Текстови задачи с математически модел :Съставяне на Диофантови уравнения

Решение .

А)Не е възможно  ,защото   общият  брой  на краката на  кучетата са  12-2=10  Всяко куче има по четири крака.Две кучета ще имат 8 крака ,а  три кучета 12 крака .

Задача .Лесовъд   засява   87   плодови  фиданки   по два начина .По  първия начин  засява по  10  дръвчета на ред  ,а  по   втория  начин   по 11  фиданки  на ред . На колко реда общо ще засее  всичките 87  фиданки

А)2                      B)6                    C)3                       D )друг отговор

Решение

87 = 7. 11  + 1.10

Тогава   7 +1=8  са общия брой  редове по двата начина

Задача Храбрия шивач убил 75 мухи и казал: 

"Щом замахна наляво, убивам 10 наведнъж,

щом замахна надясно, убивам 11 наведнъж."

С колко удара шивачът е избил мухите?

                     А)12                      B)16                    C)7                      D )друг отговор

                                 (Математически турнир  „Иван Салабашев”)

Отговор C)

Задача . Котенца вървели три – едно братче, две сестрички. Срещнали  след десет крачки две мишлета със мустачки. Щом мишлетата се спрели, котенцата  онемели и като "юнаци" те скрили се в трънаци. Колко крачета отишли в  трънаците?

А)12             B) 3                 С) 4              D) друг отговор 

(Великденско математическо състезание)

Решение    От условието  следва,че на всяка маса има  по  4  трикраки стола.

·        Следователно на една  маса сядат  четири  деца.

·        Краката   около  една маса са  4 +4.3=16.

·        Следователно  масите са  240 :16=15 и  столовете   са 15.4=60.

Задача  Един стопанин   има   кокошки  и  зайци. Броят на главите на всички животни е 60, а броят на краката им – 160. Колко кокошки и колко зайци има стопанинът?

А)   25  и 35                B) 20 и 40            C)15 и 45            D)Друг отговор    

                                          Решение                                                                        

• ·        кокошките   и   зайците   са   60   броя
  
• ·           2.( кокошките  )  и    4 .( зайци )   са   160     
  

Тогава     кокошките   и  2.(  зайци )        са   80  броя  

Правим  извода,че  всички зайци са 80-60=20

Тогава  кокошките са  60-20 =40

Задача  Мими и Лили събирали трилистни и четирилистни детелини. Те

намерили 123 детелини с общо 370 листа. Колко четирилистни   детелини имат момичетата?

А) 2    B) 4     C) 3      D) 1

(Математическо състезание „Европейско кенгуру „)

Отговор D) 

                                                         Решение 

(1)       Трилистни и  четирилистни  общо са   123   

(2)        3. трилистните   и    4 . четирилистните  са   всички листа  общо - 370 

 Основен извод  !  От условие  (1) 

 3.трилистните   и   3. четирилистните са  3.123 =369 

Тогава   четирилистните са 370 - 369 = 1

Задача. Митко колекционирал колички и мотори, като всяка играчка прибирал грижливо в отделна кутия. На рафта има 14 кутии, а в кутиите – общо 40 колела. Колко са количките на Митко?

а) 10                               b) 8                              c) 6                              d) друг отговор

Отговор с)

Задача  Един стопанин   има   кокошки  и  зайци. Броят на главите на всички животни е 30, а броят на краката им – 80.

Колко кокошки и колко зайци има стопанинът?

А)   10  и  20                B) 15 и 15            C) 14 и 16           D)Друг отговор   

Отговор А)

Решение 

условие (1)          кокошки   и   зайци   общо  30    

условие (2)        2.кокошки  и   4. зайци  са общо 80    

От  условие  (2)    правим извода,че:

               (3) кокошките  и   2.зайците  са общо 40 

Следователно само зайците са  40-30 =10                                                                                                                                              

 Задача  Ако умножа годините на по-голямата ми сестра    с  5  и прибавя моите, ще получа 50 .Колко  са моите години ?                                                     

Решение  Нека моите са x , а на  сестра  ми y . Тогава  x< y   и   5y + x=50 .Годините на кака  са най-много  9 ,тогава моите са  5  .                                

 Ако годините  на по-голямата ми сестра  са 8(или по –малки от 8) , то моите са  10 , което не е възможно, аз съм по –малък ) .                                                 

Задача .Ако  броя на триъгълниците    и    правоъгълниците   са  16 , а броя на  всичките им  ъгли  са  57 ,намерете  броя на правоъгълниците ?

а) 4.                 b) 8                    c) 16                   d) Друг отговор

Решение

Ако броя на триъгълниците  е  X ,а  броя на правоъгълниците  е  Y

 То  ще  е  вярно,че  :

(1)         X      и     Y        са  общо       16 

(2)      3.X      и     4.Y     са  общо        57

 От   (1)      3.X      и     3.Y     са  общо   16.3=48

 Тогава  Y = 57 – 48 = 9

Проверка :   (1)      9+7=16      и   (2) 7.3 +9.4=57   

Задача   На коледно състезание участват 48 ученика от трети клас  .Разпределени са в стаи по равен брой.Във всяка стая има по шест момчета  .В колко стаи са разпределени    учениците  ,ако момичетата са  по- малко от момчетата ?

а) 6                 b) 5                 c) 2                  d) друг отговор

(Коледно математическо състезание)

Решение

Ако са в една стая ,то момчетата са 6  , а   момичетата  42 (не е възможно  момичетата да са  повече от момчетата)

Ако са в две стаи  ,то момчетата са  2.6=12  ,а  момичетата  48-12=36 ,по 18 момичета във всяка стая (аналогично 

Ако са  в три стаи ,то момчетата са 3.6 =18 ,а момичетата 48-18=30 ,в три стаи по 10 (аналогично )

Ако са в  четири стаи  ,то момчетата са  4.6=24 ,а момичетата 48-24= 22 , не е възможно да ги разпределим по равен брой.

Ако са в пет стаи  ,момчетата са 5.6=30 ,а момичетата 48-30=18 ,не е възможно да ги разпределим по-равно в петте стаи.

Ако са в шест стаи  ,то момчетата са 6.6=36 ,а момичетата са  18 -36=12  и ще можем да ги разпределим по  две в шест  стаи.

Ако са разпределени в 7 стаи момчетата са 7.6=42 ,момичетата  са  8 и не е възможно да ги разпределим в  7 стаи  по равно .

Следователно  стаите са 6.

Задача  В  една домашна библиотека с  60 книги  има два вида литература-  научна и художествена. Те били поставени на лавици по равен брой.На всяка лавица  има по  8 книги с  научна литература.На колко лавици са разпределени книгите ,ако  книгите от художествена литература са по- малко  от  книгите  с  научна литература. Опишете всички възможности .

Задача. На реката няколко рибари уловили по 9 риби  и  няколко – по 7 риби. Общо хванали 50 риби. Колко рибари са хванали по 9 риби?

а) 3                 b) 2                 c) 1                 d) друг отговор

(Великденско математическо състезание)

Решение.  Ако един рибар е уловил 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 9 = 41 риби. Но 41 не се дели на 7.

Ако двама рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 2.9=50 – 18 =32 риби. Но 32 не се дели на 7.

Ако трима рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 3.9=50 – 27 = 23 риби. Но 23 не се дели на 7.

Ако четирима рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 4.9 = 50 – 36 = 14 риби. 14:7=2, така   е    4 рибари са уловили по 9 риби.

Ако петима рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 5.9 = 50 – 45 = 5 риби – невъзможно.

Следователно 4 рибари са уловили по 9 риби.

Задача . В състезание по математика участвали два отбора с еднакъв брой състезатели. Те събрали общо точки 67 точки  . Намерете общия брой на състезателите, ако всеки от тях има 3  или 8 точки.

А)  18             Б) 8                В)  14                 Г) 10              Д) 12

(Математическо състезание „Хитър Петър”,3 клас,2017 г .

Решение

Отговорът можем да открием с проверка ,но можем и да го намерим с логични разсъждения

Броя на всички състезатели е четно число,защото групите  са от равен брой участници

Състезателите ,които са получили по 8 точки,могат да са : 1,2,3,4,5,6,7 или 8

Точките,които ще получат общо са :  8,16,24,32,40,48,56  или  64

Тогава точките,които ще получат общо състезателите с 3 точки  са : 67- 8, 67-  16, 67- 24, 67-   32, 67- 40, 67-  48, 67- 56, 67- 64 т.е

59,51 ,43, 35, 27,19 ,3  т.е

От всички възможности на 3 се делят 3,27 и 51

Тогава децата получили 3 точки могат да са 1,9 или 17

Тогава децата получили по 8 точки съответно са : 8,5 или 4

Понеже децата са четен брой ,то отговорът е 9+5=14

Отговор : В)

При тази задача ,а и  в   много други текстови задачи    е    по  практично  да  подредим   разсъжденията   си   като съставим  уравнение с две неизвестни .

Задача  Дадено  е  уравнението      3.x +  5y= 45, където x и у са естествени числа.                                                  А)Може ли числото у =10 да е решение на уравнението?                                                                                                                                                 

  B) Може ли числото x = 4   да е решение на уравнението?                                                                                                                                                          

  C)Намерете всички естествени числа  x и у за които е вярно   3.x +  5.у= 45.                             

Решение   

А) Общият сбор е 45 , а    5 .у=5.10=50>45 ,следователно числото у<10                                

B) Не е възможно числото x да е равно на  4, защото  от  това че , 45   е кратно на 5  и  5.у е кратно на 5 ,следва, че   и  3.4 е  кратно на 5.                                                                                                                  

C) Правим проверка за така намерените стойности на x                                                                                           

Ако   x= 5  ,то  5.у=30  ,то  у = 6                                                                                                                       

Ако   x = 10 , то 5.у = 15 ,то у=3                                                                                                                       

Ако   x=15  ,  то  5.у =0, то у=0 (не е възможно ,защото числото  нула не е естествено число )  

  Задача   За  естествените числа x и у е изпълнено  20.x+37.у=151

А)Възможно ли е у =10

B)На коя цифра трябва да завършва  числото у?

C)Намерете  числата  x и у

Решение   

А)Ако у=10   лявата страна  ще завършва на нула ,а дясната на единица

B) 37 .у трябва да завършва на единица ,следователно у ще завършва на три 

C) От това,че у завършва на три  ,следва,че      у     е   3,13,23,......

Забелязваме,че ако  у е 13 ,то произведението 13.37 >151

Остава една единствена възможност за у = 3 .Заместваме и намираме x=2

Задача  Да   се  реши   уравнението      3.x +  5.у= 19 , където x и у са естествени числа.

Решение  Неизвестното число у  може да  е  само равно на  1 , 2  или  3.Заместваме и търсим  съответната  стойност  за  неизвестното число х

Следователно  всички решения   са  числата  x =3  и  у=2

Задача Проверете кои от следните  уравнения имат решение в  естествени числа   и ги   решете:
a) 6x + 10y = 38;
b) 34x + 17y = 15;
c) 37x + 81 y = 244;

Задача. Правоъгълник и квадрат имат един и същ периметър 12 сантиметра и са долепени един до друг. Ако страните им са естествени числа обиколката на фигурата е:

а) 20 .                     b) 18 или 20 .        c) 18, 20 или 22 .             d) друг отговор

Решение  .Страната на квадрата е 12 : 4 = 3сантиметра. За правоъгълника , от P = 2(a + b) получаваме, че сборът на a + b = 6, което показва, че за a и b има 2 стойности като естествени числа,  a=5; b=1 и a=4; b=2, от където следва, че P = 22 и P = 20. 

Задача В една кутия има  100 грама бонбони -лимонени  и шоколадови.,като лимонените са повече от шоколадовите.Всеки лимонен  бонбон тежи   5 грама,а всеки шоколадов -7 грама.Колко  са бонбоните в кутията?

 Решение Нека  лимонените  бонбони са x на брой, а шоколадовите у на брой,като x >  у  

Ще е изпълнено равенството 5.x +7.у=100

От това,че  5 е кратно на 100 и на 5.x ,то следва,че числото 7.у е кратно на 5 .

Следователно  у може да е равно на  5 и  2.5 (ако у=3.5 то 7.3.5 >100)

Нека у=5   5.x=65  u  x=13

Нека у=10    5.x=30   x=6

От това,че  6<10 ,то единствената възможност е x=13 и у=5

Задача  Домакинът на клуб „София” получил задача да закупи трикотажни фланелки  за баскетболния отбор на клуба.В магазина се продават два вида фланелки –по 8 лева  и по 9 лева.

   Колко фланелки  най-много може да закупи домакинът ,ако разполага с 144 лева  и  трябва да похарчи всичките?

(Национален кръг „Европейско кенгуру”)

Задача   Дължината и широчината в сантиметри на  правоъгълник    са   естествени  числа.Лицето на правоъгълника е  12  квадратни сантиметра.Коя е възможно най-малката  обиколка на този правоъгълник  ?

A) 1 8                   B) 14                    C) 16              D) 21           E) 24

Решение Нека размерите в сантиметри  са   a и   b

От    a .b =12    ,правим   извода,че  всички възможни стойности за     a   и   b са: 

Най-малка обиколка ще имаме при най-малка стойност за  a + b и тя е при правоъгълник  с  размери   4  на   3 сантиметра .Обиколката е 14 сантиметра .

Задача  При  игра на футбол победителят печели 3 точки,докато губещият 0 точки.Ако резултата е равен ,и двата отбора по една точка.Един отбор изиграл  38 

мача и имал 80 точки .Намерете възможно най -големият брой загуби  за този отбор?

 (Международно състезание „Европейско Кенгуру”,2012 г)

 А)12                          Б) 11                     В) 10                 Г)9         Д)8

Решение.

Първи начин  Ако загубите са 12,остават  26 срещи  с 80 точки ,не е възможен резултат,защото дори победите да са 26 те носят 26.3=78 точки

Ако загубите са 11 ,остават  27 срещи  с  80 точки ,също не е възможен резултат.

Ако загубите са  10, можем да получим 80 точки от 28 срещи ,защото 3.26+2.1=80   проверка:брой срещи  38 (10 +26+2),брой точки 80(3.26+2.1+10.0)=80

 Директната проверка от теста започнахме с възможно най-големите загуби ,следователно те са 10.

  Втори начин

 Следователно за този  отбор са верни равенствата

(1)  x+у+z  =38

(2)  3x+у=80 ,че   x <27

Ако ги извадим ще получим

  (3)  2x – z =42      z =2x-42   z<27  е четно число  и    x >20  ,  но    x <27

  Правим  проверка  за х =21,22,23,24,25 и 26  и  z четно число.

Задача. На  световно  футболно  първенство  отборите  А  и  B  играли  помежду си два мача. В първия мач отборът А вкарал два пъти повече  голове от отбора B, а във втория мач отборът B вкарал два пъти повече

голове  от  А.  Кои  са  възможните  резултати  от  двата  мача,  ако  е  известно, че общият брой голове от двата мача е 12?

                                             (Коледно междучасие )

Задача. Тест се състои от 40 задачи, които носят по 1, 2 или 3 точки. Максималният брой точки, които могат да се получат е 80. Какъв е максималният брой задачи с 3 точки, ако тестът съдържа  задачи и от трите вида?

     А) 21          B) 20                        C) 19                     D) 18

Задача    На масата са наредени пластмасови  триъгълници и четириъгълници.Броят на фигурите е 12, а  на всички върхове 43.

Колко са четириъгълниците?

(Коледно математическо състезание-3 клас)

А)16                             B)8                         C)  9                     D)  друг отговор

Решение

Първи начин   От  това,че  общият брой е 12 , то три пъти общият брой   е 36.

От друга страна знаем,че  общият брой на всички върхове е 43 .Тъй като триъгълника има  три върха ,а четириъгълника   с  един повече ,то разликата  43 – 36 =7  е точно броя на всички четириъгълници.

Втори начин

Ако  триъгълниците са x , а четириъгълниците у ,то ще са верни  уравненията :

(1)x+у=12     и   (2) 3.x+4.у=43   

3x  + 3y +у  =43 
3(x+у)+у=43 

36 +у =43
у=7

Задача   В склад са доставили  223 препарати в  бидони  по 10 литра и 17 литра.Общо колко бидона са доставили в  склада?

А)15                     B)16                 C)17                    D)друг отговор

(Великденско  математическо състезание )

Отговор В)

Задача.. Баба Марина има две внучки. Възрастта на баба Марина е двуцифрено число, първата цифра е възрастта на едната  внучка, а втората цифра е възрастта на другата внучка.  Да се намери на колко години е баба Марина, ако по-малката внучка е на 5 години, а сборът от годините на трите е 69.

а)     45                      b)    56                     c)    58                d) друг отговор

(Великденско  математическо състезание )

Решение  Нека  внучките  на баба Марина са  съответно  а  и  в  години ,тогава баба Марина ще е  на  10а+в  години.

     От уравнението   11 .а+2 . в=69

• ако  а=5 ,то  в=7  то , Баба Марина е на  57
• При    в=5 ,то   11.а=59 и  няма решение в цели числа.

Задача  Десислава  и Веси са две  сестри .Десислава  е по  - малката  и е родена през 1989 година. Ако  разликата  от  годините на раждането им е два пъти по-малка  от   сборът от цифрите от годината на раждане на Веси  ,намерете годината на раждане на Веси.

Упътване

Нека  Веси е родена през 19ху година.Тяхната разлика е  1989-19ху .Сумата от цифрите от годината на раждане на Веси е 1+9+ х+у=10+х+у

От условието следва,че   2(1989-19ху)= 10+х+у

Задача  В  клетките на квадратна таблица  с размери 5 на  5 са написани естествени числа ,сумата на които е 416.Сумата на числата във всеки две съседни квадратчета е , е едно и също нечетно число .Кои са написаните числа?(Забележка:Съседни наричаме квадратчетата които имат обща страна)

(Национален кръг-Математическо състезание ”Европейско  състезание)

От условието  ,че всеки две съседни са равни  следва,че :

·        всички числа на нечетни места са равни  

·        всички числа на  четни места са равни

Да означим с  x числата които са на  нечетни позиции  и  с  у числата които са на четни позиции.

От това,че броят на числата които са на нечетни позиции е  13 , а  на четните  е 12 ,то е вярно 

уравнението     13.x+12.у=416

   От това,че   416 е кратно на 13  ,следва,че   и  числото у трябва да е кратно на 13  

 у  е  13 или 2.13=26(не е възможно да е по голямо) 

Нека у =13  x=20  тогава  x+у=23(нечетна) Така определените числа са  решение на уравнението .

Нека у=26  x=8  тогава  x+у=34 не е възможно решение, сумата е четна. 

 Следователно в клетките с нечетен номер  е записано числото 20 , а с четен номер 13

Задача    В една кутия има 50 топчета ,всяко от които е оцветено  в бяло,зелено или червено.Броят на белите   е  11 пъти  повече от броя на  зелените .В кутията има  по-малко червени ,отколкото бели ,но повече червени ,отколкото зелени  топчета.С колко червените са по-малко от  белите?

А)2                   B)11              C)19                      D)22        E)30

Решение  Нека броя на зелените е  z.Тогава  топчетата по цветове ще са:

Бели           11.z 

Зелени            z

Червени     50 - 12 z

  (1)      От това, че     50 - 12 z > z        ,   z < 3 и  11/13  

 Следователно  z може да е 1,2 или 3 

(2)      От това, че     50 - 12 z <11 z        z >2 и  4/23                                     

 z   може да е   3,4 ......

От (1) и (2)  следва,че броят на зелените може да  само    3

Нека зелените са  3  ,  тогава белите се 33 ,червените са   14 и  търсената разлика е 33-14 =19   

Задача В една бална зала има два вида украсени новогодишни елхи . На  елхите от  първият вид   има  2 пъти – повече играчки от другият  вид коледни елхи.Общо 11 такива елхи имат толкова играчки ,колкото 6 играчки на елхи  от първият вид и 6 играчки на елхи  от  вторият вид . Колко елхи от тези 11  са от първият вид  ?

                                         А) 2   B) 6   C) 7  D) 8

Задача  Сборът от три различни двуцифрени положителни числа 87. Да се намери разликата между най-голямото  и  най-малкото, ако едно от тях се дели на 11, едно се дели на 7, а две се делят на 5.

a) 13                  b) 15                 c) 17                   d) друг отговор

                                          (Великденско математическо състезание )

Решение 

Първи  случай    на представяне  на сбора на трите числа

11.x + 7.5 y  +  5 .z=87

11.x +   5. (7. y   +  z )=87

Числото   5. (7 . y   +  z )  завършва  на  0 или  5

Тогава   x  е равно  на    7  или  2 ,  

Не е възможно  x да е 7 .

Остава    x =2    тогава  5. (7. y   +   z  )  =  87-22= 65

(7. y   +   z  )  = 13  ,тогава   y=1  и  z =6

Числата са  22,35 и 30 и  разликата   е  35-30  =5

Втори   случай    на представяне  на сбора на трите числа

11.5x + 7 y  +  5z=87  .В този случай  x = 1 

  7 y  +  5z   =87-55 =32

           y   може  да   е  2  или  3  ,но  тогава  разликата, не е кратна на 5

Трети    случай    на представяне  на сбора на трите числа

11.5x + 7.5 y  +  z=87   

При този случай сбора винаги ще е по-голям от 87