В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Нови задачи за 5 клас .Задачи за състезания

Задача .Две фирми  A и B имали един и същ брой служители. На 1 февруари фирмата A увеличава броя на служителите 7 пъти и едновременно с това фирмата B уволнява 7 от служителите си, след което броят на служителите във фирма B е делител на броя на служителите във фирма A. Какъв е максималният брой служители, които може да са имали  фирмите преди 1 февруари?

Математически турнир „АКАД. КИРИЛ ПОПОВ“ШУМЕН, 7 МАЙ2016

ПЪРВИ ЕТАП, ИНДИВИДУАЛНО  СЪСТЕЗАНИЕ

ПЕТИ   КЛАС

Решение.

Първи начин

Да означим с N броят на служителите във всяка от фирмите преди1 февруари.

Тогава след 1 февруари ,служителите във фирма А са станали 7N  а , във фирма В –( N-7)

Записваме броя на служителите във фирма А по следния начин  А = 7N -49 +49 =7(N-7) +49

По условие N-7  трябва е делител на  7(N-7) +49   ( N > 7 )

От това,че   числото  N-7 е делител на сбора и едното събираемо ,то   N-7  е делител и на другото събираемо ,т.е. на 49

Тогава  N-7  =1   или  N-7  =7  или     N-7  =49

Тогава  N  = 8   или  N  = 14   или     N  = 56 

Тогава  максималния брой служители е    N  = 56 

Втори начин

 Разглеждаме два случая.

1) N не се дели на 7. След 1 февруари броят на служителите във фирма A се дели на 7, а

този във фирма B – не се дели на 7. За да бъде изпълнено условието, че броят на служи-

телите във фирма B е делител на броя на служителите във фирма A, трябва броят на

служителите във фирма B да е 1. Тогава N = 8.

2) N се дели на 7, т.е. N = 7.k . Тогава след 1 февруари броят на служителите във фирма

A e 49.k , а този във фирма B е 7.k -7. За да бъде изпълнено условието, че броят на

служителите във фирма B е делител на броя на служителите във фирма A, трябва k -1

да е делител на 7 или k -1да е делител на k . Следователно или k = 2, или k 8, т.е.

N =14 или N = 56.

Получихме, че възможно най-голямата стойност на N е 56.



Задача.Геометрично тяло се състои от малки кубчета с ръб 1 см и е образувано по следния начин: В основата му са подредени плътно малки кубчета във форма на квадрат с размери n´х n. Върху нея са подредени кубчета във форма на квадрат с размери (n-2) х´(n-2) и със страни, успоредни на страните на основата, и така нататък, докато последният ред се състои от едно кубче. Намерете повърхнината на тялото, ако височината му е 20 см.

Отг. 4642 кв. см.

(Математически турнир "Акад.Кирил Попов",индивидуално състезание ,5 клас)

Решение. Етажите са 20 и страните им отгоре надолу са 1, 3, 5,...39 см.

Тогава с поглед  отгоре намираме ,че  лицето на фигурата e

1+3.3-1+5.5 - 3.3+7.7-5.5 ..........39.39=39.39 кв.см  (всички квадрати погледнати отгоре ,образуват квадрат с размери 39 на 39)

Като включим и квадратите отдолу – 39.39 ,получаваме ,че  лицето на фигурата погледната отгоре и отдолу е 2.39.39 =3042 кв.см

 С поглед отстрани имаме 4.(1 + 3+ 5 + ... + 39)

= 4.20.20 = 1600.

 Тогава лицето на повърхнината на тялото е  3042 + 1600 = 4642 кв. см.




Задача

ДЕВЕТЦИФРЕНО ЧИСЛО,ОБРАЗУВАНО ОТ „ХУБАВИ“ ЧИСЛА

Едно двуцифрено число ще наричаме „хубаво“, ако то е произведение на две едноцифрени числа. Например, 20=4.5 и 25= 5.5  са хубави числа, а 84 не е хубаво.

В записа  на деветцифреното число A участват всички цифри без 0. Освен това всеки две последователни цифри на A  образуват „хубаво“ число. Намерете всички такива числа A


(ДВАДЕСЕТИ МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР „АКАД. КИРИЛ  ПОПОВ“,ШУМЕН, 9 МАЙ 2016,отборно ,5 клас )

.Решение

Числото 9 е последно в записа на деветцифреното  число  А ,защото след него не може да се запише цифра,която е такава ,че получените две последователни цифри да образуват „красиво число „ 

Пред 9 може да се запише  само  цифрата   4 .(49 =7.7)

След  7 може да се запише само цифрата   2 (72 =9.8).Затова  7 е първа  цифра  на числото А

След  8 стои  цифрата  1(81 =9.9),а пред нея  -   2 (28 = 4.7)

Тогава  записа на числото А  е  :  7281... 49 .Остава между цифрите 1 и 4  ,да запишем  цифрите  3,5 и 6 ,така,че всеки две последователни цифри на A  да образуват красиво число

Съществува единствено подреждане ,което е  728163549

Отговор :Едно число А=728163549




Задача:Нишка с дължина 10 см е нагъната, както е показано и след това е срязана на двете означени места. Намерете дължините на трите части, получени по този начин.

"/>
A)2 см, 3 см, 5 смB)2 см, 2 см, 6 смC)1 см, 4 см, 5 смD)1 см, 3 см, 6 смE)3 см, 3 см, 4 см


 (Международно състезание “Европейско Кенгуру” 2016 г. ТЕМА за 5 и 6 клас)


Решение

Да потърсим отговора  с помощните прави

"/>


·         Две прави линии и 1,5 криви са 2 см

·         Три прави линии  и 2,5 криви са 3 см

 

Бележка : Под крива (полуокръжност и четвърт от окръжност )

Тогава 5 см  са точно 5 прави линии 4 криви ,но ние имаме 5 прави линии  и точно 5  криви

 Разликата е в дължината на  линиите означени на чертежа със скоби

 Всяка от тези  линии е точно радиуса на полуокръжностите

 Всеки радиус е по-малък  от дължината на четвърт окръжност

Бележка Дори и кривите да са дъги от окръжност , то при измерване дължините са различни

Извод :Чертежа  е грешен 



Задача. Една баба купила толкова котешка храна, че да стигне за четирите й котки за 12 дни. На връщане от магазина тя прибрала още две бездомни котки. За колко дни ще стигне купената храна, ако дневната дажба е една и съща за всички котки и съвпада с планираната?

             A) 8                  B) 7                  C) 6                D) 5                 E) 4

 (Международно състезание “Европейско Кенгуру” 2016 г. ТЕМА за 5 и 6 клас)

Решение

·         Всяка котка за 1 ден изяжда  n дажби  

·         Дажбите за 1 ден  за 4 котки  са  4. n

·         За 12 дни дажбите  са  48.n (всичката храна)

·         За  6 котки за 1 ден  са необходими  6n дажби .

·         От това,че  48n =8.6х  , то  дажбите ще стигнат за  8  дни

 

Отговор А )

 

 

Задача за упражнение : Решете задачата ,ако бездомните котки са 3

 





Задача . Дадени са квадрат , разделен на 25 единични квадратчета и фигури с формата на буквата L, съставени от 4 единични квадратчета (фигура, съставена от 4 единични квадратчета, се нарича тетрамино, а тетрамино с формата на буквата L се нарича L-тетрамино). Колко най-много L- тетрамина могат да се разположат без застъпване върху дадения квадрат така, че всяко квадратче на L-тетраминото да съвпада с единично квадратче на квадрата? Разрешено е въртене и обръщане на L-тетрамина.

A) 3            B) 4              C) 5                      D) 6                 Е) 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Международно състезание “Европейско Кенгуру” 2016 г. ТЕМА за 5 и 6 клас)

Решение

Максималния брой L тетрамина ,които можем да поставим в квадрата без припокриване и застъпване   е  6,защото 25:4 =6(ост1)

Ще покажем,че  6  броя, L тетрамина  е възможно да бъдат разположени в квадрата

Две  L-тетрамина , точно препокриват  8 квадратчета  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ето едно възможно подреждане

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отговор D)



Задача . Ако масите в един ресторант се подреждат с по 4 стола, няма да стигнат 6 стола, а ако масите се съединят по две и двойните маси се подреждат с по 6 стола, ще останат 4 стола свободни. Колко общо са масите в този ресторант?

 

A) 8     B) 10             C) 12               D) 14            E) 16

(Международно състезание “Европейско Кенгуру” 2016 г. ТЕМА за 5 и 6 клас)

 Решение :

Нека масите са 2х ,тогава  столовете са 8х -6

При съединяване на две маси , броя на новите  маси  е  х ,тогава  столовете са 6х + 4

Равенството   8х -6 =  6х + 4  е възможно, само  ако   2.х = 10

Тогава масите са  10

Отговор В)



Задача. Дадени са правоъгълник ABCD с обиколка 30 см и три по-малки правоъгълника (не непременно еднакви), пресечните точки на диагоналите на които съвпадат с върховете A, B и D. Сборът от обиколките на трите по-малки правоъгълника е равен на 20 см. Намерете обиколката (надебелената линия) на получената фигура.

A) 50 см B) 45 см C) 40 см D) 38 см  E) не е възможно да се определи

 

(Международно състезание “Европейско Кенгуру” 2016 г. ТЕМА за 5 и 6 клас)

"/>

Решение

Дължината на  надебелената  търсена  линия   означаваме  с  Рнадебелена  

Сбора от ненадебелените отсечки  на чертежа  означаваме  с Рненадебелена 

 Рнадебелена   =  30 + 20  - Рненадебелена  

 Рненадебелена   = 30-20 = 10 см  

 Тогава  Рнадебелена   =  50  - 10 =  40 см   

Отговор С) 



Задача. Там, Тем и Тим са тризнаци (което означава, че са родени в един и същ ден), а техният
брат Том е с 3 години по-малък. Кое от посочените числа е възможен сбор от годините на
четиримата?
A) 53 B) 54 C) 56 D) 59 E) 60
(Международно състезание “Европейско Кенгуру” 2016 г. ТЕМА за 5 и 6 клас)

Решение
От това,че са тризнаци  и от това,че другият брат е  с 3 години по-малък ,то възможният отговор ,трябва да е такъв,че ,ако към него прибавим 3 ,полученото число да се дели на 4 
Само 53+3=56 се дели точно на 4 

Отговор А)



Задача. Мери, Ани и Надя са приятелки. Всеки ден от седмицата, от понеделник до петък, точно
две от тях са на работа. Мери работи три дни седмично, а Ани работи четири дни седмично.
Колко дни седмично работи Надя?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

(Международно състезание “Европейско Кенгуру” 2016 г. ТЕМА за 5 и 6 клас)

Решение

 Един примерен график за работа на трите момичета 


 

Понеделник

Вторник

Сряда

Четвъртък

Петък

Ани

+

+

+

-

+

Мери

+

-

 -

+

+

Надя

-

+

+

+

-

 

Отговор С)
(Международно състезание “Европейско Кенгуру” 2016 г. ТЕМА за 5 и 6 клас)




Задача . Сборът от три различни двуцифрени положителни числа е  87. Да се намери разликата между най-голямото и най-малкото, ако едно от тях се дели на 11, едно се дели на 7, а две се делят на 5.

a) 13    б) 15     в) 17      г) друг отговор

(Великденско математическо състезание  ,5 клас )

 

Решение :

  • Не е възможно  да има число, което да  се дели на 5 и 11 едновременно ,защото ,то ще е равно на  5.11 = 55  Тогава сбора на другите две е   87-55= 32 .Не е възможно да има число което се дели на 5 и7 едновременно защото 35>32 . Тогава  едното се дели на 5 ,а другото на 7  и сборът  им ще има  вида  7z +5y =32 ,Числото   z  може да е    2 ,3,4  Във всеки от тези  случаи    y не се дели на  5  
  • Следователно едно се дели на 11 , а другите    две  на 5

Тогава числата са от вида : 11x ,5y и 5z   със сбор    11x + 5y + 5z = 87

Числото x   може да е  1,2,3,4,5 , 6 или  7

Само ако x  = 2 или 7   то ,  5y + 5z = 87 -22 =65  или  5y + 5z = 87 -77 =10  

Тъй като второто е невъзможно , то получаваме,че  5y + 5z = 87 -22 =65  ,така е y + z = 13   

Всички възможности  за z  и y са :  2   и11,  3 и 10 ,  4 и 9 ,  5 и 8,  6 и 7

Тогава числата са : 10   и 55 ,  15  и 5 0 ,  20  и 45   ,  25  и 40 ,  30 и 35  

Само в един от случаите   при двойката  30 и 35  , едно от числата се дели на 7 .Тогава търсените числа са  22, 30 и 35 и  разликата между най-голямото и най-малкото е   13 .

 

Второ решение

Нека числата подредени по големина са  : a < b < c

Тогава  най-голямото  число c  >  30  в противен  случай , сборът е по –малък от 87

  • Ако най-голямото се дели на 7 и 5 ,то може да е 35  или 70 Тогава  другите две имат сбор  17 или  52 
  • Ако е 17 , то  едното се дели на 11   , а другото на 5 .Такава комбинация няма
  • Ако  сбора на другите две е  52  ,едно задължително се дели на 11  .Тогава, то може да  е 11 ,22 ,33 или 44  .От разликите 52 -  І1 , 52 -  22, 52 -  33 , 52 -  44 , само  една  се дели на 5 . В този случай  числата са 22 и 30
  • Намерихме решение  35,  30 и 22 .Търсената разлика  е  13

 

Забележка :В това решение ,не описваме всички възможности ,защото е достатъчно в случая да намерим поне едно решение .




Задача  Засаждате  500  дървета, после между всеки две дървета  засаждате по един храст и на края между всяко дърво и храст  засаждате  цвете. Колко растения общо сте засадили?

А)126             B)125          C)125              D)друг отговор

Решение 

  • Брой дървета  -  500
  • Брой храсти  -  500-1=499
  • Общ брой  дървета и храсти -999
  • Общ брой  цветя -999 -1 =998
  • Общ брой  растения    : 500+499+998  =  1997    

 

 

Задача . На опашката пред павилиона за закуски се наредили петокласници, след две минути пристигнали шестокласници и между всеки двама петокласници застанал шестокласник, след още две минути пристигнали  седмокласници, като между всеки двама ученика от опашката застанал седмокласник. Така опашката станала от  85 ученика. Колко са петокласниците на опашката за закуски?

a) 20 б) 22 в) 29 г) друг отговор

(Великденско математическо състезание ,5 клас )

 

  • ·         Нека петокласницете  са x броя
  • ·         Тогава  шестокласниците  са x-1 броя
  • ·          Общо те са x +x -1 = 2x -1  броя
  • ·         Тогава между тях има 2x -1  -1=2x -2 броя   седмокласници
  • ·         Тогава  общият брой на децата е : x + x-1  +  2x -2
  • ·         От равенството   x + x-1 + 2x -2  = 85 , намираме ,че петокласниците  са 22

 

 

 

Задача . Тялото от чертежа е съставено от 13 еднакви кубчета с ръб 1 см. Лицето на повърхнината му е равна на:

а) 78 кв.см б) 40 кв.см в) 52 кв.см г) дрг отговор

(Великденско математическо състезание ,2012  година )
"/>

Решение

Трябва да намерим лицето на всички  квадрати участващи във фигурата .

Ето един начин на преброяване на тези квадрати :

На първи ред – 6+3+3+2+2+2=18 квадрата с лице от 1 квадратен сантиметър

На втори ред – 4.2+2=10 квадрата с лице от 1 квадратен сантиметър

На трети  ред – 2.2+2+1=7  квадрата с лице от 1 квадратен сантиметър

На четвърти ред – 5.1=5 квадрата с лице от 1 квадратен сантиметър

Верен отговор  40 квадратни сантиметри .



Задача Стоян  конструира тяло с помощта на еднакви кубчета с ръб от  2 cm .Той пресметнал обема на тялото  и получил  120 кубични сантиметра .Колко кубчета е използвал Стоян?

 

а) 10                   б) 40            в) 15                  г) друг отговор




Задача В един клас има 20 души. Осем от тях имат братя, десет имат сестри, а 6 нямат нито братя, нито сестри.Колко от децата имат и брат и сестра ?

А) 4   B) 10   C) 12  D) друг отговор

Отговор A)

Решение

Първи начин

За по лесна проверка попълваме табличката

(1)   Шест нямат  нито братя нито сестра(със знак „ –„ )

(2)   Точно  осем имат  братя със знак „+”

(3)   Допълване на първи ред до 20 със знак „-„ децата, които нямат други  братя

(4)   Нанасяме  със знак  „+” децата които имат 10  сестри 

(5)   Правим извода,че  4 от децата имат и братя и сестри

братя

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

сестри

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

 

Втори начин-  с  уравнение

Нека децата ,които са братя и сестри са x  броя  .От равенството   8 +10  -x+6 =20 ,намираме,че x = 4   

 


Задача  . Учениците в V клас в едно училище са 100. От тях 75 посещават СИП-математика, 83 посещават СИП музика, 10 не посещават СИП. Колко ученика посещават и СИП-математика и СИП-музика?

a)      25    б) 58     в) 75 г) друг отговор

(Великденско математическо  състезание ,5 клас )

Отговор  - 68

 



Задача Кабинките на един лифт са номерирани последователно с числата

1, 2, 3,...,n. Разтоянието между всеки две съседни кабинки е едно и

също. В момента, когато кабинките с номера 40 и 50 се разминават,

кабинките с номера 20 и 15  също се разминават. Колко кабинки има

лифтът?

"/>


Зада

Задача Красимир  записал на дъската естествените числа от 1 до 1002.Десислава изтрила всяко трето число ,а  след  нея  Стоян  всяко 11  число,като броят числата винаги  от  начало.Колко числа са изтрили  Стоян и Десислава ?

                                 А) 30   B) 36   C) 39  D) друг отговор

Решение

Всяко  трето  число от  записаните числа се дели  на 3.

Това са числата :1.3,2.3,3.3,4.3 .........334.3  - точно 334 числа.

Тогава Десислава   е изтрила 334 числа .

След Десислава  на дъската остават неизтрити  1002 – 334 =668 числа

Стоян след Десислава  изтрива  всяко 11  число .От това,че  668 =11.60+8 , то правим извода,че той е изтрил точно 60 числа .Тогава те общо са изтрили   334 +60=394 числа 


Задач

Задача Красимир  записал на дъската естествените числа от 1 до 4950.Десислава изтрива  всяко  число което се дели на 11 ,а  Стоян  всяко  число,което се  дели на 15 .Колко числа са изтрили  Стоян и Десислава ?

                                 А) 30   B) 36   C) 39  D) друг отговор

Решение                                                                                                                                                                   Десислава  е изтрила  1.11,211,3.11,.........450.11 , точно  450 числа                                                             Стоян е изтрил   1.15,2.15,3.15,.........330.15 , точно  330  числа                                                                             Двамата са изтрили числа, които се делят на 11 и 15 ,така е на  605 . Това  са  4950:165 =30 числа и изтритите числа са - 450 +330-30=750 числа



Зада

 Задача Колко пет цифрени числа със сбор от цифрите 12 , можем да съставим, ако последната им  цифра е три  пъти по-малка  от първата ,и последната им цифра  (на единиците )  не  е  единица ?

                         А)13        B  ) 17       C) 19     D) друг отговор

                                                      Отговор :A)



Задача Дадени са 30

Задача  2  бубулечки за   9 дни  прелитат  8 километра 

За колко дни 3 бубулечки  ще прелетят  4 килиметра ?

Отговор -3

                                     Решение 

1 бубулечка  за 9 дни  ще прелети  4  километра

                                   тогава 

3 бубулечки  за 9 дни  ще прелетят   4.3=12  километра

                                   Тогава 

3 бубулечки  за  3 дни  ще прелетят   12:3=4   километра

 


Задача Дадени са 30

Задача    Пет котки  за   8 дни   изяждат  80  мишки.

Колко мишки  ще изядат 7 котки  за 10 дни?

А) 20                 B)140                         C)70                     D)100

                  Дадено :   Пет котки за 8 дни изяждат 80 мишки

        Тогава  пет котки  за 1 ден   изяждат  80:8=10 мишки

 

        *Тогава  пет  котки   за 10 дни  ще изядат 100 мишки 

    Търсим 7 котки за  10 дни,затова приравняваме към една за 10 дни

 

Тогава  1  котка   за 10 дни  ще изядат 100:5= 20 мишки 

        *Тогава  2 котки    за 10 дни  ще изядат  40    мишки

              Тогава  7 котки  за 10 дни  ще изядат  100+40 =140  мишки

 



Задача Дадени са 30

Задача Две костенурки  се движат в  «мини» стадион ,като едната  за 1 ден изминава  55 метра , а другата  48 метра ,като са  тръгнали  от едно и също място,в една и съща посока .Ако обиколката на стадиона е 630 метра   , то на какво разтояние от мястото където са тръгнали  двете костенурки ще  се срещнат отново  ?

Решение

                               

Решението се крие в еднакъв брой дни разликата в направените обиколки  да е единица

  • Изоставането е 7  m  на ден .Тогава за 90  дни  изоставането е точно 630  метра една -обиколка 
  • За 90 дни костенурката  изминава  4950  метра – 7 обиколки и 540  метра
  • За 90 дни  по бавната костенурка   изминава  4320  метра    – 6 обиколки и 540   метра

Тогава  след 540  метра от мястото  откъдето са тръгнали , те ще се срещнат  отново.



Задача Дадени са 30

Задача В една бална зала има два вида украсени новогодишни елхи . На  елхите от  първият вид   има  2 пъти – повече играчки от другият  вид коледни елхи.Общо 11 такива елхи имат толкова играчки ,колкото 6 играчки на елхи  от първият вид и 6 играчки на елхи  от  вторият вид . Колко елхи от тези 11  са от първият вид  ?

                                         А) 2   B) 6   C) 7  D) 8




Задача Дадени са 303  еднакви по  размери   монети.302 от тях  имат  еднакво тегло . Разполагате с теглилка с две везни. С колко най-малко наброй претегляния , може да откриете  монетата с различно тегло , ако е известно ,че тя е по –тежка от останалите  .

а) 5          b) 6       c ) 7      d ) друг отговор                                                               

 отговор b)                                                                                                            

 Решение                                                                                                                               

За  да намалим броя на претеглянията,  делим  монетите на  три групи по 101 монети.                                                                                                                   

 1) В двете везни поставяме по 101 монети .Ако са равни следващото теглене  започваме с  третата  група.Ако не са равни  ,то монетата е в по –тежката  везна .                                                                                                               

2)Започваме с  101 монети .Вземаме една  от претеглените монети и я добавяме към  101 монети.Разделяме на три групи по  34 монети .Правим същите претегляния  и със  същите изводи  започваме  следващото претегляне .                                                                                                                     

3) Започваме с  34  монети .Вземаме две   от претеглените монети и я добавяме към  34  монети. Разделяме на три групи по  12 монети                            

4) Започваме с  12  монети . Разделяме на три групи по  4 монети .                        

5) Започваме с  4  монети . Делим на две групи по две и теглим .                             

6) Започваме с  2  монети ,претегляме  и откриваме по-тежката монета  .   


ЗЗадача Какъв най-голям брой  числа  могат да се изберат измежду числата от 1 до 1000 ,така че  сборът на всеки две от тях  да се дели на 6?

а) 167              b) 240        c ) 180        d ) друг отговор                                            

Отговор  a)  

Решение                                                                                                           

Числата които се делят на 6  и са по-малки от 1000 са :

1.6 , 2.6 , 3.6 ..........166 .6  ,точно  166

Сборът на всеки две от тях се дели на 6 .

Нека a  е  естествено число  ,от 1 до 1000  , което изпълнява условието  на задачата .

Тогава всяко едно от числата  a +6 ,  a +2.6,   a +3.6 ,  a +4.6, ....... a +166.6, се дели на  6 . Тогава   a  се дели на 6

Тогава a е  едно от  166  числа.


ЗЗадача Намерете  стойностите на  цифрите   x  и  y , така,  че дванадесетцифреното число  1223334445xy    да се дели на 3   и   да   е  възможно   най-голямо.

    a) 9  и  6              b)  ) 9  и  9                   c) 9 и 8                       d)  9 и  5

                                           Верен отговор c )

Решение

 От това,че  1+2+2+3+3+3+4+4+4+2=28 , за да се дели числото на 3,  сборът  x + y  е  едно  от   числата                   2  ,5 ,8  ,11  ,14 ,17. Най-голямо дванадесет цифрено число  ,ще получим ,ако сбора    x + y  е  най-голям .

                                                    Тогава  x + y =17   и   x =9 , а  y=8



За

Задача Милена  и Теодора  купуват етикети за учебници.Милена платила   4 лева повече ,от половината от сумата която е платила Теодора .Ако Теодора е платила 1 лев повече от Милена ,колко  пари са оставили момичетата в книжарницата ?

А) 15; B) 16; C) 17; D) 19                                                                                                                                              Отговор D)                                                                                                                                                                        Решение 

Нека  Теодора  е дала  2.x  лева .Тогава  Милена е платила  x+4 лева .Получената разлика е 2x-x-4=1 

Тогава x=5 лева , а сумата, която са оставили е 2.5+9=19 лева 


Задача .Разгледайте фигурата  по

Задача Двама рибари за ден и половина хващат 5,5 kg риба. Колко килограма риба ще хванат 3 рибари за 3 дни?

Решение

Двама рибари за ден и половина хващат 5,5 kg риба.

Тогава двама рибари за 3 дни хващат 11 kg риба.

Тогава един рибар за 3 дни хваща 5,5 kg риба.

Тогава трима рибари за 3 дни ще хванат 11kg+ 5,5 kg=16,5 kg риба.



Задача .Разгледайте фигурата  по

Задача На горския пазар мога да разменя една диня за 100 сливи, а мога и за 4 пъпеша. Един

пъпеш се разменя за толкова ябълки, колкото сливи се разменят за една ябълка. Колко ябълки
мога да получа за динята?
                                             (Математически турнир "Иван Салабашев")
                                                                    Решение
Ако един пъпеш се разменя за x ябълки, всяка от тях e за x сливи. Tака пъпешът
се разменя за x.x = 25 сливи, откъдето x = 5. Така динята се разменя за 4.5 = 20 сливи.



За

Задача Вени приготвила три вида закуски: банички, пирожки и сандвичи. Баничките били два пъти
повече от сандвичите, а пирожките – три пъти повече от баничките. Колко закуски може да е
приготвила Вени?
                                   А) 48 B) 49 C) 64 D) 81
                            (Математически турнир "Иван Салабашев")
Ако сандвичите са x, баничките са 2.x, пирожките са 6.x, така че общият брой е
9.x. От предложените числа такова е само 81.
                             Отговор: D)


Задача Намерете всички обикновени дроби със знаменател 10 ,които са по-големи от 2/3 и по-малки от 1+ 3/5

                                                                       Решение

                                            Нека числителя на дробта е цялото число x

                                    Тогава 2/3 <x/10 <1 +3/5, тогава x е естествено число

                        Привеждаме под общ знаменател и получаваме вярното неравенство :

                                                                                    20<3x<48

Тогава  x=7,8,9,10,11,12 ,13 , 14 и 15 


Задача Сборът на всички цели числа n, такива, че

-2+ 44/7 < n < +1 +44/7 eравен на:

                                                                  A)11 B) 18 C) 19 D) 0 E) 20

                                                                                Решение

                                     Привеждаме под общ знаменател и получаваме неравенството

                                                              44-14 <7n<44+7 или 30 <7n<51

Само при n=5,6 и 7 получаваме вярно неравенство .Тогава сборът е 18.





ЗадачаКуб с ръб 3 cm е състав

"/>

Задача Куб с ръб 3 cm е разрязан на кубчета със страна 1 сантиметър. После са премахнати всички колони от кубчета , които свързват ъглови кубчета. Намерете обема и лицето на повърхнината на полученото тяло .

Решение

Всяко единично кубче има обем един квадратен сантиметър .Достатъчно е да преброим правилно извадените кубчета .

Премахваме всички вертикални колони – с тях сме извадили 4.3=12 кубчета .Премахваме и останалите кубчета по хоризонталните колони -8 броя ,по едно  на всяка колона .Общо премахнати 20 броя.

Полученото тяло ще има обем 27-20=7 кубични сантиметра

Всяко единично кубче има 6 стени с форма на квадрат с лице 1 квадратен

сантиметър .                                                                                                                                                                  (1)Изчисляваме лицето на повърхнината на тялото получено след премахването на всички вертикални колони -4 броя . От чертежа по - горе (премахната е една колона) правим извода,че след отстраняването и на зелената колона при другото ъглово кубче ,остават три кубчета със 11 стени с лице 11 квадратни сантиметра . Като премахнем всички вертикални колони получаваме тяло с лице на повърхнината 4.11 =

44 квадратни сантиметра .

(2) Премахваме и останалите кубчета по хоризонталните колони.Забелязваме,че при премахване на едно от тези кубчета повърхнината на тялото получено от (1) се намалява с 4 стени с лице един квадратен сантиметър и веднага се появяват две стени със същото лице .Следователно повърхнината на тялото с премахването на едно кубче се променя с 2 квадратни сантиметра .Ние премахваме 8 кубчета и изменението ще е 8.2=16 квадратни сантиметра.Тогава повърхнината на полученото тяло е : 44-16=28 квадратни сантиметра .



Задача Във футболен турнир, пет отбора играли всеки с всеки по един мач. За победа се дават по 3 точки, за равен по 1 точка и за загуба 0 точки. В крайното класиране имало отбор с 5 точки, отбор с 2 точки, два отбора с по 3 точки и един отбор с:                                                                                                                    А) 4 точки         B) 6 точки        C) 9 точки        D) 12 точки                                                               (Математически турнир"Иван  Салабашев)                                                                                                                При 4 мача, 5 точки могат да се получат само като 3+1+1+0, 2 точки са 1+1+0+0  и 3 точки са 1+1+1+0 или 3+0+0+0.                                                                                                                                                 Така при тези 4 отбора общият брой загуби е поне с 4 повече от този на победите. Тогава при последния отбор победите трябва да са поне с 4 повече от загубите, така е той има 12 точки. Показаното класиране се реализира, ако този отбор е победил всички, а сред останалите мачове всички без един са равни.


                                      

Задача. Куб с ръб   6 cm  е  боядисан  и  след това е разрязан изцяло на кубчета с ръб  1 cm. Колко единични кубчета   нямат   боядисана  стена?

                                                 А)61               B)48           C)64      D)друг отговор

Търсим , колко от всичките  кубове  с   ръб  1cm , нямат нито една небоядисана  стена

 (1)  Мислено  премахваме  първия   и  шестия   ред от единични  кубчета   ,защото на всеки от  тях     всяко    кубче е  с  оцветена стена .

(2)  Всеки от останалите  4  реда от кубчета  е  построен от  36  куба с  ръб 1 cm  

           Нека разгледаме един от тези редове.Погледнати отгоре ,те ще изглеждат  като фигурата   по –долу. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

               Остават  точно 16  кубчета  ,които  нямат  оцветена  стена.

 

(3)Това ще е вярно  за всеки   от четирите реда от  единични кубчета

 (4) Броя на кубчетата  без  оцветена  стена след разрязването  са 4.16=64

                                        Отговор  C)

 

Задача Шесте   стени на куб  с   ръб  4  сантиметра  са  оцветени в черно. Ако   разрежем куба на малки кубчета с ръб  1 сантиметър то :   

                                                                              Колко кубчета  имат :                                                                                                                                                                

А) Една боядисана  в  черно стена ?                                                   

Отговор :По  една черна стена са кубчетата от стените, които не са разположени по ръбовете, така  е  по  4  на  всяка стена. Като имаме предвид, че стените на куба са 6, то за търсения брой получаваме: 6.4= 24 кубчета.                                                                                                                   

В)   Две  боядисани в черно  стени?

      Отговор:Кубчетата   с   2   боядисани стени  са разположени по ръбовете на куба  , но не и по върховете на куба.

      Следователно търсеният брой е 12.2= 24  кубчета.

C)    С  три   боядисани  в  черно  стени ?                                                                
        Отговор  :Кубчетата   с   3  боядисани стени са  тези  от  върховете  на куба и те са точно 8

                                     

Задача. Куб с ръб   8 cm  е  боядисан  и  след това е разрязан изцяло на кубчета с ръб  1 cm. Колко единични кубчета   имат     боядисана  стена?

                            А)232               B)42           C)296      D)друг отговор

                                                  Отговор  C)



ЗадачаРалица направила четири еднакви кубчета .Стените на всички кубчета са номеририни ,като двойки с номера (1,2),(6,4) и (3,5),като всяка двойка са срещуположни стени .

След това тя ги залепила така,че да получи правоъгълен паралелепипед с измерения 4 cm,4cm, 1cm , като залепвала само стени с еднакви номера .Накрая Ралица събрала числата по повърхността на получения паралелепипед .Кой е максималният сбор ,който може да получи тя?

A) 66 B) 68 C)72 D) 74 E)76

(Математическо състезание „Европейско кенгуру“)

Решение

Стените на всички кубчета са номеририни ,като двойки с номера (1,2),(6,4) и (3,5)

За да получи  максимална сума ,то тя трябва да залепи кубчета ,  стените на които са номерирани с най-малките числа .

Нека залепи две кубчета  стените ,на  които са  номерирани с единица .Тогава числото две е записано в срещуположната стена и на двете кубчета . За да получи най -голям сбор е необходимо и другите две кубчета да са залепени със стени номерирани с единица .

При залепването на двете двойки залепени кубчета ,за да получи максимална сума , Ралица трябва да залепва стени номерирани с числото три. По този начин на залепване тя ще получи максимална сума и тя е :

4(1+2+3+4+5+6) - (4.1+4.3) = (4.6.7):2 -16=84-16= 68

Забележка :В архива от задачи от състезания за 2013 година ,(за 5 клас  ,задача 30 )ще намерите чертежи  за тази задача.


                                     ПОДХОДЯЩИ ЗА НАЦИОНАЛЕН КРЪГ 

 Задача  Участник  в турнир  по  шах  изиграл  15 срещи , точно  по  веднъж  с всеки  от  останалите участници.По правилата на турнира  при победа се присъжда  една точка,при равен всеки от участниците взема  по 0,5 точки ,а при загуба не се присъждат точки .Какъв е сбора от точките в крайното класиране в този турнир ?

А)121               B)231           C)111      D)125            E)120

                                                     Решение

      От  това,че този участник  е изиграл  15 партии , точно  по  веднъж  с всеки  от  останалите участници  ,то правим извода,че участниците са 16.Общият брой изиграни партии  са (16.15):2= 120

От  тези  120 партии,  всяка среща , между  двама  шахматисти от  турнира  има   сбор   от  точките   единица ,защото възможните резултати са  с точки – една  при победа   и  отново една (0,5 +0,5 =1)  при равна партия.Следователно в крайното класиране сбора от всички точки на всички изиграни партии е   120.

                                         

                                                               Отговор Е)

  Забележка:Ако срещите(партиите)  са n наброй и са изиграни точно по веднъж ,то общият им брой е :1+2+3+4......+n-1=n(n-1):2

 

Задача  В турнир по шах      всеки  играе   срещу всеки   друг по веднъж При  игра  на шах  победителят  печели 1 точка,докато губещият 0 точки.Ако резултата е равен ,и двата участника  получават   по 0,5 точки .Един участник   изиграл  общо  за целия  турнир 15  партии  и имал 8 точки .Какъв е минималният брой загуби за този участник в този турнир   ?

                   А)2            B) 3         C) 4                 D)5         E)6

                                                              Решение

 От това,че точките са  8  и  са  получени при сбор  от две числа 1 и 0,5  ,то правим извода,че  всички партии завършили  с  равен  резултат,  са четно число .

Търсим броя на равните срещи  , които  може да има  отбор изиграл   15 партии   и  получил  8 точки в  крайното класиране .

      Логично е да направим проверка от  най-малкото  посочено в теста число.

                                       Нека загубите са две .

   За по лесна проверка да попълним  резултатите в таблица .

 

Брой срещи 

Брой равни срещи

Брой точки от  равни срещи

Остатък

срещи с победи  

Брой точки от победи   

Общ брой точки

13

2

2.0.5=1

11

11

12

13

4

2

9

9

11

13

6

3

7

7

10

13

8

4

5

5

9

13

10

5

3

3

5+3=8

 

Показахме,че   две  загуби ,10 равни срещи и  3 победи  е един  възможен резултат от този турнир .Тогава минималният възможен  брой загуби  е  2 . 

                                   

 Задача ( Разбойници ) След като ограбили пощенска карета, четирима разбойници спрели да  пренощуват в страноприемница край пътя. Но всеки от тях се страхувал, че  ако заспи, другите ще разделят плячката помежду си и ще избягат. Решили,че трябва да направят подялбата и дълго се карали кой колко трябва да вземе. Накрая най-младият предложил той да вземе 5 монети и още ¼ от останалите, за вторият по възраст да бъдат 6 монети и 1/3 от останалите, а двамата най-възрастни да вземат по половина от останалата част. Така, казал младият, ще е  справедливо, защото всеки знае, че половина е повече от третина, а третина – повече от четвъртина. Двамата възрастни попитали по колко монети ще им се паднат, а младият им  отговорил, че всеки от тях ще има по 500. Всички се съгласили на такава подялба. Колко монети е взел младият и колко монети е била цялата плячка?

         (Математически турнир «Академик Кирил Попов»,отборно състезание )

Решение Двамата възрастни разбойници имат по 500 монети.

  • Тези общо 1000 монети са 2/3 от всички, преди вторият да вземе своите.  2/3 .x  са  1000  и        x= 1500  ,   (1500-1000)+6=506                                                                                                                                                 Следователно вторият е взел 500 +6 =506 монети
  •   Общият брой   монети, след като вторият  взел своите е  1000 +506 =1506  монети.

Нека  най-младият е взел   y монети (преди да вземе 5).Всички монети са  y +1506 .                               Монетите на най-младия(преди да вземе 5) са   (y +1506):4 .                                                                                    От уравнението   (y +1506):4 = y  ,намираме ,че  y= 502 ,като прибавим и  взетите 5 отначало  ,получаваме,че  първия е получил 502+5=507 монети                                                       

  • Общо монети  507 +506+1000=2013

                              ПРОВЕРКА

(1)             За първия (2013 -5):4=2008:4=502 ,взел  общо  502 +5 =507

(2)             За втория  ,остават  2013 -507 =1506 ,  (1506-6):3=500 ,взел 500+6=506

(3)             За последните  двама остават 2013-(506+507)=1000 ,по 500 на двамата по-равно

                                              РЕШИ  САМОСТОЯТЕЛНО! 

Задача На полянка сред горичка  расли ягоди червени.Минала  лисана хапнала си две червени,     набрала  една трета  от узрелите ягоди  и избягала  в гората .След нея минал таралежът  вкусил си  едничка , набрал една пета  от  тях и тръгнал към гората  . Останалите 380 зрели ягоди  на полянката си разделили двете  сови.Колко са зрелите ягоди на полето този ден  и колко ягоди е изяла лисана .

 

      Упътване : 380 са  4/5 от x ,където x са  броя на зрелите ягоди преди да вземе таралежът една пета  от тях. 

     

Задача .По колко начина може да се избере естественото число n така, че дробите n/48 и  n/63  да бъдат  правилни и съкратими?

                                   А) 11;   B) 12;    C) 17;    D) 18;   E) 24.

                                 (Математически турнир "Иван Салабашев)

                                                        Решение

Знаменателите се разлагат на прости множители по следния начин:

                               48 = 2.2.2.2.3   и 63 = 7.3.3

  • ·         Общият им прост делител е 3. Нека първо n е кратно на 3

                       Числата  до  48  кратни на 3  са:   1.3,2.3,3.3,4.3,5.3,6.3,7.3,8.3,................15.3,  общо  15 

  •  Когато n не е кратно на 3, за да бъдат дробите съкратими, трябва n да бъде кратно на 2 и на  7 и понеже са взаимно прости ,то  n  е кратно  на 14.

              Това са  числата 14 и 2.14 (По-малките от 48 кратни на 14, които не се делят на 3)

                              Отговор :  За n има точно 15 + 2 = 17 възможности

 

Задача   Известно е ,че дължината на   страната на даден квадрат е естествено число.Една от страните на този  квадрат    се    намаля с 1 dm, а  другата се увеличи със 7dm.Получения  правоъгълник има лице равно на 9  квадратни дециметра.Определете  размерите  на квадрата .

                 A) 7 dm           B) 16dm     C) 8dm           D) друг отговор


                                                           Отговор D)

                                                             Решение

  • Нека дължината на  страната на квадрата  е  a dm.Известно е,че

  е  естествено  число .

  • От това,че  лицето е 9  получаваме уравнението  9  = (a-1).( a+7)

-Двата множителя (a-1) и ( a+7)  са естествени числа с  произведение  9

- Това е възможно ,ако  са  1 и 9  или 3  и   3

-Само  ако  са  9 и 1 отговарят на условието на задачата

-Следователно    a=2 dm

     

Задача   Известно е ,че дължината на   страната на даден квадрат е естествено число.Една от страните на този  квадрат    се    намаля с 6 dm, а  другата се увеличи със 2dm.Получения  правоъгълник има лице равно на 9  квадратни дециметра.Определете  размерите  на квадрата .

                 A) 4 dm           B) 6dm     C) 8dm           D) друг отговор

                                                              Отговор D)

 

Задача Колко трицифрени числа имат следното свойство: „След като от трицифреното число извадим 297, се получава трицифрено число със същите цифри, но взети в обратен ред.“?

                                           A) 6   B) 7   C) 10    D) 60    E) 70

                                 ( Математическо състезание”Европейско кенгуру „)

                                                         Решение

Нека  цифрата на единиците на даденото  число  е   a,цифрата на десетиците е b ,цифрата на  стотните  е c.

                                         Тогава  ще  е вярно,че  :

                 100. + 10.b +   c   - 297  = 100.c +  10. +  a   и

                                    99 a    -   99 c  =297  ,

                                      a - c = 3  

                          От условието  е ясно,че   c< a

                         Възможните  числа с това свойство са :96,85,74,63,52,и 41

                                                   Отговор А)

 

ЗАДАЧИ  ПОДХОДЯЩИ   ЗА ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ 

ЗА  УЧЕНИЦИ  ОТ  5  КЛАС 


 

Задача .Боян  изкопава  градинката пред блока  за 5 дни .Брат  му    Милен изкопава  същата  градинка за 10 дни. За колко дни  ,ако копаят двамата заедно  ще  изкопаят  градинката три пъти ?

А) 9                 B ) 10            C) 17            D) 19        E)  12

Отговор B)

Решение 

За един ден  Боян изкопава   1/5  от градинката 

За един ден  Милен  изкопава  1/10  от градинката 

За един ден  двамата заедно  изкопават  1/5   +  1/10 =  3/10  

Тогава   за   10 дни ще изкопаят  10.(3/10 )=3  точно три пъти  същата градинка 

 


Задача Мирослава  боядисала великденски яйца. Половината от тях дала на приятелката си Наташа  , ½  от останалите дала на майка си, а останалите разделила по равно със сестра си. При това сестра и  получила 8 яйца. Колко яйца  е имала Мирослава   в началото?

а) 7                     b) 11                   c) 15                   d) друг отговор

Нека е имала x броя  яйца .

Наташа  получава  0,5  x

Майка и  ще получи     0,25   x

Заедно със сестра си   поделят по-равно   останалите  0,25 x  яйца

Тогава  (  0,25 x):2=8   и намираме,че    x  =  64  броя   

Забележка :Разсъжденията  можем да извършим "отзад -напред"   като извършим действията 

((2.8).2).2 =64 

 


 Задача Вени,Жени и Дени имат у дома си куче,коте и братче, като всяка има  по едно нещо.  

•              Вени казала,че има куче.

•              Жени казала ,че няма куче.

•              Дени казала,че няма коте.

При това само едната е казала истината .Кой има братче?

Решение

       Вени казва истината         

 

Вени

Жени

Дени

куче

 +

+

 

коте

 

 

 

братче

 

 

 

              

    В  този случай  не е възможно   кучето да има   двама    собственици .                   

       Жени казва истината                                                                  

 

Вени

Жени

Дени

куче

-

-

+

коте

 

 

+

братче

 

 

 

  В  този случай  не е възможно   Дени  да  има и куче и котка.      

изпълнени всички

Дени казва истината                                                                 

 

Вени

Жени

Дени

куче

   -

   +

  -

коте

   +

    -

  -

братче

    -

    -

  +

 Само в този случай са изпълнени всички условия .Следователно брат има  Дени .

 

Задача Марийка трябвало да събере две естествени числа. Иванчо дописал нула след едно от числата. Така Марийка, вместо да получи 281 получила 1001. Колко е разликата на първоначалните две числа?

                              А)14              В)13           С)12            D)друг отговор

Упътване  

Нека намислените числа са  x   и   y

(1)       x   y  = 251

(2)     10x   y =1001

 

 

Задача .Теодор  и Явор  имат  общо  32  колички.Количките на Теодор  са  число, което се дели на 7  и  2. Известно е,че  количките  на Теодор са повече от  количките  на Явор.Колко колички има  Явор ?

А)14              В)13           С)12            D)друг отговор

Отговор А)

                                               Интересна задача 

Задача   Едно число се дели на три, ако  сумата от  цифрите му се дели на три .

С използване  само на цифрите  3  и  5  (всяка поне по веднъж) трябва да се запише число което се дели на 3 и на 5.Намерете  най-малкото такова число ?

А)3555                 В) 5335                   С) 5535                   D) ) 535

Решение

  • Щом ще се дели на  5  ще завършва на 5
  • От това,че сумата от цифрите се дели на 3  то,тя ще е едно от   числата :

  3,2. 3,  3.34.3,   5.3,   6.3 .........(3,6,9,12,15,18 ......)                                                                                 

Първата възможно  най-малка сума ще ни  даде най-малкото число

С проверка се вижда,че  3,6,9,12 и 15 не можем да  получим  със  сбора на числата  3  и  5 .

Числото  18 = 5+5+5+3 и това е единствения възможен  сбор -?

·        Следователно трябва да запишем  най-малкото число записано с три петици и  една тройка и това е числото  3555

Отговор А)

 

 


Задача  Дадено е четири цифреното число 2 * 3 *  .Да се определят  другите две цифри на числото  ,така че полученото число   да се дели на 6 .Колко най-много такива числа може да получите ?

а)  16               в) 8               c) 14                d) друг отговор

                                                (Софийски математически турнир )

Решение

·        От това,че  6 =2.3 и  2 и 3 нямат общ  делител ,следва,че числото ще се дели на 2 и  3

·        От това,че се дели на 2 ,последната цифра   е    0 , 2,   4,   6, и   8

·        От това,че се дели  на 3 ,сборът от цифрите се дели на 3

 

 

Последна цифра

0

2

4

6

8

Втора цифра

1,4,7

2,5,8

0,3,6,9

2,5,8

2,5,8

Сбор на другите две

5

5

5

5

5

 

По този начин преброени ,това са всички възможни числа  и те са :3+3+4+3+3=16

 

 

 

Задача   Боян     имал     няколко    играчки .Ако  даде   две  на  Антон  полученият брой  ще  се  дели на   3 , ако  даде  две  на Петър   полученият  брой ще се дели  на 5 .Колко най-малко играчки  трябва  да  има  Боян  ?

а) 17                      b) 11                         c) 13                 d) друг отговор

Ако броя на играчките  е   А  ,то   А – 2  се дели  на  3

                                                        и   А -  2  се дели  на  5

но, числата   3   и   5  нямат общ делител (са взаимно прости)

Следователно  А – 2  е едно  от  числата   15, 2.15,3.15 ........

Следователно  А   е едно  от  числата   17, 32, 47 ........

Най-малкото от тези числа  е  17  .Тогава  играчките на Боян  са най-малко

15 +2 =17

Отговор  а)

 


Задача Едно естествено число има интересно свойство :

Ако  от него извадим    5  ще получим число което се дели   на  3  и  на  4.

Кое  е най-малкото число  с  такова свойство ?

а) 17                      b) 11                         c) 13                 d) друг отговор

 


Задача . Дадено е естествено число А. Ако разделим 17748   на    А, се получава остатък 3, а ако   разделим 7655 на А, се получава остатък 4. Числото А е:

а) 7                      b) 11                         c) 15                 d) друг отговор

(Великденско математическо състезание )

Решение

(1) Числото   А  ще се дели без  остатък   на  17 748 -3 =17 745  =  5.3.7.13.13

(2)  Числото  А  ще се  дели без остатък  и  на числото  7 655 -4 =7651=7.1093,

където 1093 е просто  число

Следователно числото  А   е  измежду общите делители  на  двете числа.

Единтвенният  общ  делител  на двете числа е числото 7 .

Следователно числото А  е 7 .

Отговор  а)

 


Задача . Дадено е естествено число   А. Ако разделим      157  на   А, се получава остатък 3, а ако   разделим   71 9   на  А, се получава остатък 4.  Числото А е:

а) 17                      b) 11                         c) 25                 d) друг отговор

Отговор b)

 

 Задача . Дадено   е   естествено число А. Ако разделим     157 на   А, се получава остатък 3, а   ако   разделим   290    на А, се получава остатък 4.  

Най-голямото число  А  е  :

а) 22                     b) 11                         c) 2                 d) друг отговор

Решение

154 = 11.7.2     се дели  на  А

286 = 2.11.13   се дели на А

Числото  А    е       общ  делител на двете числа

Всички  общи  делители     са  2,  11  и  22  

Най-големият е 22

Отговор  а) 

 



Задача . Ани, Боян   и   Георги  тежат общо 114,5 kg. Ако  Ани  и   Боян   тежат общо 70,5 kg, а Боян  и   Георги тежат заедно 72,9

kg, то колко kg  тежи Боян?

а) 44 kg                 b) 26,5 kg                 c) 28,9 kg            d) друг отговор

 Нека   Ани, Боян   и   Георги   в този  ред  тежат съответно    x  ,   y  и   z    kg

От условието 

x   +   y   +    z   =   114,5    kg

x    +   y        =        70 ,5      kg

Тогава  Георги  тежи  114,5  -  70 ,5    =44 kg

 От  това,че   y   +    z   =72.9  ,то  Боян  ще тежи  72.9  -  44  = 28.9    kg

Отговор с)


 

Задача . Ели купила за Великден   4   яйца   и   6   козунака   и   платила общо 8,40 лева, а Иво купил 1 яйце и 1 козунак и

платил 1,50 лева. Колко струват 2 яйца и 1 козунак?

а) 1,80лева                b) 1,70лева                 c) 2лева                    d) друг отговор

Решение

 

                 (1)     4   яйца   и   6   козунака   са   общо 8,40 лева 

                           2   яйца   и   3  козунака   са   общо 4,20 лева                                                                               

                 (2)     1 яйце     и   1 козунак              са    1,50 лева  

                         (3)  1 яйце     и   2 козунак              са  4,20 -   1,50 =2 ,7 лева  

   Отговор d)                    

 

 


Задача . Три  деца     имали  общо  48  великденски  яйца. Когато първото  от тях подари   4  от своите яйца   ,   другото -6, а    третото – 8, на трите деца   са  останали по равен    брой   великденски   яйца . По колко великденски яйца  са    имали  в началото децата ?     

   а) 9, 12,13       b) 19, 18, 19                c) 21, 19, 16              d) друг отговор

Решение

(1)    Имат общо   48

(2)    Подарили  4  + 6  +  8=18

(3)    Остават  48 -18 = 30  и  всеки  ще  има по   30:3=10 яйца

(4)    Тогава първоначално са имали по   14, 16  и  18

Отговор d)

 


Задача . На три дръвчета кацнали 36 врабчета. Когато от едното отлетели 4,  от другото – 6, а от третото – 8, на трите дръвчета останали по равен брой птички. По колко врабчета е имало в началото на всяко дръвче?     

   а) 9, 11, 16       б) 9, 8, 19                в) 11, 9, 16              г) друг отговор

(Великденско математическо състезание)

 

Задача В  три бидона   има общо 30 литра мляко .След като от първия  прелели  във втория 4 литра,от втория  прелели в третия 2 литра  и  от  третия – в първия 3 литра,се оказало ,че в трите бидона  има едно и също количество мляко.Намерете какво количество мляко е имало първоначално във всеки от трите бидона .

А) 11,8,11                 B)12,13,5                       C)10,8,12                       D)друг отговор

Решение

Първи

10

10+4=14

14

11

Втори

10

6

8

8

Трети

10

10

8

11

 

 Отговор А)

 

Задача   Едно семейство има три сметки  за трите си деца  в една банка  с обща сума 9000 лeва.След като от първата сметка  прехвърлило  във втората 130 лева  ,след това ,  от втората  сметка  в  третата  100 лева   и накрая от третата сметка в  първата  150 лева ,оказало се ,че във всяка сметка има една и съща сума.

Какви суми  е имало първоначално във всяка  сметка ?

Отговор :  2980 ,2970    и    3050


 

 

Задача .Ако  броя на триъгълниците    и    правоъгълниците   са  16 , а броя на  всичките им  ъгли  са  57 ,намерете  броя на правоъгълниците ?

а) 4.                 b) 8                    c) 16                   d) Друг отговор

Решение

Ако броя на триъгълниците  е  X ,а  броя на правоъгълниците  е  Y

 То  ще  е  вярно,че  :

(1)         X      и     Y        са  общо       16 

(2)      3.X      и     4.Y     са  общо        57

 

 От   (1)      3.X      и     3.Y     са  общо   16.3=48

 Тогава  Y = 57 – 48 = 9

Проверка :   (1)      9+7=16      и   (2) 7.3 +9.4=57


 

Задача  За да купи 6 играчки  на Вяра   не  и   достигат 50 стотинки. Тя  купила   5 играчки  и и останали  80

 стотинки. Колко струва 1 играчка ?

А) 1 лев   B) 110 стотинки . C) 1 20 стотинки . D) 1  лев  и  30 стотинки

Решение

(1)          6 играчки  без 50 стотинки  са парите на  Вяра

          (2)          5  играчки   и  80 стотинки са отново парите на  Вяра

Тогава  

6  играчки  без 5 0 стотинки   са равни на 5  играчки   и   80  стотинки

Тогава  една играчка    е  1  лев и 30 стотинки 

В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg