В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Задачи от монети

Основна идея:

Сред монети с еднакъв външен вид с минимален брой претегляния  да открием   монета   , която е по-тежка или по –лека от останалите.Обикновено тази монета наричаме  фалшива,а другите истински  

Основно правило :

Логическа връзка между всяко теглене 

Съдържание :

Задачите са подредени по трудност

Видове задачи и условия към тях ;


  • В задачата е дадено, че монетата е по-лека или по –тежка от истинските

 

  • В  задачата трябва да открием  фалшивата монета  и да уточним дали е  по-лека или по-тежка

 

  • В някои  задачи , фалшивите монети са повече от една

 

  • В зависимост от задачите, монетите  ще откриваме с :

 

-           везна без теглилки

 

-           везна с теглилки

 

-           везна с  деления

 


Първа класическа задача  :Една от три еднакви на външен вид монети е по -лека  от останалите  две .Разполагате само с аптекарска  везна без теглилки . Как  само с едно теглене  на везната  ,ще откриете коя  е фалшивата    монета ?

Решение   

От двете страни на везната ,поставяме по една монета

Първи случай :Везните са уравновесени 

"/>

Втори  случай :Везните не са уравновесени .

"/>



Втора  класическа задача : Дадени са три монети ,които  са еднакви на външен  вид .Една от тях е фалшива,но не знаем дали е по-лека или по-тежка от истинските .Разполагате само с аптекарска  везна без теглилки .  С колко  най –малко  на брой претегляния   ще откриете фалшивата монета  и ще установите  дали е по-лека или по-тежка ?

Решение

Първо теглене :Отново от  двете страни на везната ,слагаме две произволни монети

Първи случай:

Везните са уравновесени.Тогава фалшива е третата монета но,не знаем дали е по-лека или по –тежка .Другите две монети са истински .

Второ теглене :От едната страна  на везната слагаме  фалшивата  монета, а от другата  една истинска

В зависимост от наклона на везната , фалшивата монета е по-лека или по .тежка


Втори  случай:Везните   не  са уравновесени .Тогава фалшивата е  една от двете монети на везната  ,но не знаем коя .Третата монета е истинска

Второ  теглене  От едната страна на везната  поставяме третата истинска монета, а от другата  монетата ,която е в по –тежката част от първо теглене

-Ако са уравновесени ,монетата в леката част на блюдото от първо теглене е фалшива

-Ако не са равни,монетата в по-тежката част  на везната от второ  теглене е фалшивата




Разгледайте блок –схема за откриване на фалшивата монета в случая,когато везните не са уравновесени


Монетата от по-тежката част от първо теглене е означена с  Т ,  а от по –леката с – Л
"/>

Извод :Един от изходите във второто теглене е невъзможен,защото противоречи на резултата от първото теглене

 


 

3.Една класическа задача за откриване на монети с електронна везна с деления  В десет купчини има  по десет монети .В една от купчините всички монети са фалшиви и тежат по 9 грама .В останалите 9 купчини всички монети  тежат по 10 грама .Как с едно теглене на електронна везна с деления , може да определите в коя купчина монетите са фалшиви ?

Решение 

Номерираме купчините с монети  от 1 до 10 и от първата вземаме една монета,от втората -2 , от третата -3 и т.н. Поставяме взетите 1+2+3+4+5+...10= 55 монети на електронната везна .

- Ако везната показва 549 грама,то фалшивата монета на везната е  само една . Тогава в купчинката   с номер  1  всички монети са фалшиви

-Ако везната показва 543  грама ,значи 7 монети на везната  са  фалшиви .Тогава в купчинката  с номер  7  всички монети са фалшиви  и т.н.



Класическа ситуация при задачи от монети


4.задача  Сред 9 еднакви по вид монети ,една от тях е фалшива .Как  с везна без теглилки  с две претегляния  ще определите дали фалшивата монета  е по-лека или по тежка .

Бележка : Не е необходимо да се открива коя е фалшивата монета .

Решение

Първо теглене : Вземаме  8 монети  и ги поставяме по  четири в двете блюда

Първи случай :Ако  везната е уравновесена ,то 9 –та е фалшива

Второ теглене :Вземаме  деветата монета  и една произволна монета от останалите 8 и ги поставяме на двете блюда ,като помним коя е истинската .Наклона на везната ще ни покаже дали е по-тежка или по –лека .

Втори  случай :Ако  везната не  е уравновесена 

Второ теглене :Вземаме онези 4, които са по тежки  .Поставяме ги по 2 в двете блюда  

-Ако везната е уравновесена  ,значи те са истински .Фалшивата монета е в другото блюдо и е по-лека от истинските .

-Ако не  са равни ,тогава  фалшивата е по-тежка

 

 

 

 

5.Задача за упражнение .Една от четири еднакви на външен вид монети е с различно тегло  от останалите  три .Ако  трите монети тежат по 10 грама  ,а четвъртата – 9 гр . и ако разполагате с везна и теглилка от 10 грама ,опишете как с  две  претегляния  на  везните  ,ще намерите  монетата от 9 грама ?

Решение

Нека  мислено оцветим всяка монета в различен цвят

Ако при теглене ,везните не са уравновесени , монетите  в по-тежката част  означаваме  с Т ,а в по-леката с Л

Извод : Ако една Т е фалшива,то тя е по –тежка от истинските .От две Т фалшива е тази ,която е по –тежка

Извод : Ако една Л е фалшива,то тя е по –лека  от истинските .От две Л фалшива е тази ,която е по –лека

 

Разгледайте блок –схемата за откриване на фалшивата монета

 

"/>




6.задача : От 11  монети с еднакъв външен вид пет са  фалшиви, защото са с един  1 грам по-леки от останалите .

А)  С едно теглене с електронна везна с деления   ,определете дали всяка монета е фалшива или не ?

Б) С колко най –малко претегляния с електронната везна ,може да разделите монетите на две групи – фалшиви и истински

Решение А) :

Отделяме настрани тази монетата , която искаме да проверим дали е фалшива или не

На електронната везна слагаме 10 монети

Ако 5 от тях са истински и 5 фалшиви,то числото ,което показва общото тегло на монетите , ще се дели на 10:2 =5 .Тогава монетата ,която проверяваме е истинска .

Ако не се дели на половината от монетите на везната,то монетата ,която проверяваме е фалшива .

Б)Това е една изследователска задача ,затова решете задачата в края на урока  .

 

 


7.задача  Имате  8  на вид еднакви монети . Една от тях е фалшива ,като е известно че е по –лека от останалите . Как с помощта на везна без теглилки само с две претегляния ,ще откриете  коя е фалшивата монета ?

Решение

Първо теглене :

Вземаме  6 монети  и ги поставяме по  три  в двете блюда на везната  .Извън везната остават две монети .

Първи случай

Ако са уравновесени ,то фалшивата е между двете монети извън везната

Второто теглене е  за откриване на фалшивата монета

Схема :

-Теглим една монета от предполагаемите и  една  истинска монета.Ако са равни ,то втората монета извън везната от първо теглене е истинска

-Ако не са равни, то монетата от по-леката част на везната е фалшивата

 

Втори  случай

Ако везната  не  е уравновесена ,то фалшивата е  във везната ,която е по-лека .Другите две  са истински .

Второ теглене –Работим само с трите монети ,които са в по-леката част на везната

От двете страни на везната ,поставяме по –една от тях .

-Ако са уравновесени,третата е фалшивата

-Ако не са уравновесени ,по-леката е фалшивата

 

 

 

8.Задача  .Една от четири еднакви на външен вид монети е с различно тегло  от останалите  три .Ако  трите монети тежат по 10 грама   и ако разполагате с везна и теглилка от 10 грама ,опишете как с  три  претегляния  на  везните  ,ще намерите тази монета и ще установите дали е по –лека или по –тежка ?

 

Решение


Потърсете решение на задачата с две претегляния 




9.Задача Пет еднакви на външен вид  златни монети тежат   10, 11, 12, 14 и 17 г.С колко най-малко наброй претегляния  на електронна везна с деления ще  откриете монетата ,която тежи  10 г .

А) 2         Б) 3       В ) 4     Г)5                                                               

Едно примерно решение  

Първо теглене Слагаме две произволни монети на кантара от дадените 5

-Ако общото им тегло завършва на 2,4 или 7 ,то  едната от двете монети  тежи 10 грама

С второ теглене на едната от тях ,веднага  ще открием монетата от 10 грама

- Ако общото им тегло завършва на 1 ,монетите могат да са 10 и 11 или  14 и 17 .

С второ и трето теглене ще  открием ,монетата от 10грама

-Ако общото им тегло завършва на 3 –монетите са 11и 12.

-Ако общото им тегло завършва на 5–монетите са 11 и 14

-Ако общото им тегло завършва на 6–монетите са 12 и 14

-Ако общото им тегло завършва на 9–монетите са 12 и 17

Във всеки от тези 4 случая правим второ  и трето теглене 

Отговор :  С  не –повече от три претегляния с електронна везна с деления ще открием монетата, която тежи 10 грама .

 

 


10.задача за упражнение : Опишете как  само с   2 претегляния с везна без теглилки може  да  откриете  една монета, която е по-тежка  измежду:

 А) 5 други монети;

 Б) 7 други монети;

 В) 9  други монети;

 

 


11.задача : От  10  монети  едната е фалшива,защото е по –лека от другите 9 ,които имат еднакво тегло . Само с три тегления с везна без теглилки , открийте фалшивата монета  

 Решение

Първо теглене : Разделяме монетите на три групи – 3,3 и  4 

На двете блюда поставяме по 3 монети  .

Първи случай :Ако  везната е уравновесена ,то   фалшивата е в третата група (с 4 монети )

Второ теглене :Поставяме на двете блюда ,по две монети от третата група. Фалшивата монета е в блюдото,което е в по-леката страна на везната .

Трето теглене :Поставяме от двете страни на везната  , по-една от  монетите от по-лекото блюдо и определяме,коя е фалшивата

Бележка :От двете страни на блюдото можем да поставим една истинска и една от монетите от по-леката страна на везната

 

 

Втори  случай :Ако  везната не  е уравновесена .Тогава фалшивата монета е в блюдото,което е по-леко .По познатия начин с две претегляния ще открием фалшива монета измежду три монети (тези които са в по-леката част на везната )  

 

 


 

12.задача за упражнение : От   27 монети  едната е фалшива,защото е по –лека от другите 26 ,които имат еднакво тегло .

А)Само с три тегления, открийте фалшивата монета ,като  разполагате  само с везна  без теглилки .

Б) Можете  ли само с две тегления  да  откриете фалшивата монета ,като отново  разполагате  само с везна  без теглилки

Отговор ) не

 


 

13.задача за упражнение : Опишете как  само с 3 претегляния с везна без теглилки може  да  откриете  една монета, която е по-лека  измежду:

 А) 15 други монети;

 Б) 26 други монети;

 В)  17  други монети;

 

 

 Изводи :

Ако от  3 монети с еднакъв външен вид  една е по-лека(по-тежка)  ,фалшивата монета можем да открием  с не по-малко от   едно  теглене на везната

Ако от  3 до 9   монети с еднакъв външен вид  една е по-лека(по-тежка)  ,фалшивата монета можем да открием  с не по-малко от  две   тегления  на везната

Ако от  9 до 27    монети с еднакъв външен вид  една е по-лека(по-тежка)  , фалшивата монета можем да открием  с не по-малко от  три   тегления  на везната

 


Ще разгледаме няколко примера ,при които ще търсим повече от една фалшива монета

 


12.Задача за упражнение : Имате 6 монети ,от които две са фалшиви .Ако знаем,че тежат по-равно и са по-леки от останалите , с три претегляния открийте монетите 

Една доста трудна и интересна задача

13.Задача : От  103 монети   две са фалшиви  (фалшивите монети имат еднакво тегло ). С колко  най-малко  наброй претегляния с везна без теглилки , може да определите дали монетите са по-леки или по –тежки ?

Едно примерно решение



14.Задача Дадени са 303  еднакви по  размери   монети.302 от тях  имат  еднакво тегло . Разполагате с теглилка с две везни. С колко най-малко наброй претегляния , може да откриете  монетата с различно тегло , ако е известно ,че тя е по –тежка от останалите  .

 Решение                                                                                                  

Броя на претеглянията,ще намалим  като  разделим   монетите на  три групи по 101 монети.                  

1) В двете везни поставяме по 101 монети .Ако са равни следващото теглене  започваме с  третата  група.Ако не са равни  ,то монетата е в по –тежката  везна                                                               

2)Започваме с  101 монети от третата група .Вземаме една  от претеглените истински  монети и я добавяме към  101 монети.Разделяме на три групи по  34 монети .Правим същите претегляния  и със  същите изводи  започваме  следващото претегляне .                                                                                                             

3) Започваме с  34  монети .Вземаме две   от претеглените истински монети и я добавяме към  34  монети. Разделяме на три групи по  12 монети                            

4) Започваме с  12  монети . Разделяме на три групи по  4 монети.                        

5) Започваме с  4  монети . Делим на две групи по две и теглим .                             

6) Започваме с  2  монети ,претегляме  и откриваме по-тежката монета  .

 


15. Задача за упражнение От 80 с еднакъв външен вид  една е по-лека (фалшива). Как с 4 претегляния на везната ще  намерите фалшивата монета ?

 

 


Още една трудна задача,при която трябва с най-малък броя претегляния да открием една фалшива монета и едновременно с това да определим , дали е по –лека или по –тежка от останалите



16.Задача: От  12 монети  една е  фалшива, при  това не е  известно  дали е по-лека или по-тежка от останалите . Открийте монетата с 3 претегляния




17. Задача за упражнение: От  16 монети  една е  фалшива, при  това не е  известно  дали е по-лека или по-тежка от останалите . Открийте монетата с 4 претегляния.

 

Задачата да се намери една фалшива  монета  с минимален брой претегляния  измежду  дадени N  монети  е основна при този тип задачи

Полезна връзка :Теоретична част - Извеждане на формула 

Полезни връзки :

Теоретична част : Извеждане на формула

Още задачи за упражнение



18.Задача за упражнение: Имаме 5 монети ,от които две са фалшиви ,при това едната е по-тежка от другите ,а другата по –лека .С три претегляния с везна без теглилки ,намерете фалшивите монети .

 

 

19. Задача за упражнение.Как може с четири  претегляния на везна без теглилки , да се открие една монета, която е по-лека и е между 81 други монети?

 

 

 

20. Задача за упражнение От 82 монети една  е по-лека. С колко най-малко наброй претегляния  с помощта на везни без теглилки ,  може да се открие по-леката?

 

 

 

21. Задача за упражнение : От 51  монети   25 –  са  фалшиви, защото са с един  1 грам по-леки от останалите .  С едно теглене с електронна везна с деления   ,определете дали всяка монета е фалшива или не ?

 

 


22.Задача за упражнение От  9 монети  2 са фалшиви. Истинските монети тежат  10 г, а фалшивите —по 11 г. Как с 5 претегляния на везни да открием фалшивите монети, ако разполагаме с достатъчен брой теглилки от по 1 г?

 

 

23.Задача за упражнение.Като доказателство в съда били предоставени 14 монети .Съдът знае ,че 7 от тях са истински ,а 7 от тях - фалшиви .Адвокатът на обвинението знае кои 7 монети са фалшиви ,но трябва с три претегляния с везни без  теглилки ,да убеди съда,че именно посочените от него монети са фалшиви .Как го е направил ?

Линк :Още една трудна и забавна логическа задача

Полезни връзки по темата :Още много решени задачи тук!

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg