В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Неравенство в триъгълника .Избрани задачи за състезания по математика

"/>

Определение .Основни теореми за неравенства между страните в триъгълник .


За  произволни три точки А,В и С  е в сила неравенството АС+ CB >AB ,наречено неравенство в триъгълника .

По определение се приема ,че равенство  е изпълнено , когато точка  C лежи на  отсечката AB


 Основни  теореми  за   неравенства   между страните в триъгълник


  Теорема 1 :  Триъгълник със страни a, b и c съществува, ако

  • всяка страна е по-малка от сбора на другите две  
  • всяка страна е по-голяма от разликата на другите две

  


Теорема 2  : В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две :
           a < b + c
           b < a + c
           c < a + b

Достатъчно е да се   направи  проверка за най-голямата страна


Теорема 3 :   Всяка страна е по-голяма от разликата на останалите две:
           a > c – b
           b > c – a
           c > b – a

 Достатъчно е да се   направи  проверка за най-малката  страна   

 

Избрани задачи за състезания по математика за 7 . клас

Избрани задачи за състезания по математика за ученици след 7 клас

Много задачи тук !

Задача Дадена  е   функцията,f(х) =  x2 +ax + 1 ,  където  a  е   реален параметър

Да  се   намерят   стойностите   на  ,  a за  които  за  всеки  три   числа,x y и  z  от    интервала[0,1 ]  числата  f(x)f(y), f(z) са  дължини  на   страните  на  някакъв   триъгълник

(Софийски университет”Св.Климент Охридски” , 2015 година )

Решение

Разглеждаме  няколко случая 

Първи случай Нека  числото  -0,5 а < 0 .Тогава  а [0; ∞)                                                    

Тогава ,ако х ,y и z  са числата  0,0 и 1,   то  f(о) =1 , f(о) =1  и  f(1) = а +2 >0  са страни на триъгълник                                                                                           

Тогава е изпълнено неравенството на триъгълника     f(о) + f(о)  >  f(1) 

Тогава    2 > а+2 ,така е, а <0  ,което противоречи с избора на а .Тогава  а не принадлежи на интервала  [0, ∞)

Втори случай

Нека  числото   -0,5 . а  >  1   ,тогава  а  <  -2    

От това ,че  а  <  -2    ,то D > 0

 От това,че   f(0) =1>0  , а   f(1) = а+2 < 0  в интервала   х  [0,1 ]   функцията има реален корен  .Тогава   съществува  поне една   стойност на   f(x) ,която е  отрицателно число ( за тази стойност единият аргумент е  число в интервала  [0,1 ]  ) 

Тогава  а, не принадлежи на интервала  а  <  -2    

Трети случай

Нека  числото   0 <  - 0,5. а <  1 ,тогава   а  (-2,о]   .Тогава  D < 0  и  f(х)  > 0  

В  интервала  [0,1]  ,най-малката стойност  m  на функцията е  за х=  -0,5а   и е равна на 1-0,25 а2 ,а  най-голямата   M  е  1  или   а+2  > 0

"/>

Тогава  необходимо и достатъчно условие  , е да са верни неравенствата  :  ( m+ m> M)

  • 1-  0,25 а2 + 1- 0,25 а2  >  1  и
  •  1-0,25 а2 + 1-0,25 а2 >  а+2
Решенията на неравенствата  са  :  
"/>
От това,че    а  (-2,о]  , то решенията на  задачата са :     
"/>


Задача .Дадена е функцията


"/>

Да се намерят всички стойности на реалния параметър m ,за които при всеки избор на реалните числа a, b и c числата f(a), f(b) и f(c) са страни на триъгълник.

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg