В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Преброяване на възможности

 

П

О

Д

О

Б

Н

И

 

 

Т

Е

М

И

 

 

 

 

Задача  За номериране на страниците на една книга  са използвани  петнадесет  цифри „5” и   доста   други   цифри. Колко страници има книгата ако  тя свършва при последната записана  петица ?

(Първата страница е с  номер  1)

А)28                      B)101                    C)60                       D )друг отговор

Решение

За да определим  броя на страниците ще преброяваме  броя на записаните  петици.  Когато достигнем точно до  15 –то   записване на цифрата  5  това ще е и  последната страница на книгата .

·         От  страница  1   до   10   само една петица  за числото    5

·         От  страница  11 до   20   само една петица  за числото   15

·         От  страница  21 до   30   само една петица  за числото   25

·         От  страница  31 до   40   само една петица  за числото   35

·         От  страница  41 до   50   точно  две  петици  за числата   45 и 50

·         От  страница  51 до   58   точно  9   петици

Тогава  на 58  страница  записваме 15 петица и книжката свършва .

 

Задача Жителите на Лудо град не използват числа,  съдържащи цифрата 3.  Къщите от дясната

страна на една улица в този град са с нечетни номера. Ако първата къща е с номер 1, кой е

номерът на петнадесетата къща?

A) 29                   B) 41                       C) 43                  D) 45                E) 47

Решение

Първите нечетни числа са:    1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43 44,45,........

Започваме да броим  до петнадесетата къща ,без да броим  номера в които се съдържа цифрата 3.Това е къща с номер 45.

 

Задача Жителите на Лудо град не използват числа,  които са кратни на числото 3 .  Къщите от 

дясната  страна на една улица в този град са с нечетни номера. Ако първата къща е с номер 1, кой е

номерът на  16  къща?

A) 29                   B) 41                       C) 43                  D) 45                E) 46

Първите нечетни числа са:    1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43 ,45,46......

Започваме да броим  до 16 къща ,без да броим всяка трета къща след три.Това е къща с номер 46.

                                                          

 

Задача  Милена  живее  в къща  с  номер  100 000 .Ако улицата на която живее  е номерирана ,така ,че от едната страна са четните номера,а от другата нечетните ,то колко къщи има преди къщата на  Милена ?

А)49994            B)49996            C) 500 000                   D)49998         E)друг отговор

 

Задача.Едно до друго са  написани числата  от  1  до 20.Колко пъти в това записване   се среща  цифрата 1.

А)   6                     Б)   15                        С)   23                Д)        17                    Е)12

Решение   В редицата    1,2,3 ..........9,10   цифрата 1 е записана 2 пъти

                   В редицата   11,12,13........20     цифрата 1 е записана   2+8=10 пъти

Верен  отговор Е)

 

Задача .  Третокласникът  Петьо написал числата от 1 до 101 включително. Колко пъти Петьо е написал цифрата 1.

а) 24                b) 23               c) 22               d) друг отговор

Верен отговор b)

 

Задача Едно след друго са  записани числата  от 1 до 100.Получаваме числото 123456789101112……100.  Намерете:

А)Коя цифра стои на стотното място  от ляво на дясно?

B)Коя цифра стои на  стотното място от дясно наляво

C)Колко цифри има между горните две намерени цифри?

(Математическо състезание  Академик „Кирил Попов” ,град.Шумен ,Отборно състезание -IV клас)

Решение А) Необходимо е да определим стотното място в записа на това число

  12345678910                          – 11 цифри

11121314151617181920         - 10.2=20 цифри

21................................30         - 10.2=20 цифри

31................................40         - 10.2=20 цифри

41................................50          -10.2=20 цифри

Можем да направим извода ,че със записаните 91 цифри на  100 място ще стои  цифрата 5 -

Това са следващите  записани числа  след  50  (515253545)

B)2

C)6 

 

Задача .Колко са двуцифрените числа ,в записа на които  има цифра 3?

А) 19             B) 17                          C) 21                               D)   друг отговор

Отговор  А)

 

 Задача. Мишка изгризала страниците на една забравена стара книга от страница 1149 до 1310 включително

 а)Колко листа  е  изгризала  мишката?   

 б)Колко цифри 7 е изяла мишката?

Решение.

а)Броят на  изгризаните  страници е  (1310 - 1149)+1=162.Следователно броят на листата е  162 :2= 81 (започва с нечетна страница ,затова имаме  точен брой листа)

 б) Страниците  съдържащи  цифрата 7   са:

1157,1167,1177,1187,1197 - 6  броя

1207,1217.........1297          -11 броя

1307                                      -1 брой

Общо  18  страници  съдържат числото  седем.

 

Задача Колко са различните правоъгълници  с  обиколка  208 сантиметра  ,дължините на страните  на които са цели числа ?(Правоъгълници с размери    2 и 3   и    3 и 2  считаме за еднакви)

(Коледно математическо състезание)

Упътване   Сборът   от  размерите на правоъгълника ще е  104 . 

Сбор   104   от  две естествени числа можем да получим   точно по      52  различни начина   -      1,103    2,102   3,101 ...........50,54   51,53   52,52 

 

 Задача. Кои три цифри  трябва да се задраскат в числото 2416375, така че от останалите цифри, без да се разместват, да се получи възможно най-малкото число?

( Коледно математическо състезание)

а) 1,2,3                           b) 2,4,6                        c) 2,4,7                        d) друг отговор

 

Задача Cбора  на всички двуцифрени числа, цифрите на които са 1 или 2.

(Математически турнир „Иван Салабашев)

Решение.Сумата на числата  11+12+21+22=66

 

Задача С помощта на цифрите 5, 2 и 8 запиши всички двуцифрени числа, в които няма еднакви цифри.

(Великденско математическо състезание)

Те са: а) 9                      b) 6                 c) 10               d) друг отговор

Решение   Двуцифрените числа с  различни цифри   които можем  да запишем са: 25,52,28,82,58,85    

  

 

Задача.Намерете всички двуцифрени числа  с различни цифри   със следното свойство:  Ако съберем даденото число с числото записано  със същите цифри но в обратен ред ще получим число между  50  и 90.

Решение.Числото  34 е  едно от търсените числа,защото  34+43=77  ,друго  число с това свойство  е 26+62=88 

Сборът от числото и неговото огледално  е равен  на произведението  от  сборът от цифрите  на числото и числото 11.

За да намерим всички числа с това свойство ще направим проверка за кои двуцифрени числа  6.11  ,7.11 и 8.11   имат сбор от цифрите 6 ,7 и  8

  • Сбор 6=1+5=2+4 то,   числата са :15,51,24 и 42
  • Сбор 7=1+6=2+5=3+4  то, числата са 16,61,25,52,34,43
  • Сбор 8=1+7=2+6=3+5  то , числата са : 17,71,26,62,35,53 


 

Задача.  Намерете броя на всички двуцифрени числа с различни цифри , които се записват с цифрите 0, 1, 7. (Коледно математическо състезание)

а) 7                      б) 4                 в) 770               г) друг отговор

(Коледно  математическо състезание)

 

Задача Намерете  сбора на най-малкото и най-голямото от  трицифрено  число,образувани  с някои от цифрите 2,0 и 5.

а) 755                      б) 725                 в) 770               г) друг отговор

Решение Не е посочено , че задължително участват всички цифри , само условието, че някои от тях в зависимост от това , кое е   най-малкото  и най-голямото  три цифрено число.Търсения сбор е  200+555=755

 

 Задача Като използватe  всяка от цифрите 1, 2, 3, 4, 5  и 6  точно по веднъж,  съставете две

три цифрени числа така, че сумата им да е възможно най-голяма. Намерете тази най-голяма

сума.

A) 975              B) 999                      C) 1083                       D) 1173                     E) 1221

(Международно състезание „Европейско кенгуру”)

 

Задача . Колко различни числа могат да се образуват, ако се използват цифрите 3, 0, 7 точно по веднъж.

(Международно състезание „Европейско кенгуру”)

 Решение.   Едно цифрените числа   са  0,  3  и 7

 Да   съставим различните  двуцифрени числа         -   30 ,37,73,70

 Образуваме  и  възможните три цифрени числа     -   370,307,703,730             

 Следователно всички различни  числа   с тези цифри са  11 . 

Задача  Намерете броя на всички  три цифрени числа с различни цифри  които се записват с    цифрите 1,2 и 3 .

Решение   Числата които можем да съставим са :123,132,213,231,312 и 321

Задача .Колко са различните три цифрени числа с  цифрите 2,3 и 7

Решение

  • Ако  цифрите са  различни – 6 броя
  • С три еднакви цифри           -  3 броя
  • С две еднакви цифри            -18 броя( пример 223,322,232 227,272,722  -6 бр.)

       A)  3            B)  6                  C)    9                  D) 8                   E) 27      

    

 

                                                                                                   

Задача .Колко са двуцифрените числа, в които и двете цифри са по-големи от 4?

(Математически турнир „Иван Салабашев”),

Решение.Цифрите с които съставяме числата са  0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9. Искаме да намерим броя на двуцифрените числа , чиито цифри са  по-големи от 4 , съставени от цифрите 5,6,7,8 и 9.

Не е казано,че   цифрите  не могат да се повтарят .

Да  изброим двуцифрените  числа :   

·         55,  56, 57, 58, 59

·         65, 66,  67, 68, 69

·         75, 76,  77, 78, 79

·         85, 86, 87,  88  ,89

·         95, 96,  97, 98,  99

Получаваме за всяка първа цифра    5,6,7,8  или  9   по  пет двуцифрени  числа  така е, общо  25  двуцифрени числа.

 

Задача . Намерете  сборът на числата  които се делят на 7  и са по-малки от 100   ?

Решение.Числата с това свойство са:

7+2.7+3.7+4.7+5.7+6.7+7.7+8.7+9.7+10.7+11.7+12.7+13.7

=7.(1+2 +……13)=7.(6.14+7)=7.91=637

Задача Пресметнете броя на двуцифрените числа ,за които  цифрата на десетиците  е по-голяма от цифрата на  единиците .

Решение:

Изброяваме числата по следния начин:

  • 10                                                   -1 броя.
  • 20,21                                              -2 броя.
  • 30,31,32                                         -3 броя.
  • 40,41,42,43                                    -4 броя.

.................................................................

90,91,92,93,94,95,96,97,98                -9б роя.

 Следователно  броят на числата с това свойство  е  10.4+5=45 броя.

 

Задача  . Намерете  броя на двуцифрените числа за които  цифрата на единиците е по-голяма от цифрата на  десетиците.

(Международно състезание „Европейско кенгуру”2008 г.)

    А)  38                   B) 36                         С)48                      D)25                                                                                                                              Верен отговор B)

 

Задача Едно число  е  красиво ако е записано с различни цифри  и произведението от цифрите  е 6.

Разликата между  най-малкото три цифрено  и  най-голямото двуцифрено е ?

(Математически турнир „Иван Салабашев)

Решение  

Произведение 6 от три различни  цифри можем да получим  по единствен начин       6=1.2.3

 Три цифрените  „красиви” числа са  321,312,213,231,123,132  от тях  най-малко е 123

Произведение  6  от две различни числа можем да получим по два начина

6.1 и  2.3. Двуцифрените красиви числа  са  16,61,23,  32  ,като  най-голямото е  61  Търсената разлика е 123-61 =62 

 

Задача . За номериране на страниците на една книга  са използвани  13  цифри  „7”  и    доста други цифри .

   Колко цифри  „1” са използвани при това номериране?

(Математически турнир „Иван Салабашев)

Решение.

Седмици са използвани  в  страници с номера  7,17,27,37,47,57,67,70,71,72,73,74,75    общо 13 седмици.

Тогава страниците на книгата са  75  и  можем да направим  извода  ,че страниците в които са използвани единици  са : 1,10,11,12.......19,21,31,41,51,61,71  -  18 броя.

 

 Задача  За номериране на страниците  на детска книжка са използвани   127 цифри.Колко   страници  съдържа книжката ,ако първата страница на която е написан номер е трета?

(Математически турнир „Иван Салабашев)

Решение.

Страниците записани с една цифра са:   3,4,5,6,7,8, и 9 ,общо  7 страници.

С останалите  120  цифри   с по две цифри можем да  номерираме  120:2= 60  страници . Получаваме общо   67  страници.

 

 Задача  Номерата на страниците на една книга ,от която е откъснат един лист  ,имат  2009  цифри.

Колко   листа  има книгата сега?

(всеки лист  освен може би   последният ,има две страници)

(Математически  турнир „Черноризец Храбър”)

А)  58                          B)  145                         C)  342                           D)353

Верен отговор D)      

 

 Задача. В тетрадка-дневник били номерирани първите страници. Днес Ели продължила номерирането от 13-та до 128-ма страница включително. Броят на цифрите, които изписала Ели е:

а) 141;                            b) 261;                         c) 259;                        d) друг отговор.

(Коледно математическо състезание)

Решение.

Ели е използвала  99 – 12 = 87 двуцифрени числа и 128 – 99 = 29 три цифрени числа, 

2.87 + 3.29 = 261 цифри.      

               

 

                                                                   

Задача .Ще  наречем „кръст” сумата от цифрите на едно число. Напимер кръстът на 1998 е 27, защото 1 + 9 + 9 + 8 = 27. Колко три цифрени числа имат кръст 5?
     .(международно състезание „Европейско кенгуру”,   
Решение.

Едно  от  числата  е   500  ,защото  5+0+0 =5

Следващите възможности са :

·        4+1+0=1+4+0 =1+0+4=4+0+1   ,  числата са  410 ,  140,104 и  401

·        3 +1+1=1+3+1=1+1+3,                 ,   числата са  311,131,113

·        3+2+0=2+3+0=2+0+3=3+0+2     ,числата са  320,230,203 и 302

Следващите възможности са :

·        4+1+0=1+4+0 =1+0+4=4+0+1   ,  числата са  410 ,  140,104 и  401

·        3 +1+1=1+3+1=1+1+3,                 ,   числата са  311,131,113

·        3+2+0=2+3+0=2+0+3=3+0+2     ,числата са  320,230,203 и 302

·        2+2+1=1+2+2=2+1+2                  ,  числата са  221,122,212

 броят на числата с това свойство е 1 +4+3+4+3=15

 Задача  Явор  написал на дъската  нечетните числа от 1 до 211 включително,а

Боян  изтрил  числата които се делят на три.Колко числа са останали на дъската.

Решение  

Да изброим  нечетните числа до 211  ,от общо 211 числа  105 са четни и 106 нечетни.

  Всички числа   до 211 които се делят на числото 3 са :

1.3,2.3,3.3,4.3,5.3,.............70.3    така е,  точно 70  .

От тях  нечетните са  35 на брой.

     Следователно броя  на останалите числа на дъската е  106 – 35 =71

 

Задача  Николай много обича математиката ,но не обича да чете.Когато му подарили книга за рожденият му ден ,той вместо да я чете първо видял ,че  номерацията на книгата започва от страница 3 и  пресметнал ,че за номериране на всички страници са използвани 2008 цифри .Намерете:

А)Колко страници има новата книга на Николай?

В)  Колко път е използвал цифрата 7?

 

Задача.Ивайла има кантарче с по една теглилка от 1 грам,2фграма,3фграма,4фграма  и 5  грама.По колко различни начина тя може да отмери 10 грама

А)  4                        B)  3                           С)  5                       D) 7                                                                                                                        Верен отговор  С)

 

Задача В касичката си Явор намерил седем монети .По колко начина Явор може да  заплати сума 30  стотинки ?

Решение.Българските монети са   1,2.,5,10.,20 .,50 стотинки .и 1 лев.

Сумата от тридесет стотинки  можем да изплатим  по следните  начини  :

·        20 +10      с  два броя монети

·        20 +2.5     с  три броя монети

·        3.10           с  три боя монети

·        2.10+2.5   с  четири броя монети

·        10+4.5      с  пет броя монети

·        6.5  =30    с  шест броя  монети

·        20 +5.2     с  шест броя монети

·        2.10+5.2   със седем броя монети

  


                                                                                             

 

Задача Красимир  записал на дъската естествените числа от 1 до 4950.Десислава изтрива  всяко  число което се дели на 11 ,а  Стоян  всяко  число,което се  дели на 15 .Колко числа са изтрили  Стоян и Десислава ?

                                 А) 30   B) 36   C) 39  D) друг отговор

Решение                                                                                                                                                                   Десислава  е изтрила  1.11,211,3.11,.........450.11 , точно  450 числа                                                             Стоян е изтрил   1.15,2.15,3.15,.........330.15 , точно  330  числа                                                                             Двамата са изтрили числа, които се делят на 11 и 15 ,така е на  605 . Това  са  4950:165 =30 числа и изтритите числа са - 450 +330-30=750 числа

 

Задача

ДЕВЕТЦИФРЕНО ЧИСЛО,ОБРАЗУВАНО ОТ „ХУБАВИ“ ЧИСЛА

Едно двуцифрено число ще наричаме „хубаво“, ако то е произведение на две едноцифрени числа. Например, 20=4.5 и 25= 5.5  са хубави числа, а 84 не е хубаво.

В записа  на деветцифреното число A участват всички цифри без 0. Освен това всеки две последователни цифри на A  образуват „хубаво“ число. Намерете всички такива числа A


(ДВАДЕСЕТИ МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР „АКАД. КИРИЛ  ПОПОВ“,ШУМЕН, 9 МАЙ 2016,отборно ,5 клас )

.Решение

Числото 9 е последно в записа на деветцифреното  число  А ,защото след него не може да се запише цифра,която е такава ,че получените две последователни цифри да образуват „красиво число „ 

Пред 9 може да се запише  само  цифрата   4 .(49 =7.7)

След  7 може да се запише само цифрата   2 (72 =9.8).Затова  7 е първа  цифра  на числото А

След  8 стои  цифрата  1(81 =9.9),а пред нея  -   2 (28 = 4.7)

Тогава  записа на числото А  е  :  7281... 49 .Остава между цифрите 1 и 4  ,да запишем  цифрите  3,5 и 6 ,така,че всеки две последователни цифри на A  да образуват красиво число

Съществува единствено подреждане ,което е  728163549

Отговор :Едно число А=728163549
числа и изтритите числа са - 450 +330-30=750 числа

 

Задача

Задача ТОЧКИ И ПРАВИ

Дадени са 12 точки, разположени във върховете на квадратна

мрежа,както е показано на чертежа

.    .     .     .
.    .     .     .
.    .     .     .

а) Колко е броят на правите, които минават точно през 4 от

дадените точки?

б)Колко е броят на правите, които минават точно през 3 от

дадените точки?

в) Колко е броят на правите, които минават точно през 2 от

дадените точки?

г)Ако са дадени 20 точки, разположени във върховете на квадратна мрежа 4´5,колко е броят на правите, които минават точно през 2 от дадените точки?

(ДВАДЕСЕТИ МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР „АКАД. КИРИЛПОПОВ“,ШУМЕН, 9 МАЙ 2015)

Решение

а )Правите, които минават през точно 4 точки са трите хоризонтални прави.

б)Правите, които минават през точно 3 точки са четирите вертикални прави и по двата диагонала на двата квадрата 2 х  2 с върхове в тези точки. Общо получаваме 4 + 4 = 8 такива прави.

в)Правите, които минават през точно2 точки са или диагоналите на правоъгълници (с върхове в тези точки), които не са квадрати, или един от диагоналите на четирите крайни квадрата 1х1. Правоъгълниците, които не са квадрати са: правоъгълници с по-малка страна 1 са 2.3 + 3 = 9 и правоъгълници с по-малка страна 2, който е един–общо 10 правоъгълника. Тогава броят на правите, които минават през точно 2 точки е  2.10 + 4 = 24

г)Прилагаме начина на преброяване, използван в В). Правоъгълниците, които не са квадрати и нямат централна точка, са:

1) правоъгълници с по-малка страна 1 –техният брой е 3.(3 + 2 + 1) + 4.(2 + 1) =30;

(2) правоъгълници с по-малка страна 2 и по-голяма страна 3 –техният брой е 2.2 + 3= 7;

(3) правоъгълници с по-малка страна 3 –само един.

Общият брой на правоъгълниците е 38. Тогава броят на търсените прави е 2.38 + 4 = 80

 

числа и изтритите числа са - 450 +330-30=750 числа

 

Задач

Задача.СУВЕНИРИ

В един магазин има 350 сувенири. Всеки два от тях струват различно и цените им са 1 лв., 2 лв., 3 лв., ... , 349 лв., 350 лв. Ани има 50 банкноти по 2 лв. и 50 банкноти по 5 лв. и няма други пари. Тя иска да си купи един сувенир, като заплати точната му сума, без да ѝ  се връща ресто. Колко са различните избори на сувенир, които Ани може да направи?

(Математически турнир „Акад.Кирил Попов”,отборно състезание 6 клас )

Решение.

 Общата сума, която Ани има, е 50.2+50.5 = 350лв. Ясно е, че Ани не може да

купи сувенира, който струва 1 лв., нито пък сувенира, който струва 3 лв. Понеже след

покупката в нея не може да остане 1 лв. или 3 лв., тя няма как да купи нито един от су-

венирите, които струват 349 лв. и 347 лв. Сега ще покажем, че Ани може да купи който

и да е от останалите 346 на брой сувенири. Да разгледаме сувенирите, които струват

четен брой лева. Като използва банкнотите по 2 лв., тя може да купи който и да е от

тях, чиято цена е между 2 лв. и 100 лв. Като използва 20 банкноти по 5 лв. и банкнотите

по 2 лв., Ани може да купи всеки от сувенирите, които струват между 102 лв. и 200 лв.

Аналогично, като използва 40 банкноти по 5 лв. и тези по 2 лв., тя може да купи всеки

от сувенирите, които струват между 202 лв. и 300 лв. За сувенирите, които струват

между 302 лв. и 350 лв. Ани може да използва 50 банкноти от 5 лв., 25 банкноти по 2

лв. и всяка от останалите 25 банкноти по 2 лв.

Да разгледаме сега сувенирите, които струват нечетен брой лева. С една банкнота от 5

лв. и банкнотите по 2 лв., Ани може да купи който и да е от сувенирите, които струват

между 5 лв. и 105 лв. С 21 банкноти от 5 лв. и тези от 2 лв. тя може да купи който и да е

от сувенирите, които струват между 107 лв. и 205 лв. С 41 банкноти от 5 лв. и тези от 2

лв. тя може да купи който и да е от сувенирите, които струват между 207 лв. и 305 лв. С

49 банкноти от 5 лв., 31 банкноти от 2 лв. и всяка от останалите 19 банкноти от 2 лв. тя

може да купи който и да е от сувенирите, които струват между 307 лв. и 345 лв.

 

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg