Интересни задачи от домино,зарове и стрелички.

Задача   Симеон  направил фигура  с помощта на 7  правоъгълни плочки от  вида:

 Той   поставил една до друга плочките така,  че да се допират страни с еднакви  числа.

     Сборът от числата  на   получената фигура   е  равен  на      33   (виж картинката). Кое число  е  било  на мястото, означено с въпросителен знак,ако всички   числа са  естествени или  числото  нула ?

A) 2           B) 3            C) 4             D) 5              E) 6

Решение
Да потърсим сбора  на всички известни от условието  на задачата числа.

Той е :  1+0+0+5+5+3+3+2+2+1+1+2=25

От това,че

•   33 -25 =8 
• Две  еднакви  числа се допират  
• Правим извода,че търсеното число е 4                                  

Задача  Колко различни резултата  могат да се получат  с  помощта на две стрели    и    показаната мишена? 

Пример :Ако стрелите  са   с  попадения  в  мишени   с   2  и  3   точки   то,резултатът е 5 точки .

(Международно състезание „Европейско кенгуру”)

    Решение.

Под  различен резултат ще   разбираме различен

сбор от  точките получени при хвърляния на две

стрели .Попаденията 2 и 3  или 3 и 2 ще броим              

за един резултат.                                                                                      

  Възможностите са :

•  2+2=4         
  
•  3+3=6 
  
•  6+6=12                             
  
•  2+3=5
  
•  2+6=8
  
• 3+6=9             

Задача   Симеон  направил  фигура  с помощта на 7  правоъгълни плочки  от  вида

 Той   поставил една до друга плочките така,  че да се допират страни с еднакви  числа.Числата са естествени или числото нула.

 Сборът от числата  на   получената фигура   е   равен  на      39   (виж картинката). Кои числа  са  били  на мястото, означено  с   въпросителни  знаци?Опишете всички възможни числа?По колко  различни начина може да се  подреди доминото ?

Упътване.Ако числата които търсим имат сбор,  примерно 6,то всички възможни начини за това са : 6=  1+5 =   2+4  =  3+3 = 0+6 , четири   двойки възможни числа  . Всяка  двойка числа  може да си  разменя местата  при подреждане на доминото
.

Задача   Слагаме  три  зара   един върху  друг  ,  за да  направим  кула ,но го  правим  така,че стените  които се  допират  ,да  имат еднакви  числа.Една от кулите  която посочваме тук  ,може да се направи  ,другата не .    Известно е ,че  сборът от точките  върху  всеки две  срещуположни стени   на  зарчето  е 7.                                     

Коя е невъзможна за постигане кула?

Решение   От условието всички срещуположни стени имат  сума  7   следва,че   противоположните стени на зара са :

1 и 6   или  2 и 5   или  3 и 4.Това са и всички възможности за  получаване на сума 7 от числата 1,2,3,4,5 и 6 .

  Следователно ако  допираме  едно с едно ,то ще трябва да  допираме и шест с  шест .Разглеждаме всички  случаи на   образуване на кулите по това правило. 

• Нека   нареждаме  едно  с едно ,съответно шест с шест .Не е възможно да построим втората  кула  защото  ,тя има страничен зар  единица.(В този случай и трите единици и шестици  са долепени  едни върху други)  
  
•  Нека   долепяме 2 с 2 ,съответно 5 с 5.Не можем да построим  нито една от кулите.  
• Нека долепяме   3 с 3 , съответно 4 с 4.Отново няма да можем да построим  нито
  

една от кулите .

  Показахме ,че от всички  възможни случаи  на долепване  е  възможно да построим само  първата  кула.Невъзможна за построяване във всички случаи е  втората кула .

Задача.На  чертежа  са дадени  три  зарчета  залепени  едно над друго .Сборът  от  точките  на  всеки две  залепени  стени  е  5.На предната стена на долното  зарче има    една точка. Останалите стени   са замацани и точките не се виждат.Колко са  точките на   горната стена на най-горното зарче ,означено   с   Х,   ако сборът от точките  на всеки две срещуположни   стени на всяко от зарчетата е 7? (без залепените)

         А)2             В)3         С)4           D)5          Е)6

(МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ "ЕВРОПЕЙСКО КЕНГУРУ")

Решение  От това,че всички незалепени стени на зарчетата имат сума 7 ,то срещу едно на първия зар  стои цифрата 6. От останалите стени на първото зарче  2,3,4 и 5 ,сума 7  можем да образуваме  по два начина  2+5  или  3+4 .

Нека  другите две незалепени стени  са  2 и 5.Тогава залепената стена на първото квадратче  е  3 или 4 .Ако първата залепена стена е 3  ,то тя  е залепена с 2 ,тя е залепена с три и така нататък.

В този случай ще получим  четири стени които  имат точки 2 ,което е невъзможно.

Аналогични са разсъжденията ,ако първата залепена стена е 4.Ще ни трябват четири единици  ,което е невъзможно.

Остава възможността  страничните  стени да са   3 и 4.

    Точно една е възможността за залепената   стена на първото зарче и тя е 2.

Тогава  на мястото на  Х   ще стои  стена с  2 точки.

Задача .   Стрелец  изстрелял три стрели по мишената, показана на

чертежа. Той уцелил при трите изстрела и получил съответни точки

съгласно показаните числа в различните мишени. Колко различни

резултата могат да се получат след сумиране на точките?

A) 13              B) 17           C) 19             D) 20                   E) 21

(Математическо състезание „Европейско кенгуру”)

 Упътване Разгледайте всички възможни попадения и съответните сборове 

ЗадачаРалица направила четири еднакви кубчета с номерирани стени..Стените на всички кубчета са номеририни ,като двойки с номера (1,2),(6,4) и (3,5),като всяка двойка са срещуположни стени .

След това тя ги залепила така,че да получи правоъгълен паралелепипед с измерения 4 cm,4cm,1cm , като залепвала само стени с еднакви номера .Накрая Ралица събрала числата по повърхността на получения паралелепипед .Кой е максималният сбор ,който може да получи тя?

A) 66 B) 68 C)72 D) 74 E)76

(Математическо състезание „Европейско кенгуру“)

Решение

Стените на всички кубчета са номеририни ,като двойки с номера (1,2),(6,4) и (3,5)

За да получи Ралица максимална сума ,то тя трябва да залепи кубчетата , по стените които са номерирани с най-малките числа .

Нека залепи двойка кубчета със стените номерирани с единица .Тогава числото две е записоно в срещуположната стена . За да получи най -голям сбор е необходимо и другата двойка от кубчета да са залепени със стени номерирани с единица .

При залепването на двете двойки залепени кубчета ,за да получи максимална сума , Ралица трябва да залепва стени номерирани с числото три. По този начин на залепване тя ще получи максимална сума и тя е :

4(1+2+3+4+5+6) - 4.1+4.3 = (4.6.7):2 -16=84-16= 68

Задача    Тяло  е получено  чрез залепване на  три  еднакви  зара  едно   над друго ,така ,че  всеки  две  залепени стени  са  с  еднакъв  брой точки .

     Известно е ,че  сборът от точките  върху  всеки две  срещуположни стени   на заровете  е 7 . Кое  от  посочените   по долу тела е получено по този начин ?

Телата са погледнати отстрани.

( международно състезание „Европейско Кенгуру”2011),                        

A)   1                  B)2                      C)  3                    D) 4                  E) 5    

Задача  На стените на куб са написани числата  3,4,5,6,7 и 8 Кубчето е хвърлено 2 пъти. Първият път сборът от числата на  страничните стени е 20,а вторият път сборът  от числата на страничните стени е 25.Кое число е написано на стената, която лежи срещу стената ,на която е написано числото 6?

(Математическо състезание  Академик „Кирил Попов” ,Шумен ,Отборно състезание)

Решение   Знаем сборът от четирите странични стени,следователно можем да определим  сборът на  останалите две стени,  на едната от които е паднал  кубът.

За първото хвърляне  (3+4+5+6+7+8)- 20=13

За второто хвърляне  (3+4+5+6+7+8) -  25=8

Сбор 13 от две числа  можем да получим  по следните начини 13=6+7=5+8

Сбор  8 =3+5

 Следователно само  при  първото хвърляне  получаваме точно един случай в който една от стените е 6 .Търсеното число е 7 .