В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Средно аритметично на числа . Задачи от средна стойност на величини за 6 клас .

"/>


Често в задачи се търси :

  • средната скорост , с която се е движи дадено превозно средство
  • средната цена на всички сортове домати на пазара
  • средната оценка по математика  в нашия клас
  • средния успех на класа за учебната година
  • средната температура за този месец   

          


С  ПРИМЕРИ И ЗАДАЧИ   ЩЕ СЕ НАУЧИМ :

  • да намираме средно аритметично на няколко числа
  • да решаваме задачи от средно аритметично на числа
  • да разчитаме данни в таблици и диаграми и намираме средните им стойности

 

 

1. Средна стойност (средно-аритметично) на числа.Определение .



Пример 1 .На отиване кола изминава  разтоянието от град А  до град В със скорост 100 км/ч ,а на връщане  - със скорост от 90 км/ч.Намерете средната скорост на колата ?

Решение      

               100+90                                                

  V ср. = ----------   =  85 км/ч               

                 2        

ИЗВОД : Средната скорост намерихме,като сбора от  двете скорости ,разделихме на две   

 



Пример 2  На пазара има три вида домати със цени – 2,6  лева, 3,2  лева и  5 лева.Намерете средната цена на доматите ?

Решение      

                           2,6 +3,2+5                                                

Сред .цена  е     ------------     = 3,6 лева              

                                   3        

ИЗВОД : Средната цена на  доматите  намерихме,като сбора от  трите цени    ,разделихме на три   

 



Определение : Средната стойност ( средно аритметичното)  на няколко числа ,е сборът на числата

разделен на техния брой .    

 

За числата    a1 , a ,a3 ,  a … an  , числото      

                          a1 +a2 +a3 +a … +a                                         

                             -----------------------------                   

                                             n         


наричаме средно аритметично на n числа 



Задача :Намерете средната стойност на числата : -4 ; 3 ;-1,5 ; 0 ; -8 ;- 3

Решение

                              -4 -1,5 -8 -3  +3+0                         -13,5                

                             -----------------------------     =   --------  =  -  2,25             

                                             6                                               6        

 



Задача :Намерете средното аритметично  на числата : -6 ; 3 ;-1,8 ; 0 ; -12 ; 5 ; 1 ; 1,8


Отговор: -1,125




Задача . Боян от 6-ти клас  е закупил  два вида  видео игри  всяка с  цена от   56 лева и 72 лева .Ако от първият вид е взел две игри ,а от втория вид три игри ,то намерете средната цена на една видео -игра ?

Решение  .

По определение -  Средната стойност   на няколко  величини  ,е сборът на числата  разделен на техния

брой .

Ние имаме  два броя  видео-игри , с обща цена 2.56 =112 лева  и три  броя  видео-игри , с обща цена 3.72 =216 лева
Получихме,че 5 видео- игри  струват 112 +216 = 328 лева .

Тогава средната им стойност е  равна на 328:5=65,6 лева



Задача   В таблицата са  нанесени оценките  по математика  в нашият клас за първият учебен  срок .Намерете средната оценка по математика за този срок .


Оценки

2

3

4

5

6

Брой

4

5

17

6

3

 

Решение

                              2.4 +3.5 +4.17+5.6+6.3                139                   34  

                             -----------------------------     =   --------  =  3 ----            

                                        4+5+17+6+3                            35                   35      




Получихме,че средния успех по математика през първия срок е приблизително равен на добър  3,97




Задача В  таблицата са дадени приходите и разходите на  фирма ,която  е едноличен търговец .Ако  печалбата на фирмата е равна на приходите  минус  разходите ,то намерете средната печалба на фирмата за тези четири месеца

 

Месец 

Приходи

Разходи

септември

 30 000

25 000

октомври

 32 000

26 000

ноември

34 000

27 000

декември

56 000

38 000



Решение

Първи начин

Средният приход  на  фирмата  за   4 месеца е равен на :


                              30 хил. +32 хил. +34 хил.+56хил.                             152 хил.                

                      -------------------------------------                   =   --------       =   38 000 лева         

                                               4                                                     4                      



Средният разход   на  фирмата  за   4 месеца е равен на :


                              25 хил. +26 хил. +27 хил.+38хил.                             116 хил.                

                      -------------------------------------                   =   --------       =   29 000 лева         

                                               4                                                     4                      


Тогава средната печалба на фирмата е 38 000 -  29 000 = 9 000 лева


Решение

Втори  начин

Средната печалба   на  фирмата  за   4 месеца е равна  на :


   (30 -25) хил. +(32 -26 ) хил. +(34-27) хил.+(56-38) хил.                                           

 -----------------------------------------------------------              =  36 000 :6=9 000 лева                                                                    

                                   4                                                                                                                                                            


                                         

2.Обратни задачи от средна стойност (средно-аритметично) на числа


В някои задачи  знаем:

  • средното аритметично и броят на числата ,тогава  можем да намерим сборът на тези числа .
  • средното аритметично и сборът на числата  ,тогава можем да определим броя на числата

 

Пример  : Ако средната стойност на три  коли е 180 км ,то сборът от скоростите на трите коли е  равен на 180 .3 =360 км/ч

 

Пример  : Ако средната оценка  по математика в 6 клас е  добър  4 и децата са 30 , то сборът от всички

оценки по математика  в този клас  е  30. 4 = 120

 

Извод  : Ако знаем  средната стойност ( средно аритметичното)  на няколко числа ,и броят на числата ,то   сборът на тези  числа    е равен на произведението от средната им стойност и броят  на числата   

 


Задача :Ако средното аритметично на три числа е 12 ,то намерете средно аритметичното  на тези три числа и числото 8 .

Решение

Щом средно аритметичното на трите числа е 12, то сборът им е 12.3=36

Тогава сборът на четирите числа е  36 +8=44

Тогава средно аритметичното  на четирите числа е   44 :4=11

 


Задача :Ако средното аритметично на пет  числа е 35,6 ,то намерете средно аритметичното на тези пет числа   и числата  34 и  -2  .

Отговор: 30




Задача : Кое  число трябва да добавите към дадените  числа ,така ,че  средното аритметично на числата да е  8 .


           A)  2;-3   и  5                                     Б)   -1; 2 ; -4 и  8                       С)     -0,2  ; -3 ; 0 и  5                  

Решение

Означаваме неизвестното число с х


А)    Получаваме равенството

                              2 -3 +5+х                          

                             ---------------    =    8         

                                     3                                     

Тогава  4+х=3.8  .От равенството 4+х=24 ,намираме,че х = 24-4=20


Б)Отговор  35



В) Отговор 38,2



Задача Числото 6 е средно аритметично на числата 9,8; -2,4; 8,1; 6,7 и на още едно число, което е:

а) 22,2        б) 3                 в) –7,8             г) друг отговор

(Великденско математическо състезание ,6 клас ,2014 година )

 




Задача  Фирма   пренася   средно по 3000 тона товар  на месец .През  трите   летни  месеци  средният  и  товар  се   увеличава с  15 % ,като първия  месец  фирмата превозва 3500 тона , вторият месец  - 2850 тона   .Намерете колко тона  е пренесла фирмата през третия  летен месец .

Решение

Общият товар на фирмата за трите летни месеци ,без увеличението е 3. 3000=9000 тона

С увеличението  общият товар става -  9000 + 0,15.9000 = 1,15 .9000 =10350 тона

Тогава през третият летен месец фирмата е превозила  - 10350-( 3500+2850 )=4000 тона

 



Задача  В един  магазин   приходите през август са били   25 % повече  от  месец юни .Средните приходи за  трите летни месеца – юни,юли и август  , са  с 10%  повече от приходите през юни .С колко процента се е увеличил приходът  в през юли ,спрямо приходът  през  юни ?

Решение  

Нека приходите през юни са х ,а  през юли са  y  .

Тогава приходите през август са 1,25х  

Тогава средния приход  за трите месеца   е    1,1 х

Заместваме   в  равенството   за средно аритметично на три числа и получаваме :

 

                                    х +  y + 1,25х                                          

                             -----------------------------     =    1,1 х            

                                             3                                                    

 

2,25 х +y  =3,3 x

Тогава  y  =3,3 x -2,25х

 Тогава  y  = 1,05 х

Тогава приходите през юли са се увеличили точно с 5 %

 

Избрани задачи от състезания за 6 и 7 клас

Задача  . Средната стойност на две положителни числа е с 30% по-малка от едното от тях. С колко процента средната стойност е по-голяма от другото число?

A) 75% B) 70% C) 30% D ) 25% E) 20%

(Математическо състезание „Европейско кенгуру „, 2014 година )

Верен отговор A)                                                                                                                                

Нека числата са  a  и  b  и нека  a  <   b . По условие  (a + b):2 =0,7 b .Следователно    a  =  0,4 b  и   b= 2,5a                                                                                                                   

Тогава  (a + b):2 =0,7 b =0,7.2,5a = 1,75 a .Следователно  (a b):2 е 75 %   по -голяма от числото a

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg