Съдържание  :

1.Основни понятия

 Първо ниво: Задачи  за  ученици от  7 -ми  клас

2.Решени  основни   задачи .  Подготовка за национално външно оценяване за 7 -ми клас

2.1 Тестови задачи с избираем отговор   за самостоятелна работа

3. Решени основни   задачи  от  смеси   с математически модел:  Съставяне на  уравнение с едно неизвестно 

3.1 Задачи за самостоятелна работа        

Смес се нарича система, състояща се от няколко вещества  ,често наричани съставки 

 Смесите, които ще разглеждаме притежават свойствата :

• Те са хомогенни ,така е еднородни .Всички градивни вещества ,които ги съставят са разпределени равномерно в сместа
• При смесване на смеси  ,получаваме  смес ,чиято  маса е  сбор от масите на всяка от смесите   .

Примери за  смеси, които ще разглеждаме  :

Сплави : месинг , стомана  ,чугун ,бронз  и  други  

Разтвори : захарен разтвор ,солена вода ,алкохолни напитки

В класическата механика масата на системата е равна на сумата от масите на съставящите я тела.

В ежедневната ни практика  използваме понятието нетно тегло на дадена смес .

Основни понятия в тези задачи  са:   маса   и   концентрация  на  веществата   в  разглежданите  смеси           

Пример :Да разгледаме   плодов сок   ,който е смес от  захар  и   плод .  Нека  в  300  грама  сок , захарта е  25%  

Анализ  на сместа плодов сок  :

Маса на сока : 300 грама  ,която е  сбор от масите  на веществата  захар и плод

Концентрация  на захарта  :   25% 

Маса  на  захарта -:0,25.300=75 грама

Концентрация  на  плода :100%- 25%= 75%

Маса  на  плода : 0,75.300=225  грама

Нека   общата  маса  на дадена смес  е   m  и  тя  е съставена от две вещества ,  съответно с  маси    m_{1   и}    m₂

Дефиниция :   Частните

• Общата маса  е сбор от масите на съставящите сместа вещества

• Сборът от концентрацията на всички съставки  е   100%=1

• Основно  уравнение  :   m = m.P₁+  m. P₂

От  основното  уравнение m = P₁m +   P₂m  , правим извода,какви задачи   свързани с практиката ,ще решаваме :

• Търсим процентна  концентрация  по дадени маси   
• Търсим    маси  ,по дадена процентна   концентрация

• по трудните  задачи  свеждаме до уравнение ,в което неизвестно е търсената маса или търсената процентна концентрация.

•  Обикновено уравнението  съставяме  от  определението за процентна концентрация .В някои задачи  ще използваме  пропорции ,които следват  от дадената  процентна концентрация .

Задача 1.Намерете  общото количество   злато  в две сплави :  едната   сплав е с маса  300 грама  с   30%  -но  съдържание на  злато   , а другата  сплав е с маса  от  200 грама  с   40%  -  но съдържание на  злато   

Решение :

В първата  сплав  златото е 0,3.300 =90 грама

Във втората   сплав  златото е 0,4.200 =80 грама

Общото количество злато в двете сплави е 90+80=170 грама

Задача 2. Поръчвате златен пръстен със собствени материали . Той  е  с  тегло  от  14 грама , в който отношението  злато към сребро е  4 :3. Колко грама злато  и колко грама сребро , трябва  да  занесете  на златаря ?

Решение :

Пръстенът   е 14 грама, в който златото и среброто са в отношение 4:3 .Това означава ,че  те са общо 7  дяла  и всеки дял има по 14:7=2 грама   

Тогава  трябва да занесете  на златаря   4.2 = 8 грама  злато и 3.2 =6 грама сребро .

Задача 3. В  200 грама сок има 30% захар. Колко грама захар има в 100  грама от същия сок?

                        А) 40 грама      B) 30 грама       C) 10грама          D)5грама  

Решение :

• Захарта е    30%  и за двете количества                                                    
• Тогава  захарта в  100  грама  сок  е  0,3 . 100 = 30 грама

Задача 5. Изсипвате  две чаши с един  и  същ   нектар в кана , в който захарта е  40% ,останалото е плод.Ако едната чаша е 200 грама , а другата  300 грама , определете , колко захар и колко плод има  в каната

Решение

 -При смесване на смеси  с една и съща концентрация  общата маса е  сбор от отделните маси .Тогава  в каната ще има 200+300= 500 грама 

 -При смесване на смеси  с една и съща концентрация , то  общата  смес  има  същата процентна концентрация .

-Тогава захарта  е  40% от 500 , което е  0,4.500= 200 грама , а плодът е 500-200=300  грама

Решение 

Търсената концентрация на плодът е P = (42:60).100% = 70 %

Задача 7   Смесвате   5  килограма    плодов нектар   с  концентрация  на плод -  40%   и  8  килограма . плодов  нектар   с концентрация на плод -  50%   .Пресметнете концентрацията на  плода в  получения плодов  нектар .

Решение :

  В  5 килограма плодов нектар  , плодът е  0,4 .5  kg =2  kg  

  В  8  килограма плодов нектар  , плодът е  0,5 .8  kg  = 4 kg   

В 8+5=13  килограма плодов  нектар , плодът е 2+4= 6 kg   

Търсената концентрация на плодът е   P  =  (6:13).100%   =  46  и  2  / 13 %

Задача 8.  Смесвате  25 ml разтвор на солна киселина с концентрация на солта  8 % с 30  ml  разтвор  на солна киселина  с концентрация на солта  10 %.Намерете процента концентрация на солта  в получения разтвор.

По данните от условието ,сме съставили следната  таблица .Попълнете  празните графи и намерете  концентрацията на полученият нов разтвор .Ако не можете ,маркирайте  текста  в  таблицата и ще видите  скритото решение .

Задача 9 .В  800 грама  нектар  отношението  захар  към  плод  е 1:7 .Колко грама захар има в 100 грама от същия сок ?

А) 20  грама    B) 12,5   грама       C) 22  грама         D)30 грама

Решение :Това е основна задача , при която ,знаем пропорцията на съставните вещества,търсим  процентната  концентрация .От това,че  съотношението   захар  към  плод  е  1:7 , то съотношението   захар  към общо количество нектар  е  1 : 8 .

Тогава процентната концентрация на  захарта  P =  (1:8).100%   = 12,5 %. Следователно в 100 грама  нектар ще има  0,125 .100 =12,5 грама плод

Забележка :Захарта можем да пресметнем и в дялове ,защото отношението се запазва  .

Задача 10. Месинга  е сплав от мед и  цинк ,  в която  отношението   мед  към  цинк е 11:9

a) Намерете процентното съдържание на  мед и цинк в тази сплав .

b) Ако  сплавта  е  10 килограма , намерете   масите  на  цинка и  медта

Решение

a) От даденото отношение  11:9  , следва ,че  масата  на месинга има 11+9=20 дяла                                                                                                                           

Тогава отношението  мед към обща маса е  11 : 20 .                                                          

Тогава процентната концентрация на медта  P  =  (11:20).100% = 55 % .                                

Тогава процентната концентрация на  цинка е 100 % - 55% = 45%

b) Масите на медта и цинка можем да изчислим от  даденото отношение или от процентната  им концентрация .

Да си припомним  как  се  работи с дялове .Цялата сплав има 20 дяла ,от които 11 са мед ,а  9 са  цинк .тогава  един дял е 10 :20 = 0,5 килограма

Тогава медтта е 11.0,5 =  5,5  килиграма

Тогава  цинка е 10- 5,5 = 4,5  килограма

• Знаем масата  която  добавяме  ,търсим новата процентната  концентрация(или отношение )  на веществото в  новата  смес .
• Знаем  променената процентна концентрация (или отношение ) , търсим  масата на добавеното вещество
  

Задача 11: Процентната концентрация на сол  в  400g  солен разтвор от вода и сол е   25% .Ако  към този разтвор  прибавим   400 g  вода, то намерете концентрацията на солта в получения разтвор.

Решение

Действия :Добавяме  400 литра чиста вода   в  солен разтвор от 400 грама

Изменения в разтвора :Променя се общата  маса  и   количеството вода                      

Важно !- Количеството сол не  се  променя

Предварителни изчисления  :

• Изчисляваме  масите на солта и  водата  в 400 грама  солен  разтвор

           маса на водата   - 0,75 .400 = 300 грама   и  маса на солта   0,25 .500 =100 грама    

Изчисляване  на  масите   в новия  солен  разтвор 

• Новата маса на разтвора е :  400   литра  чиста  вода   плюс  400 грама солен разтвор, общо  800  литра  солен разтвор 

•  Новата маса  на  водата   е 300+ 400=700  грама  ,а на   солта  100 грама 

Изчисляване  на процентната концентрация на   новия  солен разтвор 

• Процентната  концентрация  P=  (100 :800) .100% = 12,5 %

• Проверка – 800 .0,125 = 100  грама

 .Разгледайте подреждането на данните  в таблица .

 Задача 12 :  Бронзът  е  сплав   от  мед  и калай . Намерете   процентната  концентрация на  мед     в  бронз   , ако към   20kg   бронз    с   45%  съдържание  на мед  прибавим  4 kg  калай ?

А) 40 %                  B) 72,5  %                      C) 30 %                             D)50  %

Отговор B)

Задача 13.Колко процентен разтвор на спирт ще се получи ,ако към  50 грама вода се прибави  200 грама спиртен разтвор  със 7,5 %  концентрация  на спирт  ?

Решение :  За да намерим ,търсената концентрация , трябва да знаем в  новият  разтвор масата на  спирта и  масата на  спиртния разтвор

• В 200 грама спиртен разтвор , спирта е 7,5%  от  200, така е  200.0,075 = 15 грама

• Тогава масата на новият разтвор е 200+50= 250  грама, а спирта в него е 15 грама 

• Търсената процентна концентрация  P=(15:250).100% = 6%

Задача 14. Дамян  налял  в  аквариум  8 литра  солен разтвор, в който  отношението  сол към  вода е  1:15 .Той   променил  процентното съдържание на солта  в  аквариума   ,като  долял  2  литра  чиста вода .Намерете процентното съдържание на  сол  в получения  солен разтвор в аквариума .

Решение

1. От даденото отношение сол  към общо количество -  1:16, следва,че солта в този разтвор има  един дял , и той е  8:16=0,5 литра

2.Намираме количествата съставки във вторият солен разтвор

- общо количество   8 +2 = 10 литра

-количеството сол не се променя и е 0,5 литра 

3.Търсената процентна концентрация е ( 0,5: 10).100 % =  5 %

Задача 15.Парче сплав на мед и цинк има маса 18  килограма  и  съдържа 35%  цинк. Към сплавта  прибавили  3 килограма  мед. Какво е отношението  на металите  цинк и мед  в получената сплав ?

Решение Да намерим отношението ,означава да намерим  частното  в проценти или частното  от масите на двете вещества  в дадена сплав

• ·        В 18 килограма  сплав  цинка е  0,35 .18 = 6,3  килограма , а медта  е 18-6,3 =11,7 килограма

• ·        В новата сплав  количествата вещества са :

цинк  6,3  килограма  , мед - 11,7+3 =14,7 килограма

• ·        Търсеното отношение  е  6,3  : 14,7 =63:147=31:49

Задача 1. Месинга  е сплав от мед и  цинк ,  в която  медта е  2 пъти повече от цинка Ако  сплавта  е  30 килограма , намерете  колко килограма е   цинка ?

А) 5 kg                   B) 7 kg                  C) 10   kg             D)друг отговор

Задача 2 В   сплав   от  калай и  мед    отношението  калай  към мед  е  2:8 Ако медта е 10 килограма ,то парчето сплав тежи ?       

               А) 50kg                   B) 27 kg                  C) 12,5   kg             D)друг отговор

Задача 3 . Колко процентен разтвор ще се получи, ако към 3 литра вода се прибави 1 литър чист спирт?

 А) 20 %                  B) 2,5  %                      C) 25 %                             D)друг отговор

Задача 4.  Смесвате сплав  с маса  40 kg , в който бронза е   10 %  с 60 kg  сплав,  в който бронза  е  20  %. Намерете колко процента  бронз  има новата  сплав .                                     

 А) 16 %                  B) 12  %                      C) 23 %                             D)друг отговор

Задача 5.Колко процентен разтвор на спирт ще се получи ,ако към  120  грама вода се прибави  80 грама спиртен разтвор  с   30  %  концентрация  на спирт  ?

А) 15 %                  B) 12  %                      C) 13 %                             D)друг отговор

Задача 6 Към   20 kg  сплав   от калай и  мед , в която  отношението  калай  към  мед е   2:8  добавили   5 килограма  мед.Намерете процентното съдържание на  мед    в получената  сплав . .

А) 60 %                  B) 70  %                      C) 84 %                      D)друг отговор

Задача 7 В  солен разтвор  от  вода и сол  с маса  25  литра , съдържанието на сол е  40%  .Към разтвора  прибавили  5 литра  сол.Намерете отношението  сол  към  вода в получения  нов   разтвор  ?

А) 3:5                  B) 3:9            C) 1:1                    D)друг отговор

Задача  8  Смесвате    10   килограма    плодов нектар   с  концетрация   40%   и  15  килограма  плодов  нектар   с концентрация  50%   .Пресметнете концентрацията на  полученият плодов  нектар .

А) 60 %                  B) 70  %                      C) 46 %                      D)друг отговор

Задача 9 .В  1000 грама  нектар  съотношението  захар  и  плод  е  1:4.Колко грама захар    има в 200 грама от същият сок ?

А) 40  грама    B) 5   грама       C) 50  грама         D)30 грама

Задача 1 .Два  съда с различна вместимост са  пълни  с   един и същ  нектар.В  единият съд   в 500 грама  нектар  25 %  е захар ,останалото е плод.Колко грама е нектара във вторият съд,ако захарта в него  е  200  грама  

                        А) 200  грама    B) 800 грама       C) 110 грама         D)230 грама

Решение :

От  условието следва,че   процентната концентрация  на захарта е една и съща в двата съда

Тогава , ако количеството нектар във  втория  съд   е x грама ,то е вярно ,че 25% от  x   е  200 грама .

От уравнението  0,25 x =200 , получаваме, че x =800 грама .

Задача 2 :  Към  20 kg сплав на злато и мед  с концентрация  на мед  от 25 % ,добавили  30 kg  мед .Колко процента е концентрацията   на   мед   в  новата сплав  ?

 Решение   В 20 kg сплав  медта е 0,25.20=5 kg   В таблицата са нанесени  останалите неизвестни                                                                                    

Тогава  търсената процентна концентрация P=(35:50).100%=70 %

Задача 3 :  От 800 литра солен разтвор изпарили 600 литра вода и получили 25 % -ен  разтвор  на сол .Колко процента  сол е съдържал първоначалния  разтвор ?

 Упътване:   Нека  търсената концентрация на солта е x процента .Понеже изпаряваме водата ,то масата на солта в двата разтвора е една и съща ,и тя е    0,25.200=50 литра .  

Отговор 6,25 % 

Задача 4 .Колко литра прясна вода трябва да се прибави към  60 литра морска вода, съдържаща  5% сол, за да се намали  концентрацията на морската вода с 2 %?

A) 20 литра         B) 30 литра             C ) 40 литра                D) 50 литра 

Солта в  първото количество  е 5% от 60  литра ,което е  3   литра

Нека добавим x  литра  прясна вода  към 60 литра морска вода

От определението за процентна концентрация ,следва ,че  3 : (60+x)= 0,03 , откъдето намираме, че  x = 40 литра  

Задача 6 В 10 литра разтвор от вода и спирт, съдържащ 12 % спирт, добавили 1,2  литра спирт. Колко литра вода трябва да се долеят, за да се запази  процентното съдържание на спирт ?

Решение :Нека сме добавили x литра вода ,за да получим отново същата концентрация от 12 %

От уравнението  2,4  : ( 1 1,2 +x)  = 0,12  ,  получаваме,че  x =  8,8 литра вода

Задача 7.В  сплав  отношението на   сребро към  злато  е  3:5  .Добавяме  100  грама  сребро   и  получаваме  нова  сплав ,  в която златото и среброто  са равни . Колко грама   е  среброто   в   новата сплав ?

Решение .Нека  един дял от металите  е x  грама  .Тогава в първата сплав :  среброто е  3x  грама ,  а  златото  -   5x  грама  .

След добавяне на 100 грама злато ,получаваме нова сплав  в която среброто е - 3x  +100 грама  , а златото   -  5x   грама 

От това,че количествата в новата сплав са равни , получаваме уравнението : 5x  =  3x  + 100 с решение  x  = 50 грама.Тогава  среброто в новата сплав е 250 грама

Описание на данните  с таблица

Задача 8 .Разгледайте  таблицата .По дадените  данни в нея ,съставете текстова  задача, в която се търси  масата на  първият разтвор ?

Отговор : 90

Задача 9 . Две сплави на злато и сребро  са   такива,че :

• в първата сплав  отношението   злато към  сребро  е  6 :4
• във  втората сплав  съдържанието на  злато е 18 % по-малко  от съдържанието на  злато в първата сплав

• първата сплав тежи 50 грама по-малко от втората                                                                                                           
  
• От двете сплави е получена трета, в която златото е с  36  грама по-тежко    от среброто.                                                                                                                                                                   Намерете  масата на  новата сплав

Решение :

Нека  в първата сплав в един дял има  x грама .Тогава  златото е  6x , а  среброто   4x грама .Процентната  концентрация на златото в първата сплав  е  P= (6:10).100%=60%

Тогава процентната  концентрация на златото във втората сплав  е 42 %

Понеже първата сплав е с 50 грама ,по малко от втората  сплав ,то общото тегло на втората сплав е  10x + 50

Тогава  във втората сплав  златото е 0,42 (10x + 50) ,  а среброто 0,58 (10x + 50)

Тогава   златото в новата сплав е 6x + 0,42(10x +50) , а среброто  4x+ 0,58 (10x +50)                                                                                                        

От данните в таблицата и от условието ,следва,че

- 4x-  0,58 (10x +50)  +  6x +  0,42 (10x +50) = 36 .Тогава   x = 110 грама   и теглото на  новата сплав е 20.110 + 50 =2250 грама

Задача 10 .Смесваме   два вида плодов сок  с общо количество - 6 литра . В  първият сок отношението  на  вода : плод : захар = 10 : 8: 2 , а във   вторият   сок   плодът е   60 % . Ако в получения  нов  плодов сок , концентрацията  на  водата и захарта  са  50% ,то  намерете  колко литра е  първия  сок и колко литра  е втория  сок ?

Решение

1. Нека един дял от първия сок  е x  литра .Тогава  масата на  водата ,плода и захарта в първия сок   са  съответно :  10x, 8x  и  2x.                                                       

2. Тогава  първия  сок   има маса от  20x   литра .                                                                

3. Тогава масата на  втория  сок  е  6 -20x , а  в него масата на  плода  е 0,6(6-20x)

4.Общата смес е от 6  литра ,и в нея  водата и захарта са  3  литра  .Тогава плода е  3 литра .                                                                                                                                 

5.Изразяваме  масата на  плода  по два начина и получаваме следното  уравнение за  x                                                           

8x + 0,6 (6-20x )=3  ,откъдето x =0,15  литра                                                                            

6.Тогава първия сок  e  20.0,15 =3 литра 

7. Тогава и втория  сок  е   3 литра 

Задача 11 .От  две сплави на калай и олово  трябва да се получи нова сплав ,тежаща 120 грама  ,в която тегловното  отношение  на калая и оловото е 3 :5 .По колко грама трябва да се вземе от всяка от сплавите ,ако  калая към оловото в първата сплав е 1:4 , а във втората 4:1 ?

Решение

Превръщаме отношенията в проценти

В  първата сплав  К:О=1:4 ,следователно калая е (1:5).100%=20%

В  втората  сплав  К:О=4:1 ,следователно калая е (4:5).100%=80%

В  новата   сплав  К:О=3:5 ,следователно калая е (3:8).100%=37,5 %

Тогава в новата сплав  калая е 37,5 %  от  120 = 45  грама

Нека от  първата  сме взели x грама , тогава от втората сме взели 120 –x  грама

Тогава от първата сме взели  20% от x което е 0,2 x , а от втората  80% от 120-x  ,

което е  0,8 (120-x  )

От уравнението 0,2 x +  0,8 (120-x  ) =45  намираме ,че  от  първата сплав  сме взели   85 грама .Тогава от втората сме взели 120-85=35 грама

Задача 1 .Сплав от  мед ,  цинк  и  олово  има тегло  1025 килограма  Теглото на медта   е  0,7  от  теглото на оловото и е 2 пъти  повече от теглото на цинка  Колко килограма е  цинка в тази сплав ?

А)175 kg                   B) 75 kg                  C) 500   kg             D)друг отговор

Отговор A)

Задача 2 .Към 50 грама  вода се добавя  се прибавя 20  грама  7 % -ен  разтвор  на спирт.Колко процентен разтвор на спирт  се получава ?.

А) 1,5 %               B)2,7  %                 C) 2 %                      D)друг отговор

Отговор C)

Задача 3 .Колко литра прясна вода трябва да се прибави към  100 литра морска вода, съдържаща  6% сол, за да се намали  концентрацията на морската вода с 1 %?

A) 20 литра         B) 30 литра             C ) 40 литра                D) 50 литра    

Отговор A)

Задача 4 :Колко литра 90%-ен  разтвор на сярна киселина трябва да се долее към 4 литра 70% -ен  разтвор на сярна киселина ,за да  се получи 75%-ен разтвор  на сярна киселина ?    

  Отговор : 1 и 1/3  литра                                  

Упътване:Нека  долеем x литра 90%-тен разтвор към  4 литра разтвор .По данните от условието ,сме съставили  следната таблица .Изчислите  и попълнете  таблицата .Ако не можете , маркирайте  текста в таблицата  и ще видите скритото решение

.            

Задача 5 Един  съд  съдържа  смес от 6 литра  спирт и 10 литра вода .Друг съдържа смес от 8 литра спирт и 6 литра вода .Колко  литра трябва да се прелеят от първия съд  във втория съд ,за да се получи  във втория  съд  смес ,съдържаща равни количества спирт и вода ?

А) 4 литра                  B) 3 литра                       C) 8 литра          D) друг отговор

Отговор C)

Задача 6  .В  сплав  от злато и сребро   отношението на металите   е  6:4 .Добавяме  200  грама злато  и  получаваме  нова  сплав  в която златото и среброто  са равни . Колко грама   е  среброто   в   новата сплав ?

Отговор :   600 грама

Задача 7 От  два различни разтвора на етилов  спирт  – 10 %-ен и 20%-ен  се вземат равни  количества от  двата  разтвора, така ,че да се получат   200 литра  етилов  спирт с 15 %-ен разтвор на  спирт .Колко литра са взели от всеки от разтворите ?

            А) 200 литра      B) 140 литра        C) 100 литра        D)230 литра

Отговор C)