Задачи с доказване на неравенства . Неравенство между средно аритметично,средно хармонично,средно геометрично и средно квадратично на две или три числа

Задачи с доказване на неравенства.Неравенства между средно аритметично ,средно геометрично ,средно квадратично и средно хармонично на положителни числа

Задачите в разглежданата тема са решими с учебният материал по математика за 6 и 7 клас , след темата формули за съкратено умножение .Предложените задачи са подходящи и за ученици от по -горните класове .

1.Основни понятия свързани с неравенства

За всеки две реални числа а и b , точно една от следните възможности е вярна :

а < b , а = b или а > b .

Дефиниция: Казваме, че а е по-малко от b и записваме a < b , ако намерим положително число c , такова, че a + c = b .Примери : 22> 12 , защото 12+10 =22 . -5 >-7 ,защото -7 +2 = -5

Основни свойства на числовите неравенства

Ако a < b ,то b > a
Ако a > b и b > c , то a > c
Ако a >b то , a + c > b + c (ако към двете страни на неравенството прибавим едно и също число , получаваме вярно неравенство )
Ако a >b и c>0 , то ac >b c (ако двете страни на едно неравенство , умножим или разделим с едно и също положително число , то получаваме вярно неравенство )
Ако a >b и c<0 , то ac <b c (Ако и двете страни на едно неравенство, умножим или разделим с едно и също отрицателно число , то знака на неравенството се обръща )
Ако a>0 и b>0 , то a.b >0
Ако a<0 и b>0 , то a.b <0
Ако a<0 и b<0 , то a.b >0

Действия с неравенства

Събиране на неравенства с еднакви посоки

Ако a >b и c > d то , a + c > b + d

Умножение на неравенства с еднакви посоки

a >b>0 и c >d >0 то , a. c > b. d
Ако a > b и a> 0 , b >0 то , a ⁿ > b ⁿ , където n е естествено число .
Вярно е и обратното твърдение :Ако a ⁿ > b ⁿ и a> 0 и b >0 ,то a > b , където n е естествено число .

Реципрочност на неравенства

· a>0 и 1/ a >0
· Ако 0< a < 1 то , 1/a > 1
Ако a >1 то , 1/a < 1
· Ако a > b > 0 , то 1 / a < 1 / b

Теореми за еквивалентност на неравенства:

В задачите за доказване на неравенства ще използваме следните теореми

Теорема 1: Ако в неравенство един израз се замени с еквивалентен на него израз , то получаваме неравенство ,еквивалентно на даденото

:

Теорема 2 : Ако прехвърлим число или израз от едната в другата страна на неравенството с обратен( противоположен ) знак, то се получава еквивалентно неравенство.

:

Теорема 3 : Ако умножим двете страни на неравенство с положително число или израз, който приема само положителни стойности , то получаваме неравенство еквивалентно на даденото

Теорема 4: Ако умножим двете страни на неравенство с отрицателно число или израз който приема само отрицателни стойности , то неравенството променя знака си.

:

Свойства и решаване на неравенства в училищният курс по математика

Неравенства в училищният курс по математика -основни задачи с линейни,квадратни и модулни неравенства

1

2.Доказване на неравенства .Приложение на формулите за съкратено умножение

Задача Ако a и b са рационални числа и a > 1 ; b <0 , кое от следните неравенства винаги е ВЯРНО?

a) 1 / a > - b b) a . b < 0 c) a - b >3 d) a² + b² > 1

Отговор b)

Задача Ако a и b са рационални числа и a < 1 ; b >1 , кое от следните неравенства винаги е ВЯРНО?

a) 1 / a > 1/b b) a . b < 1 c) a + b >0 d) a² + b² > 2

Отговор d)

Доказателство :От b >1 , то следва,че b2 >1 , то следва , че a² + b² > 1

Задача Кои от твърденията са винаги верни ,ако a е положително число.Докажете верността или неверността им ?

1.Ако а>5 , то 3.a > 16

2.Ако а<-1 ,то -2а > - 4

3.Ако 2а <1 ,то 1/3 a > 1

4.Ако a > 2 , то 3>1/а

Проверка верността на 1.

От a >5 ,и a>0 ,следва ,че 3a >15 , но не винаги 3a ще е по-голямо от 16

Проверка верността на 4.

Задача Докажете ,че за всяко n цяло число , то (n-1) (n-2) (n-3) (n-4) (n-5) (n-6) > 0

Доказателство:

Нека n >1 , тогава всеки множител е положителен или нула .Тогава неравенството е вярно за всяко n> 1
Нека n <0 , тогава всеки множител е отрицателен и понеже множителите са четен брой ,то произведението им е положително число

Задача Да се докаже,че ако за положителните числа a , b и c е изпълнено c (b - a) >0 , то

Доказателство :

От от това,че c (b - a) >0 , то следва,че c b - ca >0 => c b +ab - ca - ab >0

=>b( c+a)-a(c +b )>0

=> b( c+a) > a(c +b )

=> b /(c +b ) > a/ (c+a)

В предходните примери доказвахме неравенства при условие ,че са изпълнени определени условия .В математическата литература , тези неравенства се наричат условни неравенства .

Задача Да се докаже неравенството

, където n e произволно естествено число .

Доказателство : От това ,че

, където 1 <I <n след заместване на всяко събираемо в даденото неравенство с

1/2n получаваме вярното неравенство

Задача Да се докаже неравенството :

, където n e произволно естествено число .

Упътване :Заместете всяко от събираемите освен първото с 1/2n

Задача Да се докаже,че ако a⁴ > b⁴ , то a² > b²

Доказателство :

От a⁴ > b⁴ , то следва ,че a⁴ - b⁴ > 0 => (a² - b² ).( a² + b² ) > 0 от a² + b² > 0 =>a² - b² > 0

Задача Да се докаже,че ако 1/a6 > 1/ b6 и a>0 , b>0 , то b3 > a3

Задача Да се докаже,че за всяко рационално число x , x2 + y2 > 2 xy , като равенство се достига , тогава и само тогава когато x = y

Доказателство :Даденото неравенство е еквивалентно на неравенството x2 + y2 - 2 xy > 0 .Тогава (x - y )2 > 0 , което е изпълнено за всяко реално число x . Очевидно лявата страна е нула ,тогава и само тогава когато x = y

Задача Да се докаже,че за положителните числа x и y е изпълнено неравенството : x3 + y3 > x.y( x + y)

Доказателство :Достатъчно е да докажем ,че разликата x3 +y3 - x2y-xy2 > 0 .От това ,че x3 +y3 - x2y-xy2 = (x - y )2 (x + y)> 0 , то неравенството е вярно за всяко x .Равенство се получава само когато x=y

Задача Да се докаже,че (a +b +c ) 2 > 4b (a + c)

Доказателство :Даденото неравенство е еквивалентно на (a +b +c ) 2 - 4b (a + c) > 0

Разглеждаме лявата страна A= a 2 +b 2 +c 2 + 2ab +2ac + 2bc -4b (a + c) A= b 2 - 2b(a +c ) + (c + a)2 = (b - a - c)2

От това ,че A > 0 , то следва ,че (a +b +c ) 2 > 4b (a + c) , като равенство се достига когато b = a + c

Задача Докажете неравенството

където a, b и c са произволни рационални числа

Дооказателство

От това ,че

2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ba -2ac -2bc =(b - a)2 +(b - c)2 + (c - a)2 > 0

следва верността на даденото неравенство. Равенство се достига при a= b =c

Задача Да се докаже,че за всеки три произволни числа a , b и c е изпълнено неравенството :

(a + b+ c )2 > 3ab +3ca+ 3bc , като равенство се достига при a= b =c

Задача Да се докаже,че за всеки три произволни числа a , b и c е изпълнено неравенството :

(a + b+ c )2 < 3(a2 +c2+ b2) , като равенство се достига при a= b =c

Задача Да се докаже,че 2x2 + 9y2 -6xy -2x > -1 . Определете за коя стойност на x и y се достига равенство .

Доказателство :Достатъчно е да докажем ,че

2x2 + 9y2 -6xy -2x +1> 0

От x2 -2x +1 + 9y2 -6xy + x2 = (x - 1 )2 + (3y -x )2

следва,че 2x2 + 9y2 -6xy -2x +1> 0 ,

като равенство се достига тогава и само тогава когато x - 1 = 0 и 3y -x =0 , така е x= 1 , y = 1/3

Забележка :От това,че за всяко число x и y е изпълнено неравенството

2x2 + 9y2 -6xy -2x > -1 , следва ,че най-малката възможна стойност

на израза 2x2 + 9y2 -6xy -2x е -1 и се достига при x= 1 и y = 1/3

Задача Определете за кои стойности на x и y изразът 2x2 + 4y2 -4xy -2x +4 приема най-малка стойност .

Задача Да се докаже,че за всяко рационално число x , x2 -6x +10 >0

Доказателство :От това,че (x-3)2 > 0 и 0 > -1 , то (x-3)2 > -1 , то x2 -6x +10 >0

Задача Да се докаже,че за всяко число x , x2 -x +1 >0

Задача Намерете най-малката стойност на израза A=( x²- 1)2 -(2x - 2)³ + (3x - 3)²

Задача Да се докаже,че за всяко рационално число x >0 ,то

Доказателство : Даденото неравенство е еквивалентно на неравенството

От това ,че x>0, то даденото неравенство е еквивалентно на неравенството x2 -2x +1 > 0 ,което е вярно за всяко произволно число x .

Равенство получаваме тогава и само тогава , когато (x - 1)2 =0 , така е x=1

Задача : Докажете ,че 0,22222 + 1 : 0,22222 >2

Задача Намерете за коя стойност на x изразът

приема най-малка стойност .Коя е тази стойност ?

Отговор :1/8 и -1/8

Задача : Докаже,че ако a>0 и b>0 и

Доказателство

От свойствата на реципрочните неравенства , следва ,че :

като равенство се достига тогава и само тогава когато a = 2b .

Едно трудно неравенство

Задача Да се докаже, че ако a,b и c са не отрицателни числа, за които a+b+c=3, то

(a²-ab+b²)(b²-bc+c²)(c²-ca+a²)≤12 . Да се определи кога се достига равенство.

Доказателство :

При доказване на неравенството ще използваме ,че всеки от множителите a²-ab+b², b²-bc+c² и c²-ca+a² е положително число или нула

От това , че трите числа a , b и c са симетрични в неравенството ,то можем да ги подредим по големина .

така е ,нека a≥b≥c≥0.

Тогава b²-bc+c² > b²-bb+b² =b2и c²-ca+a²> a²- aa + a² =a2

От (a²-ab+b²)(b²-bc+c²)(c²-ca+a²)-12≤0? ,то следва ,че (a²-ab+b²)a²b²-12<0 ?

От това,че (a²-ab+b²)a²b²-12={(a+b)²- 3ab)} . a²b²- 12

то ,следва ,че {(3-c)²-3ab)} a²b²-12≤(9-3ab)a²b²-12

Изразът (9-3ab) a²b²-12 = 9 a²b² -3 a³b³ -12 = -3(ab+1)(ab-2)² < 0

1

3.Доказване на неравенства .Неравенство между средно хармонично , средно геометрично ,средно аритметично и средно квадратично

1

Две основни неравенства :

За всеки две произволни числа x и y е изпълнено неравенство 1) , като равенство се достига тогава и само тогава когато x = y

За всеки три произволни положителни числа x , y и z е изпълнено неравенство 2) , като равенство се достига

тогава и само тогава когато x = y =z

Доказателство на неравенство 1)

От (x+y)2:4 > xy следва,че x2 + 2xy + y2 - 4xy > 0 => (x - y )2> 0

Очевидно равенство се достига тогава и само тогава , когато x= y

Докажете самостоятелно неравенство 2)

Упътване : Използвайте доказаното неравенство (a + b+ c )2 > 3ab +3ca+ 3bc и умножете двете страни с положителното число a + b + c

1

Неравенство между средно аритметично и средно геометрично

Числото

се нарича средно аритметично на n положителни числа , а числото

се нарича средно геометрично на n положителни числа