В помощ на участниците в състезания и олимпиади по математика от 2-ри до 7-ми клас - за можещите и за по-малко талантливите, но упоритите .
dauchimmatematika.alle.bg

Равнолицеви фигури .Задачи за ученици от 6 и 7 клас

1.Задачи за 6 клас.Задачи за състезания по математика



Бележка :
Темата e разгледана  след  пропорции в 6. клас




Да си припомним основните  формули  за лице на геометричните  фигури :
квадрат ,правоъгълник,триъгълник ,правоъгълен триъгълник ,успоредник и ромб

 

Всички формули са произведения  от дължини на отсечки  с еднакви мерни единици .

Затова има безбройно много фигури  с равни  лица



1.пример  
Квадрат със страна  6 см и правоъгълник със страни  4 см и 9 см  имат равни лица



2.пример : В  квадратната мрежа ,триъгълниците  ABC ,ABD  , ABE  имат равни лица ,защото :

  • основата е една и съща
  • височините са равни



3.пример В квадратната  мрежа  трапеца ABDC   и триъгълника ABE  имат равни лица


"/>
1
1
1

4.пример Нека т.О  е център на  окръжността  за  правилният   n -ъгълник  .Всички  n триъгълници с  връх точка О ,имат  равни лица ,защото при  налагане съвпадат .

"/>
За  за n=6, получаваме  6  триъгълника с равни лица .
1
1
1
1

Определение :

Геометрични фигури с равни лица ,наричаме равнолицеви фигури



1.задача
В триъгълник АВС  с лице S =16 см 2 ,  точка М  е среда на страната АВ  . Намерете лицето на триъгълник АМС .
                                       
                                                                   
                                      
                                                                                        
"/>
Решение

Ще покажем,че
                                                                       1
                                           SAMC  =   SMBC   =  -   SABC 
                                                                                         2
Това е така,защото :
  •  АМ = МВ = АВ :2
  •   h  e  височина в триъгълниците АВС ,АМС  и ВМС
Тогава   SAМC  =16:2=8 см2
1
1

Извод :

Всяка точка , която е среда на страна на триъгълник, го разделя на два триъгълника с равни лица






2.задача В  трапецът   ABCD ,  точка О е пресечна точка на диагоналите. Запишете всички двойки равнолицеви триъгълници
"/>
Решение :

  • SABD = SABC
  • SCD= SCDB
  •    От    равните  лица    SABD и  SABC   изваждаме  лицето на триъгълника  АВО и  получаваме,че

SAOD  = SB0C

"/>

 

   За всеки  трапец  SAOD = SB0C

1
1
1

Извод:

Ако от фигури с равни лица , извадим едно и също лице, то отново получаваме фигури с равни лица
1
1
1





3.задача Точка М е среда на отсечката АВ  ,а  т. N е произволна  точка  от отсечката  CM  . Покажете,че
                                       
                                                                     
                                           SANC  =   SNBC 
                                                                                       

"/>

От това,че т.М е среда,то  SAМС = SМBC   и   SN = SNMB

                    Тогава SAМС - SN = SМBC  -SМBN 

                                    Тогава SANС = SBNС




4.задача Даден е триъгълник ABC с лице S = 24 cm2 .Нека точка М  е среда на ВС , а N е среда на  AM .

А ) Намерете лицето на триъгълник ANC

Б) Каква част е  лицето на триъгълник АNC  от лицето на триъгълник  ABC

В) Колко процента   е  лицето на триъгълник АNC  от лицето на триъгълник  ABC

"/>

Решение

А )

Точка  M   е такава,че  СM MB 

Тогава  лицата на  триъгълниците    АCM  и    MАB   са равни    на  24:2=12 см2     

Точка  N   е такава,че  AN NM 

Тогава  лицата на  триъгълниците    АCN  и    MNC   са равни    на  12:2=6 см2     

             

Б)

Лицето на триъгълник АВС =24 см2

Лицето на триъгълник ANC е 6 см2

                                                                    6      1
Тогава  лицето на триъгълник ANC е  равно на    -  =  -  от  лицето на триъгълник АВС
                                                                    24     4

В)

                                           1                     

Лицето на триъгълник  ANC е  -  .100 %  = 25 %

                                           4



Едно основно твърдение, което често се използва при равнолицеви фигури

Нека   M е произволна точка от страната AB на триъгълник ABC .Ще покажем,че  отношенията между отсечките е равно на отношенията между лицата                                  
   SAMC  : SMBC AM  :  MB

 

Решение: 

От това ,че    SAСM =  (AM .h): 2  и    SМBC =  (BM .h): 2  получаваме,че   

"/>
Тогава    SAMC  : SMBC AM  :  MB  


В случаите,  когато  т. M  е среда на  страната AB , то   SAMC  : SMBC 1 :  1 ,откъдето следва,че  

  SAMC  =  SMBC


Извод:

Ако М е вътрешна точка на страната АВ на триъгълник АВС, такава,че АМ : МВ = х : y , то:

"/>




5.задача .В триъгълник АВС ,т.М е точка от страната АВ , такава,че AM  :  MB  = 2:3   .Ако  SABC =  15 кв.см, то намерете лицето на    SAMC  и SMBC

Решение : От това,че  AM  :  MB  = 2:3   ,то и   SAMC  : SMBC 2 :  3 .                                               

Тогава двете лица имат общо 5 дяла .От това,че сбора на двете лица е лицето на триъгълник ABC ,то  на един дял ще отговорят   15:5= 3 кв.см.              

Тогава  лицето на  SAMC  = 2 .3=6 кв.см   а , SMBC = 3.3=9 кв.см  





Извод :

Ако   M е произволна точка от страната AB на триъгълник ABC          

то,    SAMC  : SABC AM  :  AB



                                                                               




6.задача Даден е триъгълник ABC с лице S = 50 cm2 .Нека точките  P, М , L  И  T са такива,че

АP=PМ =ML =LT=TB

А ) Намерете лицето на триъгълник MNC

Б) Каква част е  лицето на триъгълник MNC  от лицето на триъгълник  ABC

В) Колко процента   е  лицето на триъгълник MNC  от лицето на триъгълник  ABC

"/>
Отговор: A) 5 см2






7.задача По данните на чертежа намерете лицето на триъгълник  MBC .

"/>

Решение

Точка  M   е такава,че  ВM 2АM

Тогава е вярно ,че   (h.ВM):2 = (h.2АM):2

Тогава  SBCM  =   2S MAC    

От  равенството    SBCM  =   2.8  = 16 см2




Две основни твърдения, които често се използват при задачи от лица на фигури

  •  Ако два триъгълника имат равни страни ,то лицата им се отнасят както, височините към тези страни


  • Ако два триъгълника имат равни височини ,то лицата им се отнасят както, страните към тези височини





8.задача Два ромба имат равни лица. Височината на  първия се отнася към височината на втория    ,както 6:5. Ако страната на първия ромб е 30   сантиметра, на колко сантиметра е равна страната   на втория ромб?

                 А)24;         Б)25;                 В)27;                Г)36

                                   (Математически турнир «Иван Салабашев» )






9.задача В  триъгълник АВС ,  т.М   е  вътрешна за  страната  ВС  .Ако  h : h = 3:1 и SABM =8 см2 , то  лицето на триъгълник СМA  е ?

                 А)6 см2 ;         Б)24 см2 ;                 В)16 см2 ;                Г) 36см2


"/>
В момента разглеждате олекотената мобилна версия на сайта. Към пълната версия.
Уебсайт в alle.bg