В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Задачи от разрязване и конструиране на паралелепипед и куб

 

П

О

Д

О

Б

Н

И

 

 

Т

Е

М

И

 

 

 

"/>

Задача  Разгледайте кубът на чертежа. От колко единични куба е построен този куб ?Колко са единичните квадрати с оцветена страна ?                                                                                                             Решение

Кубчетата можем да преброим по редове или колони

Преброяваме по редове

(1) Всеки ред е построен от 9 единични кубчета .От това,че редовете са 3,то големият куб е съставен от 9.3=27 еднакви куба .

(2)На всяка стена на този куб има по 9 оцветени квадрата .Всички

оцветени квадрати са 9 .6=54



кккккккккк


"/>

Задача .Големият куб е построен с помощта на 64 еднакви малки кубчета .Пет от стените на куба са оцветени в зелен цвят . Колко  от малките кубчета  имат по три зелени стени.

                                                     А) 6    B) 4   C) 3     D) друг отговор                                                                                     (Международно състезание „Европейско Кенгуру”), 

                                                 Решение

    Всички  върхове   ,при  които  се срещат   три   стени  са   8  и това  са     върховете   на големият  куб.

    От  това,че  една стена  не  е   оцветена  с  зелен цвят , правим извода ,че  точно четири  единични  куба  от  всички  64  , имат  по три  стени оцветени в зелено .

                                                    Отговор B

Игри с кубчета

"/>

 

ЗадачаДесислава разполага с 8 еднакви кубчета с ръб 1 сантиметър .Ако използва всички кубчета ,колко паралелепипеда може да построи ?

Не забравяйте,че кубът е паралелепипед с равни измерения .

А) 6 B) 4 C) 3 D) друг отговор

                         Решение 

- Паралелепипед с размери 8cm,1cmи 1cm

(долепени едно след друго на един ред )

- Паралелепипед с размери 4 cm,2cm и 1cm

- Куб с ръб 2cm

Отговор C)



Задача .Разгледайте показаната конструкция .Колко най-малко единични кубчета са необходими , за да построим куб ?                                                                                                                                                                                                                                                        A)1 2         B)15       C)21           D)18

                                                                          Отговор  C)

"/>

                                                              Решение


От това,че съществува колона съставена от 3 единични кубчета ,то кубът ще е с размери 3 x 3 x 3 
За него ще ни трябват на  3 . 3. 3= 27 кубчета.
 Кубчетата ,които са на дадената конструкция са  точно 6  
Тогава ще са ни необходими  27-6=21 броя единични кубчета,за построяване на куб с най-малък ръб


Задача .Разгледайте показаната конструкция .Колко най-малко единични  кубчета са необходими , за да построим куб ?

A)52   B)27    C)15     D)48

"/>

    Решение 

  • От това,че съществува колона съставена от 4 единични кубчета ,то  кубът ще е                                                    с размери 4 x 4 x 4 

  • За него ще ни трябват на 4 . 4.  4= 64 кубчета.

  • Преброяваме кубчетата ,които са на дадената конструкция - на първи ред точно 6 -на втори ред точно 3 - на трети ред точно 2 - на последен ред 1                                                                                                                                                                      Общо -12

  • Тогава ще са ни необходими 64-12=52 броя единични кубчета,за построяване на куб с най-малък ръб



ЗаЗадача Колко единични кубчета най-малко трябва да се добавят към показаната

коконструкция, за да се получи правоъгълен паралелепипед ?

                          А) 20    B) 8   C) 17    D) 22

                                          Отговор A)


"/>

 

"/>

 

 Задача  Десислава  изваждала    едно  по  едно  всички кубчета от фигурата  по-горе които , нямат  обща  страна   с   ръбовете   на  куба .

                                       Колко  кубчета  е извадила Десислава ?

   A) 7          B) 14                     C) 13              D) друг отговор

                                                               Решение

   От условието  следва ,че Десислава може да изважда само кубчета,които нямат  обща   страна  с  ръбовете на куба.

                         Преброяваме така,че да не пропуснем  единичен  куб.

     Нека започнем от   кубчето  ,разположено в центъра на стената  и премахваме  всички кубчета от куба, които са в колона с него .Така сме извадили  три кубчета  и  сме достигнали  до  срущуположната стена  на куба

                                    Да оцветим  извадените  кубчетата с различни цветове               


                    Всеки куб  има   6 стени ,които са   две по две срещуположни  .Кубчето с  червен  цвят   е централно                                                                            за куба .

                                            Тогава общият брой извадени кубчета е :

                                                        (3-1) + (3-1)+ (3-1) +1=7

                                                                        Отговор  A)

 

Задача  Куб с ръб 15 сантиметра е разрязан на кубчета с ръб 1 сантиметър .Премахнати са всички кубчета съединяващи централните кубчета  на  всеки две срещуположни стени .

                                    Колко кубчета са премахнати ?

                          A) 7           B) 14                     C) 43              D) друг отговор              

                                               Отговор  C)



pdod


 Задача. Куб с ръб   3 cm  е  боядисан  и  след това е разрязан изцяло на кубчета с ръб  1 cm. Колко единични кубчета   нямат   боядисана  стена                                                

    А)1               B)4           C)8      D)друг отговор

Решение

Търсим , колко от всичките  кубове с  размери  1 x 1 x 1 , нямат нито една небоядисана  стена

(1)Брой кубчета   27

(2)  Мислено  премахваме  първия   и    третия ред  ,защото на всеки от  тях     имаме  по  9  кубчета  и            всички те имат  оцветена стена .

(3)  На средния ред  остават  9 кубчета, 8 от които имат оцветена  страна .

                                                               Отговор  A)

                                     

Задача. Куб с ръб   6 cm  е  боядисан  и  след това е разрязан изцяло на кубчета с ръб  1 cm. Колко единични кубчета   нямат   боядисана  стена?

                       А)61               B)48           C)56      D)друг отговор

Търсим , колко от всичките  кубове  с   ръб  1cm , нямат нито една небоядисана  стена

 (1)    Премахваме  първият   и  шестият   ред от единични  кубчета   ,защото на всеки от  тях     имаме    кубчета  с  оцветена стена .                         

(2)  Всеки от останалите  4  реда от кубчета  е  построен от  36  куба с  ръб 1 cm 

           Нека разгледаме един от тези редове.Погледнати отгоре ,те ще изглеждат  като фигурата   по –долу. 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

               Остават  точно 16  кубчета  ,които  нямат  оцветена  стена.

(3)Това ще е вярно  за всеки   от четирите реда от  единични кубчета

(4)Броя на кубчетата  без  оцветена  стена след разрязването  са 4.16=56

                                                         Отговор  C)

                                      

Задача   Всички  шест   стени  на  куб  с  ръб 4  сантиметра  са оцветени   в един цвят.  Разрязваме  куба  на малки кубчета  с  ръб  1 cm.    Колко кубчета  имат :                                                  

                                         А)  Само  една оцветена   стена ?

                                            Отговор :По  една оцветена   стена ,имат  кубчетата от стените, които не са    разположени по ръбовете.

                                   Те са  по  4  на  всяка стена.  Всички  общо са :  6.4= 24 кубчета.                                  

                                 В)   Две  оцветени   стени ?

                                       Отговор:Кубчетата   с   2 оцветени   стени са   разположени по ръбовете на куба  , но не и по върховете.                                                                     

  Следователно търсеният брой е: 12.2= 24 кубчета.

 C) По  три оцветени стени?                                                                         

                                     Отговор  :Само от  върховете  на куба  излизат по три стени  ,поради което  броят  на        оцветените кубчета са  разположени във върховете на куба  и са       точно 

                                     

 Задача. Куб с ръб   8 cm  е  боядисан  и  след това е разрязан изцяло на кубчета с ръб  1 cm. Колко единични кубчета   имат     боядисана  стена?

                            А)232               B)42           C)296      D)друг отговор

                                                   Отговор  C)

                                     

Задача Милен   извадил   от  куб с ръб  4  сантиметра  всички  единични  кубчета , които  нямат   обща  страна с  ръбовете  на   куба.Колко кубчета е извадил  Милeн ?                                                                                                              

                           A) 15                B) 8          C) 17                      D)24

                                                                     Решение

(1) Премахваме кубчетата от  първи и  четвърти  ред  и получаваме паралелепипед  с размери   4 x4 x2

(2) От новия паралелепипед   премахваме  кубчетата от  четвъртата колона и получаваме   нов паралелепипед с размери  3 x4 x2

(3) От новия   паралелепипед   премахваме  кубчетата  от първата колона  и получаваме  нов паралелепипед с размери  2 x4 x2, съставен само от кубчета с даденото  свойство. 

(4)Премахваме кубчетата от последните две стени  и получаваме  куб с измерения 2x2x2                                                                              Отговор  B)    

 

Задача От куб  съставен от 125 кубчета с ръб един сантиметър Даниел  изважда    едно  по  едно  всички кубчета   ,които  нямат  обща  страна   с   ръбовете   на  куба .

      Колко  кубчета  е извадил Даниел ?

   A) 35                    B) 27                     C) 30              D) друг отговор

                                               Отговор  B)                                                                                                                          



   


Задача Милена разполага  с  24   еднакви кубчета с  ръб 1  сантиметър .Ако използва  всички  кубчета  ,колко  паралелепипеда може да построи ?

        А) 2                             B) 6                       C) 3              D) друг отговор

                                                                  Отговор  B)

                      

 Задача. С помощта на 10 еднакви кубчета са образувани всички възможни правоъгълни паралелепипеди. При образуването на паралелепипед не е необходимо да се използват всички кубчета. Броят на различните паралелепипеди е:

а) 10              b) 12              c) 13                          d) друг отговор

                                  (Великденско математическо състезание )

                                                            Решение.

  -Първите 10 паралелепипеда се получават, като се подреждат кубчетата едно  до  друго- с едно кубче,с две долепени кубчета и так нататък до 10

                                   

1

2

3

4

5

6

7

8

 

1

2

3

4

5

6

7

8

 

1

2

3

4

5

6

7

8

                                                 

                     Означаваме основния ръб на куба с а.

                        -Останалите 6 имат измерения:

a,2a,2a          a,2a,3a          a,2a,4a          a,2a,5a          2a,2a,2a        a,3a,3a

                                                Отговор   d )          

                      

Задача. С помощта на 12 еднакви кубчета със  ръб  1 сантиметър ,са образувани всички възможни правоъгълни паралелепипеди. При образуването на паралелепипед не е необходимо да се използват всички кубчета. Броят на различните паралелепипеди е:

а) 10              b) 12              c) 13                          d) друг отговор

                                 Отговор  d )

                      

Задача Разполагаме с 64 на брой кубчета със страна единица .Колко правоъгълни паралелепипеда можем да построим ако използваме всички кубчета ?

                                                         А) 6 B) 3 C) 5 D)7

Решение Както и да разполагаме кубчетата ,винаги ще получаваме паралелепипед с обем 64 кубични единици.

Всички измерения на всички построени паралелепипеди са естествени числа и имат обем V=a.b.c=64 кубични единици

Тогава, за да определим броя на паралелепипедите, не е необходимо да правим конструкции ,а да намерим всички възможни тройки от естествени числа с произведение 64


64 =1.2.2.2.2.2.2

Всички възможности са:

С ръбове 1,1, 64    С ръбове 1, 2,32     С ръбове 1,4,16

С ръбове 1,8,8      С ръбове 2,2,16       С ръбове 2,4,8

С ръбове 4,4,4


Отговор D)


Задача Разполагаме с 1050 броя кубчета със страна единица.Колко правоъгълни паралелепипеда може да построим ако използваме всички кубчета ?


А) 16 B) 13 C)9 D)друг отговор

Отговор D)


Задача Кашон с форма на правоъгълен паралелепипед с размери 24cm,36 cmи 54 cm трябва да се напълни с еднакви кутии с форма на куб .Ако размерът на ръбовете на куба е цяло число, по-голямо от едно измерено в cm , то, какви възможни размери може да има ръба на кутията и колко кутии ще са необходими за всеки вид ?

Решение. За да е възможно да напълним кашона с кутии е необходима да са изпълнени условията :

  1. Обема на еднаквите кутии е кратен на обема на кашона

  2. Ръбът на кутиите с форма на куб е кратен и на трите ръба на кашона

                                  От това,че 24=2.2.2.3 36=2.2.3.3 54=2.3.3.3  

                                                          правим изводите:

  • С куб с размери 2х2х2 е възможно да напълним дадения кашон, защото 24 се дели на 2 , 36 се дели на 2 ,54 се дели на 2 и е изпълнено, че 24.36.54 се дели на 2.2.2 .Следователно броя на кубчетата е 12.18.27 = 5832

  • С аналогична проверка ще установим,че е възможно да напълним дадения кашон, ако кубът е с размери 3 х 3 х 3 и техния брой е 8.12.18=1728

  • Последната възможност е куб с размери 6 х 6 х 6 и техния брой е 4.6.9=216


Задача В кашон с форма на правоъгълен паралелепипед с дължина 76 cm,ширина 64 cm и височина 53 cm са подредени кутии с форма на куб с ръб 7 cm.Колко най-много кутии могат да се подредят в кашона?


Задача Правоъгълен паралелепипед има измерения 216 cm,324 cm и 360 cm.По колко различни начина може да бъде разрязан на еднакви кубчета с ръб цяло число в сантиметри?

                                                                        A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E)10

                          (Национален кръг „Европейско кенгуру”)



Задача. Даден е куб с обем 1000 кубични сантиметра .Може ли след  премахване на две произволни ъглови кубчета с ръб 1cm (разположени във върховете на куба),да го разрежем на правоъгълни паралелепипеди с размери 2cm,1cm,1cm. Опишете кога е възможно това?

                                                                           Решение

От това,че обемът е 1000 кубични сантиметра ,то ръбът на куба е 10 cm.

Всички кубчета са разположени на 10 реда(колони) по 100 кубчета

Очевидно ,ако и двете ъглови кубчета не са на един ред или една колона разрязването не е възможно , защото остават 6 стени с 99 кубчета от ред (или колона), които не можем да разрежем на паралелепипеди с размери 2cm,1cm,1cm.(кубът 8 cm,8cm,8 cm винаги може да се разреже на паралелепипеди с размери2cm,1cm,1cm. )

Тогава , ако е възможно разрязването ,то ъгловите кубчета са на един ред или на една колона

Вземеме произволен ред (колона) от 100 кубчета Оцветяваме този ред шахматно .                                                    Той има 50 бели и 50 черни оцветени кубчета Можем да премахваме ъглови купчета от този ред по два начина – оцветени в еднакъв или в различен цвят

Погледнат  отгоре този ред(колона ) ще е оцветен като фигурата по долу

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

Първи случай - Отстраняваме ъглови кубчета оцветени в еднакъв цвят .

Тогава ще получим 48 бели и 50 черно оцветени кубчета или обратно

В този случай можем да твърдим,че не е възможно да разрежем полученото тяло на паралелепипеди с размери 2cm,1cm,1cm , защото ,този паралелепипед е съставен от две кубчета оцветени в два цвята и няма да можем да покрием 48 бели и 50 черни кубчета или обратно .

Винаги ще ни трябват равен брой оцветени кубчета .


Втори случай-Отстраняваме ъглови кубчета оцветени в различен цвят . Остават равен брой черни и бели по 49 от всеки вид . Едно примерно разрязване е 4 +5+5+5+5+5+5+5+5+5=9.5 +4=49 за този ред .За другите 9 реда на всеки ред по 50 ,общо 49+450=499 броя паралелепипеди

Извод: Разрязването е възможно,ако са изпълнени и двете условия

(1)Тялото е получено след отстраняване на ъглови кубчета, които са разположени на един ред или една колона

(2) От разположените на един ред и една колона ъглови кубчета можем да отстраняваме само тези ъглови кубчета ,които са разположени на една линия

 

 Задача Ралица направила четири еднакви кубчета .Стените на всички кубчета са номеририни ,като двойки с номера (1,2),(6,4) и (3,5),като всяка двойка са срещуположни стени .

След това тя ги залепила така,че да получи правоъгълен паралелепипед с измерения 4 cm,4cm, 1cm , като залепвала само стени с еднакви номера .Накрая Ралица събрала числата по повърхността на получения паралелепипед .Кой е максималният сбор ,който може да получи тя?

 

                                    A) 66 B) 68 C)72 D) 74 E)76

 

                              (Математическо състезание „Европейско кенгуру“)

 

                                                           Решение

Стените на всички кубчета са номеририни ,като двойки с номера (1,2),(6,4) и (3,5)

За да получи  максимална сума ,то тя трябва да залепи кубчета ,  стените на които са номерирани с най-малките числа .

Нека залепи две кубчета  стените ,на  които са  номерирани с единица .Тогава числото две е записано в срещуположната стена и на двете кубчета . За да получи най -голям сбор е необходимо и другите две кубчета да са залепени със стени номерирани с единица .

При залепването на двете двойки залепени кубчета ,за да получи максимална сума , Ралица трябва да залепва стени номерирани с числото три. По този начин на залепване тя ще получи максимална сума и тя е :

                                 4(1+2+3+4+5+6) - (4.1+4.3) = (4.6.7):2 -16=84-16= 68

Забележка :В архива от задачи от състезания за 2013 година ,(за 5 и 6  клас  ,задача 30 )ще намерите чертежи  за тази задача.

 

Задача  Колко различни  куба  може  да се конструират  от  4 бели и   4  черни   еднакви кубчета ?

(Два куба не се считат за различни ,ако единият  може да се получи чрез завъртане на другия )

                                          A) 16          B) 9           C)8        D) 7           E)6                                                                     

Отговор  D


ооо

"/>

Задача Куб с ръб 5 cm e съставен от 125 единични кубчета.Всяко кубче означено с „@ “ е начало на колона ,състояща се от 5 кубчета.Колко кубчета са отстранени след премахването на колоните ,които започват със знак „@ „ ?                                                                                                                                                                                                                           А) 25   B) 41   C) 28    D) 34   E)45

                                                    Решение                                                                                                                                                                          

Всяко кубче от куба е разположено на три колони съединяващи срещуположните стени .Следователно ,ако изваждаме произволно кубче от куба и всички колони на това кубче,то ние сме извадили (5-1 )+(5-1) +(5-1 )+1 =13 кубчета .                                                                                                                                                                                                    

Това ще е вярно и за кубчета означени със  знак  "@"  на чертежа .                                                                                                      

 От условието на задачата изваждаме колони само от двете срещуположни стени.                                    

(1)Колоните на централните кубчета на двете стени се пресичат в централното кубче на куба и извадените кубчета от двете колони са: (5-1 )+(5-1) +1 = 9                                                                                                                                       


(2)Изваждаме четирите колони на всички кубчета означени с „@„от едната стена - общо 4.5= 20 кубчета                                                                                                                                                                                                        

(3)Изваждаме колоните на другите четири кубчета от другата стена . Броя на извадените кубчета са    съответно от всяка колона по 3 , общо  4.3=12                                                                                                                              Общо извадени кубчета : 9+20+12=41                                                                                         

Отговор  B)

при условията на предходната задача ,с включена и третата стена решете самостоятелно следващата задача

убчета със знак "@" са заменени с черни кубчета )

Задача Куб с ръб 5 cm e съставен от 125 единични кубчета.Всяко зачернено кубче е начало на колона ,състояща се от 5 кубчета.Колко кубчета ще останат след отстраняване на колоните ,които започват със зачернено кубче ?

А) 50 B) 57 C) 68 D) 74 E)75

(Национален кръг „Европейско кенгуру“)


Задача Кубът на чертежа е съставен от малки кубчета. В него по посочения начин са пробити три тунелчета. Колко малки кубчета са останали след пробиването?

А) 80 B) 100 C) 92 D) 115 E) 116




"/>




Задача

Задача.Геометрично тяло се състои от малки кубчета с ръб 1 см и е образувано по следния начин: В основата му са подредени плътно малки кубчета във форма на квадрат с размери n´ n. Върху нея са подредени кубчета във форма на квадрат с размери (n-2) ´(n-2) и със страни, успоредни на страните на основата, и така нататък, докато последният ред се състои от едно кубче. Намерете повърхнината на тялото, ако височината му е 20 см.

Отг. 4642 кв. см.

(Математически турнир "Акад.Кирил Попов",индивидуално състезание ,5 клас)

Решение. Етажите са 20 и страните им отгоре надолу са 1, 3, 5,...39 см. Тогава с поглед  отгоре намираме ,че  лицето на фигурата

1+3.3-1+5.5 - 3.3+7.7-5.5 ..........39.39=39.39 кв.см  

Като включим и квадратите отдолу – 39.39 ,получаваме ,че  лицето на фигурата погледната отгоре и отдолу е 2.39.39 =3042 кв.см

 С поглед отстрани имаме 4.(1 + 3+ 5 + ... + 39)

= 4.20.20 = 1600.

 Тогава лицето на повърхнината на тялото е  3042 + 1600 = 4642 кв. см.


В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg