :   дължина  равна на  2пr (обиколката на окръжност  с радиус r   и  ширина  равна на образуващата 
  • ·  Две основи   са два кръга с радиус  r

 

Сега вече всеки от Вас  може да си  направи цилиндър  с елементи  r = 3 см  и  l = 10 см със следните стъпки :

  • Начертайте  върху  квадратна мрежа    развивката  на цилиндъра   по  начина показан по-горе 
  • Изрежете и залепете околната му  повърхнина  с  двата  кръга кръга.                                                                                                   

Бележка : Не забравяйте да си оставите резерви за  залепване .



3. Какво количество материал ще ми трябва за облепване или оцветяване на прав кръгов цилиндър?


Вече всеки от Вас  има макет на   прав кръгов цилиндър .

За да прецените ,колко  цветна хартия ще Ви трябва ,за да го  облепите (или оцветите ) Вие трябва да  намерите   лицето на повърхнината му

Изводи ,които правим от развивката на прав кръгов цилиндър :

Лицето S на околната повърхнина на всеки прав кръгов цилиндър е равно на лицето на правоъгълник с размери 2пr и l и е равно на :

S=2пrl 

  Това е така ,защото цилиндричната повърхнина описва обиколката на окръжност с радиус r равна на 2пr


-Лицето B на всяка от  основите на цилиндъра е равно на лицето на кръг с радиус r

    B =  π . r 2


-Лицето    S1  на цялата повърхнина на цилиндъра е сбор от лицата на околната повърхнина  S  и лицето на двете основи B и е равно на :

 

S1 =  S + 2B ,където  B =π . r 2

 

-След  заместване  с намерените  формули за  лицето   S1  ,получаваме  кратката формула :

 

 S1=2пrl +2πr2=2пr.(l + r)

 

 

 

Нека сега намерим лицето на околната повърхнина на направения от нас цилиндър


2.задача Намерете  околната повърхнина на цилиндър  с радиус r = 3 см ,  и  образуваща l= 10 см

Решение

S =2пrl =2.3,14 .10=31,4.2=62,8 см2


Да намерим и лицето на повърхнината му


3.задача Намерете  пълната   повърхнина на цилиндър  с радиус r = 3 см ,  и  образуваща l= 10 см

Решение

За по - бързи изчисления ,заместваме дадените елементи в кратката формула за лице на повърхнина на цилиндър и намираме,че :



                                                       S1=2пr.(l + r) =2.3,14.(10+3)=81,64 см 2



Да намерим сега ,колко тубички боя ще трябва да купим за да оцветим направения от нас цилиндър,ако е известно ,че с една тубичка боя се боядисват 20 кв . см

Решение

От   това,че  S1=81,64 см2    и   81,64 :20 =4,082   правим извода,че ще ни трябват най-малко  5 тубички .



Продължаваме със задачи от лице на повърхнина на цилиндър за 6 клас


4.задача .Диаметърът на основата на цилиндър е 6 cm, а образуващата му е 80 mm. Намерете  лицето на околната повърхнина и  лицето  на  повърхнината на цилиндъра

Отговори   :  а) 48п   б)S1= 66п см2



5.задача Лицето на околната повърхнина на цилиндър е 356.п см2  ,а радиусът му е 8 см .Намерете  образуващата на цилиндъра .

Решение

S=2пrl 

Тогава

    356 π =  2π . 8. l 

Тогава  

  356 =  16. l  ,откъдето   =356 : 16=22,25 см

 




6.задача Лицето на  повърхнината на цилиндър е  468п см2  ,а радиусът му  е 12 см .Намерете  образуващата на    цилиндъра

Решение

S1=2пr.(l + r)

Тогава

   468п=2п12.(l + 12) 

Тогава  

468 = 2.12.(l + 12 )

Тогава  

l + 12= 468 :24 =19,5 см

Тогава  

l  =19,5 -12= 7,5 см



7.задача  С колко процента ще се увеличи  лицето  на околната повърхнина на цилиндър , ако радиусът му се увеличи 4 пъти

Решение

Прав кръгъв цилиндър  с радиус r и  образуваща  I  има околна повърхнина   S=2пrl 

 Прав кръгъв цилиндър  с радиус 4r и  образуваща  I  има околна повърхнина   S=2п4rl =8пrl

 Увеличението  на  околната повърхнина  в проценти е :

(2пrl  : 8пrl).100% = 25%  




8.задача  С колко процента ще се увеличи  лицето на околната повърхнина на цилиндър,ако   височината му се увеличи от 9 см на 12 см;

Отговор : 75 %




9.задача Даден  е правоъгълник  със страни 8 и 12 см . Правоъгълникът е завъртян около по-голямата от двете страни .

а) Намерете лицето на околната повърхнина на полученото тяло

б) Намерете  лицето  на  повърхнина на  полученият цилиндър 

Отговори   :  а) 192п   б)S1=320псм2

 



10.задача.Намерете  лицето  на  повърхнината на цилиндър, ако околната му повърхнина е 168.п см2, а височината му е 12 см.

Отговори  728 п см2



11.задача  Прав  кръгов цилиндър   има  височина (образуваща)  h см , радиус  r см ,дължина  на  окръжността  на основата C см  , лице на  околна повърхнина  S см 2 и лице на  повърхнината си   S1 см2

Попълнете   таблицата 

 

r

C

h=l

  S

S1

Първи случай  

3

 

 

 66п

 

Втори случай

 

12п

 

 84п

 

Трети случай

 

 6п

 

 

 126п

 

 

 

 


12.задача  Варел  има форма на прав кръгов цилиндър  с диаметър  d =160  см  и височина h = 1 ,2 м .Ще стигнат  ли  2 килограма боя ,ако за боядисването  на 1 кв.метър са необходими  200 грама боя .Обосновете отговорът си .

Отговор : Да

Решение

От това,че боядисваме цялото тяло ,то търсим лицето на повърхнината на цилиндъра ,което е  S1=2пr.(l + r) =2.3,14.0,8.(1,2+0,8)=10,048 м 2                                          

Тогава за боядисването  му ще са необходими 10,048 м2. 200=2009,6 грама =2,0096 кг

 




13. задача  Два цилиндъра имат еднакви основи. Лицето на околната повърхнина на единия е 600π см2, а височината му 30 см. Височината на втория цилиндър е 40 см. Намерете   лицето на околната  повърхнина на втория цилиндър .

Отговор 800 п см2

 

 



14 задача  Фирма  производител на бонбони  опаковани в картонени кутии с форма на прав  кръгов цилиндър  прави изчисления  за цената на 100 000  броя кутии .Тя е  заложила  20 %  резерви  за  капака на кутията и 10%  резерви  за дъното и околната  повърхнина на  цилиндъра .Ако  радиусът на  кутията  за  бонбони е 5 см , а  височината и е 10 см ,то  :

А) Намерете ,колко  квадратни сантиметра  картон е необходим  за една кутия.

Б)  Ако цената на  материала ,  от който е направен  картонения цилиндър струва  0,1 стотинка  за    1 кв.св   и за   проектиране  и  дизайн  на  този  картон  са платени 10 000  лева ,то  намерете цената на една кутия.

В) Колко кутии трябва да се  изработят за да се намали цената  на една кутия  с 10 %

Г) Покажете,че не е възможно  цената на една кутия да се намали с 20 % ,независимо от броя на произведените кутии .

Решение

А) Лицето на  повърхнината на една  кутия  с  предвидените  резерви е :

2п5.10 +10% . 2п5.10  + п.25 + п.25 + (10+20) %  . п.25

= 100п+10л+50п+7,5п =167,5п =525,95 см2

Б)  За 100 000 кутии  са необходими  100 000 . 525,95 =52595000  см2

За тях ще бъде платено 52595000  . 0,1 = 5259500 стотинки = 52595  лева

За да получим  цената на една кутия прибавяме разходите за дизайн и проектиране  на картона   и   получаваме,че  100000  кутии струват  62595  лева

Тогава една кутия струва 0,63  лева (закръглено с точност до хилядните)

В)  нека са необходими  х кутии  ,за да се получи цена равна на  0,63  .90% о= 0,57 лева (закръглено с точност до хилядните)

От   Б) следва ,  че всяка  кутия  без разходите за дизайн струва  0,53 стотинки 

Тогава е вярно  равенството    0,53 .х    +10 000  = 0,57.х ,от  което  намираме,че х= 250 000 кутии


4.Колко литра течност събира или колко е теглото на тяло с форма на прав кръгов цилиндър ?

За да отговорим на този въпрос ,трябва да намерим обемът  на това тяло .

Ние знаем ,че големината на мястото  ,което заема  едно   тяло   е неговият  обем  .Често вместо  обем ,се използва понятието   вместимост  на тяло

За да получим формула за намиране на обем на  прав кръгов  цилиндър ,ще  използваме знанията си за обем на призма ,чийто  обем  намираме с формулата . 

Vпризма    = B.h  , където  В е основата ,а h  е  неговата височина



Ще покажем опитно,че обемът на всеки   прав  кръгов цилиндър  се намира с формулата :

 

Vцилиндър   = B.h   , където  В е  лицето  на  основата  му  ,а h  е   височината  на цилиндъра 

 

Опитът е следният  :

Пълним   съд с  форма на   цилиндър   с  лице на основата  В  и височина h  с  течност  и  я пресипваме   в  права  призма  , която има лице  на  основата  равна на В    и същата височина   h.

Точно с  eдно  преливане   призмата се напълва догоре с  вода .

Това ни показва,че  обемът на  цилиндъра  и   обема на призмата  са равни.

Получихме,че обемът на всеки прав кръгов цилиндър  е равен на обемът на призма с лице В и височина h 

Тогава   обемът на всеки прав кръгов цилиндър намираме с формулата :

                                                                       

V=В .h=пr2 .h

 

 

Вече можем да намерим обемът на направения от нас цилиндър


15.задача Намерете  обемът  на цилиндър  с радиус r = 3 см ,  и  образуваща l= 10 см

Решение

V =пr2 .h=3,14 .9.10=31,4.9=282,6 см3


Сега ще решим една практическа задача

Най-малко с колко пълни догоре чаши с вода с вместимост 30 милилитра ,може да напълните направеният от Вас цилиндър


Решение

Получихме,че  обемът на направеният от Вас цилиндър е  V =282,6 см3


Да си припомним връзката между милилитър ,литър и обем на тяло



 

ПО ОПРЕДЕЛЕНИЕ  1 литър = 1 куб.дециметър

  

    1литър  =  1000  милилитра  

 

ПО ОПРЕДЕЛЕНИЕ  1 милитър = 1 куб.сантиметър   

 

Тогава 30 милилитра са  30 куб.см


От това,че  V=282,6  см3   и 282,6  :30=9,42 ,  то   ще  ни трябват най-малко 10 такива чаши  за да напълним направеният от Нас цилиндър  . 


Продължаваме със задачи от обем на прав кръгов цилиндър



16. задача  Колко тежи   800   метра  кабел  с диаметър   2мм , ако един кубичен сантиметър тежи  8,9 грама 

Отговор : 22356,8 грама = 22,4 кг

 



17. задача  Колко  кубични метра  стомана  са необходими за направата   на   стоманена тръба  дълга  2 км , ако тя има външен диаметър  равен на 1 м и  е дебела  10 см

Решение

"/>

На чертежа  са означени външният  и външният  радиус на тръбата - съответно равни на  ОВ  и  ОА .

От условието на задачата  следва,че  OB=1:2= 0,5 м  ,   AB = 10см=0,1 м                                

Тогава вътрешният диаметър  OA =  0,5 - 0,1 = 0,4 м                                                                          

 За да намерим  колко кубични метра ще  ни трябват , ще  намерим разликата от обемите на цилиндрите  с външен   радиус равен на  OB =0,5 м  и височина равна на 2 км=2000 м , и с  вътрешен радиус равен на OA =0,4 м  и   същата височина .

Получаваме,че  2000.п .0,52 – 2000.п.0,12 = 2000.п.( 0,52 – 0,12) =6280.0,24=1507,2 м3




18.задача Даден е цилиндър  с лице на основата си В=49 см и обем   V=980 см 3 .Намерете  радиуса и височината на  цилиндъра

Отговор:   r =10см    и   h=    6,37 см

Решение

  • Във формулата   В = пr   ,заместваме дадените елементи и получаваме равенството   49п = пr   , от което намираме  ,че r2  = 49  .Тогава r = 7 см                                                                                                                                               
  • Във формулата                                                                         

V=пr2 .h

 

  заместваме дадените елементи   и  получаваме 

980=49 п.h

 

 Откъдето намираме,че  h =(20:п)    6,37 см

 

 



19.задача .Правоъгълник  е завъртян около една от страните му(оста на въртене  е една от страните му )  .Получен е  цилиндър с обем   равен на  200псм   и  диаметър равен на   10 см  .Намерете  дължината и ширината на правоъгълника   .

Отговор:   5 см и  8см




20.задача  Прав  кръгов цилиндър   има  височина (образуваща)  h см , радиус  r см ,дължина  на  окръжността  на основата C см  , лице на  околна повърхнина  S см 2 , лице на  повърхнината си   S1 см2 и  обем  равен на V см 3

Попълнете   таблицата (без да умножавате  по  п) 

 

r

C

‘B

h

  S

S1

 V

Първи случай  

3

 

 

 

 42п

 

 

Втори случай

 

12п

 

 

 84п

 

 

Трети случай

 

 6п

 

 

 

 126п

 

 

 

 




 




21.задача Прав  кръгов  цилиндър  и правилна четириъгълна призма имат равни  височини .Ако  радиусът на цилиндъра е равен на  дължината на основният  ръб на призмата, то намерете  колко пъти  обемът на цилиндъра е по-голям от обемът на  призмата.

Решение

 Нека  височината на двете тела е h  , а радиусът на цилиндъра е r  

Тогава обемът на цилиндъра е  Vцилиндъра   пr2h

Тогава обемът на  призмата  е  Vпризмата    r2h

Получихме,че  обемът на цилиндъра   е  с   п  3, 14  пъти  по-голям  от  обемът на призмата

.


22.задача Вие сте  данъчен инспектор   и сте  на проверка  на   бензиностанция ,горивото на която се съхранява  в  еднакви  вкопани изправени с основата цистерни   с форма на прав кръгов цилиндър  с  лице на основата  28000 см2 . По счетоводни книги  всички цистерни  са пълни  догоре, а в последната    има  2100  литра . Вие   замервате  нивото на бензина  в последната  цистерна и получавате ,че то е  2 м  

А) Колко е нивото  на  бензина в последната  цистерна  по  счетоводни данни

Б)  Колко е   бензин има  в последната  цистерна  по  измерване 

В) С  колко литра   е  разликата от  счетоводните данни  с реалните данни

Решение  

А )  От условието получаваме,че  обемът на  горивото в  последната  цистерна  е 2100 литра = 2100  дм 2 , а  лицето на основата му е 28 00 см 2 = 28 дм 2 .Нивото на бензина  в тази цистерна  намираме от равенството V =B. h , така е h=2100:28=75 дм  =7,5 метра

Б) По замерване  количеството бензин в цистерната е  20.28   дм = 560 литра

В)  Грешката е  2100 – 560  = 1540 литра .



Следващите задачи са за отлична оценка

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg