Неопределени диофантови уравнения .Задачи за ученици след 6. и 7. клас

 Науката алгебра  изучава  неопределените   уравнения  . Това са уравнения с повече  от едно неизвестно .Ние ще разгледаме само  уравнения,  на  които коефициентите и решенията са цели числа . Класическата теория на числата изучава тези  уравнения, които  обикновено са трудни ,защото за решаването им  се използват различни методи, основани на аритметиката      

Под решение на  неопределено  уравнение  ще разбираме  съвкупността  от ония значения на неизвестните ,за които уравнението  се превръща във вярно числово равенство 

Ако решението на дадено уравнение се търси не като произволно число, а като цяло число , и ако уравнението е с цели или рационални  коефициенти, то се нарича Диофантово 

Прост пример е линейното диофантово уравнение с две неизвестни a.x + b.y = c.С методите на аритметиката  ще  намерим  и опишем  всичките му  решения .

• Пример 1 .От теорията на числата знаем,че :Числата a и b  са взаимно прости , тогава и само тогава когато  съществуват цели числа x и y, такива, че  ax+ by= 1 .Това    е линейно диофантово уравнение от първа степен  с две неизвестни                   

С него се свързва и откриването на Питагоровата теорема,свързваща квадратите на страните на правоъгълен триъгълник .

• Пример 3 .Последната теорема   на Ферма : Уравнението  x ⁿ  + y ⁿ= z ⁿ   няма решение в цели положителни числа при n>2 .
  

Основните въпроси, от които ще  се интересуваме  при решаване  на конкретно  диофантово уравнение, са:

1.Съществува ли  поне едно решение на разглежданото уравнение .

2.Крайно или безкрайно много са решенията му .

3.Възможно ли е  всички решения да бъдат описани  и  намерени 

Решаване   на  уравнението    ax +  by = c ,  където  a, b ,  c  , x и  y  са  цели числа   

Пример 1 : Уравнението    20 x + 10y =77     няма решение в цели числа , защото  10/20 x  и 10 / 10y , но  10 не  дели  77

Задача:Кои  от посочените уравнения имат   решение  в цели числа

a)    8x + 16y = 2       b) 13.x + 26.y = 169         c) 7x +  14y = 13        d ) 8x +  6y = 8         е)5x + 3y =  1 

Проверка :                                                                                                                       

a) НОД(8, 16)=8 , но  8  не дели 2 , тогава уравнението няма решение в цели числа

b) НОД(13, 26)=13 .От това ,че 13 /169 то , уравнението има  решения в цели числа

c) НОД (7, 14) =7   , но   7   не   дели  13 , тогава уравнението няма решение в цели числа

d) НОД (8, 6) =2   От   това , че 2 дели  8  следва ,че   уравнението има  решения в цели числа

 e ) НОД (5, 3) =1   От   това , че 1 дели  1  следва ,че   уравнението има  решения в цели числа

Получихме,че уравненията  13.x + 26.y = 169  ,    8x +  6y = 8   и  5x + 3y =  1   имат решения в цели числа ,защото  най-големият общ делител на коефициентите пред неизвестните   x  и y   дели свободният член  .

Ако двете страни  на  всяко от първите  две  уравнения   разделим на НОД  на коефициентите пред неизвестните  x и  y , получаваме  еквивалентни уравнения , на които коефициентите пред неизвестните са взаимно-прости числа .

Това са уравненията  : x + 2.y = 13  ,    4x +  3y = 4      

Знаем,че тези уравнения имат решения .Остава да ги намерим и опишем .

Задача   Намерете всички решения на уравнението : x + 2y = 13 

 Отговор :( 13 -2k,k)

Задача   Намерете всички решения на уравнението : 4x + 3y = 4 

Решение В този  случай  нямаме неизвестно с коефициент единица .Решенията на уравнението ще намерим по метода на Ойлер със следният алгоритъм

1.От това ,че І3І < І4І  ,то   3.y = 4- 4x  

2.Записваме уравнението във вида : 3.y = 3- 3x  +1-x

3.Определяме едното неизвестно   y = 1 - x  +(1-x):3  

 y цяло число  тогава и само тогава  когато  3  е делител на  (1-x) .Следователно съществува цяло число  k , такова,че   1-x =3k ,

4.Тогава  x =1 - 3k  и след заместване  в  y = 1 - x  +(1-x):3 , получаваме ,че  y = 1 + 3k  +k =1 + 4k  

5.Проверка ,че x =1 - 3k   и  y  =1 + 4k  е решение на даденото уравнение  4x + 3.y = 4 . 

След заместване    получаваме  вярно числово равенство   4(1 - 3k)    + 3.( 1 + 4k ) = 4  , така е 4=4

6.Тогава  всички решения са (1 - 3k,  1 + 4k  ) .За всяка конкретна стойност на k  ,ще получаваме  точно едно решение на линейното диофантово уравнение  

В някои от задачите ,този алгоритъм   ще прилагаме няколко пъти  .Да разгледаме следната  задача . 

Задача   Намерете всички целочислени  решения на уравнението : 15x + 32y = 13

1. 15x  = 13- 32y = 15 – 30y  -2  -2y

2.  x = 1 – 2y  - (2  +2y):15

3. (2  +2y):15 =k , откъдето  получаваме ново  уравнение  2  +2y  =15 k

4.  От  2  +2y  =15 k    получаваме    2y  =15 k -2 = 14k -2 +k   , откъдето  y=7k -1 +k:2 

5.Правим ново полагане и получаваме    k:2  =  t или   k  = 2 t  и заместваме в y=7.2t -1 +2t:2 =15t -1 

6. За  x  получаваме  x  = 1 – 2(15t -1)  - {2  +2(15t -1)}:15=3-32t

7.След проверка в даденото уравнение , следва , че   всички решения в цели числа  са : (3-32t , 15t -1 )

Задача  Решете самостоятелно уравненията :

a) 2x   - 5y = 23

b)3x  +9y = 5

c)11x - y  =1 

d)5 x+ 3y=  9

e)7x +8y= 15

Задача :Докажете ,че  ако  числата x₀  и  y₀  са  решения  на уравнението ax + by = c   , то  и   x=x₀+bk  и   y= y₀ – ak , където k е произволно  цяло число са  решения  на уравнението

Доказателство 

  Заместване в  ax + by = a( x₀+bk) + b (y₀ – ak) и получаваме ,че ax + by= ax₀+ by₀ .От това,че  x₀  и  y₀ са  решения  на уравнението, то следва ,че ax+ by  = c .

Друг алгоритъм за решаване на  уравнението  ax + by = c  ще получим  от   следната теорема .

Теорема  Ако целите числа  x₀  , y₀ са решения на уравнението ax +by= c   , където  a ,b и c са цели числа , различни от нула и  ( a, b)=1, то  числата   x=x₀+bk  и   y= y₀ – ak , Където  k  е произволно   цяло  число, са всички  решения на  това  уравнение   в цели  числа

От  теоремата  следва ,че ако сме намерили едно произволно решение ,което наричаме начално , то  всички решения се получават с формулата x=x₀+bk и y= y₀ – ak

Обикновено началното решение  , се търси с налучкване или от уравнението   ax+by=1 (когато a  и  b  са взаимно прости , ако не са съкращаваме на най-големият общ  делител)

Задача Намерете целите решения на уравнението 15 x  + 9 y   =  27.

От това ,че НОД(15 , 9)=3 , то уравнението има решение  и  е еквивалентно на  5 x  + 3 y   =  9

Търсим частно(начално )  решение на уравнението 5 x  + 3 y   =  1

x ₀= 2    и   y₀= -3  е  едно такова решение

Тогава общото решение е  x=2 .9+3t      и         y= -3.9 -  5t  

В общият случай когато търсим  всички решения  с начално решение  работим със следният алгоритъм :

1. Намираме d = НОД(a,b).  

2. Ако d не дели c, то уравнението  няма решение .

3. Ако d/c, съкращаваме коефициентите в уравнението  с  d

 и получаваме уравнение с взаимно прости  коефициенти  -a₁, b₁, c₁.

4. Намираме x и y, такива че a₁x+b₁y=1

5. Умножаваме x и y на c и намираме частно решение x₀

, y₀ .

 6. Общото решение тогава има вида: x = x₀ +k.b, y = y₀ –k.a

Задача  Решете   уравнението : 2x + y = 1  по двата начина :по метода на  Ойлер или с начално решение

Решение 

1)От  y = 1- 2x  , то следва ,че всички решения са   x =s , y = 1-2s 

2)От това ,че x  = 1  и  y=-1  са решения ,то всички решения са x =1 +k , y = - 1-2k

Ако началното решение  е  x  = 0  и  y=1 , то ще получим първата  зависимост . 

  На чертежа решението  x =1 , y=-1    на  диофантовото уравнение   2x + y = 1 е изобразено с   точка  от  правата  y =1 -2x 

Задача  Намерете най-голямото  c , за което :уравнението  7x +9y = c  има  точно  6 цели положителни решения 

 В следващите задачи ще решаваме  неопределени уравнения чрез разлагане на множители .

Неопределени уравнения в цели числа с цели коефициенти  от вида ax + by + cxy = d, решаваме чрез преобразуване в произведение.Ако коефициентите са рационални числа ,то след привеждане под общ знаменател ,получаваме уравнение с цели коефициенти . 

Задача Намерете  всички правоъгълници , чиито размери са естествени числа , и  числото  което е  утроеното му  лице  е с 21 по –голямо от числото което е половината му обиколка .

Упътване :Ако размерите са  a и  b  ,  то задачата се свежда до решаване на уравнението   

3ab= a +b +21 

Решаване  на уравнения от вида   y² = ax² + bx + c

Задача   Разликата от квадратите на две естествени  числа  е  105  .Ако разликата на числата  е  най-малка , числата са :

                     А) 52  и 53 B) 11 и 4   C) 19 и 16   D) друг отговор

                                                Решение

Ако означим числата  с    x  и  y ,то е вярно,че  x² - y²  =105

Следователно  (x – y).(x +y)=105 ,  и   x + y >x -y

                   От това,че  105 =1.105 или 3.35 или 5.21или 7.15

                                    тогава  x -y  е 1,3,5 и 7

                    а,  x + y  е съответно 105,35,21 и 15

    Следователно  2x  е 106,38,26 и 22 , а  x  е 53,19,13 и 11

                         а, съответно  за   y  намираме  52,16,   8 и 4 

                   Разликата  е  най-малка ,при x  =53  и  y = 52

Задача   Намерете всички  естествени числа ,разликата  от квадратите на които   е  69  .

Задача  Намерете  всички естествени числа   n   ,за  които числото  4 n² -35   е  квадрат на просто число .

                                                     Решение

Нека  p е  просто число ,за което    4 n² -35=p²

Тогава  (2n – p).(2n +p)=35,като 35=1.35=5.7

От това,че  2n +p >2n – p,  то   2n – p  е    1 и  5

                                              а,    2n +p  е  35  и 7

откъдето 4n  e  36 или  12 , а n  е 9 или  3

за  числото  p получаваме  съответно  17 и 29 ,които са прости числа

                                        Отговор:  3 и 9

Задача  Решете  в   цели числа  уравнението  2 x² +5xy-12y²=28

Упътване :Разложете на прости множители .

Задача Намерете x + y  ,ако  x и  y   са естествени числа , за които   y ²= x² +6x +37 

Решение  

От това ,че  y ²= x² +6x + 9 + 28 , следва ,че    y ²–( x+3)² =  28 , така е

(y  – x -  3)( y  + x + 3)= 2².7  

От това , че лявата страна е  четно число , то  и   (y  – x -  3)( y  + x + 3) е четно число .Ако числата   y  – x -  3   и   y  + x + 3  са от различна четност , то следва ,че y  – x  и  y  + x са  от различна четност ,което е невъзможно .Следователно  числата   y  – x -  3   и   y  + x + 3  са четни .Това е възможно ,само ако  y  – x -  3   = 2 , а   y  + x + 3 =14   .Тогава  намираме ,че x= 3  , а   y= 8    , x + y  =11 

Задача  Намерете  всички  двойки  (x; y) от цели числа, за  които x2  = y2  + 2y +13  

Задача Броят на двойките (x; y) от цели числа, за  които

y²- x ² =100²

Задача   Решете  в   цели числа  уравнението :

 1:x+1:y =1:p  , където числата  x  и y  са  различни от нула ,а p е просто число.                                                

Упътване :Даденото уравнение преобразувайте  като произведение                    

  x . y = p.(x  +   y ) => x . y - p.x  - p.y + p² =p²      =>  ( x-p).(y -p) =p²  

  p  е просто число , и p² има точно  6 делителя  ±1 , ±p  ,±   p²

В следващите задачи за решаване на дадено уравнение ще използваме основни понятия от делимост на  числата .

Задача   Решете  в   цели числа  уравнението :

2xy +3y²=24

Решение

От условието  следва,че   2/ 3y²   ,но (2,3)=1, =>                                                                                                                   2/ y²   , но 2  е просто число  => 2/y =>

Тогава  y  е четен делител на 24 ,така е  y е :

 ±2 ,±4 , ± 6,±8, ±12 , и  ±24

След заместване получаваме следните  решения :.

(3,2),(-3,-2),(-3,4),(3 , -4), (-7,6),(7,-6) , (-17,12),(17,-12)

Задача   Докажете че,не съществуват  цели  числа  x и  y   за които 

19x² -65y²=1965

Решение

Записваме уравнението във вида    x²+y²  +1 =4(5x² -16y²  -491)

Следователно  4  е делител на  x² +y²  +1

Ще покажем,че това е невъзможно.  

Квадратът на всяко цяло  число при деление  с  4 ,има остатък 0 или 1 ,  в зависимост от това дали числото  е  четно или нечетно  .

        Ако е  четно число  ,то (2k)²    =4 k²    и остатъкът от деление с  4 е нула .

        Ако е нечетно число ,то (2k+1)²  =4 k²  +4 k+ 1 ,то  остатъкът от деление с  4 едно.                                                                                 

 Следователно   x² +y²  +1 не се дели на 4 и даденото уравнение няма решение в цели числа .

Задача Докажете че, уравнението   

x² -3y=17 няма решение в цели  числа .

Решение

Ако  3/ x  ,то  3/x² -3y  ,така е 3 е делител  на   17 ,което е невъзможно .

Тогава остатъците от деление на  x  с 3 са 1 или 2  .                                                       

 Тогава  числото   x  e  от  вида : x = 3k ±1                                                                                                                                       Заместваме  в даденото уравнение  и получаваме

9 k²   ±6 k+ 1 -3y=17 или  3(3 k²   ±2 k -y)=16

което е   невъзможно , защото 16 не се дели на 3

Задача Докажете че, уравнението   

x² +4x-8y=11 няма решение в цели  числа .

Задача .Докажете ,че не съществуват    двуцифрени числа ,които са равни на сумата от кубовете на цифрите си ?

 Решение

Задачата  свеждаме  до решаване на неопределено уравнение

10x +y = x³ +y³ ,където 1 < x <  9  и 0  <  y  <  9

Преобразуваме уравнението     x ( 10-x² )=(y -1)y (y +1)                                                                                                      Очевидно   y  е  различно   от  1 или 0

(1)От това,че дясната страна е положително число ,следва че 10-x² >0 Това е вярно ако  x  е  1 , 2  и  3

(2)Дясната страна е произведение от три последователни числа

Ако    x  =1,  то  (y -1)y (y +1) =9                                           

Ако    x  =2,  то  (y -1)y (y +1) =12   

Ако    x  =3,  то  (y -1)y (y +1) =3   

 И в трите случая,не съществуват  числа  y, за които произведението  от  три последователни  числа   да са съответно    9,12 или 3

Задача .Да  се намерят две последователни трицифрени числа със следното свойство :Всяко от числата е равно на сумата от кубовете на  цифрите си .

                                  Отговор : 370 и 371

Задача .Да  се намерят всички  двуцифрени числа, които се делят на произведението от цифрите си .

 Упътване :Сведете задачата до неопределеното уравнение  10a+ b =k.a.b   

Задача Докажете че, уравнението   

3x²+2=y²  няма решение в цели  числа .

                        Решение

Ако  y = 3k ,то следва,че 3 е делител на 2 ,което е невъзможно

Ако y = 3k ±1,тогава  3x²+2=(3k ±1)²     =>   3x²  =9k²  ±6k +1-2 ,което отново е невъзможно .

Задача:Решете  в   цели числа  уравненията :

a)  16x² -15y²=367

b)   5x² -7y²=9

Приложение на неравенствата за решаване на неопределени диофантови  уравнения 

Задача  Да се намерят всички цели положителни  числа   x  ,  y  и  z  ,за  които :

Задача  Намерете  в цели числа решенията на уравнението  9y ²+ x² =100

Решение  

Започваме решението  с ограничение   за  y  .От условието    x² =100 - 9y ²  > 0

Откъдето  следва,че   9y ²  < 100  .

·                                 Нека y> 0 . Тогава  y   < 10 :3

Тогава  y   е 1 , 2 или 3 .След заместване ,получаваме , че ако  y  = 2 ,  то   x=8  и  x= -8

·                                 Нека y  <  0  , тогава    -10: 3    < y  <  0  , така е  y е -1 , -2 или -3  . След заместване ,получаваме , че ако  y  = - 2  ,то  x=8  и  x= -8

Окончателно получаваме решенията  (8 ,2 )  ( -8 , -2 )  (8,-2   )  ( -8,2   )

Задача  Намерете  в естествени  числа решенията на уравнението  10y ²+ x² =2011

Задача  Да се решат в цели числа  уравнениeто

 x + y   =  x² + y² -  x. y

Задача   Докажете че, уравнението   

3x (x-3y)=y² +n² няма решение в цели  числа ,различни от x =y =n =0.

                                                 Решение                                        

Нека   допуснем,че съществуват числа  x ,y  и  n  които , са решение на  даденото уравнение 

                                          Нека (x ,y , n )=1

От това,че  3/y² +n²   ,то   3/y   и 3/n=>y = 3k   и  n = 3s  тогава 9/3x (x-3y),тогава  3/x  или  3/x-3y ,като извода е ,че 3/x и  следователно числата   x, y , и n  имат общ  делител  ,което е противоречие  с  това,че 

са взаимно прости.

    Следователно уравнението няма решение във взаимно прости числа.

                                          Нека (x ,y , n )=d

Тогава  x=dx₁   ,y =dy₁,   и   n =dn₁   ,където  (x₁    ,y₁, n₁  )=1

След заместване  и съкращаване  получаваме ,че числата  x₁    ,y₁ и  n₁   са

решение на  уравнението 3x₁ (x₁-3y₁)=y₁²+n₁²

За това уравнение ,като приложим  горните разсъждения  стигаме ,до извода,че  числата                                                                                              x ₁   ,y₁  и  n₁  имат общ делител .

  Следователно и в двата случая стигаме до противоречие с  допускането,че съществува решение   различно от  x =y =n =0.

 Задача   Докажете че, уравнението   

x³ -2y³ - 4n³  = 0 няма решение в цели  числа ,различни  от   x =y =n =0.

                                               Решение

От това,че всички неизвестни са от една и съща степен  е достатъчно да    допуснем,че съществуват числа  x ,y  и  n  които , са решение на  даденото уравнение  и които  са взаимно прости .

                                          Нека   (x ,y , n )=1

От  x³ -2y³ - 4n³  = 0  ,следва,че 2/x³  ,но 2 е просто число  =>2/ x =>x=2x₁  

Заместваме в уравнението и след съкращаване получаваме,че уравнението

                                 4x³₁ -y³ - 2n³  = 0

Следователно, 2 /y³  и от 2 просто число =>2/ y   ,тогава  y=2y₁   ,заместваме в предходното уравнение  и след съкращаване  получаваме 

                                 2x³₁ -4y³₁ - n³  = 0

От полученото равенство ,следва,че 2/n  и следователно 2 е общ делител на       

                                                                                       x ,y  и  n

По този начин  стигнахме,до противоречие ,че с условието,че (x ,y , n )=1 Следователно  уравнението няма решение в цели числа , различно от x =y =n =0.

 Задача   Докажете че, уравнението   x³ -2y³ +4n³  -6x .y .n  = 0   няма решение в цели  числа ,  различни  от   x =y =n =0.

Задача   Решете  уравнението   x⁶ +3x³ +1=y⁴ 

1.)  m³ + 23 =  n ²                         (11;12), (-11;-12)

                                                         (-11;12), (11;-12)

2.) m² - 48 =  n²                            (24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)

3.) x (y ² +1)= 48                        (48;0), (24;1), (24;-1)

4)y= 0,5x                                     x = 2m; y = m, m  е цяло число

 5 ) y = 2x – 1                              x = k: y = 2k – 1, k  е цяло число

6)  x²  = 16 y ²                             x = 4m; y = m; x = 4m; y = -m, m е цяло число

7) x²  = 5 y ²                                Няма решение

  Задача  Решете   в цели числа  следните уравнения :

1.(y-x)(1-x )= 4                                            (-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)

2.(x - 3)(xy + 5) = 5                                      (-2;3), (2;-5), (4;0)

3.(y + 1)(xy – 1)=3                                       (0;-4), (1;-2), (1;2)

4.x2  = 2 x y +3 y 2 + 5                                (-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)

5.x2  = 10 x - y 2 -25                                     (5;0)

6.x2  =  4 x -  y 2 - 2y - 5                              (2;-1)

7.x2  +  5 y 2 +  4 x y + 2y   =  - 1                (2; -1)

Задача   Да се  намерят  всички   цели  положителни решения  на    уравнението :

3^y =2^x+5

                                          Решение

Очевидно , x  =2  и  y = 2  е  решения на уравнението  , а   x  =1 и y =1 не .

                                      Нека  x  >2 и y >2

                                          Нека y = 2k =>                                                                                                                                 От това,че  8/3² -1 ,то  8/3^2k -1 ,и  тогава остатъкът от делението на   8 с 3^y   е  единица .

 От това,че за  x >2  и 8/ 2^x => остатъкът от делението на   8 с 2^x+5 е 5 ,така е другата страна                                                                                има остатък 5 при деление с 8 .

            Следователно в този случай уравнението няма решение .

                                         Нека y = 2k +1=>

  От това,че  8/3^2k -1  и  8/3-3 , то 3.3^2k  ще има остатък  1.3,така е 3 при деление с  8, а  другата страна винаги има остатък  5  при деление с 8

             Следователно  и  в  този случай уравнението няма решение .

Задача   Да се  реши в   цели  положителни  числа    уравнението :

                                         2^x -  1 =7y

От това,че   7/2³ -1   , разглеждаме    x  в зависимост от остатъците ,които има при деление с 3

                                          Нека    x = 3k

Тогава 7/2^3k -1   и  остатъкът от деление  на  2^x-  1   е 1-1= 0 ,но и  7/7y

Следователно  уравнението   има безбройно много решения от вида 

                                           x = 3k  и  y=(2^3k -1)/7  

                                          Нека  x = 3k + 1

Тогава от това,че 7/2^3k -1    и  7/ 2 – 2 , то остатъкът  от деление на  2. 2^3k   -1 , със  7  е  1.2 =2                                                    Тогава в  случай уравнението  няма  решение 

                                           Нека  x = 3k + 2

Тогава от това,че 7/2^3k -1    и   7/ 2² – 2^2 2 , то остатъкът от деление  със  7 е 1.4 =4 . Тогава  и  в  случай уравнението  няма  решение 

  Отговор: Уравнението   има безбройно много решения от вида 

                                           x = 3k  и  y=(2^3k -1)/7 

Задача   Да се  реши в     цели  положителни  числа    уравнението :

                                         14^x +1991 =3^y

                                             Решение

Ще докажем ,че при   x  >3 , уравнението няма решение .

8/14^x   и  остатъкът  при деление  с  8  на  14^x +1991  е 0+ 7 =7

                     Да разгледаме другата страна на уравнението  3^y

Ако y =2 k , то  от това, че  8 / 3² -1 то 8 / 3^2y -1  остатъкът  е 1 (различен от 7)

Ако y =2 k +1  ,то от това,че  8/3-3 то 3.3^2k има остатък  1.3=3 (различен от 7)

        Следователно,ако съществува решение ,то  x  е 1,2 или 3

Отговор x =2 , y=7

Задача   Да се  реши в  естествени   числа    уравнението :

                                         3^x - 2^y =1

Задача Докажете , че уравнението   n³-2n² -7n -  4 = 3y  няма решение в естествени числа .

 Решение

Допускаме ,че уравнението има решение в естествени числа .Дясната страна е произведение от тройки  , тогава и лявата страна е  произведения от тройки   или единици .Затова разлагаме n³-2n² -7n -  4   на прости множители

От това ,че  при   n= 4 , то n³-2n² -7n -  4  = 0 , то  разлагането можем да извършим по схемата  на Хорнер( Прочети за това от връзката посочена след задачата )Получаваме ,че     n³-2n² -7n -  4   = (n+1)²(n-4)

Тогава  еквивалентното уравнение  (n+1)²(n-4) =3^y  според допускането има решение

Ако n < 3 , то 3^y<0

Ако n = 4  , то 3^y е равно на  нула .

Ако n = 5  , то 3^y=6² , което не е  точна  степен на 3

Нека  n   > 6  

Тогава всеки един от множителите (n+1)²  и  (n-4)   е  по-голям от едно и е степен на  числото 3 .От това,че   (n+1)²   >  (n-4)   за всяко n , то ,ако (n-4)   =3^m ,а  (n+1)²   =3^s, то m < s

Тогава     (n+1)²   =3^m+t =(n-4). 3^t , така е  n² +2n +1=  (n-4). 3^t .Следователно n -4 дели n² +2n +1 .От това ,че  n² +2n +1=(n +6)  + 25: (n-4).) , следва ,че  n-4  е делител на 25 .Тогава    n-4  = 1 ,   n-4  = 5  или   n-4  = 2 5   От . n > 6   , следва ,че n  = 9 или   n  = 2 9     

Ако  n  = 9   ,то (9+1)²(9-4) =3^y , то няма решение

Ако  n  = 29   ,то (29+1)²(29-4) =3^y , то няма решение

Следователно  достигнахме до противоречие с  допускането ,че съществува решение 

Задача Да се реши  в цели неотрицателни  числа уравнението: n⁵+3n + 4 =2^y

(Национална олимпиада по математика ,Областен кръг -17 април 2010 година )

Решение

Дясната страна е произведение от двойки , тогава и лявата страна трябва да представим като произведения от двоики или единици .Затова разлагаме n⁵+3n +  4  на  множители

От това ,че ако n= -1 , то n⁵+3n +  4  = 0 , то  разлагането можем да извършим по схемата  на Хорнер

От това ,следва че    n⁵+3n +  4 = (n+1)( n⁴- n³+n²– n + 4)

Понеже търсим решенията на уравнението (n+1)( n⁴- n³+n²– n + 4) =2^y

 и всеки един от множителите е по-голям от едно , тогава всеки един е степен на числото 2                                                           

От това ,че (n+1) < ( n⁴- n³+n²– n + 4)  за всяко n  , то  ако  n+1 = 2^m    , n⁴- n³+n²– n + 4 = 2^k  ,то    m <  k  Тогава  k =m+s , откъдето следва ,че :

n⁴- n³+n²– n + 4 = 2^k =2^m+s   =(n+1)2^s

Това е възможно само ако n+1  е делител на 4 , така е n+1   е 1,2 или 4

Ако n+1 =1  , то y=2 

Ако n+1 =2  , то y=3   

Ако n+1 =4  , то     3⁵+3.3 +  4 =256=2⁸   ,  то  y=8

Задача 1 .

Задачата да се намерят всички питагорови тройки ,които са решение на уравнението   x²  + y²  =  z²  е  основна задача  от теорията на диофантовите уравнения .Решенията в цели чсла са безбройно много .

Пример :Знаем ,че тройката числа   3, 4   и  5   са решение на уравнението .След заместване в уравнението   x²  + y²  =  z²  получаваме ,че   тройката числа   x =3k  ,  y =4k  и   z =5k  ,  където  k е произволно цяло число  са също решения на даденото уравнение .

Теорема   Всички   решения на уравнението  x²  + y²  =  z²   са :

x  = m (u²   -  v²)

y  = 2uvm

z  =m (u² + v²)

където  (u, v)=1 , а  m е произволно цяло число 

.