В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Правоъгълници, на които едната страна е в пъти в повече от другата .Конструктивни задачи за ученици от 3,4 и 5 клас.




Петър е ученик с математически наклонности ,  който обича да  сглобява   правоъгълници  с  равни   размери, така че да получи  от тях  квадрат или   правоъгълник  .

Сглобяването правил без припокриване и  застъпване .

Започнал с   три  правоъгълника  с равни размери


 

 

 

 

 

 

 

 

 

На картинката е показана конструкция ,   как е получил нов правоъгълник



Когато  долепил   трите  правоъгълника  ,така както е показано на картинката по-долу , получил следната фигура

"/>

Веднага направил следния извод:

Ако сглобяването е по -този начин , не от всички правоъгълници с равни размери , може да се сглоби правоъгълник

1
1


Започнал да разсъждава отзад –напред

 

Нека съм сглобил  нов правоъгълник  по този начин

Тогава , за да е възможно сглобяването  дължината на единичния   правоъгълник (оцветена в червено ) ,трябва да  е  2 пъти   по-голяма  от  ширината му (оцветена в синьо )



В този урок  ще разглеждаме  точно такива задачи

  • Ще построяваме квадрати и правоъгълници от по-малки правоъгълници с равни размери .Ще описваме различните начини на конструиране 
  • Ще намираме  обиколката на големия правоъгълник ,ако знаем размерите на  малкия правоъгълник 
  • Ще намираме  размерите на малкия правоъгълник ,ако знаем  обиколката  на големия  правоъгълник
  • Ще разрязваме  получените нови  правоъгълници на квадрати



Започваме урока с два правоъгълника с равни размери .



1.задача .Най-малко,колко правоъгълника  с размери 2 см  х  1 см трябва да долепим ,без припокриване и застъпване  за да получим квадрат .

Решение  :

 

      1               1                           

 

1111 1

 1111 

    2

 

 

   

 

 

 Отговор :Два правоъгълника



Извод : Ако  едната страна на правоъгълник е два пъти по-малка от другата ,с два  такива  правоъгълника винаги можем да сглобим квадрат .


2.задача .От  два   правоъгълника   с размери  5 см  х10  см  е получен квадрат .Намерете   обиколката  на получения квадрат  ? 


Отговор :40 см 

 

 

 

3 задача .Стоян  има 8  правоъгълника  с размери 2 см на 1 см  . 

а)Сглобете  от тях  квадрат

б) Намерете дължината на страната на квадрата   и  неговата  обиколка

в) Разрежете  получения квадрат  на 4 нови квадрата 

 

 Решение

  а )  От 8 квадрата с равни размери  ,винаги можем да сглобим 4 квадрата с  дължина на страната 2 см  .Като  сглобим  тези 4 квадрата  с равни размери ,ще получим  нов квадрат 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


б) Дължината на страната на получения квадрат е 2см +1см + 1 см = 4 см .
Тогава обиколката му е  4.4 =16 см


в)Като разсъждаваме отзад -напред ,правим   единственото възможно разрязване  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1
1
1

Продължаваме със задачата на Петър

Да си припомним основния извод : Винаги , когато дължината на един правоъгълник е 2 пъти по-голяма от ширината му , то от три такива правоъгълника ,можем да  сглобим  правоъгълник  .

 

Примерни  сглобявания по този начин :

 

  • Ако дължината е 2 см, то ширината трябва да е 1 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На картинката в квадратна мрежа с дължина на единичното квадратче 1 см, е построен  нов правоъгълник от 3 правоъгълника с размери 2 см и 1 см

Размерите на новия правоъгълник  са : 3 см  на 2 см .Обиколката му е  (3+2).2 = 10 см

 

 

  • Ако дължината е 4 см, то ширината трябва да е 2  см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Размерите на новия правоъгълник  са : 6 см  на 4 см .Обиколката му е  (6+4).2 = 20 см

 

 

  • Ако дължината е 10 см, то ширината трябва да е 5  см
Размерите на новия правоъгълник  са : 15 см  на 10 см .Обиколката му е  (15+10).2 = 50 см



Да обобщим :

  • Сборът на две ширини на малкия правоъгълник са равни на   дължината му.


  • Новият правоъгълник има дължина ,която е сбор от дължината и ширината на единичния правоъгълник и ширина равна на дължината  на единичния правоъгълник


  • Обиколката на големия правоъгълник е съставена от 5  дължини на малкия  правоъгълник .Тя е  5 пъти по -голяма от дължината на единичния правоъгълник


  • Обиколката на големия правоъгълник е съставена от 10  ширини на малкия  правоъгълник .Тя е  10 пъти по -голяма от  ширината  на единичния правоъгълник


Извод :Обиколката на получения голям правоъгълник е 10 пъти по голяма от по-малката страна на дадения правоъгълник



4 задача . От три правоъгълника  с размери  6 см и 12 см  е сглобен нов правоъгълник ,по предходния начин .

а) Намерете  размерите на получения правоъгълник  и обиколката му 

б) Разрежете го на  квадрати,всеки с дължина на страната ,равна на 3 см  .Колко квадрата получихте ?


Решение


а) Обиколката на квадрата е 10.6=60 см,ширината му е  - 12 см,а дължината му-  12 +6= 18 см

б)Започваме да го разрязваме

От това,че   12 :3=4  ,то разделяме  с 4 линии ,ширината на правоъгълника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

От това,че   18 :3  =6  ,то разделяме  с 6 линии ,дължината  на правоъгълника

 

По този начин,разрязахме правогълника на 6.4 = 24 квадрата всеки с дължина 3 см


 Отговор б) 24 квадрата




5.задача .Петър долепил два   правоъгълника  с равни размери  без припокриване и застъпване и получил квадрат  с обиколка   16 см .Какви са  размерите на малките правоъгълници ?

Решение

            

                 11111111

 


 

 1111111

111


 

 

Щом  фигурата  е квадрат с обиколка 16 см,то страната на квадрата е 16:4= 4 см 

 

Тогава малкият правоъгълник има дължина   4 см и  ширина   4:2=  2 см  

 

 


6.задача . Долепени са три правоъгълника с равни размери ,така както е показано на картинката .Ако    обиколката на получения голям правоъгълник е  30 см ,намерете размерите на малките правоъгълници  ?     

                               

 

 

       

 

 

 


Решение 

Щом  обиколката на големия правоъгълник е съставена от 5  дължини на малкия  правоъгълник и е 10 пъти по-голяма от ширината на малкия правоъгълник , то  ширината му е 30:10=3 см , дължината му е 3.2 =6 см





7.задача Даден е правоъгълник с ширина 3 см ,който е такъв , че  ако  долепим 6 такива правоъгълника,така както е показано на картинката ,получаваме  нов правоъгълник


Намерете :

А) Колко е дължината  на малкият правоъгълник ?

Б) Колко е обиколката на новия  правоъгълник ?

Отговори :

а) 6 см

б) 48 см



8.задача От  4 правоъгълника с равни размери е сглобен правоъгълника на чертежа .

Съставете задачи и опишете решенията им
"/>
1
1
1

Започваме да сглобяваме правоъгълници и квадрати ,на които ширината е три пъти по-малка от дължината



9.задача Най-малко,колко правоъгълника  с размери 6 см  х  2 см трябва да долепите ,без припокриване и застъпване  за да сглобите  квадрат .

Решение

 2 см

1

 2 см

1

 2 см

1

                  6 см

Получения квадрат има страна 6 см



Извод : Винаги от 3 триъгълника с равни размери,на които

ширината е 3 пъти по-малка от дължината,можем да сглобим квадрат



На картинката 4 правоъгълника с равни размери са долепени така ,че е получен нов правоъгълник  .



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Възниква въпроса ,какви трябва да са размерите  на малките правоъгълници ,за да е възможно  това сглобяване
"/>

На чертежа със зелено  е означена ширината на малкия правоъгълник,а с червено неговата  дължина

При обръщането на четвъртия правоъгълник , виждаме ,че  дължината на малкия правоъгълник , е 3 пъти по-голяма от ширината му.


Важни изводи :

  • Дължината на малките правоъгълници е 3 пъти по-голяма от ширината му
  • Новият правоъгълник има ширина ,която е 3 пъти по -голяма от ширината на малкия правоъгълник и дължина ,която е сбор от ширината и дължината на малкия правоъгълник
  • Обиколката на новия правоъгълник е 14 пъти по -голяма от ширината на малкия правоъгълник



Долепени са  4  правоъгълника с равни размери ,така както е показано на картинката .

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 



10 .задача Ако   размерите на малките правоъгълници са 5 см и 15 см ,намерете обиколката на  големия  правоъгълник .     


11 .задача Ако   обиколката на получения голям правоъгълник е  56 см ,намерете размерите на малките правоъгълници  .

Решение  

Щом  обиколката на големия правоъгълник е  14 пъти по –голяма от ширината на малкия правоъгълник , то ширината му е 56:14=4 см

Тогава дължината му е 4.3 =12 см  

 

12.задача  Ако   обиколката на получения голям правоъгълник е  56 см , разделете  големия  правоъгълник на  квадрати със страна 4 см


13.задача Ако   обиколката на получения голям правоъгълник е  56 см , на колко правоъгълника с размери  2см и 3 см ,може да разделите големия правоъгълник

Отговор : 36 броя


14.задача .Правоъгълникът на чертежа е съставен от шест квадрата. Страната на оцветения квадрат е 54 см. Колко сантиметра е обиколката на целия правоъгълник?

 

 

 

 

 11111111

 

 

 1111

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А) 99 см Б) 153 см В) 216 см Г) 306 см

Математически турнир „АКАД. КИРИЛ ПОПОВ“ШУМЕН, 7 МАЙ2016

ПЪРВИ ЕТАП, ИНДИВИДУАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ

ТРЕТИ КЛАС

Отговор :Г)

Решение  :

Страната на малките три квадрата е 54:3=18 см

Страната на малките два квадрата  е 54:2=27 см

Дължината на големия правоъгълник е 54+18+27=99 см

Обиколката на големия правоъгълник е (99+54).2=306 см


Да разгледаме картинката на чертежа

Ако правоъгълниците имат равни размери ,то сглобяването е възможно,ако :





     а)                          б)
"/>












а)Дължината на единичния правоъгълник е 4 пъти по -голяма от ширината му
б)Дължината на единичния правоъгълник е 5 пъти по -голяма от ширината му


Една последна задача за умници

 

На чертежа  квадрат е разделен на правоъгълници .Ако правоъгълниците в червено имат равни размери,намерете дължината на отсечката ,означена с въпросителен 

Няколко по трудни задачи за петокласници


14.задача На чертежа  квадрат е разделен на правоъгълници .Ако правоъгълниците в червено имат равни размери,намерете дължината на отсечката ,означена с въпросителен
"/>





15.задача
На чертежа  правоъгълник  е сглобен  от   2 правоъгълника с равни размери оцветени в жълто , от два червени правоъгълника с равни размери оцветени в червено и от два квадрата  с равни размери  ,оцветени в зелено .Ако обиколката на големия правоъгълник е 44 см , а по-малката страна на жълтия правоъгълник е 2см ,намерете  размерите на  червените правоъгълници .
"/>

Решение 

От начина на сглобяване на големия  правоъгълник ,следва,че  по-голямата му страна   е сбор от ширината и дължината на жълтия правоъгълник , а по-малката му страна е    равна на по-голямата страна  на жълтия правоъгълник

Да означим с а  по-голямата страна  на жълтия правоъгълник

 

Тогава 44 - 2.2  = 40 см   е  4  пъти  дължината на жълтия правоъгълник

"/>
В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg