Логически задачи с математически модел: "Принцип на включването и изключването"

Задача  Деца  играят  с топки ,въжета и обръчи,като всяко играе само с един уред.Три деца не играят с  топки  и въжета,6 деца не играят с обръчи и топки ,а 7 деца  не играят с въжета и обръчи? 

Колко  са всичките деца?

А) 12                  B) 13                C) 16                     D)15

(Великденско математическо състезание)

Решение

От това,че всеки играе само с един уред  правим изводите,че :

• 3 деца играят с  обръчи
• 6 деца играят с въжета
• 7  деца играят с топки

 Следователно децата  са 16

Задача  На един площад има 100 души, като 50 от тях са българи, 60 са мъже, а 91 са   вегетарианци. 

Колко най-малко от хората на площада са едновременно българи, мъже и   вегетарианци?

A) 1   B) 10    C) 41    D) 50    E) 51

(Математическо състезание „Европейско кенгуру „)

                                                                                Решение

• От това,че  на площада са 100 ,а   50 +60+91  >100,ще има  души  които са  едновременно 
  

българи ,мъже и вегетарианци .

• Тъй-като вегетарианците са  точно  91 ,то хората които  са едновременно мъже,вегетарианци  и     българи   са по-малко 10 .  Те могат да са :  1,2,3,4,5,6,7,8  и  9                                         
• Верен отговор A)

Задача  Тридесет деца от един летен лагер участвали в различни занимания. Петнадесет от тях  изработвали картички, а двадесет  рисували на тема „Нарисувай математиката!”.Колко деца са  взели участие и в двете занимания?

A)   25 B) 15 C) 30 D) 10 E) 5

                          (Математическо състезание „Европейско кенгуру”)

                                           Отговор  E)

Задача   В една  група от ученици  точно 5 обичат  ябълки,точно пет обичат круши,двама от тях  обичат ябълки ,но не и круши и двама от тях обичат круши но ,не и ябълки.Ако е известно,че две деца не обичат нито круши,нито ябълки ,то от колко ученици  е   групата?

Решение По-лесно ще намерим решението,ако нанесем данните в таблица.

Търсим броя на учениците по два признака  и затова чертаем таблица с два реда и неизвестен брой колони.Най напред ще попълним броя на децата обичащи само ябълки,после броя на децата обичащи само круши .След това броя на децата които не обичат,нито круши ,нито ябълки. В  празните  клетки  попълваме до пет децата  които съответно обичат ябълки и круши . Попълнените  колони са  9 ,следователно и децата в групата са девет.

Задача В един клас има 20 души. Осем от тях имат братя, десет имат сестри, а 6 нямат нито братя, нито сестри.Колко от децата имат и брат и сестра ?

А) 4   B) 10   C) 12  D) друг отговор

Отговор A)

Решение

Първи начин

За по лесна проверка попълваме табличката

(1)   Шест нямат  нито братя нито сестра(със знак „ –„ )

(2)   Точно  осем имат  братя със знак „+”

(3)   Допълване на първи ред до 20 със знак „-„ децата, които нямат други  братя

(4)   Нанасяме  със знак  „+” децата които имат 10  сестри 

(5)   Правим извода,че  4 от децата имат и братя и сестри

Втори начин 

20-6 = 14  деца    имат   братя   и  сестри

8 имат братя,а 10  имат сестри

Точно четири  ще имат  и  братя и сестри 

Задача В ІV а клас учат 26 ученици. Всяко момиче от паралелката има три големи и две малки тетрадки, а всяко момче има четири малки и една голяма тетрадки. Колко тетрадки общо имат учениците от тази паралелка?

(Прием  в  Математическа  гимназия,  Русе)

Задача В един клас  на  олимпиада по математика и  информатика участвали по 10 деца.Пет от тях  не участвали в олимпиадите, 2 участвали   само в олимпиадата по математика,2 само  в олимпиадата по информатика. Колко от тях са се явили и на двете олимпиади?

А) 8                                 B)10                                    C)6               D)друг отговор                 

Отговор.А)

Задача  Едно семейство има  много деца.Седем от тях обичат зеле,шест - моркови ,пет обичат грах ,четири –моркови и зеле,три- зеле и грах ,две моркови и грах ,и едно дете обича зеле,моркови и грах.Колко деца има в семейството?

А) 8                        B)10                C) 9                 D)друг отговор

Решение  Попълваме данните в таблица,като започваме с  това,че  едно дете  яде със сигорност зеле, моркови и грах.Следователно още шест ще ядат зеле и от тях 3 зеле и моркови  и  от  тях  2 зеле и грах

Останалите данни  са нанесени в  таблицата по-долу

Следователно децата в това семейство са 10.

Задача Група спортисти заминава на зимен тренировъчен лагер. В групата 28 ще тренират    биатлон, 13 – ски-спускане, 10 – бързо пързаляне с кънки, 8 – биатлон и ски-спускане, 6 – биатлон и кънки, 5 – ски-спускане и кънки, 2 – и от трите вида спорт. От колко спортиста е тази група?

Решение

• Изчисляваме сбора

28+13+10=51 представители на зимни спортове в групата. Но това не е броят на спортистите, защото 8+6+5 спортисти са преброени два пъти, а двама са включени три пъти. Следователно 8+6+5-2 спортисти са преброени точно два пъти, а 28+13+10-(8+6+5-2)=34 е точният брой на спортистите, заминали на този лагер.

Задача. На една екскурзия с посещение на музей и изложба отишли 56 ученици. В музея били 37 от тях, а изложбата разгледали 25 ученика. 18 ученика посетили и музея, и изложбата. Има ли такива, които не са посетили нито музея, нито изложбата? Ако има, колко са?

а) да, 12;                        b) не;                          c) да, 3;                      d) друг отговор.

(Коледно математическо състезание)

Упътване

37-18=19 са посетили само музея

25-18=7 са посетили само изложбата

Поне едното от тях са посетили 19+7+18=44

56-44=12 ученика не са посетили нито музея, нито изложбата

Задача :Учениците от 5 клас в едно училище получили за първия учебен  срок 43 отлични оценки по математика, 48-по български език и 44 - по английски. Известно е, че 14 ученика имат отлична оценка по математика и български език, 17 - по български  език и английски   език и 15 - по математика и английски  език, а 6 - имат и по трите предмета отлична оценка. Колко ученика имат отлична оценка.                            

(Коледно математическо състезание)

Задача  От 33 ученици,18 тренират баскетбол,17 тенис ,а четири не играят нито баскетбол ,нито тенис.Колко ученици спортуват  и  баскетбол и тенис ?

А) 2           B)5                   C)6                      D )друг отговор

 Следователно само  6  играят едновременно и баскетбол и тенис .

Задача    В един клас има 26 ученика .От тях 16 могат да управляват скейборд ,13  могат да плуват , а 5  могат и двете неща.Колко са учениците от този клас ,които не могат нито да управляват  скейборд ,нито да плуват?

А)7                       B)12                   C)8                        D)друг отговор

(Коледно математическо състезание)

Задача  В  едно  училище има 50 четвъртокласника  и  всичките  изучават български език .20 от тях  изучават и  английски език ,35 ученика  изучават и френски език ,а 10  не изучават нито един от двата  чужди езика.Колко ученика  изучават английски и френски език ?

А) 15           B)5                   C)20                      D )друг отговор

Задача  В училищен кръг  на олимпиадата по математика ,физика и химия участвували  по 50 ученици.60 се явили само на една олимпиада ,30 точно на две.

Броят на учениците явили се на всички три олимпиади е:

А)  70                             B) 20                    C) 10                    D)друг отговор

Задача Тридесет ученици решавали три задачи. Оказало се, че:

• всеки е решил поне една задача;

• десет ученици решили само по една една задача;

• първа и втора задача решили 7 ученици;

• първа и трета задача решили 9 ученици;

• втора и трета задача решили 10 ученици.

Най-много колко ученици са решили и трите задачи?

(Математически турнир „Иван Салабашев“)

                                                          Решение 

Учениците, решили поне две задачи, са 30−10 = 20. В сбора 7 + 9 + 10 = 26 са

включени 3 пъти тези, които са решили 3 задачи, затова те са (26−20) : 2 = 3.