В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Задачи от разрязване и възпроизвеждане на фигури за ученици от 3 до 7 клас .

Задачите от  разрязване  на фигури  са увлекателни  за много ученици ,защото за тях няма стандартен метод за решаване.  Всеки със своята интуиция и творческо мислене  ,може да открие решение или състави задача.

 

Тук ще намерите :

  • Задачи от  разрязване   от състезания ,олимпиади и турнири за ученици от  3 до 7 клас.Задачи за самостоятелна работа. .
  •  Полезни връзки  за самостоятелна подготовка от "Разрязване на фигури
1
1


Полезни връзки за задачи от разрязване на фигури

Искате ли да се запознаете с  китайската  главоблъсканица "Танграм"  , при която се иска  от дадени  седем геометрични фигури да се построи квадрат . Следвай посочените връзки и подреждай танграми .

ЛИНК : Танграм - Подреждане на квадрат от седем фигури .Игра за деца

ЛИНК : Танграм - Подреждане на квадрат от седем фигури

ЛИНК : Програма за съставяне на задачи от разрязване и възпроизвеждане на фигури .

ЛИНК :Конструктивни задачи за малки ученици

 


За тези от Вас ,за които темата "Разрязване на фигури" е интересна  в   електронната си  книга " Задачи от разрезание" авторите   М.А.Екимова, Г.П.Кукин  правят  чудесен курс  по развиваща се логика  за ученици от   5 -ти  до  7-  клас.Във всички предложени  задачи в книгата  авторите  дават указания или  решения .
Това е една подходяща книга за любителите на   математически главоблъсканици .

ЛИНК:.Електронна книга "Задачи от разрязване "



 

П

О

Д

О

Б

Н

И

 

 

Т

Е

М

И

 

 

 

1
1
1

Задачи от разрязване от състезания ,олимпиади и турнири за ученици от 3 до 7 клас.Задачи за самостоятелна работа.

1
1
1


Задачи за ученици 

 от  3 и 4  клас

 

 

                      

 

Задача   Как да разрежем една пица   на  осем   равни  части само   с   три

  разреза?

Отговор    Всяка разделителна   права  линия ще броим за едно рязане. Един възможен начин е  чрез наслагване.

Разрязваме питата на две равни части,подреждаме парчета едно върху  друго,тях с второ  разрязване  делим  питата на четири равни  части ,отново поставяме  едно върху друго и с последен трети  разрез получаваме осем  равни  парчета кашкавал.  

 

Задача Даниел   сгъва квадратна салфетка на две по   хоризонталната линия през средите на две  срещулежащи страни, след това още на две по вертикалната линия през средите и така  нататък  Каква ще е получената фигура след  4 сгъвания и от колко  пласта ще е съставена?

Решение

При всяко нечетно  сгъване   получената фигура след сгъването е правоъгълник , а  при  четно сгъване е  квадрат . 

При четири  сгъвания   винаги през средата ще получим квадрат .

Да определим броя на пластовете

  • При първо сгъване  -  2 броя
  • При второ  сгъване  - 2.2 = 4 броя
  • При трето  сгъване  -  2.4 =8  броя
  • При  четвърто  сгъване  -  8.2=16  броя

 

   


 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

Задача Правоъгълникът на чертежа е съставен от 27 еднакви квадрата.  Покажете как правоъгълникът може да бъде разрязан точно на 8 квадрата. Допуска се рязане само по пунктираните линии.


                                    Решение

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 Два квадрата с размери  3 на 3 ,един квадрат с размери  2 на 2  и  5 квадрата с размери 1 на 1

 

Задача .Лист хартия с правоъгълна форма е с размери 22 cm и 3 cm. Срязваме този лист само  по една линия и получаваме квадрат. После правим същото с останалата част от листа –

срязваме само по една линия и получаваме нов квадрат и така  нататък .  Най-малкия брой   квадрати при това срязване  са ? 

A) 17         B) 8          C) 9          D) 11             E) 12

Отговор С)

Решение

От това,че търсим  най-малкия брой квадрати  ,то ще трябва да определим броя на  възможно  най-големия  квадрат с който започваме да срязваме .Това е квадрат с размери  3 на 3

(1)           От това че  22= 7.3 +1 

(2)           Можем да   разрежем правоъгълника  на 7 квадрата с размери  3 на  3

(3)           Правоъгълника с размери 1 на 3    съдържа  точно 3  квадрата с размери 1 на 1  .  По този начин ще получим най-малък брой квадрати 

Получихме  10 квадрата ,като сме спазвали правилото -срязването да е винаги по една линия.

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 

 

6

 

 

7

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

Задача  Правоъгълен лист хартия с размери 6 cm и 7 cm е нарязан на  квадрати, всеки със страна цяло число сантиметри. На колко най-малко квадрата    може да бъде осъществено нарязването?

                         A) 4               B) 5             C) 7                 D) друг отговор

 

Задача  Лист хартия с форма  на правоъгълник е с размери 192 на 84 милиметра.Срязваме този лист само по една линия  и получаваме квадрат .После правим същото с останалата част  от листа –срязваме  само по една линия и получаваме  нов квадрат .Продължаваме по-същия  начин като при всяко срязване трябва да се получава квадрат.Колко са всичките квадрати?

( международно състезание „Европейско   Кенгуру”),  

А)11                 B) 12                       C) 8                             D)6                            E) 7

Верен отговор E)    

Упътване :Условието изисква срязване само по една линия .

 

Задача.   Правоъгълник има страни 36 cmи 26 cm. От него изрязали квадрат с възможно най-голяма страна (цяло число в cm). От останалата част на правоъгълника направили същото разрязване и така нататък. Намерете броя на разрязванията.

 (Великденско математическо състезание)

А)5;                B)7;                            C) 9;               D) друг отговор

  Решение:  Първо разрязване - получаваме квадрат със страна 26 cm и правоъгълник със страни 26 cm и 10 cm. Второ разрязване - квадрат със страна 10 cm и правоъгълник със страни 16 cm и 10 cm. Трето разрязване - квадрат със страна 10 cm и правоъгълник със страни 10 cm и 6 cm. Четвърто разрязване - квадрат със страна 6 cm и правоъгълник със страни 6 cm и 4 cm. Пето разрязване - квадрат със страна 4 cm и правоъгълник със страни 4 cm и 2 cm. Шесто разрязване – два квадрата със страни 2 cm. Следователно разрязванията са 6.

 

Задача .  Квадрат с размери 4 на 4 сантиметра е  разрязан   на 8   квадрата .Опишете  размерите  на   квадратите .A) 2cm и 1 cm      B) 2cm и  3 cm         C) 3cm и  1  cm        D) 2 cm и  7 cm          

Решение Един  квадрат с размери  3 на 3  и  7 квадрата с размери  1 на 1

 

 



 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 


 

 


ПРЕДВАРИТЕЛНО СЕ ИЗВИНЯВАМЕ ЗА НЕТОЧНИТЕ РАЗМЕРИ НА КВАДРАТЧЕТАТА 

Задача .Разгледайте фигурата  по-долу .Тя е съставена  от  14  квадратчета с  дължина на страната  един  сантиметър .

Колко квадратчета  трябва да добавим , за да получим   възможно  най-малкият квадрат  в който да  участва  тази фигура ?


 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Решение

Възможно  най-малък  квадрат  ще получим  ако, е със  страна 5 cm

Тогава , лицето на получения квадрат  е 25  квадратни  сантиметра

Лицето на всяко малко квадратче е  1.1  =1  квадратен сантиметър .

Тогава броят на квадратчетата  с  които ще допълним  фигурата  до квадрат 

 е    25  -14  = 11

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

 

 

 

Задача.  Квадрат с размери   6 на 6  е разрязан    на  един  правоъгълник   с  размери  4 на  6   и    три    квадрата  с   размери   2 на  2

Колко  е лицето   на  правоъгълника    оцветен  в  синьо ?

а) 12                  b) 8                   c) 9                      d) друг отговор

11111

 1

 11111

11111

 11111

 11111

 11111

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Отговор  а)

 

Задача Квадрат       е  разрязан   ,така както  е показано  на чертежа - два  квадрата оцветени в зелено    и  два правоъгълника оцветени с червено . Колко е дължината на страната  на по-малкия  квадрат  ,ако   лицето на  по-големият  квадрат   е  121  квадратни сантиметра ,  а    обиколката на правоъгълника  в  червено  е  26  сантиметра   

A) 3 cm       B) 2 cm       C) 1 cm        D) друг отговор


Решение

  • ·         Двата  правоъгълника имат  еднакви  размери( квадрат разрязан по този начин  на два квадрата)
  • ·         От   S = 121=11.11 cm2  следва,че   дължината  на страната  на големият квадрат  е 11 сантиметра

 

 x

 11

 

       

 

 

 

 

 6

 

 

11 

 


 

11 

 

 

  • ·         Нека  с  x  означим   дължината на страната на по-малкият  квадрат ,тогава  обиколката на  правоъгълника  в  червено  е    2.x  + 2.11 =26  и  x=2

Отговор  B)


 


Задача . Правоъгълно дворно място има дължина 56 m и широчина 7 пъти по-къса от дължината.В дворното място ще се правят еднакви  лехи с форма на квадрат  с  дължина на страната  8 m.Колко лехи могат да се направят ?

                                                                Решение

-Размерите  на дворното  място  са  56 m на 56:7=8 m

- Първо трябва да проверим  възможно ли  е точно да се  направят  еднакви лехи  без застъпване и припокриване

                                           ПРОВЕРКА:

  1. Двете дължини  са кратни  на  страната на лехата  8 m

                                        (да защото те са  8 m  и 56 m)

  1. Лицата  на  правоъгълната площадка и на лехата  трябва да са кратни

                                       {Да защото  (56.8 ):(8.8 ) =7}

 

-От това,че са изпълнени и двете условия ,можем да твърдим,че  броя на лехите  е точно  7

A) 8 m   B) 9 m   C) 7 m          E) друг отговор

 

Задача  Мирослав   иска да направи   квадрат ,като използва само парчета  еднакви   с   показаното  на  чертеж 1.Колко   най-малко   такива парчета са му необходими? 

      

А)4              В)3           С)6            D)8              Е)5

    Чертеж 1. 


       Чертеж 1.                                   

 

 

 

 

 

 

                           


Ако сглобим  двете фигурки без застъпване и припокриване получаваме правоъгълник  с  размери  4  на 2 , в който  имаме две такива фигури .

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

Долепваме до него  още  един такъв правоъгълник и получаваме  квадрат.

За получаване на най-малкият квадрат  ще са ни необходими  точно 4 фигури .

 


Задача Даден е правоъгълник с размери  3 сантиметра  на 9  сантиметра
Да се разреже правоъгълникът на осем квадрата ,като два от тях са със страна 3 сантиметра ,един -със страна 
2 сантиметра и пет със страна единица.

 

Задача Правоъгълник с  лице 144 квадратни сантиметра може да се  разреже  на  4 еднакви квадрата .

 Да се намерят възможните дължини на страните му?

Решение Всеки квадрат  има лице  144:4=36 cm2 и дължина на страната    6 сантиметра.

От това,че   144=2.2.2.2.3.3  и  всяка една от дължините на страните на правоъгълника  е кратна на  6  
то, възможните правоъгълници  с това свойство са със размери :                                                                                             6 X 24   или   12 X 12          

 

  Задача.Даден е   квадрат със  страна   12 сантиметра .Може  ли  той   да се разреже на                                            2,4,6 , 7 , 8 ,9 и  10  по малки квадрата  със страни естествени числа?

                                                   (Коледно математическо състезание)


 


Задача.   Със седем квадратни плочки може да се състави буквата П (чертеж. 1), с 11 плочки може да се състави буквата  П  два пъти (чертеж. 2). Колко пъти ще изпишем буквата П , ако по този начин подредим 2011 плочки?

( Великденско математическо състезание)

а) 502;                        b) 503;                        c)505;            d) друг отговор


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Чертеж 1.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Чертеж 2 .


 Решение:  Щом със 7 плочки се съставя буквата  П, а с 11- два пъти буквата П следва, че за всяка следваща буква са необходими по 4 плочки. Следователно 2 011-7=2 004 плочки са използвани за съставянето на останалите букви след първата. 2 004:4=501 букви са дописани. Всички букви са 501

3 на 3  и  2 на 2   и   два правоъгълника с размери 2  на  3.

      

 

З     

Задача.Дадена е квадратна мрежа с размери  5 на  5.На чертежа   тя е разделена на два квадрата с         размери 3 x3   и    2x2  и  два еднакви правоъгълника  с размери 2 x 3 

По колко различни начина можем да разрежем   квадратна мрежа с размери 10 на 10  по този начин?


 

 

 

 


   

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 


 
Решение 

Забелязваме,че  лицето на квадрата със страна 5 cm  е   (2+3).(2+3)=2.2 +2.2.3+ 3.3 ,

което е точно  разрязването на квадрата  на един квадрат с размери  3 на 3,още един с размери 2 на 2 и два еднакви правоъгълника с размери  3 на 2 



                                                                               ВАЖНО!

 От това, че  10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5  правим изводът,че  дадената квадратна мрежа можем да разрежем на четири части,  от които два квадрата и два еднакви правоъгълника  точно по 5 различни начина.


Задачи за ученици 

 от  4 до  7  клас

 

 

 

Задача.Даден е квадрат със страна 12 сантиметра.Може ли да  бъде разрязан на 12 квадрата.

Решение  От това,че (10+2).(10+2)= 10.10 +2.10.2+2.2 правим извода,че той може да бъде разрязан на  един квадрат с размери 10 на 10  ,един квадрат с размери 2 на 2 и два еднакви правоъгълника с размери 2 на 10 .Това са точно един квадрат с размери 10 на  10 и 11 квадрата с размери 2 на  2,общо 12.

Извод Ако знаем дължините на страните на даден  квадрат по този начин можем да  разделяме на по-малки квадрати и правоъгълници и да  получим всички възможни разрязвания    и комбинациите от тях.

 ПРЕДВАРИТЕЛНО СЕ ИЗВИНЯВАМЕ ЗА НЕТОЧНИТЕ РАЗМЕРИ НА КВАДРАТЧЕТАТА 

Задача ( Летящото килимче )Вълшебствата имат своите закони. Един от тях гласи: „Летящото  килимче може да лети само, ако има форма на правоъгълник!”.

Аладин имал летящо килимче с размери 9 на 12. Една нощ злият Джафар се промъкнал и си отрязал от него малко килимче 1 × 8. Когато на сутринта забелязал повредата, Аладин помислил да поправи стореното, като отреже парче 1 × 4 и получи килимче 8 × 12. Но умната Ясмин имала друга идея. Тя разрязала  килимчето на три части, от които с вълшебни конци ушила  квадратно летящо килимче с размери 10 × 10. Открийте как Ясмин  е направила това!

(  Математически турнир «Академик Кирил Попов»-отборно състезание)        

 Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умната  Ясмин  отрязала  двете  червени квадратчета  и ги зашила на долната част до останалите четири квадратчета , след разрязаното парче 1 на 8 .След  това  зашила фигурата(третата част)  оцветена в жълто   до получаване на квадрат с размери  10 на 10, така както е показано на чертежа .Вече килимчето било готово за летене ,квадратът е правоъгълни с равни размери .

                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Задача  Даден е правоъгълник с лице 196 квадратни  сантиметра,който може да се разреже  на четири еднакви квадрата .

 А)Намерете дължините на страните  на този  квадрат.

B)Минчо се опитал да разреже дадения  правоъгълник на квадрати  с дължини 5 на 2 сантиметра ,като  искал от всеки вид  квадрати  най-малко по един .Възможно ли е това?Помогнете му да го направи,ако е  възможно .

(Национална олимпиада –областен кръг)


Решение. 

А) От  196:4=49,то правим  извода,че дължината на страната на квадрата е  7 .

B)Ако дадения   правоъгълник има   размери естествени числа,то възможните размери са:  7 на 28  или  14 на 14(от 196=2.2.7.7 и разрязването на  4 квадрата със страна 7 ,отпадат правоъгълниците с размери  1 на 196         и 2 на 98)

Нека  броя на квадратите със страна 5 са x  , а броя на квадратите със страна 2 са у

Ако разрязването е възможно,ще е изпълнено  25.x+4.у=196 .Правим извода,че x е кратно на четири .Числата кратни на четири са 4,8,12.......

Oт това,че 8.25 =200>196 следва,че  това е възможно само за x= 4   и  у=24

Показахме,че ако разрязването е възможно,то броя на квадратите със страна 5  е  x=4 и броя на квадратите със страна  2 сантиметра   е  у=24

    Да разгледаме случая когато дадения правоъгълник е квадрат с размери 14 на 14. 

От това,че  (10 + 4).(10+4)= 10.10 + 2.10.4 +4.4  веднага правим извода,че  дадения квадрат можем да разделим  на  един квадрат с размери 10 на 10  ,един квадрат с размери 4 на 4 и два правоъгълника с размери 10 на  2 .

·        Квадратът с размери 10 на 10 е точно 4 квадрата с размери 5 на  5

·        Квадратът с размери  4 на  4  е точно  4 квадрата с размери 2 на  2

·        Правоъгълник с размери 10 на 4  е точно  10 квадрата с размери 2 на2  ,за двата правоъгълника общо 20 броя.

                                                                                                                           

 Показахме,че ако правоъгълника е с размери 14 на 14 то,съществува разрязване  на 5 квадрата със страна 5   и  24 квадрата със страна 2  

Забележка.

 Докажете самостоятелно,че правоъгълник с размери 7на 28 не може да се разреже по този начин на квадрати          

 


Задача    Даден е   квадрат със  страна   12 cm Може  ли  той   да се разреже на  квадрати  със страни съответно  2,4,6 , 7  и 8  cm.

Решение  Броят  на квадратчетата  със страна един cm  е 12  х 12 =144

За да можем да разрежем  на по-малки квадрати  трябва да са изпълнени две условия

(1)Лицата да са кратни

(2) Дължините на страните да са кратни

Ако едно от тях не е изпълнено,то това не е възможно.

·        От това,че   144:4=36  и   12:2=6 ,то можем да разрежем  големият квадрат  точно на    36  квадрата.

·        От  това,че    144  =16.9  и    12:4=3 е  достатъчно да твърдим  ,че  можем да разрежем големия квадрат на  9  по-малки със страна  4.

·        От това,че  144:36=4  и 12 : 6 =2 е  достатъчно да твърдим,че  можем да  разрежем  големия квадрат  на  4  по-малки със страна  6 cm.

·        От  това,че  144=49.2+46 е достатъчно да твърдим,че  не е възможно  да разрежем   дадения квадрат  на  по-малки квадрати със страна 7

·        От  това,че  12=1.8+4 е достатъчно да твърдим ,че не е възможно разрязване на  големия квадрат на по-малки със страна  8 cm.

Може да направите проверка на разсъжденията си  чрез ползване на таблиците  в  Excel


 

Задача  Правоъгълник с  лице 100 квадратни сантиметра   може да се  разреже  на  4 еднакви квадрата .

 A)Да се намерят възможните дължини на страните му?

 B)Симеон   иска да го разреже на  квадрати с дължини на страните 6 на  2 сантиметра.Ако е възможно как трябва да го извърши ?

 

 Задача  Дължината на правоъгълник измерена в сантиметри е двуцифрено число с различни чифри , а  ширината му е равна на числото записано в обратен ред.Обиколката му е 154 сантиметра.

 А)Намерете лицето на правоъгълника?

 B)Ако правоъгълника е с възможно най-голямо лице,покажете как може да бъде разрязан на точно 10 квадрата (не непременно  различни).Намерете две такива разрязвания .

(Национална олимпиaда –областен кръг)

                                  Решение

А)Нека а и в са съответно  броя на десетиците и броя на единиците на дължината на правоъгълника.От условието ,че размерите са огледални ,то обиколката на правоъгълника  е кратна на 11

 а + в =77:11
а+в=7 ,но а и в са различни цифри 
ако а=1 то в=6 ,ако а=2 ,то в=5 ,ако  а=3 ,то в =4 

 Възможните правоъгълници са с размери   16  и 61  и  25  и 52 и  34 и 43 ,съответно с лица 976 ,1300,1462

B) С най-голямо лице е правоъгълникът с размери  34  на 43 сантиметра.

Разрежете на един  квадрат с размери 37 на 37 .Останалата част с размери  34 на  9 последователно разрязвайте на квадрати  с размери  9 на  9 ,7 на 7 ,2на 2 и 1 на 1

 

Задача Дължината и ширината на правоъгълник  измерени  в сантиметри  са естествени числа Ако лицето е 99 квадратни сантиметра  ,то колко най-много  правоъгълника с размери  3  на 2 сантиметра  могат да бъдат разположени в дадения правоъгълник  без  застъпване  и припокриване?

Решение

Възможните правоъгълници  с лице 99 и страни естествени  числа  са

 със размери

 :  9 и 11 ,1  и 99 ,  3 и 33.

Във  всеки от тези случаи  имаме 99  единични   квадратчета , в които

 ще разполагаме  2 на 3=6 квадратчета.

  Следователно  от това,че  99= 6.16 +3  ,можем  да направим извода ,че 

 максималният брой квадрати е не повече от 16.

   Ако направим такова построение , сме доказали,че максималният

 брой е 16 .

 В правоъгълник размери  9 на  11   можем  без застъпване

 и  припокриване да направим едно такова построение.

     

Задача  Ани разполага с достатъчно фигурки от показания вид.

Колко най-много такива фигурки може да разположи Ани в правоъгълник с размери 5  на  4 , без да ги застъпва?         

                                 A)    2               B) 3                 C) 4                       D)5

                   (Математическо състезание „Европейско кенгуру")

 

 


 

 

 


 

                                            

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

                                                             Решение

·         От това,че лицето на дадения правоъгълник е 5.4=20 квадратни сантиметра , а лицето на дадената фигурка е 4 квадратни сантиметра  и  20 :4=5, правим  извода че  броя на фигурките е не повече от 5.

·         За да получим  максимален брой  фигури е необходимо да ги поставяме така,че  при сглобяването  да получаваме  най-малък брой

                                  не застъпени квадратчета.

·          От  това,че при  поставяне  на четири квадратчета по начина по който е показан на чертежа, без зазтъпване и припокриване остават  четири квадратчета в  които,не можем да поставим нова фигура ,можем да направим извода,че както и да поставяме фигурите винаги ще остават  най-малко четири квадрата и  максималният  брой фигури  е  точно четири .

                                                                       Отговор c)

 

Задача  Мариета  иска да направи квадрат със  страна по-голяма от 4cm,като използва само парчета  еднакви   с   показаното  на  чертежа.Колко   най-малко   такива парчета са му необходими?

                            А)8               В)16          С)12             D)80              Е)20

 

 

 


 

 

 


 

 

        Упътване-Разгледайте  фигурата образувана от квадратчетата                                        

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

                                                  Отговор B)

 

     

Задача  Правоъгълна  дъска  е покрита без  застъпване  и припокриване  изцяло  с  фигурата от чертежа.Тя е съставена от  четири еднакви  квадратчета .Да се  докаже,че  лицето на дъската е кратно на 8.

 

 

 


 

 

 


 


     

Задача.Ана разполага с квадратен лист хартия .Тя  реже по линиите и отстранява  копия на  фигурата,под  листа  хартия .Какъв е възможно  най-малкият брой оставащи малки квадрата ?

А)0               B)2                 C) 4         D)6      Е)8

                   (Математическо състезание „Европейско кенгуру „)

 


 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

                            

 

 

 

 


 

 

 


 

 

 

 

                                                               Отговор c)

 

     


Задача  Дадена е квадратна мрежа 10 на 10.Колко най-много фигури ,съставени от 6  квадратчета ,като показаната по-долу ,могат да се разместят в квадратната мрежа..(фигурите могат да се въртят)

 (Математическо състезание  Академик „Кирил Попов” ,град Шумен ,Отборно състезание)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 



Задача  Даниел иска да направи квадрат ,като използва само парчета  еднакви   с   показаното  на  чертежа.Колко   най-малко   такива парчета са му необходими?

А)8               В)10           С)12             D)80              Е)20

(Международно състезание "Европейско кенгуру")


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Чертеж 1.                                                                                                                                                

Решение.   Трябва да  съставим  квадрат    само с  фигурата на  чертеж 1. Тя съдържа  пет   квадратчета със страна единица. Следователно  всички   възможни квадрати ,които можем  да  построим   ще   съдържат квадратчета ,броят на които   е кратен на  5   и   едновременно с  това  броят им  може да  се представи  като     точен   квадрат. Най-малкият от тях е 25

Следващите правоъгълници са: 30,35,40,.....95,100....400...1000.....

    От тези правоъгълници най-малките квадрати са  съставени от 25,100,225,400 ....

квадратчета  и   страните им са  съответно: 5,10,15,20............

Търсим възможно най-малкият квадрат с това свойство.                                                                                                                                                                                                              

 

 

 

 

 (2)

 (1)

 

 

 

 

 Фигурата е съставена от точно 2   такива  фигури , има 10 на брой  квадратчета и    няма застъпване и припокриване.    Очевидно не можем да я вместим в квадрат със страна  5.     Ако квадратът е със страна  10, то  квадратчета са  100, и от това че 10 се     дели на 5 и 2  и  100 :10=10 ,то  фигура 2  се   вмества точно   10 пъти                   

  Следователно  най-малкият брой  фигури    е   10.2=20 броя.   




Задача Да се намерят всички естествени числа m, за които квадрат m x m ,може да бъде разрязан на пет правоъгълника ,чиито страни са числата 1,2,3,....10 в някакъв ред.

(EGMO 2013,ЕUROPEAN Girl“sMathematical Olympiad)


Решение

От това,че страните на петте правоъгълника са едно от числата 1,2,3,....10 ,то разрязването ще е по квадратна мрежа

Нека рязрязването на квадрата с размери m x m започне от точка D(винаги  съществува страна от  квадрата  с едно единствено срязване,в противен случай квадрата  ще е разрязан на повече от пет правоъгълника).Точка D разделя страната на квадрата на две отсечки с дължини x иy,където x иy са естествени числа ,по-малки или равни на 10 .Тогава страната на квадрата m =x +y, е по-малка или равна на 20 .

Числото m не може да е 1 и 2 (не може да се разреже по квадратната мрежа на 5 правоъгълника )

Ще покажем,че за всяко число m ,което е едно от числата 3,4,5,6....20 съществува разрязване на пет правоъгълника

Знаем,че m .m=(x +y).(x +y) =xx +2xy + yy

По този начин сме представили лицето на квадрата ,като сбор от лицата на четири правоъгълника (два квадрата и два еднакви правоъгълника) .Това може да стане при всеки избор на числата x и y

Петият правоъгълник ще получим при срязването на един от тях .

ПРИМЕР (1+2).(1+2) = 1.1 + 2.1.2 +2.2 -4 броя , а петият ще получим при разрязване на единия от правоъгълниците с размери 2 x 1 .

Следователно m е : 3,4,5,6....и 20


 

Задача   Дадена е квадратна мрежа  с размери  28  на 28.Намерете най-малкия  брой квадрати на  които, можем да я разрежем.

Решение

28 се дели на  1,2,4 ,7,14

28.28 се дели  на  1,2.2,4.4,7.7 ,14.14

 Най-малък   брой квадрати ще получим с възможно най-голяма  страна  14(най-големият общ делител на дължината на страната и лицето на квадрата) . 

  Възможните квадрати  са  (28.28) :(14.14)=(28:14).(28:14)=2.2=4

Това разрязване може да стане  с един хоризонтален и един вертикален разрез  през средата на страните на  квадратната мрежа.


 
А) 196        B)210             C)56           D)Друг отговор   

 


ЗадачаПравоъгълник  е разрязан на три еднакви правоъгълника , както е показано на чертежа .

Периметърът на даденият правоъгълник е 30 dm.Намерете размерите на еднаквите правоъгълници .

А) 3 dm и 2 dm B) 5 dm и 2 dm C) 6 dm и 3 dm D) друг отговор

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 


 

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

x

 

x

 

 

 

y

 

 

 

Решение

Нека размерите на еднаквите правоъгълници са x и y ,като x<y

От начина на разрязване на даденият правоъгълник ,следва,че y =2.x

Тогава 30 =2x+y+ 2y +2x ,така е 30 =5y  и    y =6dm,  а  x=3dm

                                             Отговор: C).


Задача Иван, Петър и Емил имали еднакви правоъгълни листи. Иван нарязал своя лист без остатък на квадрати със страна 6 cm ,Петър – на квадрати със страна 10 cm. Емил нарязал листа си на 8 еднакви в цяло число сантиметри. Колко сантиметра най-малко е тази страна?

(Математически турнир“Иван Салабашев)

Решение

Страните на правоъгълника в сантиметри са общи кратни на 6 и 10, значи на 30.

Квадрат със страни 30 cmне може да се нареже на 8 еднакви квадрата със страна цяло число сантиметри.

По-нататък, правоъгълник със страни 30 X 60 може да се нареже на 8 квадрата със страна 15 cm.

Отговор: 15.


Оригинално

 

решение

 

 

 

 Задача  Може ли  квадрат  с размери  10 на 10 да се  покрие с 25  плочки  с

размери  4 на 1

 

 

 

 


Решение. Оцветяваме квадрата така ,както е показано на чертежа.Разполагаме с 25  черни квадратчета и 75 бели квадратчета. Да започнем да припокриваме с плочка с размери  4 на1.Забелязваме,че както и да поставяме плочката,то ще покриваме четири черни или две бели и две черни квадратчета. Следователно ще имаме четен брой покрити черни квадратчета .След пълно покриване на квадрата ще имаме покрити 25 черни квадратчета ,което е невъзможно .

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

ч

 

ч

 


ч

 

ч

 

ч

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

ч

 

ч

 


ч

 

ч

 

ч

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

ч

 

ч

 


ч

 

ч

 

ч

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

ч

 

ч

 


ч

 

ч

 

ч

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

ч

 

ч

 


ч

 

ч

 

ч

 

 

ЕДНА ИНТЕРЕСНА ЗАДАЧА 

Задача Даден е триъгълник  и 5 различни точки  от вътрешността му.Той е разрязан  на триъгълници ,всеки от върховете на които е или връх на дадения триъгълник ,или съвпада  с някоя от дадените точки.Най -много колко триъгълника могат да се получат  след такова разрязване ?Намерете максималният брой триъгълници които можем да построим ако точките са n на брой.

Решение. Лесно се преброяват триъгълниците при 5 вътрешни точки .Те са 11.

 Как  ще намерим максималният им брой ако  имаме  n  различни вътрешни точки.Ще трябва да потърсим зависимост между елементите на построените триъгълници ,от която да намерим броя на търсените триъгълници. Не можем да изразим дължините  на триъгълници страните на получените.Следователно ще търсим връзка с ъглите  и броят на тези триъгълници.Всеки триъгълник има сбор от ъглите си 180 градуса. Всяка от дадените точки е връх на поне един триъгълник (ако някоя от тях  е във вътрешността на един от триъгълниците ,той би могъл  да се разреже още по отсечките ,свързващи  върховете  му с тази точка ,аналогичен е случаят, когато някоя  от дадените точки е вътрешна за страна на триъгълник )

Нека триъгълниците са  N.Тогава сборът от ъглите на всички триъгълници е

 180 . N.  Да пресметнем по друг начин  сбора от ъглите на всички триъгълници ,чрез точките  n 360.n+180 N=2.n+1.Ако n=100  то  N=201

 

Задача.  Даден    правоъгълник с размери  9  на   4   да се  разреже  с  една непрекъсната  линия  на две части ,по начина  който  е показан на чертежа

(две вертикални и една хоризонтална линия) така,че като съединим   двете  части  да  получим  квадрат?                                                      

 

x

 

 

 

9    

-   

x

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

                                   

Решение 

За да направим разрязването  трябва да определим местата откъдето ще построим червената непрекъсната линия .

Даденият правоъгълник   има 36  квадратчета със страна единица.   Следователно полученият квадрат ще има страна 6 .

Нека  сме направили   срязването ,така както е показано на  чертежа по горе.Направили  сме срязване ,което е с две вертикални и една хоризонтална линия.По условие след сразрязване ,ще  сглобяваме ,така че  да получим квадрат със страна 6 .

  Това може да стане  като вмъкнем   едната отрязана част в другата . При означенията на чертежа ,трябва да е изпълнено :

1.       9-x  =2. x  ,откъдето  следва,че    x=3 ( дължината на първото вертикално срязване )

2.      4-у=у ,откъдето у =2 (дължината на  хоризонталното срязване) Показахме,че това     може да стане точно по един начин .     

Забележка : Можем по-лесно да определим  

·         дължината x от  уравнението  9 – x =6

·         дължината  y  от уравнението  y + y+ 4- y =6

 

 

Задача Квадратна мрежа с размери   6 на  6   разделете  на две части  с по  две хоризонтални  и една вертикална  линия без прекъсване така ,че  ,от  тях  да   получим   правоъгълник

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    y

 

 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Решение  Нека  сме направили  разрязването на  квадратна мрежа  ,така както е показано на чертежа.За да имаме сглобяване до правоъгълник  ,трябва :

·         Да разделим страната на квадрата на две равни отсечки.Следователно отсечката   x=3

 

·            След сглобяване  ще получим:

 Дължината  на правоъгълника  е   x+x+x=3+3+3=9    

  а,    ширината на  правоъгълника е    36:9= 4   

За  ширината  на правоъгълника   е известно,че  4= 6-y  и  y=2

·         След като сме определили x и у ,то вертикалните и хоризонталните линии  са еднозначно определени и  можем да направим срязването.

 

  

 ПРЕДВАРИТЕЛНО СЕ ИЗВИНЯВАМЕ  ЗА НЕТОЧНИТЕ  РАЗМЕРИ НА КВАДРАТЧЕТАТА .

Задача.  Разгледайте  чертежа.Той е съставен от  12  еднакви квадрата оцветени в  зелено .


 




 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 


 

  

Пребройте всички  квадрати  на

чертежа

Разрежете  фигурата на

квадрати

С размери  1 на 1 – общ брой  12 квадрата

С размери  1 на 1 можем да разрежем   фигурата   на  12 квадрата

С размери  2 на 2 – общ брой 5 квадрата


С размери  2 на 2  можем да разрежем

фигурата точно на  3 квадрата

С размери    3 на 3  няма,

 С размери   4 на 4 няма

Не  е възможно  да разрежем фигурата на  квадрати с размери  3 на 3  и 4 на 4

             САМОСТОЯТЕЛНО

Пребройте всички  правоъгълници с  размери  2 на 1  

Ако Ви е трудно ,прегледайте темата "Колко са фигурите ?" 

            САМОСТОЯТЕЛНО

Разрежете  фигурата на правоъгълници с  размери  1 на 2 .По колко  начина може да направите  това?

  

 

 





В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg