Едночлен   е всеки   цял рационален израз  ,който е  произведение от   числа и променливи 

Примери  за едночлени:

3хy;   19x²;    2xy³;     −3xy²⋅(2³) ⋅4x³;     5,9 xⁿ y ⁿ     (n∈N)

Едночлените  могат  да  са само числа или само променливи   

Примери:  0.12 ;   3    ;   −0,5    ;    x ;    y  ;   b² ;   z ⁿ  (n∈N)

 Целите  изрази  2a+3b;   2x−5d  ; (2y+3) ²   НЕ са едночлени,защото ,те не  са  само произведение от числа и  променливи

Да разгледаме  едночлените :

• 2xy³  

• −5x y²⋅(3²) ⋅y³.4x³

В   едночлена  2xy³  е  записано  едно число и  всяка буква се среща само по веднъж

Всеки едночлен  записан по този начин  казваме,че е записан в  нормален вид

Нормален (стандартен)  вид има  всеки  едночлен  записан   :

• само с  един числов  множител ,който е  пред другите множители
  

• произведението от еднаквите  букви и променливи е  записано като степен

Всеки едночлен може да се приведе   в нормален вид ,като :

• намерим  произведението  на всички числови множители  и  го  запишем на първо място

• като умножим всички степени  с равни основи 
  

Вторият едночлен −5x.y²⋅(3²) .y³.4x³    не  е  приведен  в нормален   вид .

Той има коефициент   −5.(3²) .4=-180 

Задача 1:Представете   едночлена 0,5 х 4.z(−10 x ²z ²) в нормален  вид   и определете неговият коефициент  .

Решение

0,5 х 4z(−10 x²z²)=−0,5.4.10xx²zz²   =−20x³z³  

Коефициентът на този едночлен е   −20.

Задача 2:Представете  едночлена   xy³z²x²z²y⁶  в нормален вид   и определете  неговият  коефициент: 

Решение

  x y³z²x²z²y⁶  =  xx²y³y⁶z²z² =  x³ .y⁹. z⁴  

Коефициентът на този едночлен е  1.

Задача 3:Ако  a и  b  са параметри  ,а   x  и   y  са  променливи ,намерете нормалният вид  на едночлена   2х²a4xy³b1,5ay  и определете  неговият коефициент

Решение

 2х²a4xy³b1,5ay  =2.4.1,5. аabх²x y³y= 12а²bх³y⁴

Коефициентът на този едночлен е  12а²b

Задача 4.Намерете   числената стойност  на едночлена   3а³b³b²a     за    а= -2,b=0,5

Решение

За да работим бързо и рационално  :

• намираме стандартният вид на едночлена 

•  заместваме в него , дадените стойности за  а и  b  .

За  а= -2,b=0,5  , числената стойност на израза е  3а³b³b²a =3а⁴b⁵=3( -2)⁴ 2^-5= 1,5

Задача 5 .Намерете   числената стойност  на  едночлена 2х³y²х.0,20y  ,ако  x=2 и y=-1.

 Решение

Нормалният вид на едночлена   е   2х³y²х.0,20y=0,4х⁴y³  

За  х= 2,y=-1  , числената стойност на израза 0,4х⁴y³ =0,4 .16.(-1)=-6,4

Примери :

−x⁴y⁵  е  едночлен от 9-та  степен ,защото   4+5 =9 ;

−3xy⁵z⁶  е  едночлен от 12 -та  степен,защото  1+5+6 =12 ;

10z  e едночлен  от  първа  степен ;

Примери :В  дадената таблица всички букви са променливи  .

Подобни са едночлените :

•   12х и 15х  

•  3yх³ и  15yх³

•   3xcxc  и  3x ²c ²  ;  

• 9  и −9;

Не са  подобни едночлените  : 3a²b   и  12ab²  

Ако два подобни едночлена  имат равни коефициенти ,то те се наричат равни едночлени 

Примери :  2х²  и 2хх

Ако два подобни едночлена  имат противоположни  коефициенти  ,то те се наричат противоположни  едночлени 

Примери : - 2а²  и  2а²;  : - 3n  и 3n ;- xy  и  xy

Подобни едночлени  събираме  или изваждане  като  :

Първо -  съберем  или  извадим   коефициентите  на  едночлените ;

Второ  -  запишем променливите без промяна

Примери : 

2х+3х =(2+3)х = 5х

7х² +0,5 х² = (7+0,5) х² =  7,5 х²

10х-3х =(10-3)х = 7х

23х² -21 ,5 х² = (23-21,5) х² = 2,5 х²

Сборът  на два противоположни едночлена е нула 

Примери : 

х² - х² = 0 ;

2y -2y =0

ВАЖНО!  :Правилата за  разкриване на скоби са същите ,както при действия с рационални числа

Примери :

х +(−)5х = х - 5х = -4х

х −(−)2х =х+2х =3х

Задача 7.Извършете означените действия

А) 2х +(−)6х  +х 

Б) 3ах +5ах – 8ах

В)−2х²k−(−0,7х²k)−0,2х²k

Решение

А) Разкриваме  скобите и получаваме :

2х +(−)6х  +х  =

2х −6х  +х =

(2-6+1)х

=-3х

Б) 3ах +5ах – 8ах

= (3+5-8)ах

=0.ах

=0

В)−2х²k−(−0,7х²k)−0,2х²k

=−2х²k+0,7х²k−0,2х²k

=(-2 +0,7-0,2) х²k

=-1,5х²k

Задача 8  .Намерете неизвестното число

 А) x  + 9x = -80

Решение  От   x  + 9x = -80, получаваме ,че 10.х=-80 с неизвестен множител х=-80:10  ,   х  =-8

B)  - 12x + x  = 11

Решение  

-12 x  + x  =11 .Тогава  -11.х=11 , откъдето намираме,че   х=11: (-11)  ,  х=-1

C)   х+0,5х+4,5х=  12           

Решение  След привидение на  подобните едночлени   х+0,5х+4,5х         

 ,получаваме равенството ( 1 +0,5 + 4,5).х=12  с неизвестен множител х=12: 6 ,  х =2

Бележка :При действие привидение на подобни едночлени прилагаме дистрибутивното (разпределителното свойство) на действие умножение

Решение  Изразен чрез  х ,сборът от всички ръбове на паралелепипеда е равен на :

4(1,5х)+ 4.х+4.(2,5х)

= 6х+4х+10х

= 20х

За х получаваме равенството  20х=80 ,от което намираме,че х= 4 см

Решение

Обиколката на правоъгълника е 2(8х+4,5х)=2.12,5х=25х

Обиколката на триъгълника  е  2.2,5х+4х=5х+4х=9х

От условието получаваме равенството  25х -9х= 16 ,от което намираме,че х=1 см

Задача 11 .Една тетрадка е три пъти по-скъпа от един химикал .За  2 тетрадки и 4 химикала  ученик платил  20 лева .Намерете цената на една тетрадка  ?

Решение :Нека цената на един химикал  е x лева .

Тогава една тетрадка  ще струва  3x лева .

От равенството 2.3x+4x=20 ,намираме,че  10x=20  лева, х=2 лева

Тогава тетрадката струва   2.3=6  лева

Задача 12 . Разтоянието между градовете  София и Плевен  е  150  км .Двама мотористи  единият със  скорост  80км/ч  ,а другият със скорост  100  км/ч  тръгват  едновременно  един  срещу друг от двата града  .Намерете в колко часа ще се срещнат мотористите ,ако  те са тръгнали в 11 часа

Нека след  t часа мотористите се срещнат. 

Тогава мотористът със скорост  80 км/ч ще измине път равен на  80 t

,а мотористът със скорост  100  км/ч ще измине път равен на  100 t

Понеже пътуват  един срещу друг ,то е вярно равенството  80 t+100 t=150

,откъдето намираме,че  t =150/180= 5/6 часа ,което е 50 минути

Тогава двамата мотористи са се срещнали в 11 часа и 50 минути

Задача 13 . В един сладкиш  захарта ,маята и брашното са в отношение  1:2:56  Ако общият грамаж на продуктите е 590 грама ,то намерете  колко грама тежи всеки от продуктите .

Решение

Нека  един дял от всеки  продукт  тежи   х грама .Тогава  590 грама ще тежат 1х +2х +56х= 59х грама

От равенството  59х =590 ,намираме,че х=10 грама .Тогава брашното е 560 грама ,захарта 10 грама ,маята 20 грама .

1.задача :Запишете само тези изрази,които са едночлени 

А)4а+3в;

Б)-3вс;

В) 2х - y²;

Г) 22аxy ²(с)³

2. задача :  Намерете  нормалният  вид  на едночлените   и  определете  коефициентите им.             

А) 8n³x .(- 2) x⁴ .0,5n⁴   

Б) 7,4 х 5.z (− x ²z ²) 

В)  xy⁴z⁵x³z²y⁶   

3.задача : Намерете степента на всеки от едночлените  :

А) 72.x² y³ z⁵      B) 62.x⁵y z⁴    C) 62.x⁴y² z⁵       D) x⁶y⁴ z²             

4.задача  Кой от едночлените е от  10 –та степен

А) x y³ z⁵    

  B) x⁵y z⁴   

C) 2.x⁴y² z⁵      

 D) y⁴z²             

5.задача :Приведете  едночлена  0,5.x² y³ z⁵ (- 2)³.x⁴y² z⁵   в нормален вид и  запишете неговият противоположен

6.задача :Намерете сбора на подобните  едночлени    :

А) 2x² + x²  + 7x²  

 B) - 12х⁴ +1,5x4 + 2,5х⁴

C) -2а³x² + 10,5х²а³               

7.задача Намерете разликата на подобните  едночлени

 А)12асх⁶-17асх⁶;

 Б) -5х²у³-12х²у³;

 В) 1,2ух-2ух;

 Г)  7авс³-9ас³в

8.задача:Опростете  изразите 

A)13 xy -28xy +19 xy

Б)  -7x³y³x  +25 x³y²x y  - 18y³x⁴

 А) -х  + 10x = 90

 B)  12x -8x  =- 12

C)   0,2х-1,2х+3,5х=8   

 10.Намерете неизвестното число      

А) 1,2= 0,8x + x

Б)  2 = (0,5x - 1,5) + 1,6x

С)  4,3x  - (0,8x + 1,6) = 5,8

Д)  4,1x + 2,7x  : 3= 1,6

11.  задача  Дължините на страните на триъгълник са в отношение 3:5:4 .Намерете страните му,ако обиколката му е  144 см .

12.задача.  От град   А тръгнал моторист , движещ се със скорост   50 km/h. Два  часа по-късно по същия път(от град A) след него тръгнал друг моторист  със скорост 60 km/h. Намерете след  колко време   вторият турист ще настигне първия  ?

От предната точка  ние събирахме и изваждахме само ПОДОБНИ   едночлени.

Всеки два едночлена   умножаваме  като :

• умножим  коефициентите им
  

• умножим   степените с равни основи
  

Да разгледаме примерите:

Пример :   (5х).(10y) =( 5.10)xy =  50xy

Пример :  ( 1,5nm).(2mn ) = (1,5.2).n n m m=3n²m²

Пример :  (7x²yz⁴).(0,6yz³x⁴)=(7.0,6) x² x⁴y y z⁴z³ =4,2x⁴y²z⁷

Задача 14 : Намерете произведението на   едночлените   3x²y и 0,9 x⁵y⁵ 

 Решение : (3x²y) . (0,9 x⁵y⁵) = (3.0,9) x²x⁵yy⁵ = 2,7 x⁷y⁶ 

Задача 15 :Намерете произведението на едночлените

А)  x²y  и  2xy⁵ 

Решение (x²y).(2xy⁵ )=2.( x²х).( yy⁵)=2x³y⁶

Б)  0,5abx²     и  20 a ³b⁴x 

Решение (0,5abx²).(20a³b⁴x )= 0,5.20aa³ bb⁴x²x =10a⁴b⁵x³ 

Задача 16  :По данните на чертежа  съставете израз , с който  да намерите :

• лицето на правоъгълника,триъгълника и окръжността
  

• обемът на правоъгълната призма 
  

Задача 17. На чертежа е дадена е права триъгълна призма с основа правоъгълен триъгълник с катети равни на  3х см и 4х см  и хипотенуза 5х см .Ако височината на призмата  е  6х см ,то съставете изрази  ,за :

А) лицето на основата  В

Б) околната повърхнина S

B) пълната   повърхнина  S₁

Решение

А) В=(4х.3х):2=12х²:2 = 6х²

Б) S=6х.(4х+3х+5х) =6х.12х=72х²

В) S₁= 2В + S =2.6х² + 72х²=84х²

Пример :   (5хy)² = 5²x²y²=  25x²y²

Пример :  (-2n³m⁴)³ = (-2)³ .(n ³ ) ³  (m ⁴) ³  = -8n⁹m¹²

Пример: 

Задача 18 . Степенувайте  едночлена   (5⁴х³y² 0,2⁴yх)³ и  намерете   числената  му  стойност за   x=2 и y=-1.

 Решение

Извършваме означените действия и получаваме :

  (5⁴х³y²0,2⁴yх)³ 

={ (5.0,2)⁴ х⁴.y³}³

=  х¹²y⁹

За  х=2,y=-1  , числената стойност на израза  e :   -  2¹²  =- 4096

Задача 19.Степенувайте  едночлена  (3а³b³ba)²  и  намерете неговата числена стойност  за    а= -4, b=0,5  ,

Решение  

Привеждаме основата на едночлена в нормален вид  и получаваме  (3а⁴b⁴)²= 3²а⁶b⁶

Понеже  аb=  -4.0,5  = -2 ,то в този случай представяме едночлена,като  степен на произведението  аb

3²а⁶b⁶ = 9.(ab)⁶

Тогава числената стойност на израза  (3а³b³ba)³     за   а= -4, b=0,5,   е   9.(-2)⁶ = 576