В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Принцип на крайния елемент .Задачи с определяне на най-голям или най-малък елемент за ученици от 5 до 7 клас

"/>
                                          



                                                          Да разгледаме  следната задача:


 При   компютърна игра се стреля  по цевите на  6 оръдия,за точно определено време . На екрана излизат няколко оръдия с три цеви ,няколко с четири цеви ,а останалите с пет . В  игра Петър улучил  цевите на всяко от шестте оръдия и то така,че улучените  цеви на едно от   оръдията  са  общо  4  пъти  по-малко  , отколкото улучените  цеви  на всички останали. Общо колко цеви  е улучил Петър за определеното време?

                                Задачата решаваме на два етапа :

  • · Отделяне на възможно решение 
  • · Показване ,че има такава възможност  

-На екрана има от всеки  вид 

-Най-малък брой цеви на екрана,които  може да  вижда Петър  3.4  +4+5=21  цеви

-Най-голям брой цеви на екрана,които може да вижда Петър  1.3  +1.4+4.5=27  цеви

-Тогава улучените  цеви  са  : 21,22,23,24,25,26 или 27 

От второто условие  -ако едно оръдие  има x улучени цеви , то останалите четири ще имат  - 4x улучени цеви – общо  5x  цеви От всички случаи само 25 се дели на 5

Възможно ли е такова решение 

Пример – 3.2 +   4.1 +  5.3   =25

1.5 и  4.5




При решаването на тази  задача   определихме   най-малкото  и най-голямо значение  на броя на цевите на екрана . По –този начин  показахме ,че решението на задачата  е  в интервала от  най-малкото до най-голямото значение за броя на цевите .После лесно с даденото допълнително условие  открихме търсеното решение -25        

Названието на този вид задачи  произлиза от гръцката дума  EXTREMUM, която в превод означава краен .         

Ще разгледаме  задачи в които, решението се открива  по-лесно ,като първо определим  крайните стойности – най-малка или  най-голяма при числа , най - къса  или най- дълга  при отсечки , най-лява или най-дясна при точки и така нататък  ,  и после от допълнителните условия в задачата  намерим търсеното   решение .В някои от задачите ще оценяваме средните стойности ,за да достигнем до най-малките или най-големите  възможности .                           

Ще разгледаме и  задачи  в  които,всички  елементи притежават  общи свойства , така  е те са равноправни  . 

Пример:За всеки две числа ,има число което е по -голямо от сбора  на дадените числа  или  измежду всеки  три точки  има поне две ,такива ,че отсечката която ги съединява е по-голяма от 3 и така нататък . За тези задачи  прилагаме "Принципа на крайния елемент " - като отново избираме най-малко или най-голямо  число или  най-лява или най-дясна  точка или най-къса или  най-дълга  отсечка .

В математическата литература този принцип  се нарича "Принцип на крайните възможности " .




ПЪРВА ЧАСТ –  ЗАДАЧИ   ЗА УЧЕНИЦИ ОТ                      5 и 6  КЛАС

 





Задача  Горска пътека водеща  към  поле  от диви ягоди се разделя на три  пътечки  - наляво ,  надясно и по средата .Група планинари от  1000  човека потеглили към полето  от  диви  ягоди  ,като  се  разделили  на три  групи по трите пътечки .Знаем,че  предпочелите пътечката по средата  са повече от  тръгналите вляво и дясно заедно , а разликата  им  е   96 .Колко  туристи са тръгнали по –средната пътека ?

Решение

Проверките ,ще са много ,ако не  ги намалим

От това,че тръгналите по –средата са в повече от тръгналите вляво и вдясно, то  правим извода ,че те са  повече от 500 , в противен случай ,броят на всички ще е по-малък от 1000 (пример 499 , 200 +298 =997<1000)

  • ·  Тогава  тръгналите по средата могат да са :                                                                                                    501,502,503,........997,998
  • · Тогава сборът на другите две групи  може да е съответно: :499,498,497,.........
  • ·  Тогава разликата между групите може да е съответно :                                                                                                          2,4,6, ..............994( 1.2,2.2,3.2,4.2,5.2 .........)

Ще търсим разлика равна на 96  ,това  е деветдесет и осмата възможност  за групите.                                        Тогава те  са    : 598 и 402

Отговор :598 




Задача Сборът  на   три естествени  числа  е  36 . Сборът   на  две от  тях  е  по-малък   от   най-голямото  от  трите числа и  е  кратен  на  8  , а разликата  на тези две числа    е  2   .Кое е най-малкото от  трите   числа ?

Решение .

 

Сборът на две от числата  може да е  8,16,24 и 32

Разликата им  е винаги 2   

·         Ако сборът е  8 ,разликата две, числата са  5,3 и 28

·         Ако сборът е  16 ,разликата две ,числата са  9,7  и 20

·         Ако сборът е  24 или  32  то, той ще е по-голям  от  най-голямото число .

Най-малко число от  двете решения  получаваме при тройката числа

28,  5 и 3   и това е числото  3





  Задача  Три приятелки  хвърлили  едновременно три стандартни зара .И трите зара показвали  различно   число .Ако  сбора на трите  числа  е   12 , опишете  всички възможни числа  на трите зара .

 с                     А)1 1           B)1 2              C)1 3               D) 14        E )  15

                                                                         Решение  

                                                                        Важни  изводи :

(1)От това,че сбора на три различни числа е  12 ,то  правим извода,

че  най-малкото от тях,  е  не повече от   3 .Пример ,ако най-малкото е 4 ,следващите по-големина  са  числата  5 и 6 ,но сбора  4+5+6=15>12

 (2) От това,че сбора на три различни числа  е 12 ,то  правим извода,че  най-голямото   от тях  е   по - голямо от  4

(Ако   е  4  , за  сбор 12 ,  има само една възможност  и   тя  е  4+4+4) 

   - Нека  най-голямото е  5 ,тогава  5 +4+3=12  и  друга възможност няма

   - Нека най-голямото  е  6  ,тогава  6 +5+1=12 и 6+4+2=12

Възможностите са три: (5 ,4 и 3)  ,  (6 ,5  и  1)  и ( 6,4 и 2)





Задача  В гимнастически салон има следните уреди: обръчи, топки и ленти. Те са общо 30. Лентите са с 11 по – малко, отколкото обръчите, а топките са повече, отколкото лентите и  обръчите взети заедно. Колко на брой са топките?

(МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР „Академик  Кирил  Попов „ Шумен)

Отговор  17)


Забележка В задачата  ще намерим  колко са всички  гимнастически уреди .

Решение  От това,че   топките са повече, отколкото лентите и  обръчите взети заедно, правим извода,че  топките са най-малко 16    ,в противен случай  уредите ще са по-малко от 30 (ако са 15  няма да са повече от лентите и обръчите заедно).                                             

 - Нека топките са 16 .Тогава  лентите и обръчите са 30-16=14  , но те имат разлика 11 .Тогава получаваме ,че два пъти лентите са 25 , което не е възможно .                                                                                                                   

-Нека топките са 17 ,тогава лентите и обръчите са 13 с разлика 11 .Тогава два пъти  лентите  са 24 .Следователно лентите са 12 ,обръча е един ,топките са  17                                                                                                           

 -Ако топките са 19 или повече ,то разликата  между лентите и обръчите  ще е по-малка от 11

Отговор: 17 топки , 12  ленти  и  1  обръч  




Задача  Ако умножа годините на по-голямата ми сестра    с  5  и прибавя моите, ще получа 50 .Колко  са моите години ?                                                    

 Решение  Нека моите са x , а на  сестра  ми y . Тогава  x< y   и   5y + x=50 .Годините на сестра ми  са най-много  9 .Ако са 9 то ,тогава моите са  5  .                                 

Ако годините  на по-голямата ми сестра  са 8(или по –малки от 8) , то моите са  10 , което не е възможно, аз съм по –малък ) .                                                 

Отговор  :Аз съм на  5 години 






Задача  Сбора от годините на четири човека   е 60 , като сбора от годините  на  тримата     е  по-малък от възрастта на най-големият . Разликата от годините на двамата  най-млади е  5 .Ако годините на най-възрастният  са кратни на 10 , и  всички  те  имат различна възраст , намерете всички възможности за  възрастта на четиримата ?  

Упътване :Използвайте  подходите  от предходните задачи . Отговор - три  възможности за  годините на четиримата 






Задача Пет  отбора от  шестите   класове  провеждат турнир по математика  Известно е,че всичко отбори  в крайното класиране имат различен брой точки и сборът от  всички точки е 414 .Ако   класиралият се отбор на  първо място  е с  85 точки ,то колко са точките на отборът класирал се на последно място ?

                                           Решение

·         Тъй като 85+84+83 +82 +81 =415>414                                                                                                      Тогава отборът  е получил  по-малко от 81 точки 

·         Ако е 79,то 85+84+83 +82 +79=413 <414                                                                                           Тогава отборът е получил  повече от   79

·          Тогава отборът класирал се на последно място е получил 80 точки .





Задача  Катеричките Ади, Ани и Аси събрали общо 7 ореха като всяка събрала най-малко по един орех и броят на събраните орехи от всяка една от тях бил различен. Ади събрала най-малко, а Ани – най-много. Колко ореха е събрала Аси?                                                                                                                      A) 1          B) 2         C) 3     D) друг отговор

(Математическо кенгуру)






Задача   14 различни естествени числа имат  сбор   118. Колко  може да е  възможно най-голямата разлика на две от тези числа.

      А) 24           B ) 25          C) 26             D) 27

Отговор : C)

 Решение

Нека сумата е без единица .

Понеже са различни  ,то най-малкият сбор от 14 числа е:   2+3+4+5+6+7+8+9+10 +11+12+13+14+15  =119 >118

Следователно едно от числата  е  1.                                                                                                                             Тогава най-голяма разлика на две числа  измежду тези 14 числа ,ще получим, като разлика от най-малкото и най-голямото  от тези числа .Най-малкото  е 1 ,търсим възможно  най-голямото.                         

От това,че  1+ 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13 =91 <118, то 14 число е най-голямо ако е 27

Тогава търсената разлика е 27 -1=26


 




Задача Сборът на 10 различни естествени числа е 56. Намерете възможно най-голямата разлика на две от тези числа.

      А) 10            B) 11                        C) 9                       D) 8

(Коледно математическо състезание)

Отговор A)




Задача  Десет  различни  естествени числа имат сбор 96  . Намерете най-голямото от  тези числа , ако най-малкото е ,не по –малко от  5       

А) 10            B) 11                        C) 15                      D) 8                                                                                                                 Отговор : C) 







Задача. Сборът на 14 нечетни естествени  числа е 40. Най-малката възможна разлика на най-голямото и най-малкото от тези числа е:

      А) 26          Б) 11                        В) 9                       Г) 8

(Коледно математическо състезание)

Решение По няколко  начина можем да получим сума 40  от  14 нечетни естествени числа ,но ние трябва да открием кога тази разлика е най-голяма.От това,че най-малкото нечетно число е  1 ,то ще търсим 13 нечетни числа със сума 39 .

  • ·Нека най-голямото нечетно число е 29 ,тогава до 39 остава сума 11 ,която   можем  да  получим  само от   единици ,общо 11 числа .В този случай обаче, получаваме сбор от   12  числа .
  • Нека най-голямото нечетно е 27 ,до 39 остава сума  12  и тя може да се получи само от 12 единици .

27 +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 =40

Тогава  най-голямата разлика  е 27-1=26

Забележка :

Това са други възможности за образуване на сбор 40 от 14 нечетни числа ,но разликите между най-голямото и най-малкото число са по -малки от 26

1  + 1 +   1   +1   +1  + 1  + 1   +5+5+5+5+3+3+7  или 5+5+5+5+3+1+1+1+1+1+1+1+1+9  




Задача

СЛУЧКИ В КВАРТАЛА

В квартала живеят 14 младежи. Всички те са обединени в различни клубове. По правило, всеки клуб е длъжен да има не по-малко от трима младежи, и два клуба се считат за различни, ако не се състоят от едни и същи членове. Освен това, всеки младеж може да бъде  член на не повече от два клуба. Колко най-много клубове може да има в квартала?

Математически турнир „АКАД. КИРИЛ ПОПОВ“ШУМЕН,  МАЙ2016

, ОТБОРНО   СЪСТЕЗАНИЕ  , ПЕТИ   КЛАС

Решение: Нека в квартала има х клуба и всеки клуб издава членска карта. Тъй като всеки клуб има не по-малко от 3-ма члена, то броят на картите е не по-малък от 3x . Но  всеки младеж има 1 или 2 карти. Следователно всички членски карти са не повече

от 2.14 =28 на брой.

Получаваме 28 > 3x , т.е. x < 9 (х е цяло число).

Това означава, че в  квартала може да има най-много 9 клуба.

Остава да дадем пример за членуването на 14 младежи в 9 клуба така, че:

(1) Всеки клуб да има поне 3-ма членове;

(2) Всеки младеж да членува в не повече от 2 клуба;

Пример:  Ако номерираме децата с 1,2,3,4 ....15 ,то едно примерно разпределение в 9 клуба  е : (1,2,3) ; (1,2,4 )  ; (3,4 ,5) ; (5,6 ,7) ; (6,7 ,8) ; (8,9 ,10) ; (9,10 ,11) ; (11,12 ,13) ; (12,13 ,14) ;15 –тото дете го добавяме в някой произволен клуб

 





Задача   Учителката записва на дъската няколко различни естествени числа, а учениците трябва да запишат в тетрадките си всички възможни сборове на числата по двойки. При това, ако един сбор се получи повече от един път, то той трябва да се запише в тетрадките само веднъж. Например, ако на дъската са записани числата 1, 2, 6 и 7, учениците трябва да запишат в тетрадките си по веднъж числата 3, 7, 8, 9 и 13.                                                                                                

а) Учителката записала на дъската 5 числа. Колко най-малко и колко най-много числа могат да запишат учениците в тетрадките си?                                                          

b) Колко най-малко числа трябва да запише учителката на дъската, за да могат учениците да запишат в тетрадките си точно 11 числа?

 (Зимни математически състезания ,2011 година )

Решение:                                                                                                                                      

 а) Нека записаните числа на дъската са: a<  b<  c<  d < e                                                                                     Тогава сумите a+ b  , a+ c  , a+ d  , a+ e  , b +e , c+ e  и d +e  , които са 7 на брой, са различни, защото са наредени по големина. Следователно учениците трябва да запишат в тетрадките си поне 7 числа.  Ако на дъската са записани например числата 1, 2, 3, 4 и 5, лесно може да се провери, че учениците трябва да запишат точно 7 суми – числата от 3 до 9 включително.                                                                   

Най-голям брой числа, които учениците могат да запишат в тетрадките си, ще се получи, ако всички двойки суми са различни. Тъй като броят на всички двойки суми е 4 + 3+  2+  1  = 10, то най-големият възможен брой числа, които могат да се запишат в тетрадките, е 10. Това може да се случи, ако на дъската са записани например числата 1, 2, 4, 8 и 16.                                                                                                                                  

b) От решението на а) следва, че на дъската трябва да бъдат записани поне 6 числа.  Това е търсеният най-малък брой, защото примерът със записани числа 1, 2, 3, 4, 5 и 8 дава точно 11 различни суми – всички числа от 3 до 13 включително.

 



Задача Двадесет на брой петици са записани една след друга: 5 5 5 ... 5 5. Напишете между някои от  цифрите знака „+”, така че полученият сбор да е равен на 1000. (За цифрите, между които не е  написан знак, считаме, че образуват едно число.)  

 (Зимни математически празници)

Решение.

1. Ако всички събираеми са  едноцифрени числа, получаваме

(5 +5 +.....5)=100 , което е по.малко от 1000

2. Ако всички събираеми са едноцифрени или двуцифрени числа, получаваме най-много

55 +55+....+ 55= 550< 1000  (защото 5+5<55)

3. Ясно е, че има поне едно трицифрено число 555. Не може да има две трицифрени числа, защото

555 + 555 = 1110 > 1000.

4. Останалите 17 петици са двуцифрени и едноцифрени числа, чийто сбор е 1000- 555= 445  . Тъй  като 8.55 = 440, то 8 от числата са двуцифрени (2 т.) и останалата петица е едноцифреното число.

 Окончателно   555+ 55 +55 ......+55 +5 =1000

 




 В следващите задачи  използваме правилото : "Да подредим елементите  по    големина  "




Задача Шестите класове  в едно училище  са  143  ученика ,разпределени в 5 паралелки.Най-малкият брой  ученици в една паралелка е  25 , а най –големият е  34 .Колко са  различните възможности за разпределяне на учениците в тези пет  паралелки ,ако има само една паралелка с 25 ученика и само  една с 34  ученика.                                                                        

 Решение

От това  ,че най-малкият брой е 25 , а най-големият е 34 ,то остава да разпределим 143 -59=84 ученика в три паралелки .

  • ·Подреждаме  паралелките по големина – a1 <  a2 < a3  , (с a1 ,a2 ,a3  сме означили броя на учениците в тези паралелки)                              .
  •  Тогава   3a3 >  84 ,следователно  в паралелката с най-много  ученици има не-по малко от 28 ученика .Тогава    28  < a3 < 33 ученика  

-Ако са 28 , за другите две остават 84-28=56  и възможността  е  28,28 

-Ако са 29 , за другите две остават 84-29=55  и възможностите са  29,26 или  28,27 

-Ако са 30 , то  възможностите  са   30,28,26 и  30 ,27,27

-Ако са 31 , то възможностите са 31,27 и 26

-Ако са 32 ,то възможностите са  - 32,26,26                                                                                                                                                                                                          

Получихме точно  възможности за  разпределяне на учениците по паралелки .

 

 



Задача Дадени са девет  различни   естествени числа със сума 139 . Да се докаже,че от тях могат да се изберат четири ,чиято сума е не-по малка от 74 .                                                                                                                    

Решение                                                                                                                                                                              

Нека числата подредени по големина са :    a1<a2 < a3 <a4 <a <a6 <a7 <a8 <a9  .                                                                                

В тази задача ще започнем с изводи за   средното по големина  число  a5  

  • Ако  a5 >16 ,то a6 >17  , a7 >18 ,   a8 >19  и a9 >20     ,тогава    a6  +57   + a8  +a9  >17+18+19+20= 74                                
  • Ако  a5 <15 ,то a4<14  , a3<13   ,   a2<12 и   a1<11      ,тогава    a +a2 +a3 +a4 +a<11+ 12 +13 +14 +15 =65 .Тогава сбора на останалите четири   е по-голям или равен на   139-65=74




Задача Митко написал на четири картички  4  числа  .Петя винаги взема по две картички  и  събира  числата записани върху тях  .Ако  сборовете  на Петя  са   едно от числата  13, 14 , 57 ,18 ,  49, 41  ,то  намерете сбора  от  числата , които е   записал Митко на картичките .                                   

  Решение

Нека  числата върху  картичките   са a, b, c и d  .Тогава всички суми по двойки са  a + b a+ c a + d b +c , b + d  и  c  +  d  - точно  6 , като всяко число  a, b, c и d  участва  точно  по 3 пъти в  тези суми .Тогава сбора на всички суми  е  : a + b a+ c + a + d b +c + b + d  +  c  +  d  =3(a+ b+ c + d )  .                                                                       

Тогава   3(a+ b+ c + d ) =192                                          

Тогава  a+ b+ c + d =64   






Задача Дадени са 7 естествени числа  със  сума 98 .Докажете,че винаги можем да изберем три от тях,такива,че  тяхната сума да е не по-малка  от  42 .                                                                                                                          Решение  
Допускаме,че  не съществуват  три такива числа ,така е сумата на всеки три от седемте има сбор по-малък  от  42  .                                                                                                      
 Всички тройки от  7 числа са 35 , като  всяко от седемте числа  в тройките участва  точно  15 пъти .Сумата от всички 35  тройки е  15.98 =1470                        
Да оценим този сбор според допускането по тройки . Сбора на всеки три тройки е  по–малък  от 42 .Тогава сбора от всички тройки ,така e 35 суми е  по-малък  от 35 .42 =1470 ,което е невъзможно ,той е  точно 1470 





Задача   Сумата на  пет естествени различни числа е кратна на 6 .Намерете  тази сума , ако  е известно ,че  сумата на всеки  четири от тях  е не по малка от  46 ,а сумата на всеки три е не по-голяма от  36 .                                                                                                     


  Решение 

Нека  числата подредени  по големина  са   a1 < a2 <a3 <a4 <a5 Нека  S е тяхната сума .

  • Тогава  от условието на задачата  всеки четири от тези числа имат сбор не по-малък от  46 .Да образуваме всички четворки от тези пет числа – те са точно  5 и всяко от  числата   a1 ,a2 ,a3 ,a4  и a5  участва точно  4 пъти във всяка четворка .Тогава като съберем всички четворки , ще получим  точно 4S  .Тогава  4S > 5.46   , така е  S > 55
  • ·         От друга страна  сумата на всеки три  е не по –голяма от 36.Всички суми по тройки са точно  1+2+3+4=10 и всяко от числата  a1 ,a2 ,a3 ,a4  и a5  участва точно по 6 пъти  във всички тройки .Ако съберем всички тройки , то ще получим точно 6S  Тогава  6S < 36.10 , така е  S < 60

                       Тогава S може да е :56,57,58,59,60                                                                                                                                                      Отговор 60)



 Задача Решете предходната задача , като подредите числата по големина.




Задача   Възрастите на петима ученика от едно училище са различни цели числа.Сборът от годините на кои да са четирима от тях  е не по –малък от 45 ,а сборът  от годините на кои да са трима от тях , не надминава 40 .Намерете сбора от годините на  петимата  ,ако той е съставно число  .                                                                     

(Зимни математически състезания ,2009 година ,6 клас )

Упътване :Ако правите  оценки  на сумата по предходният начин ,ще получите  много възможности .Затова тук трябва да намалите  оценките за търсеният сбор  , като използвате   принципа на крайния  елемент                                       

 – Оценете сумата от годините  на най-малките четирима  и най-големите трима                                  

- Оценете  годините  на третият  по възраст ученик   и  покажете ,че те могат да са  само 12 .                                                                                                      Отговор: ) 60







Задача .Дамян записва  във  всяка    клетка   на  чертежа    естествено число  , така че  всяко едно от тях  е по-голямо от  числото записано  преди   три   клетки  преди него   и   по –малко от  числото   записано   8  клетки   преди   него .Покажете,че  Дамян   по това правило не може да  запише число в 17 клетка  . 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение                                                                                                                                                                                  Нека  числата които ,записва   Дамян   в  клетките  са : a1 , a2  ,a3, ….., a 10 .................,като  номера на числото отговоря на номера на клетката в която ,то е записано )

a1

a2

a3

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

a16 

a17




 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нека Дамян  е  записал числото  a17  в  17  клетка.Тогава подредбата на  числата е вярна за всяко число ,записано в предходните клетки , така  е и за  числото  в  16 клетка.   Тогава е вярна подредбата по големина на числата (1) и (2)                                                        

(1)  a2 < a5  <a8 <a11  <a14 <a17< a9   < a1    и     (2) a1 < a4  <a7  <a10  <a13 <a16 < a8                                                                            

От  първото неравенство следва ,че   a1 > a8     , а от  второто -  a1 < a8    , което не е  възможно защото числата между  тях  в  (1) и (2)  са различни .Достигнахме до противоречие с условието на задачата  .Тогава  Дамян не може по това правило  да запише число в   17 клетка.



Задача .Дамян записва  във  всяка    клетка   на  чертежа    естествено число  , така че  всяко едно от тях  е по-голямо от  числото записано  преди   три   клетки  преди него   и   по –малко от  числото   записано   9  клетки   преди   него .Покажете,че  Дамян   по това правило не може да  запише число след  9 клетка . 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение                                                                                    







Задача  Дадени са краен брой  клетки ,във  всяка от които е написано  по едно число.За числата записани в клетките е изпълнено  условието- за всяко записано число в клетка ,може да намерим  други  три  числа ,такива,че  утроеното  число е по-голямо или равно на сбора на  други  три  числа .Да се докаже,че в клетките има записани  поне четири  равни числа .

 

 b

 

 

x

 

 a

 

 

Решение 

Това свойство е вярно за всяко записано число  в дадените  клетки .Понеже числата са краен брой , то  има най-малко число .Нека това число е x.От свойството на числата  следва ,че съществуват  числа   a ,   b  и  c  за  които,    3x  >  a  + b  +c  

От това,че  x  е   най-малкото число  , то  са верни неравенствата (1)   x  <  a     ,  x  <   b  и  x  <  c    

Тогава  е вярно,че  3 x <  a  + b +  c.

Следователно   3 x =a + b  +   c  ,откъдето от  верността на неравенствата (1) , следва,че     x  =a  ,   x  = b   и   x  = c                         






ВТОРА  ЧАСТ –  ЗАДАЧИ   ЗА УЧЕНИЦИ ОТ                     6 и  7  КЛАС

 





Задача Сборът на 9 цели числа (не непременно различни ) е равен на 88.Да се намери най-голямата възможна стойност на техния най-голям общ делител.

                                                       Решение  

Нека целите числа са :a1,a2,a3,a4,.......a9. Нека най-големият общ делител на тези числа е d .

                                        По условие a1+a2+a3+a4+.......+a9=88 .

От това,че d е делител на всяко събираемо,следва че дели и тяхният сбор ,така е d /88

Тогава d е един от делителите на 88 .Всички делители са: 1,2,4,8,11,22,44,и88

Да потърсим ограничение за d

От това,че d е делител на a1, a2,a3,a4,.......a9,то d ≤a1 d ≤a2 ...........d ≤ a9

Тогава, 9d  a1+a2,+a3+a4,+.......+a9=88 ,така е d ≤88/9 <11

Тогава d е най-много 8 .За да е вярно това,ще покажем че такива 9 цели числа съществуват .                                                     Такива 9 числа са например : 8,8,8,8,8,8,8,8,24    





Задача Да се  докаже,че не съществуват такива  осем положителни числа  със сума 1,и такива че, сумата на всеки три от тях да е по-голяма  или равна на 0.38.

Решение. Ще допуснем противното . Има такива  осем  положителни числа .Да  ги подредим по големина .Нека това са числата

a1 < a2 <   a3 <   a4  <  a5 <   a6 <   a7   <   a8

 От това,че  a1 + a2 + a3  > 0.38  и  от това,че a1 < a2 <   a3  , то следва,че a3 >0,38:3

Но   останалите  5  числа   a4  , a5 , a6 , a7  , a  са по големи или равни от a3,следователно всяко едно от тях  е >  0,38:3

  Знаем,че          1=( a1 +a2 +  a3) +  a4  +a5 + a6 +a7   +a8

0.38+5. ,38:3  =(4.0,38:3) >1

  Следователно не е възможно да съществуват числа  с тези свойства.








Задача  В равнината са дадени краен брой точки .Между всеки три от тях могат да се изберат две ,които са на разтояние не  по –голямо от 1 cm .Да се докаже,че  съществуват  два кръга с радиус 1 cm , които съдържат всички дадени точки .                                                                                                                                                                       (Задачи за извънкласна работа по математика )

Решение

Точките  са краен брой ,тогава  отсечките ,които ги свързват са също краен брой .Тогава измежду всички отсечки има отсечка с най-голяма дължина .Нека това е отсечката  AB .

  • ·      Нека   AB<1cm и  точка C  е произволна точка от дадените .От това,че  AB е с най-голяма дължина , то ще е изпълнено  ,че AC < AB < 1 , тогава  точка   C е вътрешна за кръг с център точка A и радиус AB .Но C е  произволна точка от дадените по условие ,тогава и всички точки се съдържат в този кръг 
  • ·      Нека  AB >1 cm  Да разгледаме  двата кръга с центрове точките A и  B и радиус 1 cm и   C  е  произволна точка .По условие за всеки три точки  A B  и  C  съществува отсечка с дължина не  по -голяма от един сантиметър .Това може да е една от отсечките AC  или  BC .Тогава и в този случай  точката C принадлежи на един от двата кръга .Това е вярно и за всяка точка от дадените по условие .

 






Задача  Дадени са  n  естествени числа . Известно е,че  за  всяко число от дадените n , могат да се намерят други  три  естествени числа ,такива,че сбора от квадратите им   е по-малък или равен на утроеният квадрат на даденото число .Да се докаже,че  измежду дадените n числа има поне четири  равни числа .








Задача   Числата от 1 до 19  са написани  в някакъв ред  по окръжност   к  .Да се докаже,че съществува поне една дъга от   к ,която съдържа  6  от числата  и сумата на тези числа е не по-малка  от  61.

(Национална  олимпиада )

Решение. Отделяме най-малкото от числата ,числото единица.Обхождайки окръжността в една от двете възможни  посоки ,разделяме останалите 18 числа на три групи по 6 числа.

Нека сумите им  са  S1 ,   S2  и    S3 

 От  това,че  S1  +  S2  + S3=2+3+4+5+.......+19=189, ако допуснем че,  и трите суми са по-малки от 63 ,то и сборът 

S1 +   S2+   S3< 3.63=189  стигаме до противоречие с условието.Ето защо  съществува дъга от  k ,съдържаща 6 числа ,сумата на които, е не по малка от 63.







Задача.  В правоъгълник с лице  5 квадратни  сантиметра  са разположени  9 правоъгълника ,лицето на всеки един  от които  е  1 квадратен  сантиметър

Да се докаже,че лицето на сечението на кои да са два от тези  правоъгълници  е не по малко от 1/9.

  Решение  Можем да докажем  твърдението само с допускане на противното и стигнем до противоречие с условието на задачата.

 Допускаме,че  сечението  на  кои  да са два правоъгълника е  < 1/9

 Възможните сечения са 8+7+6+5+4+3+2+1=4.9=36(защото първият правоъгълник има 8 общи части с останалите 9 ,вторият 7 с останалите 8 и така нататък )

Ако от общата площ на правоъгълниците извадим общите им  покрити площи ,така е    9-(1/9).36  получаваме сума ,която е по-малка от 5  и  следователно  няма да бъдат разположени  вътре в правоъгълника  с лице  5 квадратни  сантиметра . Следователно  лицето на сечението на кои да са два правоъгълника  е винаги , не по- малко от   1/9

 

 

 

Задача Във футболен турнир участвували  7 отбора ,като всеки два са се срещнали точно по веднъж.   При победа отборите печелят по три точки,при равен по една точка,при загуба не се присъждат точки.В  крайното  класиране  има три отбора на първо място ,един на второ и три на трето място .Известно е,че сборът от точките на класиралите се на  първо място е равен  на сбора от точките на класиралите се на  второ и трето място . Намерете максималният брой точки, които  могат да получат  трите отбора в крайното класиране на първо място  и  броя  на победите и равните срещи  за тази максимална стойност.  

                         

Решение Нека точките на първо място са съответно a  , на второ  b и на трето   c . От това,че отборите са изиграли 21 срещи , то  за общият брой точки  е изпълнено   42 <  3a + b+  3c <63  

От това ,че   3a = b+  3c , то   42 <  6a <63  , така е    14 <  2a <21  

·  Търсим  максималната възможна  стойност за a .                                                                                  Ако 2a=20 , така е  a=10 ,Тогава  30=3c + b  .Тогава  b е 3 ,6,9,12,15 ..... Единствената  възможна стойност за b е 9.Тогава c = 7 

· Нека победите  означим с   x , а равните  с  y .Тогава е вярно ,че   x+ y =21 и 3x+ 2y =60 ,откъдето намираме ,че x=18 , y=3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

3

3

3

3

3

3

1

3

3

0

1

3

3

3

1

3

1

3

1

3

3

3

0

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

10

10

10

9

7

7

7

 

Следователно a=10 е възможно решение  и това е максималният брой точки.В този случай победите са  18 ,а равните срещи  3 .

 

 

 




Задача В  шахматен турнир участвали 8  човека и всички те набрали  различен брой точки .На този турнир  всеки играе срещу всеки точно по веднъж ,при победа се присъжда по една точка,при равен  по 0,5  точки ,а при загуба  нула точки.Шахматиста заел второ място   е набрал толкова точки , колкото  последните четирима заедно.Как е завършила партията  между шахматистите  класирали се на трето  и  седмо място ?

                                                            Решение

  • Нека с x1 , x2, x3,  x4,x5, x6, x7 и  x8  са  броя на  точките,които са получили шахматистите  и за тях е  изпълнено  x1>  x2>  x3>  x4> x5>  x6>  x7 > x8  
  • Всеки участник  играе  точно 7 партии с  останалите .Всяка партия  носи по една точка (0 и 1  или 0,5  и 0,5)

Тогава точките на  класиралият се на първо място   x1 са най-много 7

 Тогава точките на  класиралият се на второ   място  x2 са най-много  6,5

  • Четиримата  шахматисти  класирани на последните  четири места  са изиграли помежду си  точно шест   партии .Точките, които те са събрали от тези срещи  са точно 6 .                                                                                     Тогава минималния брой точки на четиримата от  всички  срещи  е 6 .

·         Тогава  получаваме ,че  точките  на  x2  са едно от  числата  6  и  6,5 

Ако   x2  = 6,5  ,то  той няма загуба (6 победи и един равен мач ) ,следователно първият  не е победил вторият  ,и първият  ще има точки най-много 6.5 ,което е противоречие с това,че точките са различно число в крайното  класиране .

Следователно  единствената възможност за  x2  са  6 точки

Тогава точките на последните  четирима от  всички срещи са също  6.Тогава  всички  срещи на четиримата последни  с останалите  четирима  са на загуба .

       Следователно  партията  между шахматистите  класирали се на трето  и  седмо място е  загуба за класиралият се  на седмо място ?




Задача Естествените числа a, b и c са такива,че a2 + b2 + c2 = 2011 и a <b <c, а c приема    минимална възможна стойност .

Да се намерят всички възможни стойности на сумата a+b+c.

(Математически турнир „Иван Салабашев)

Решение

От a <b <c, то a2<b2<c2 , то 3 c2 >2011 ,следователно най-малката стойност за c  е 26.

Ако c= 26 ,то a2+ b2 =1335 ,=>3/a2+ b2 =>3/a и 3/b => 9/a2+ b2 което е невъзможно ,   защото 1335 не се дели на 9

Ако c= 27 ,то  a2+ b2 = 1282 ,тогава 2/ a2+ b2

- Ако 2/a и 2/b , 4/1282 , което е невъзможно.

- втората възможност е a =2k +1 и b=2s+1

Тогава (2k +1)2 +(2s+1 )2=1282 и числата a и  b  са : 1,11,21 или 31

С  проверка ,установяваме ,че  сбор от квадрати със  сума 1282 не съществуват  .

Ако c= 28 , то a2+ b2 = 1227 , то следва,че 3/a2+ b2 , но 9 не дели 1227

Ако c= 29 , то a2+ b2 =1170 ,следователно a=3a1 и b =3b1,след заместване и съкращаване    получаваме,че a12+ b12 =130

Следователно a1 и  b1,завършват на 1 и 9(ако завършват и  двете на 5,то не съществуват числа,чийто квадрати имат сбор 6 ,а ако завършват на 0, то сбора от квадратите се дели на 100 ,което е невъзможно )

Възможните квадрати,чийто сбор е 130 са :81+49 или 121+9

Тогава ,числата 9 .3=27 и 7. 3=21 или 11.3 =33 и 3.3=9

От това,че a <b <c , то двойките числа a и b са (21,27) и ( 9, 33)

Тогава всички възможни стойности на сумата a+b+c са 77 и 71





Задача .Да се докаже,че цифрите на произволно шестцифрено число могат да се разместят така,че сумата на първите три цифри на полученото число да се различава от сумата от последните три цифри с не-повече от  9 .

                  (Задачи за извънкласна работа по математика )

 


Екстремални задачи в геометрията

 



Задача  В опитно поле всеки  клас има своя  леха  с  обиколка в цели числа равна на  2400  метра .Всеки от класовете има леха с различно лице .Ако засеят лехите с един и същ сорт  пшеница , то намерете  размерите на тази леха при която,  ще се получи най-голям  добив ?  

Решение Най-голям добив ще се получи при най-голямо лице на лехата .Нека размерите на лехите са   a  и  b.Тогава   a  +  b=1200 .Търсим кога  S= a . b   е  най-голямо .  От това,че   a  +  b= 1200 , то  възможностите за комбиниране по двойки са :

  - (1,1999 ) , (2,1998 ) , (3,1997 ) ,.......... (600,600 )  .  

 Ще покажем,че  600.600  е най-голямото лице . За съседното  произведение  е вярно,че  -  599.601 = (600-1 ).(600 +1)= 600.600 -1  <    600.600 . 

По –същият начин  ще покажем ,че  всяко съседно има по-малко произведение от предходното. Подредени по –големина  за лицата на възможните лехи  ще получим:    1.1999 <  2.1998 <  3.1997  .......... <600.600                           

Следователно   показахме,че най-голямо лице ще има лехата с размери 600 на 600  .

 


Задача  От всички правоъгълници с размери естествени числа и  обиколка  2525  ,намерете този който има най-голямо лице ?


 

 


Извод  :От всички правоъгълници с размери  естествени числа с   полупериметър, който е  четно число ,най-голямо лице има квадратът 

 

 


Извод   :От всички правоъгълници с размери  естествени числа  с   полупериметър, който е нечетно  число ,най-голямо лице има  правоъгълник  с размери  последователни  естествени  числа, които намираме по правилото :Един от размерите е най-голямата възможна  стойност на най-малкото от двете измерения .

Пример:  P=246 cm  ,тогава P/2 = 123  cm  и  размерите са x и  y .Нека x е  по-малкото число .Тогава x е най-много   61 cm.Тогава   y=62 cm и  Smax = 61.62

 


 



Извод  :От всички правоъгълници с   периметър  2p  най-малко  лице има квадратът със страна  1/2   p .

 


Задача  Нека a,b ,c са естествени числа, за които a + b + c = 2012. Да се намери най-голямата  възможна стойност на abc.

                          (Математически турнир“Иван Салабашев)

                                        Решение

 Нека две от числата a,b, c се различават с повече от 1, например a  b+2.

Като ги заменим с a−1 и b+1 запазваме сумата и увеличаваме произведението на трите числа,

защото (a  1)(b + 1) = ab + a  b  1 > ab. Следователно поне две от числата a, b  и  c трябва да са равни и понеже сумата им е 2012 третото число е с 1 по-малко от тях.

                                                    Отговор: 670.6712




Задача От всички  правоъгълни паралелепипеди  с дължини на страните естествените числа   x , y и z   за които ,   x+y+z =2013 cm намерете  този  с  най -голям  обем.

Решение  Най - малкото от трите  измерения е най-много 671cm . От изводите от предходната задача  и от това,че  2013:3=671 cm, то най-голям обем ще получим ,ако размерите са  671cm,671 cm и 671cm



Задача От всички  правоъгълни паралелепипеди  с дължини на страните естествените числа   x , y и z   за които ,   x+y+z =2014cm  намерете  този  с  най -голям  обем

Решение  На-малкото от трите измерения е  най-много 671cm.Другите две  ще имат най-голямо произведение  ,когато са равни или съседни с 671 cm с  разлика едно  .Тогава   V=  671.671.672 cm3 




Задача От всички  правоъгълни паралелепипеди  с   дължини на страните естествените числа   x , y и z   за които ,   x+y+z =2014 cm, намерете  този  с  най -голям  обем,ако размерите са различни естествени числа .





Задача Дадена леха с размери естествени числа  с форма на правоъгълник  с  лице 3600  метра ще  се огражда  с  тел .Какви трябва да са размерите на лехата ,така че да се закупи най-малко тел.

Упътване  

 Решете  задачата   по познатият начин

Разложете    3600, като произведение от прости   множители и  с проверка намерете  кога  периметърът е най-малък 

(3600 =1.2.2.5.5.2.3.2.3).Намерете всички възможности  и покажете,че най-малък периметър се получава  ако правоъгълника е квадрат  със страна 60 cm .

 

 



В  предходната   задача ,  а  и  при по-големи лица ,   възможностите ще са много , затова ще разгледаме следната  по  обща  задача.

 

Задача  :Докажете ,че  от всички правоъгълници  с  дадено лице S ,най-малък  периметър  има  квадратът.

Решение 

Нека  лицето на правоъгълника е  S = a . b  ,а  периметърът  P=2.(a+ b) , където   a  и  b  са размерите на  правоъгълника .

Знаем,че ( a  -  b  )2    > ,  като равенство е възможно  когато    a  =  b .

От това следва ,че  a2   -2 a.b +  b2    > 0   ,така е  a2   +2 ab +  b2    -4 ab > 0 ,така е             (a +b)2 >    4 a .b  

Заместваме в последното неравенство и получаваме следната оценка за  лицето и периметъра на правоъгълника   (P /2)2   > 4 S   ,така е   P 2   > 16 S   

Неравенството   P 2   > 16 S    означава,че за всеки произволен правоъгълник  най-малката стойност  на   P 2   е  16 S   и се  достига  когато  a = b  

Това е и най-малката стойност на P


Забележка :За предходната задача   от  S=3600 cm2,  то 2   = 16 .3600 =2402 ,              то Pmin  =4.60 =240  cm 

                          




 Задача От всички правоъгълници с лице S=1800 cm 2    и  размери  естествени числа , да се намери  правоъгълникът  с най-малък периметър.

Решение :От  S=2. 302 cm 2  ,представяме лицето  S чрез два правоъгълника с лица по 900  cm2 , така както е  показано на чертежа .От предходната  задача следва ,че  всеки един от тях има минимален периметър  точно  когато всеки един от тях е квадрат със страна 30 cm.Тогава от всички правоъгълници с лице 1800 cm 2  най-малък периметър  ще има  правоъгълник с размери  30 cm  и  60  cm  


   

 900 cm 2  

 

                  

                  

 900 cm 2  

 

                  



Извод   :  От всички правоъгълници  с  лице   S=2.a 2    най-малък периметър има   правоъгълник с размери   a  и   2a .






Задача От всички правоъгълници с лице  300 cm 2   и размери  естествени числа  ,да се намери този който ,има минимален периметър .

Упътване :Решете задачата с разлагане на множители Отговор 15cm и 20 cm





   

                               ПРИЛОЖЕНИЕ НА НЕРАВЕНСТВОТО НА ТРИЪГЪЛНИКА                                     За  произволни три точки А,В и С  е в сила неравенството

        АС+ CB >AB ,наречено неравенство в триъгълника .По определение се приема ,че равенство  е изпълнено  когато точка  C лежи на  отсечката AB

Задачи  за 7 клас - приложение на еднакви триъгълници  и   симетрала  на  отсечка  



Задача Дължините на две от страните на триъгълник са 10 cm и 4 cm, а периметърът му е цяло число, делящо се на 5. Намерете дължината на третата страна на триъгълника.

А) 11 cm B) 60cm C) 49cm D) 78cm


Отговор A).

Решение

Нека третата страна е a сантиметра .

От неравенствата между страните в триъгълника следва,че a<10+4

Тогава периметърът P=10+4 +a =14+a

От това,че 5/14+a и a<14 cm ,то възможните стойности за a са 1cm,6 cm и 11 cm

Ако a = 1 , то 1 +4 <10

Ако a =6 ,то 1 +6 <10

Следователно само за a =11cm съществува триъгълник с това свойство.





Задача  Да се докаже,че  за  всеки разностранен  триъгълник с  лице   S    и  най-голяма страна  a , е вярно че : 

a2  > S

Решение                                                                                                                                                  
Нека  най-малката страна е  c ,  най-голямата  е  a , а  h   е височината  към  най-малката страна .
"/>

Тогава  от неравенството  на триъгълника е вярно,че : c < a + b <2a                                                           

 Тогава от   2a  > c  , следва ,че  ah  > c h:2 , така  е  ah  > S  ,откъдето от h<a (перпендикуляр и наклонена) 

следва,че  a   >  ah  > S  





Задача  Даден е триъгълник  ,на който най -голямата страна е 3 cm, а най-малката 1 cm . Докажете,че ако  h е височината  към  най-малката страна , то  h <18 : 




Често използван  извод :

                 Нека  a  и  b  са естествени числа  и  a.b = 1000                           Ако  a< 5 , то b> 200

Ще използваме това за решаване на следващата задача



Задача  Да се докаже,че  всеки триъгълник  с периметър  12  cm  и  лице 6  cm 2    ,може да се нареже на 100 триъгълника ,всеки от който има периметър ,по голям от 6 cm .  

(Задачи за извънкласна работа  по математика )                                                                                         

Решение                                                                                                                      

Нека AB  е  най-малката страна .Тогава 3 AB<  AB+ AC+CB =12 .Тогава  AB<4 .Нека  h  е височината  към страната  AB                                                      

Ще докажем,че h  >3

От S =6 cm 2    = (AB.h):2   , то  AB.h=12     , но  AB<4  , тогава  h >3 Разделяме страната AB  на сто равни части .Съединяваме с върха C и получаваме 100 триъгълника Ще покажем,че  всеки от тях е с  с периметър  по-голям от 6 cm

"/>

Нека  Q и   P  са  две произволни точки с които сме разделили отсечката AB  на сто равни части , а  CD  е височината H  .От това ,че  перпендикулярът е винаги по-малък  от наклонената , то  h <  CP ,    h CQ , тогава:  

                         PPQC  = CP +CQ + PQ>  2h   +PQ >2h >6





Задача. Даден е изпъкнал четириъгълник  ABCD.Нека E е  произволна  точка а,  S= AE+EC+BE+ED .                 Докажете ,че  сумата S е  най-малка ,когато E  е пресечната точка на   диагоналите на четириъгълника .

 Решение                                                                                                                                                                         Нека Е е произволна точка .

  Да приложим за точките А,С и  Е  неравенството на  триъгълника:

          /1/   AE + EC  >  AC, като равенство е възможно  ако точка Е  лежи  на отсечката  {АС}

  Прилагаме неравенството и за точките  B , D и  E

          /2/  BE +  DE   > BD,  като равенство е възможно ако точка  E  лежи на отсечката  .{BD}

  Следователно за произволна точка E от равнината на четириъгълника 

е изпълнено:

         /3/ AE+EC+BE+ED  > АС+BD ,като равенство се достига единствено когато точка E  принадлежи на двата диагонала на четириъгълника.Съществено използваме,че четириъгълника е изпъкнал.

"/>


           



Задача Дадени са  права DE  и две различни точки A и B , които са от една и съща страна на правата DE. Да   се  намери   точка   F от  правата  DE   ,за която  сумата АF+FВ  да  бъде  най-малка.
"/>

Нека точка С е такава , че отсечката   ВC е перпендикулярна на  DE  и  се  разполовява  от нея .Отсечката АС пресича  правата ED в точка F. Ще докажем ,че F е търсената точка.

По построение АF+FC=AF+FB, защото триъгълниците  FOB  и FOC са еднакви ( точка O  е пресечна точка на BC с правата DE)                                                                                                                                                                      Нека  точка G е произволна точка от правата DE                                                                                             

От  неравенството на  триъгълника , приложено за точките   A,G и C

   АС <АG+GC=AG+GB , но  AC=AF+FB




Задача .Дадени са правата  AB   и две точки  D  и   Е   от различни страни  на правата AB. Да се намери такава точка  върху правата ,че  разликата  на разтоянията  от нея   до точките D  и Е  да бъде най-голямо.






Задача .Дадени са правата  AB  и две точки  D  и   E  от различни страни  на правата  AB . Да се намери такава точка  върху правата ,че  разликата  от  разтоянията  от нея   до точките D и E  да бъде най-голяма.





В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg