В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Най-малка и най-голяма стойност на цял израз .Задачи за 7 клас




Съдържание

1.Най-малка и най-голяма стойност на цял израз .Задачи за подготовка за  национално външно оценяване по математика за 7 .клас

2.Избрани задачи за ученици с математически наклонности

Бележка :
Темата е разгледана след линейни неравенства


                                                                                                                           



Даден е   многочленът   N  = ( х+1) 

В  таблица са нанесени  числените  стойности  на N за избрани стойности на променливата  х .


х

0

3

-2

-7

-1

N

(0+1)2  = 1

(3+1)2  = 16

(-2+1)2  = 1

(-7+1)2  = 36

(-1+1)2  = 0

Така ,намерените числени стойности за N са положителни числа или най-малко нула

 

 Това е вярно за всяка стойност на променливата х ,защото всяко число повдигнато на квадрат е   неотрицателно (нула или положително число ),т.е  N= ( х+1) >


Затова  най-малката стойност  на израза  N =( х+1)е 0 .

Тя се получава когато  (х+1)2=0 ,откъдето намираме ,че х =-1



Извод
:От всички възможни числени  стойности на израза N ,числото 0 е възможно най-малката  числена стойност

Съкратено записваме НМС ( N) = 0.Тя се получава за х=-1

1
1

Определение

"/>


Има  многочлени ,  които са такива,че  за всяка стойност на  неговите променливи , съответната  числена стойност на многочлена е  неотрицателно  число ( положително    или  нула )


Урока ще започнем с намиране на  най-малката стойност на такива  цели  изрази




Примери за многочлени  ,които  приемат само положителни стойности  или нула :   

  • N = х2 > 0;

 

  • N = х2 +3 > 0;

 

  • N = |1  - у|  +7  > 0;

 

  • N =х10 +17 х 28 + 0,4   > 0 ;

 

  • Nx2  -12 x  +36  > 0 , защото  N = (x- 6) 2  > 0






Задача .Намерете най-малката стойност на  израза N = х2

Решение :

 От това ,че    х2  > 0  , то   НМС ( N) =  0  ,която се получава   за х2= о ,т.е за  х= о

 

 


Задача .Намерете най-малката стойност на  израза N = х2 + 3 

Решение :

От това ,че  х2  > 0  , то  х2  +3  > 3  ,за всяка стойност на променливата х 

Тогава   НМС ( N) =3 ,която се получава   когато   х2 +3 = 3 .Тогава  х=0




Задача .Намерете най-малката стойност на  израза N = х10    +  17 х28  + 0,4

Решение :

От това ,че   х10    > 0   ,  17 х 28> 0  , то  х10    +  17 х 28  >

  Тогава  N х10    +  17 х 28  + 0,4   > 0,4   ,за всяка стойност на променливата х

Тогава    НМС ( N) =  0,4   ,която се получава   за х= о 






Задача
.Намерете най-малката стойност на  израза   N =
|1 + у|  +7

Решение :

От това ,че  |1 + у|  > 0 ,за всяка стойност на променливата у, то |1 + у| +7  > 7

Тогава    НМС ( N) =  7   ,която се получава когато  |1 + у |  = 0 ,т.е  за   у  = -1 





Задача .Намерете най-малката стойност на  израза N = x2  -12 x  +36 

Решение :

От това ,че  Nx2  -12 x  +36  = (x- 6) 2> 0 ,за всяка стойност на променливата х

то ,   НМС ( N) = 0 

Тя се получава , когато  (х-6 )2= о ,т.е за х = 6  

 


Извод :В задачи , в които се търси най-малка стойност на многочлен ,се стремим да отделим точен квадрат или четна степен


Задача : Намерете най-малката стойност на израза   Nx2  -6 x  +17

Решение

Възможно е ,изразът да приема само положителни стойности

За да покажем ,това  се стремим да отделим точен квадрат

Nx2  -6 x  +17 = x2  -6 x  +9 +8 = (x-3) 2  + 8


От това ,че   (x-3)2  > 0    , за всяка стойност на променливата x  , то  N =  (x-3) 2  + 8 > 8

Затова    НМС ( N) = 8  .Тя се получава   когато  (x-3) 2   = о  ,т. е.   x=3





Задачи : Намерете най-малката стойност на израза   N =0,2x2 -0,4x  +0,7

Решение

N
0,2 x2  -0,4x  +0,7  = 0,2 x2  -0,4x  +0,2 +0,5
= 0,2 (x2  -2x  +1)  +0,5  =  0,2 (x-1) 2  +0,5

От това ,че  0,2 (x-1) 2  > 0    , за всяка стойност на променливата x  , то  N = 0,2 (x-1) 2  +0,5 > 0,5

Затова    НМС ( N) = 0,5  .Тя се получава   когато  0,2.(x-1) 2   = 0  ,т. е.   x=1




Задача за упражнение  : Намерете най-малката стойност на израза   N =  0,2 x4  - 0,4x2  +0,7

Упътване : (х2 -1)2 = x4 -2x2  +1

Отговор : НМС ( N) = 0,5




Задача за упражнение :Намерете най-малката стойност на изразите :


А) М  = 3(х-4)2 +0,445


Б)  N = |7 - у|  + 16


В) М  =  x2  -8x  +23


Г)  А  =  3у4  -6у2  +8



Отговори :  А)  НМС ( М ) = 0,445       Б) НМС ( N) = 16     В ) НМС ( М ) = 7          Г ) НМС ( А ) = 5           




"/>

Ако израз е строго по-голям от дадено неотрицателно число,за всяка стойност на променливите си , то той няма най-малка стойност .


Примери за многочлени ,които нямат най-малка стойност :
  • N=2у +18

 

  • N=79у +3

 

  •  N=1: 9у +3
1
1
1

Ако , изразите имат повече от една променлива ,разсъждаваме по -същия начин




Задача  :Намерете най-малката стойност на израза  :N = 12  + (х - у)2

Решение

От това ,че  (х - у)2  > 0    , за всяка стойност на променливите  x и у  , то  N = 12 +  (х - у)2   >  12

Затова    НМС ( N) = 12  .Тя се получава когато  (x-у) 2   = 0  ,т. е.   x=у




Задача за упражнение Намерете най-малката стойност на израза: А= х2+4 -2ху+у2

Отговори :   НМС ( А ) = 4





Задача  :Намерете най-малката стойност на израза   А=(2x-1)(x-2)-x(x-5)

Решение
А=(2x-1)(x-2)-x(x-5)= 2х2 -4х -х +2-х2+5х = х2 +2

Затова    НМС ( А) = 2  .Тя се получава когато    x=0






Задача за упражнение Намерете най-малката стойност на израза: А= (x2-x-1)(x2+x-1)-x2(x2-4)

Отговори :   НМС ( А ) = 1





Задача  Даден е   изразът    N   =  2(x2–3x) -x (x -1) + 7

А) Покажете,че за  всяка стойност на променливата х  , изразът N  приема само положителни стойности  .


Б)  Намерете за кои стойности  на х ,изразът   N  приема   най-малка  стойност


Решение

А) N=2(x2–3x) -x (x -1) + 7 = 2х2 -6х- х2  +х +7 = х2 -5х   +7 = х2 -2.2,5 .х +2,52 -2,52   +7 = (х-2,5)2 +0,75

Тогава  N = (х-2,5)2 +0,75 > 0


Б) От това ,че  (х-2,5)2> 0 то,  N = (х-2,5)2    +0,75  >  0,75

Затова    НМС ( N) = 0,75  .Тя се получава когато  x-2,5   = 0  ,т. е. x=2,5






Задача.
Намерете най-малката стойност на израза  М=x2-4x+y2 +6y+ 24 

Решение :

М=  x 2-4x+y2 +6y+ 24
 =
x 2 -  4x+4-4 + y2 +6y+9-9 +24
=
(x -2)2 -4 + (y+3)2 -9 +24
=
(x -2)2  + (y+3)2  +11

Тогава 
N = (x -2)2  + (y+3)2  +11  > 11

Тогава НМС (N)=11 .Тя се получава ,когато, х-2=0  и  у+3=0 ,т.е. за х=2 и у =-3



Задача за упражнение Намерете най-малката стойност на израза: А= 2-12а+b2 +2b+ 17

Отговори :   НМС ( А ) = 7




Задача  : Даден е изразът   A = (а-3)2 - 5(а+2)(а-2) + 6(а-7).Покажете,че за  всяка стойност на променливата х  , изразът A  приема само отрицателни  стойности  .

Решение

А= (а-3)2 - 5(а+2)(а-2) + 6(а-7)

=a2-6a+9-5a2+20+6a-42

= -4a2-13

От  -4a2 <  0  ,то следва,че   А = -4a2-13  <  0

 

За изразът А ,получихме ,че за всяка стойност на променливата а , числената стойност на израза А приема само отрицателни стойности .


ИЗВОД :

От  това,че    -4a2 <  0  ,то получаваме ,че    -4a2-13  <  -13



Следователно , от всички числени стойности на А = -4a2-13  ,  А= -13 е възможно най-голямата

Тя се получава когато  4a2-13 = -13 , 4a2  =0 , а=0

Съкратено записваме НГС ( А) = -13.Тя се получава за а=0

1
1
1

Определение

"/>


Има много  многочлени ,  които са такива,че  за всяка стойност на  неговите променливи , съответната  числена стойност на многочлена е  неположително  число ( отрицателно    или  нула )



Ще продължим урока  с намиране на  най-голяма  стойност на такива  изрази



Примери за многочлени  ,които  приемат само отрицателни  стойности  или нула :     

  • -z2 < 0


  • - х6-3 < 0


  • - 6х8- х2  < 0 ;


  • -5|у-1|   < 0 ;


  •   - (х  - у) -  4  < 0  ;


  • - (х  - у)- 7 < 0





Задача
.Намерете най-малката стойност на  израза   N =
- |5 - у|  - 7

Решение :

От това ,че  | 5 - у |  > 0 ,за всяка стойност на променливата у, то   -  |5-у|  <  0

Тогава  N = - |5 - у|  - 7 <  -7 

Тогава  ,   НГС ( N) = - 7   ,която се получава когато  5 - у   = 0 ,т.е  за   у  = 5





Задача Намерете най-голямата стойност на израза: А= (x2+1)(1- x2)-5

Решение

Р= (x2+1)(1- x2)-5= 1-х4-5 =  -х4 -4

От това,че  x4  <   0 , то Р=   x4   - 4   <   -4

Тогава НГС(Р)= -4  и се получава  за х =0






Задача за устно упражнение   : Намерете  най-голямата стойност на всеки от  изразите    

  • -z6


  • - х2-6


  • - 6х8- х2  ;


  • -5|у-1|  ;


  •   - (х  - у) -  4   ;


  •   -2|у-1| -24 



Задача за упражнение : Даден е изразът   A = а4 - (а2-1) 2-3a+5)

А) Покажете,че за  всяка стойност на променливата а  , изразът А  приема само отрицателни  стойности  .

Б)  Намерете за кои стойности  на х ,изразът   N  приема   най-голяма   стойност

Отговор   Б) :  НГС(А)  =  -16 .Тя се получава за а = 0





Задача Намерете най-голямата стойност на многочлена Р= x28x+15

Решение

Р= x28x+1516+16=−(x2+8x+16)+15-16=−(x+4)2 -1

От това,че  −(x+4)2  <   0 , то Р=   −(x+4)2   - 1   <   -1

Тогава НГС(Р)= -1  и се получава  за х +4=0 ,т.е х= -4




За да намерим НГС на многочлен ,отново отделяме точен квадрат или четна степен






Задача
: Намерете най-голямата стойност на многочлена  
Р  = -  4 - 2х -  0,5х2

Решение

В тези случаи,за да отделим точен квадрат ,изнасяме пред скоби  коефициента пред  х2

Р=-  4 - 2х -  0,5х2 =−0,5(x2+2:0,5 x+4:0,5)=−0,5(x2 +4х +8)
= −0,5(x2 +4х +4 +4) = -0,5 (х+2)2 -0,5.4 = -0,5 (х+2)2 -2

От това,че  −0,5(x+2)2  <   0 , то Р=   −0,5(x+2)2   - 2   <   -2

Тогава НГС(Р)= -2  и се получава  за х +2=0 ,т.е за  х= -2






Задача за упражнение Намерете най-голямата стойност на изразите;


А)  М= -2x2 -5


Б) A= –х2 -4х -4

 

В) М= (2x2+3)(3- 2x2) - 12

 

Г) Р  = -  7 - 2х -  0,4 х2


Отговори :  А)  НМС ( М ) = -5       Б) НМС ( А) = 0     В ) НМС ( М ) = -3          Г ) НМС ( Р ) = -4,5




Има многочлени,числените стойности на които са както положителни ,така и отрицателни числа

1
1
1

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg