В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Задачи от Принцип на Дирихле.Приложение при задачи от делимост,дължини и лица.Задачи за 5,6 и 7 клас


Учителката   по   математика  записва   на дъската   първите   шест естествени числа  

-1, 2, 3, 4, 5  и  6   а,  учениците    записват    всяко число  в   дадените   5  клетки


 

 

 

 

 

 

1

3

4

5,2

6

Десислава  записала  числата  1,3,4,5 и 6  всяко  в  една клетка     и   решила,че  числото 2  , за  което не остава празна  клетка ,  може да го запише в  произволна  клетка   и  го записала  в една  клетка   с  числото  5

 

1,2

3,4

5

6

 Милен  записал   числата си   в  клетките    по този начин

 

 

 

 

1,3

2,4,5,6

Татяна  записала   числата  в   две  клетки   .  

След  отрицателният отговор  на   въпроса   „Има ли ученик  , който да  няма  клетка  в  която да са  записани  поне две числа ?“, те направили   важен  извод: : 

Ако имаме   6  произволни  числа  и  ги  записваме в  5   клетки,винаги  има поне една клетка  в която са записани  поне  две числа,независимо от това как записваме числата в клетките  .

 След  това стигнали  до извода  ,че  това  е вярно  ,не само за числа , а и за  предмети(или обекти).   

"/>

Пример 1:Ако   10  гълъба  поставяме в  9 кафеза ,както и да ги поставяме

винаги ще  има кафез  ,в който  ще трябва да поставим поне два гълъба.

Най-лошият  случай -   деветте гълъба  са поставени  всеки в отделен  кафез  .Тогава  десетият  гълъб , ще  трябва  да поставим  при зает кафез и отново ще има кафез  с два гълъба в нея. 

Пример 2. 6 заека  поставяме  в  клетки .Както и да ги  поставяме,винаги ще има поне една  клетка  в  която ще поставим най-малко два заека .


 В математическата литература  това свойство  се  нарича „Принцип на Дирихле”, на  името на  великият немски математик   

Йохан Петер Густав Льожон Дирихле (1805-1859 година)  

 В най-простата си форма той гласи:   Ако  m   предмета са поставени в   n    чекмеджета  и   m>n   ,поне едно от чекмеджетата ще съдържа  най-малко два предмета.

  Най - общо това свойство  се разглежда така :Нека  няколко предмета са разположени в чекмеджета. Ако предметите са повече от чекмеджетата, то тогава в поне едно чекмедже има повече от един предмет.

  Принципът на Дирихле  е   метод   с  който  просто и елегантно без много пресмятания се     доказва  съществуването  на  определено  свойство  на    предмети(множества )   с   общи съображения.

   

 

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ПРИНЦИПА НА ДИРИХЛЕ  - ЗАДАЧИ   ЗА  ДОКАЗВАНЕ НА СЪЩЕСТВУВАНЕ НА ОПРЕДЕЛЕНО СВОЙСТВО на ДАДЕНО МНОЖЕСТВО ОТ ПРЕДМЕТИ(ЕЛЕМЕНТИ) ЗА    4  И  5 КЛАС

     

Задача  Седем ученика  имат по една монета  със  стойност  по -малка от един  лев .Покажете,че двама от тях  имат монети с равни стойности .

                                       Решение                                    

(1)Българските монети по-малки  от 1 лев  са   :     

1 стотинка, 2 стотинки,5 стотинки,10 стотинки,20 стотинки и 50 стотинки  ,точно 6  вида.

(2)Децата са седем .

                         За нас децата са  предметите ,а  монетите са „чекмеджетата „

 Като приложим Принципа на Дирихле  ,правим извода,че каквито и монети да имат децата винаги има  поне  две ,които ще имат  еднакви монети .

 

Задача  В  един клас  има  13  деца. Покажете,че  има поне две   деца, които  са родени в един  и  същ месец .

                                      Решение

Упътване:За нас  „чекмеджетата „ са месеците- точно 12 , а  децата  са предметите - точно 13    

 

Задача    Съставете  подобна задача -  изберете предмети  и  „чекмеджета“

 

Задача  В едно  училище  учат  367  ученика .Покажете,че  поне двама ученика са родени  в  един и същ ден  в една  календарна година  .

                                             Решение

За нас  „чекмеджетата „ са 365  или 366 дни – това са дните  от  календарната година  в зависимост от това дали е високосна или не , а  децата  са предметите - точно 367 . Тогава съгласно ПД има винаги ,най-малко поне две деца , които празнуват своя рожден ден    в един и същ ден от годината .

 

Задача Квадрат със страна   5 dm  е  разделен на  25  еднакви квадратчета .Във всяко квадратче има по  един бръмбар .Всеки бръмбар се  премества  на съседно квадратче  само   по   вертикал или  хоризонтал.  Да се установи,че поне два бръмбара   ще се преместят  в  едно  и  също квадратче

                                               Решение.

 Нека  оцветим квадрата шахматно ,като първата клетка е бяла . Ще имаме 13 бели  и  12 черни квадаратчета .

При дадена  „команда“  всяко бръмбарче  се премества  в съседна  клетка

За  нас  12 черни квадратчета  са  „чекмеджетата“ , а  13 бели  са предметите .

Следователно както и да се преместват  бръмбарите  от 13 бели в 12 черни (движението е по  съседни,а те са оцветени в различен цвят ) ,винаги ще има поне два бръмбара в една и съща  клетка .

 

Задача Куб  е съставен  от    27  еднакви кубчета  със  страна  един сантиметър .Бръмбар  в  даден момент  се намира в централното кубче .Той може да се   движи ,като преминава  във всяко от   съседните  кубчета (кубчета с обща стена )Може ли бръмбарът да  премине  през всички кубчета ,като спазва условието – през всяко кубче може да преминава само по веднъж .

 

Задача   Всички двуцифрени числа са записани  на  90  картончета (по едно на картонче). Колко най-малко картончета трябва да избера, без да гледам, за да е сигурно, че две от тях имат еднакви  сборове на цифрите си?

А) 19                     B) 10                    C) 27                             D) 28

                                                    Решение

                    Ще конструираме  „чекмеджета“ и предмети 

(1)   Двуцифрените  числа  записваме  с помощта  на   цифрите      0,1,2,3,4,5,6,7,8 и  9 и  те  са  точно  90

Тогава  сборовете от цифрите им  са   измежду  числата : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18  - точно 18  .                                                       

За нас това са „чекмеджетата“ .                                               

(2)Ако вземем  18  картончета ,то е възможно в най-лошият случай, всички те да имат различен сбор и да няма две с еднакъв сбор от цифрите си .

(3)Тогава,  ако  си   вземем  19  картончета, според  принципа на Дирихле ,винаги ще има поне две  с  еднакви суми от цифрите на числата с  които са записани                                                                                                      

Отговор  A)

 

Задача Всички двуцифрени числа са записани  на  картончета (по едно на картонче). Колко най-малко картончета трябва да изберете, без да гледате, за да сте сигурни, че две от тях имат еднакви  разлики  на цифрите си?

А) 11                     B) 10                    C) 9            D) друг отовор

Отговор  A)


 

Задача  Имате  квадратна мрежа с размери  4 на 4.Може,ли  във всяко квадратче от  мрежата да поставите  едно от числата   0,1,2 и 3 ,така че  всички сборове по редове,стълбове и по диагонали да бъдат различни  .

 


 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 


 

 


 

                                                                  Решение

                                    Ще докажем,че това е невъзможно защото :

Възможните сборове   от  числата  0,1,2 и 3  са :   0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 и 12 – точно 13 

Пример :Сбор 10 от четири числа можем  да получим  10=2+3+2+3=3+3+3+1

Нека  това, са  „чекмеджета„

 За нас предметите  са   всички сборове по редове  , стълбове и диагонали  - 4+4+2(1+2+2)=18 сбора

 От това,че  18 >13  ,то от Принципа на Дирихле правим извода,че както и да поставяме  сборовете , винаги има поне два ,които са равни ,така е  както и да      записваме числата  0,1,2 и 3  в  квадратната мрежа  ,винаги  ще има  поне  два равни сбора ,измежду  всички сборове по редове,стълбове и главни диагонали .                  

                         

Задача Дадени са числата 1,2,3,4,5,6   ...12 .Възможно  ли е да разделим числата   на четири  групи с по три числа,така че  и  четирите сбора да се делят на числото 13 .Ако е възможно  посочете групите .

                                            Решение 

                         Покажете,че  според  ПД това е възможно .

(за задачата това не е задължително ,ако намерим  подходящо разделяне)

                         Тогава  ще  търсим  комбинациите  за числата .

Нека сме направили разделянето  на четири групи и сбора във всяка група е съответно    a,b ,c  и  d,  като по условие  във всеки сбор участва точно едно от числата от 1 до 12 

                  Тогава    a+b +c + d=1+2+3+....12 =(12.13):2=78=6.13

 Нека съответните частни от делението на всяко едно от числата  a,b ,c  и  d с 13

                                 са   x,y,z и t  .Тогава x+y+z + t =6

Сбор 6 от четири числа различни от нула ,можем да получим  само по един  начин   6=1+1+2+2 , така е сборовете са : два със сума 13 и два със сума 26  .

Ето едно решение :(1,7,5),(2,3,8),(4,10,12),(6,11,9)

 

Задача  В квадрат  със  страна  3 cm са разположени  10 точки .Покажете,че от тези точки  има две ,които са на разтояние ,по -малко  от 2 cm .

 


 

 

 


 

 

 


 

 

                                                                   Решение 

Да разделим дадения квадрат  на 9 квадратчета със страна  1 cm,както е показано на чертежа .Тези квадратчета за нас са чекмеджетата ,а точките  са  предметите .Според принципа на Дирихле ,поне  две от точките ще лежат  в едно и също малко квадратче .Тогава разтоянието между тях  е по-малко от  сумата на две от страните на съответното квадратче ,така е по-малко от 1+1=2  cm  

 

Задача Съставете подобна задача с нов  квадрат   или   правоъгълник.

 

Задача Известен   е биологичният факт ,че  броят на космите варира от 85 000 при червенокосите до 150 000 при блондините .Колко най-малко  жители трябва  да има един град  ,така че винаги да  намерим, поне  двама  , които  да   имат равен  брой  косми на главата си ?

(в задачата се пренебрегва фактът  ,че падат известно количество  косми)атаПад си ?

                                             Решение

За  нас  броя на  космите са „чекмеджетата „  , а жителите са  предметите които ще поставяме  в  тях. Избираме  чекмеджетата да са от 85 000 до 150 000 .От принципа на Дирихле  ,следва,че  ако жителите  на този град  са   150 001,то и в най лошият случай ,ако всички са  блондини  ,то според ПД винаги ще има двама жители с един и същ брой косми на главата  ?

 

Задача Всеки бор има не повече от  500 000 иглички.Колко  най-малко   бора  трябва  да има борова  гора ,за да сме сигорни,че има поне  два бора ,които  имат   равен брой  иглички ?

(в задачата се пренебрегва фактът  ,че падат известно количество  борови иглички)а

                                         

                                                                                           

 

Задача Дадени  са  4 произволни  естествени числа .Покажете,че разликата  на  поне  две  от тях се дели  на 3.

                                                                     Решение

 Ще  доказваме ,че винаги има поне  две числа , от произволно избрани четири, разликата на които   се дели на 3.                                                                            

Тогава ще разгледаме  възможните остатъци на числата при деление с  3 .                                                                

Знаем ,че ако две числа числа имат равни  остатъци при деление на три ,то тяхната разлика се дели на 3.

Доказателство:Нека две числа имат остатък  r  при  деление  с числото 3 .                                                                            Тогава ,те имат вида 3k+r  и  3s+  r  .                                                                                                                              Тогава тяхната разлика    3k+r-( 3s+  r)=3.(k - s )се дели на 3 .

Всяко  едно  от  тези  четири  числа има остатък 0,1 или 2 при деление с 3.                                                                         Ако има две числа с равни  остатъци ,то разликата им според  доказаното по-горе се  дели на 3.                      

Възможно ли е за всеки четири   произволни  естествени  числа ,да няма  две числа с еднакви остатъци .                

Отговор ще  ни  даде  принципа на Дирихле .                                                                                                                  

За нас „чекмеджетата „ са остатъците  ,а четирите числа са предметите .                                                                  

Понеже  всяко от числата може да има три остатъка при деление с числото 3,то според принципа на Дирихле ,ще 

има винаги поне две числа ,които имат един и същ остатък при деление с 3 .

                                 ТВЪРДЕНИЕТО  Е  ВЯРНО  И   В МНОЖЕСТВОТО  НА  ЦЕЛИТЕ  ЧИСЛА

Задача  Да се докаже, че между произволно избрани 15 естествени числа, винаги може да се намерят две, разликата на които се дели на 14.

 

Задача  Докажете, че между произволно избрани n+1 естествени числа(цели), винаги може да се намерят две, разликата на които се дели на n.

 

 Често  предметите са  няколко  пъти повече от     „чекмеджетата“

Ще разгледаме  разгледаме   една по-обща  форма  на принципа на Дирихле :

 

 Ако    n  предмета  са  поставени в  m чекмеджета  и   n > k m , то поне  в едно  чекмедже  има  k + обекта

Най - общо това свойство  се разглежда така :Невъзможно е да се поставят  7 гълъба в  три   кафеза  така,че във всеки кафез  да има не повече от два гълъба

Това, е така  защото поставяме  седем гълъба  в  три клетки .За нас  n=7 , m=3 , k =2 .От това,че   7=2.3+1  и  7>2.3 ,то  според П Д  както и да поставяме седемте  гълъба  в  трите  кафеза  винаги ще има поне един кафез  в който ще има поне три гълъба .

 

Задача В едно  училище   учат  1467 ученика . Покажете , че поне 5  ученика  имат  една и съща  рождена  дата  .Известно ,е че годината   не  е  високосна и дните в годината  са 365                                                                                                                              

                                                             Решение

От това ,че  1467  = 4.365 + 7  ,то  k=4   ,то тогава  според ПД  поне 5  ученика  в това училище празнуват  своя празник  в един и същ ден .

 

Задача  В една година ,която не е високосна  се родили  800 000  бебета.Колко най-малко  бебета  ще празнуват  своя рожден ден в една календарна година ?

 

Задача  Имате 11 произволно  избрани числа .Покажете,че винаги могат да  се намерят  три от тях , които да имат  един и същ остатък при деление с 4

 

Задача В едно училище има 60   паралелки и 2002 ученика. Да се докаже, че в това училище има паралелка с не по-малко от 34 ученика.

                                                  Решение

От това,че 2002 =60.33 +22  и  33 +1=34 правим извода,че има поне една  паралелка в която  най-малкият брой ученици е 34.

 

Задача  В  700   кутии  са сложени  не  повече от  300  играчки . Да се докаже, че има поне три кутии, които съдържат еднакъв брой играчки .

 

Задача Всички двуцифрени числа са записани  на  картончета (по едно на картонче). Колко най-малко картончета трябва да изберете, без да гледате, за да сте сигурни, че поне  9  от  тях имат един и същ остатък  при  деление с  11 ?

А) 88                     B) 89                    C) 90            D) друг отовор

Отговор  B)

 

Задача . Учителката по математика  записала всички три цифрени числа на отделно картонче .Поставила задача на Петър да избере  най-малък брой картончета  , за да е сигурно че  поне  ...........................................

Довършете условието на задача   - Конструирайте „чекмеджета „  с :

           -възможен  сбор от цифрите на трицифрените числа

           -възможна разлика  от   цифрите  на трицифрените  числа 

                                                -възможни остатъци  при деление с дадено число                                                                      

                                                - да има поне  ...,  които да са ......... числа

-да има поне пет с еднакви цифри на единиците 

............................................................... 

 

Задача  В леха  с форма  на правоъгълник с размери  30 m x 20m   засадили  1201 брой лалета .Да се докаже,че  може да се намери правоъгълник  с размери 3 m x 2 m   ,в която са засадени поне 13  лалета ?

                                                                        Решение

Разделяме правоъгълника  с  правоъгълна мрежа  с  размери  3m x2m.Това  е възможно  защото  дължините са кратни  - 30:3 ,ширините  са кратни -20:2 и лицата са кратни 600:6 =100

По този начин сме разделили  лехата  на    100 правоъгълника  с размери    3 m x  2 m .Нека в тях засаждаме  1201  лалета

За нас „чекмеджетата“ са 100 , предметите   1201 .                                                                                                              От това,че  1201=12.100+1 ,то  със сигурност можем да твърдим,че съществува правоъгълник в който са засадени  най-малко 13 лалета

.

Задача В леха  с форма  на правоъгълник с размери  100 m x 30m   засадили   няколко нискостеблени  дръвчета с праскови . Известно,е че  съществува  правоъгълна леха с размери   10 m x 3 m  в която са засадени най-малко 31 прасковени  дръвчета .Колко най-малко  дръвчета трябва да се засеят ?

А) 3000                    B) 2999                    C) 3001            D) друг отовор

 

Задача    Да се докаже,че измежду  пет цели числа ,винаги могат да се намерят три ,чиято сума се дели на три.                                       

                                                             Решение.

Очевидно ,ако три от числата  имат  различни остатъци  при деление на три  , то сумата от числата  се дели на три  ,защото     3k+3s+1+3l+2=3k+3s+ 3l +3

 Аналогично ,ако има три числа с равни остатъци , то  сумата  им ще се дели  3  Пример: Нека остатъкът на трите числа е единица                                                                                                                                                                          Тогава 3k+1 +3s+1+3l+1=3k+3s+ 3l+3

-Ако от дадените 5 числа има три, които имат  три различни остатъка при деление с три,то тяхната сума се дели на три  и твърдението е доказано .

  -Нека няма три числа с различни остатъци , така е остатъците  на тези пет числа при деление с три  са   не повече от  два . 

От това,че  5=2.2+1   и  2+1=3  , то  от ПД  следва,че  съществува  „чекмедже в което има най-малко три числа с един и същ остатък .Знаем,че три числа с един и същ остатък  се делят на 3 

        

 

Задача Дадени са  17 цели числа . Да се докаже,че от тях могат   да се изберат  5 ,чиято сума се дели на 5

                                                                                        Извод:

В група от 17 произволни   цели  числа  или има пет с еднакви остатъци при деление с 5  ,или има пет с различни остатъци  при деление с  5 

                     НЯКОЛКО   ЗАДАЧИ С ПРЕБРОЯВАНЕ НА ВЪЗМОЖНОСТИ 

 С ЕЛЕМЕНТИ НА КОМБИНИРАНЕ 

Задача Дадени  са числата 1,2,3,4,,5.... 12  .На  картончета са написани  всички  възможни суми  на всеки две от дадените числа .Да се докаже,че  съществуват  поне  4  картончета , на които  са записани  еднакви числа .

                                                                         Решение                                                                                                           Да изчислим всички възможни   сборове  от всеки две  от  12-те естествени числа .

Ако първото  съберем с останалите  11 ,това  са точно 11 сбора

След  това  второто число  с останалите  10 , това  са точно 10 сбора

...............................................................................................

Накрая  събираме последните две ,това  е  точно  1  сбор  

Тогава всички сборове са : 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=(11.12)/2=11.6=66                                                                    Тогава всички  картончета са 66 .

     Всички сборове  са едно от числата 3,4,5,6,.......23 ,точно  21 различни сбора .За нас   това са „чекмеджетата“

      Тогава   66 „предмета“ ,поставяме  в 21 клетки  .От това,че   66= 21.3+3 и  3 +1=4,то  съществуват  най-малко  4 картончета в които са записани едни и същи числа

 

Задача  Дадени са числата 1,2,3,4,5,6,7,8 и 9 .Образуваме   всички възможни сборове  от  всеки  три  от  тези  числа .Докажете,че  има поне  5   сбора с еднакви суми .

 

Задача Дадени  са числата 1,2,3,4,5,.... 12 .На  картончета са написани  всички  възможни суми  на всеки две от дадените числа .Да се докаже,че от всички суми не по-малки от 11, съществуват  поне  2 картончета , които имат един и  същ  остатък  при деление  с   11 .

                                            Решение

               Разглеждаме само тези  сборове ,които са не по-малки от 11   

             така  е : 11,12,13,14,15 .........23   точно   23-11+1= 13  сбора

Възможните остатъци при  деление с 11  са   0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10- точно  11

За нас те са клетките

В тях ще поставяме   13  картончета (сбора)

От това,че  13 = 1.11 +2 и  1+1=2  ,то съгласно  ПД  следва, че  съществуват   2 картончета с един и същ остатък при деление с 11

 

Задача Дадени  са  числата 1,2,3,4,5......12  .На  картончета са написани  всички  възможни суми  на всеки три  от дадените числа .Да се докаже,че  съществуват  7 картончета , които имат един и  същ  сбор   ?

 

Задача Съставете  подобна задача

 

Задача Числата от  1 до 10  са  написани в редица в произволен ред. Всяко от тях е събрано с номера на мястото, на което стои. Да се докаже, че поне две от получените суми завършват на една и съща цифра.

    Упътване Нека числата   подредени по мястото което  заемат  са:    а1 , ......  а10 

Тези числа събираме с местата ,които заемат и получаваме  съответните суми

а1 +1  ,  а2 +2...........а10+10 -точно  10  суми ,                                                                                                                                 като  аi   са едно от числата от 1 ,2...... 10 .                                                                                                           

Трудността при решаване  на   задачи  ,в които се  прилага  принципа  на  Дирихле   е правилно  да определим  кои  ще са предметите, кои – чекмеджетата,. По нататък при решаването на задачи  ще избираме подходящи „предмета(множества) „ и ще конструираме  съответните им   „чекмеджета „                                                                          

 

 

ЗАДАЧИ    ЗА    6    И    7    КЛАС 

     

 

                                                                      ДЕЛИМОСТ НА ЧИСЛАТА

Задача . Нека n е нечетно число. Да се докаже,че измежду

     n2  -2n +2 наброй естествени числа,могат да се  изберат n числа чиято сума се дели на n.

                                                    Решение.                                                                                                          . Остатъците от деление на n са n на брой -    числата 0,1,2........n-1.                                                                                     Ако всички различни  остатъци при деление   на  n2-2n+2 с n са различни, 

то, сумата на тези n числа с различни остатъци  ще се дели  на n  ,                                                                                    защото  -0 +1+2+3+4+.......(n-1)= n(n-1)/2,   а    2 / n-1

 Нека   различните остатъци ,които дават дадените числа при деление на n  са   n-1.                                                                                                                                                                                                                          

  Разполагаме с n2-2n+2= (n-1)(n-1)+1 наброй  елемента , които ще     разпределяме   n-1 клетки  и                            

(n-1)(n-1)+1>(n-1)(n-1)  ,така е , n-1+n=n  числа ще имат един и същ остатък  при деление на n.

                        Следователно и в този случай тяхната сума ще се  дели на n.

 

ЗадачаНека   а1......  а37   ,   в1 ....  в37 ,  с1........с37      са цели числа.                                                                               Да се докаже,че съществуват естествени числа  k ,l, и m

които не надминават  37, и числата

аk  + аl + аm /3    , вk l m /3 , сklm    /3 са цели числа.

                                              Решение  

                                                                                                                                     

  Ще прилагаме последователно ПД в трите групи от числа .

 От това,че 37= 12.3+1 и от ПД съществуват най-малко тринадесет числа  с един и същ  остатък при деление с 3 .

1)Тогава измежду числата  от първата  група  а.....   а37  , съществуват най-малко 13 числа с един и същ остатък при деление с 3 .

2)От  втората група вземаме точно 13 числа и то тези които стоят  на същите места като 13 числа с равни остатъци  при деление с  3  в първата група .От тях винаги можем да изберем ,поне 5 които се делят на 3

3)От  третата група вземаме точно 5 и то тези, които стоят на същите места ,като 5 -те числа във втората група ,имащи  еднакви остатъци при деление  с  три

Нека това са числата :с1 ........с5                                                                                                                                                       В предходните задачи сме показали ,че от всеки пет числа винаги могат да се намерят поне три  ,чийто  сбор се дели на три

 Нека местата на които стоят са  k ,l, и m,следователно числото  сk lm   /3   е  цяло число, и  съответните  им числа   в другите групи

аk  + аl + аm /3    , вk l m /3 са също цели числа .

 

 

Задача .Да се докаже,че измежду 100 цели числа ,винаги могат да се намерят   няколко (или едно),сборът на които ,се дели  на  100.

Упътване :Образувайте сборовете –

първото число ,

първото с второто число ,

първото с второто и третото число

........................................................

първото с второто ,третото число ...... и последното число

Разгледайте  техните  остатъци при деление със 100 .

 

Задача . Числата от 1 до 1987  са разместени по произволен начин  и са номерирани . Ако умножим всяко число с номера си ,да се докаже,че може да се намери произведение ,което е по-голямо или равно на  994.994  .

Упътване :Номерерайте числата и образувайте  съответните произведения.Разгледайте числата след  номер 993 .

 

Задача  Дадени са n+1 различни естествени числа ,всяко от които  е по-малко от 2n.  Да се докаже,че могат да се намерят три  числа, такива,че едното от тях да  е  равно на сумата от другите две.

Решение: Да означим и подредим  дадените числа по големина  с :                                  

 а 1 , а 2   ,а 3   , ....  аn+1

така,че 1  по малко или равно  от  а 1  < а 2       ……. an+1 

тогава  1 е по-малко или  равно  на  а 2  - а 1<   а 3 – а 2  .....<аn+1 -  а 1

Числата    а 1 ,  а 2 ,  .....  аn+1  ,  а 2  -  а 1 , ........  аn+1   -  а 1  са   n+1+n  наброй естествени числа ,които са по-малки  от 2n. Като приложим принципа на   Дирихле ,ще следва че ,две от числата са равни . Тъй като числата  са различни , то и образуваните разлики  ще бъда различни  .                                 

Тогава съществуват  i  и j такива ,че    ai    = aj   -   a1    

 

Задача  .Да се докаже,че съществува число ,делящо се  на 1985,десетичния запис на което съдържа  само нули и еденици.

Упътване.Разгледайте множеството от 1986 числа

 А = {1,11,111,1111,..........111....111 }                                                                                                                                      докажете ,че съществуват два елемента  разликата на които се дели  на 1985.

 

Задача .Докажете , че  съществува естествено число, последните четири  цифри на което са  1972 и което се дели  на 1971.

 

Задача  . Съществува ли естествено число, което е степен  на числото 3 и което завършва  на 0001 ?

                                                   Решение.

Търсим подходящата конструкция ,за която да приложим принципа на Дирихле.За целта разглеждаме следното множество   от 104  на брой числа –     3 , 32 , 33 , ...... 310.10.10.10  

При деление с  104   с числата от това множество ,ще получаваме остатъци различни от нула, тъй като (3,104)=1

 От това,че разполагаме с 104  наброй числа ,които имат най-много  104  - 1 различни остатъци   от ПД,

 следва ,че съществуват  поне две числа, които имат един и същ остатък при деление  с 104.

  Тогава тяхната разлика ще се дели на 104,така ,е   - съществуват естествени   числа   m  и  n  

такива ,че m   <   n   и   104  / 3m   -   3n =3n(3m-n  -  1)

Откъдето правим извода ,че съществува степен на числото 3 която завършва на 0001.

 

Задача  Да се докаже ,че ако целите числа  a и m са взаимно прости , то съществува  естествено число n , за което произведението  n.a  при  деление  с m  дава остатък 1.

 

Задача  .Ако целите  числа   m и n са взаимно прости ,то съществува естествено число k , такова че  mk -1 се дели на  n.

                                    Решение 

  Разглеждаме  числата   m  ,m2   ,m3 …….. mn+1 . От  n +1 числа , според ПД  винаги могат да се намерят две  числа , които имат един и същ остатък  при деление на  n . Следователно  съществуват числа 

  l и t  ,l>t, за които   ,   n / ml -  mt ,,тогава  n /mt (ml- t    -  1 )  ,но  ( n ,mt  )=1, тогава   n/ml-t   -  1

  И така с  подходяща конструкция ,доказахме че съществува естествено число k=l -t за   което   n/  mk   -  1

                ПРИЛОЖЕНИЕ  НА ПРИНЦИПА НА ДИРИХЛЕ В ГЕОМЕТРИЯТА

                                 

                                      ТОЧКИ , ОТСЕЧКИ  И  ОЦВЕТЯВАНИЯ

 

Задача  .Всички точки  на  ученическа дъска са оцветени  в два цвята  син  и  червен.Да се покаже,че винаги може да се намерят две  точки на дъската оцветени в един и същ цвят разтоянието  между които  е точно  единица

Решение

Вземаме  една  точка от дъската . Тя ще е оцветена в синьо или  червено.Нека точката е оцветена  в  синьо.С център тази точка  построяваме  окръжност с радиус  единица.

Ако   поне  една точка  от  окръжността  е  оцветена в синьо,то  твърдението  е  вярно.(Чертеж 1)

Ако  не съществува  точка оцветена със синьо,така  е  всички точки  на окръжността   са   оцветени  в  червено (Чертеж 2),от  прозволна  червена точка лежаща на   единичната окръжност  построяваме  окръжност с  радиус  единица ,която ще пресича дадената  в  две червени точки,  които са на разтояние единица от така избрания център.И в този случай , винаги съществуват  две точки на разтояние   единица   оцветени  в  един цвят

 

    

 Задача  В равнината са дадени 7 точки със следното свойство : измежду всеки три от тях има две ,разтоянието между които е по-малко  от единица . Да се докаже ,че  от седемте дадени точки , може да се изберат  четири ,които могат да  бъдат покрити от кръг с  радиус   единица .

                                                  Решение.

 Вземаме произволна точка А  от седемте  и  описваме кръг с радиус единица с център тази точка.Ако всичко точки са в този кръг, то задачата е решена. Нека поне една точка лежи  извън  него. Описваме  единичен кръг с  център тази точка  B.Вън от  двата  кръга  не може да имаме точка С от седемте ,защото  тогава съществува  триъгълник  ABC  със страни ,по –големи  от единица.

Тогава ,ще разпределяме  5 точки от дадените  7 в два кръга с  центрове две от седемте точки

От  ПД ще следва ,че  поне в един от двата кръга ще имаме  поне четири точки,защото  5 = 2.2+1  и 2+1=3.

 

Задача  В равнината са дадени  2n +1  точки  със следното свойство : Измежду  всеки три от тях  има две ,разтоянието  между които е  по-малко от единица .Да се  докаже,  че  измежду всичките дадени точки  могат да се изберат n +1 , които  да бъдат покрити от  кръг  с  радиус  единица.

 

ЗадачаВ равнината са дадени   n2 – 2n+2 точки (n е по голямо или равно на 3) със следното свойство :Измежду всеки n от тях има две , растоянието между които е  по-малко от единица .Да се докаже ,че  измежду всичките  дадени точки   могат да се изберат    n  точки, които да бъдат покрити от кръг  с радиус единица .

                                                                Решение

Ако от дадените точки съществуват n ,растоянието между които, е по-малко от единица задачата е решена              .От условието следва,че най-малко n -1  точки могат да се намират на растояние  по-голямо от единица  една от друга .   Нека това са точките A1 , A2   ,A3   ,A4 ....  An-1

Да опишем единични окръжности около тези  n-1 точки .Тогава нито една от оставащите 

 n2 – 2n+2 -(n-1)=n2  3n+3  точки,не може да попадне 

извън тези n-1 окръжности (в противен случай ще получим ,че съществуват  n точки , растоянието между всеки две точки от  които  е по-голямо  от единица )

Следователно ще разпределяме  n2  3n+3  =(n-1 )(n-2)+1 точки в  n-1 на брой окръжности .Тогава според принципа на Дирихле ще съществува окръжност ,която ще покрива най-малко  (n-2)+1=n-1 точки .

По този начин заедно с  точката ,която е център на тази окръжност ,показахме,че винаги съществуват наброй точки от  дадените ,които могат да се покрият с радиус  единица .

 

Задача  . В равнината  са дадени 6 точки .Отсечките които ги съединяват са оцветени в червено и синьо.Докажете ,че три от точките са върхове на триъгълник  оцветени в един и същ цвят.

                                                       Решение .

Да означим с А една от дадените точки  и разгледаме петте  отсечки , единият от върховете  на които съвпада със точка  А . Тези отсечки са оцветени  в два цвята  и тъй като  5 = 2.2 +1>2.2 от ПД  следва извода ,че  поне три от тях са едноцветни . Да предположим,че  отсечките   АВ1 , АВ2 , АВ3    са сини. Ако  някоя от  отсечките   В1  В2,  В2 В3, и В3 В1  е синя , съществува триъгълник  със   сини страни  и  с  връх в точката  А.                                                                                      

Ако и трите отсечки    В1 В2 , В2 В3  и   В3 В1 са червени , един  триъгълник  с желаното свойсто е  В1 В2  В3

 

Задача  . Всичките 9  околни  ръба  и всичките 27  диагонала на основата на една деветоъгълна пирамида са оцветени :някои от тях в червено , а останалите в синьо .Да се докаже,че съществуват три върха на пирамидата ,които са върхове  на триъгълник,чиито страни са оцветени в  един и същ цвят .

Забележка :Покажете,че аналогично твърдение в осмоъгълна пирамида не съществува

 

Задача  Дадени са 17 точки ,отсечките между които са оцветени в три  цвята .Да се докаже,че три от точките  са върхове на триъгълник с едноцветни страни ?

                     

 

Принципът на Дирихле  в геометрията   е познат  и със следните формулировки :

 

1)За дължини и отсечки -Нека  отсечките    d1  d2  ,d3   ,d4 ....  dn

се  съдържат в отсечката  и сборът от дължините  на дадените отсечки     е  по-голям от d .

Тогава поне две от  дадените отсечки имат обща точка .

    Ако допуснем,че не съществуват  отсечки с обща точка стигаме до противоречие  с условието,че  сборът от дължините е по-голям от d.

 

2)За  лица на фигури – Нека фигурите  P1  P2  ,P3    ....  Pn

се съдържат  във    фигурата P , и сборът от лицата  на дадените фигури   е по голям от лицето на P.Тогава поне две от фигурите    P1  P2  ,P3   ....  Pn   имат обща точка .

3)За дължини на дъги и окръжност – Ако  n наброй дъги са разположени върху една окръжност  и ако  техният сбор е по-голям от дължината на дадената окръжност ,то поне две от дъгите имат обща точка .

 

Задача  В квадрат със страна единица  са избрани по произволен начин 51 точки. Да се докаже, че поне три от тях се съдържат в квадрат със страна 0,2.

          Решение                                                                                                              

 Да разделим квадрата на 25 еднакви квадрата със стана 0,2 с прави, успоредни на страните му. .

 От  това,че  51>2.25 следва,че  има поне един квадрат,  който съдържа 3 точки.

 

 

Задача  Дадени са 7 отсечки .Дължината на всяка от тях  е не по-малка от  10 cm и по-малка от 130 cm . Докажете ,че  от някои три от тях  може да се образува   триъгълник .

  Упътване :Допуснете противното и приложете принципа на Дирихле                                                 

 

Задача   Във вътрешността на равностранен триъгълник  със страна единица  са  разположени 5 точки .Докажете,че  съществуват  най-малко две  от дадените  пет точки , такива че разтоянието между тях  е по-малко от 0,5.

                                                 Решение                                                                                                                           Средите на страните на триъгълника ,го разбиват на  четири еднакви равностранни триъгълника  със страни  0,5 единици ( доказва се с еднакви триъгълници).

  Тогава от П Д ще следва ,че съществуват поне две  точки от дадените пет , които ще попаднат в  един  от тези четири триъгълника.

Тъй като точките не могат да бъдат  върху страните   на  даденият  триъгълник  ,то  разтоянието между тези две точки ще е по-малко от 0,5.

 

Задача   В квадрат със страна единица  са разположени  произволно  101  точки ,като никои три от тях не лежат на една права .Докажете ,че  съществува триъгълник с върхове в тези точки ,чието лице е не повече от 1/100 .                                               

 

Задача   Върху страните  на триъгълник  ABC с  лице 1988 квадратни единици.са взети 500 точки ,между които са и върховете на триъгълника .Да се докаже,че от тези точки могат да се изберат три ,които са върхове на триъгълник с лице ,по-малко от 4 квадратни  единици .

                                                      Решение          

Ще  трябва  да потърсим такова  разбиване   на  триъгълник  ABC  на  триъгълници ,че  сумата от лицата им да дава лицето на  ABC  .Като изключим върховете на триъгълник  ABC ,върху страните му ще има 497  точки. Нека с m ,n и p означим съответно броя на точките  върху страните   AB, AC И  BC.(възможно е върху някоя страна  да няма  точки)Нека m>n (или равно), m>p(или равно).Да означим с   M1 ,   точката ,която е най близко до върха A , а с  Mm   ,точката  която е най-близо до върха  B.Свързваме върха C с всичките  m точки  върху страната AB .  Заедно  с   и  B  точките  са m +2 ,а триъгълниците ,които получаваме са  m +1 .Върху AC  има точно  n точки .Свързваме  всяка една от тях с точката  M1 и  получаваме   n+1  триъгълника .По същият начин свързваме всички точки са върху BC   с  M m  и  получаваме още  p+1  триъгълника По този  начин триъгълник ABC е  разбит  на  m -1+n +1+p+1 =m+n+p+1 = 498  триъгълника .                                                                                                             Ако  върху  CB   няма точки ,то точките ще се прехвърлят върху две от страните

  и изводите ще са същите.

Нека допуснем , че не съществува триъгълник ,такъв че лицето му да е по-малко  от четири квадратни единици , така е всички триъгълници  да имат лице ,по-голямо или равно  на 4 .Тогава ще получим,че лицето на триъгълник ABC   е по-голямо или равно на 1988 квадратни единици .С което твърдението е доказано .             

 

Задача   В триъгълник  с лице 15 квадратни единици  са поместени 10 квадрата  с  дължини на страните  най-малко единица  и три правоъгълника   със страни 2 и 1 .Да се докаже,че има две фигури които имат обща точка .

                                                   Решение

Сумата от лицата на квадратите е поне 10 ,а сумата от лицата на трите правоъгълника е точно 6 .Общата сума от лицата  на тези 13 фигури е по-голяма от 15 .тогава от принципа на Дирихле,следва че има поне  две фигури които имат обща точка .

 

                       

Задача Нека M е изпъкнал многоъгълник  с лице S и периметър P.Да се докаже,че в M може да се разположи  кръг с радиус , по -голям от S / P

 

Задача Върху една  окръжност  са  разположени няколко дъги  с обща дължина ,по-голяма от половината  от дължината на окръжността -Дъгите нямат общи точки помежду си .Да се докаже,че има диаметър ,двата края на който  са върху тези дъги.

Упътване Разгледайте дъгите симетрични на тези дъги  и приложете Принципа на Дирихле  за дъги .

 

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg