Пирамида .Лице на повърхнина и обем на правилна пирамида .Задачи за 6 и 7 клас

Съдържание :

1.Пирамида .Правилна пирамида .

2.Лице на повърхнина на правилна пирамида.Основни задачи за 6 клас

3. Обем на правилна пирамида. Основни задачи за 6 клас

4.Изходно ниво : Тест за 6 клас върху темата : Лице на повърхнина и обем на правилна пирамида.

Най-значителните архитектурни обекти , построени в Древен Египет, които всеки турист разглежда с удивление, са мистериозните пирамиди. Най-уникалната сред тях е Хеопсовата пирамида .Тя е приета за най-голямата каменна сграда, построена в света до днес .

Човечеството все още чака отговорите на следните въпроси :

Защо са построени , с каква строителна технология са построени,защо техните архитекти и математици са избрали точно това тяло .

Размерите и елементите на построените пирамиди , са изчислени така ,че да разкрият знанията на древните египтяни по геометрия,земята,звездите и вселената.

Тук можете да прочете за това .

http://www.kamennataepoha.com/kabatas_devri_02_b.php

Ние с Вас с примери и задачи ще се запознаем с това интересно тяло .

1.Пирамида .Правилна пирамида .

1.1Пирамида

Пирамидите са ръбести тела едната стена, на които е многоъгълник с n страни и всички останали стени са n триъгълника с общ връх

В зависимост от броя на страните на многоъгълника ,пирамидите се делят на –триъгълни ,четириъгълни ,петоъгълни и т.н

На чертежа са изобразени : четириъгълна,петоъгълна и седмоъгълна пирамида

Пирамида .Лице на повърхнина и обем на правилна пирамида .Задачи за 6 и 7 клас

1
1

Всяка пирамида има следните елементи :

1
1

Многоъгълникът се нарича основа на пирамидата .

Страните на основата се наричат основни ръбове

Стените, които са триъгълници с общ връх се

наричат околни стени на пирамидата.

Страните на околните стени се наричат околни ръбове

Общият връх на околните стени се нарича връх на пирамидата.

ЗА ВСЯКА ПИРАМИДА , БРОЯТ НА ОСНОВНИТЕ РЪБОВЕ Е РАВЕН НА БРОЯ НА ОКОЛНИТЕ РЪБОВЕ

ИЗВОД :Ако сборът от всички ръбове на една пирамида е 20,то тя е десетоъгълна .

1.задача : Като използвате следния алгоритъм начертайте триъгълна пирамида :

.Начертайте произволен триъгълник ABC .Изберете го за основа на пирамидата .

Изберете си произволна точка M за връх на пирамидата (да не е точка от равнината на триъгълника ABC )

Свържете всеки връх на триъгълник ABC с върха на пирамидата M ,като скритите ръбове чертаете с пунктирана линия

1.2 Правилна пирамида .

1

ПИРАМИДА ,ЧИЯТО ОСНОВА Е ПРАВИЛЕН МНОГОЪГЪЛНИК ,СЕ НАРИЧА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА

1
1

Ще започнем изучаването на правилните пирамиди с правилна триъгълна пирамида .На чертежа са обозначени всички елементи ,които ще ни трябват за да решаваме задачи свързани с нея .

DO =h - ВИСОЧИНА

DМ =к - АПОТЕМА

Δ ABD , ΔBCD и ΔACD- ООКОЛНИ СТЕНИ

AD =DB=DC - ОКОЛНИ РЪБОВЕ

Δ ABС – ОСНОВА

AВ =BС=АC - ОСНОВНИ РЪБОВЕ

ВЪВ ВСЯКА ПРАВИЛНА ТРИЪГЪЛНА ПИРАМИДА :

Основата е равностранен триъгълник

Отсечката ,която съединява центъра на основата т.О и върхът D на пирамидата наричаме височина на пирамидата и означаваме DO =h Височината на пирамидата е перпендикулярна на основата .

Височината към основата на всяка околна стена се нарича апотема и се означава с k .

Всички околни стени са равнобедрени триъгълници с равни бедра ,основи и апотеми .Затова те имат равни лица и обиколки .

ОСНОВНИЯТ РЪБ НА ВСЯКА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА ,ОЗНАЧАВАМЕ С - b , А ОКОЛНИЯТ РЪБ С - l

ОКОЛНАТА СТЕНА НА ВСЯКА ПРАВИЛНА ПИРАМИДА ,Е РАВНОБЕДРЕН ТРИЪГЪЛНИК С ОСНОВА ,РАВНА НА ОСНОВАТА НА МНОГОЪГЪЛНИКА , И БЕДРА ,РАВНИ НА ОКОЛНИЯТ РЪБ НА ПИРАМИДАТА

ПРАВИЛНА ЧЕТИРИЪГЪЛНА ПИРАМИДА

На чертежа е дадена правилна четириъгълна пирамида

2.задача . Попълнете пропуснатият текст, за да опишете основните понятия и твърдения свързани с ПРАВИЛНА ЧЕТИРИЪГЪЛНА ПИРАМИДА

1.Основата на пирамидата е четириъгълника ( ...............) ,който е (…………)

2.На чертежа основните ръбове са : (……,……,………,……..). Те са равни на страната на (..........)

3. На чертежа околните стени са : (..........),(...........), (............),(..........) .Те са (…………..) триъгълници

4.На чертежа околните ръбове са : (........),(........), (........),(........)

5.На чертежа височината на пирамидата е отсечката (............)

6. На чертежа апотемата на околната стена BCM е : (...........)

3.задача . Намерете периметъра на основата на правилна шестоъгълна пирамида ,ако тя има основен ръб b=3 см .

Отговор : 18 см)

4.задача . Периметърът на основата на правилна деветоъгълна пирамида е 63 см а , околният и ръб e 10 см .Намерете периметъра на една околна стена .

Отговор : 27 см)

Решение
От това,че P_{основата} = 63 см ,то b=63:9=7 см

От b=7 см и l=10 см , то P _{околната стена} = 7 +2.10= 27 см

5.задача Периметърът на основата на правилна триъгълна пирамида е 27 см ,а периметърът на една околна стена е 38 см .Намерете дължината на околният ръб на пирамидата .

Решение
От това,че P_{основата} = 27 см ,то b=27:3=9см

От b=7 и P _{околната стена} = 38 см ,получаваме,че 2. l =38-7

Тогава l =31:2=15,5 см

6.задача . Намерете лицето на една околна стена на правилна четириъгълна пирамида ,ако тя има основен ръб b=3 дм и апотема k= 5 дм .

Отговор : 7,5 дм ²

Решение
Търсим лицето на триъгълник BCM (виж предходния чертеж) ,ако са известни :

основата му BC=b= 3 дм и

височината към нея (апотема в пирамидата) MN=k=5 дм .

Заместваме във формулата за лице на триъгълник и получаваме :

               3.5
        S= —       = 7,5 дм²
                2

ИЗВОД :АКО ЗНАЕМ ЛИЦЕТО S НА ЕДНА ОКОЛНА СТЕНА НА ПРАВИЛЕН МНОГОЪГЪЛНИК С n РАВНИ СТРАНИ ,ТО СБОРЪТ ОТ ЛИЦАТА НА ВСИЧКИ ОКОЛНИ СТЕНИ Е РАВЕН НА n .S

7.задача . Намерете сборът от лицата на всички околни стени на правилна шестоъгълна пирамида ,ако тя има основен ръб b=2 см и апотема k= 5 см .

Отговор : 30 см ²

Решение

Лицето на една околна стена е равно на :

                b.k            2.5
        S= —       =   ——— = 5 см²
                2                2

Тогава сборът от лицата на всички околни стени е 6.5=30 кв.см

8.задача . Периметърът на основата на правилна шестоъгълна пирамида е 48 см а , лицето на една околна стена е 27,6 см .Намерете апотемата на пирамидата .

Отговор : 6,9 см

Решение

От P_{основата} =48 см , то b =8 см

Апотемата участва във формулата S _{околна стена} =( b.k) :2

Заместваме с известните елементи и получаваме равенството :

27,6 =(8.k):2 , от което намираме,че k=27,6:4=6,9 см

Много често при задачи от правилна пирамида ,ще намираме лицето на основата на правилен многоъгълник .

Лицето на основата на всяка правилна пирамида с основен ръб b и апотема а е равно на :

               b.а         P .a
        S= n. —       =   ———
                2               2

където P =n. b е периметърът на основата

Така например лицето на правилен шестоъгълник със страна в =6 см и апотема а = 5,2 см е равно на

        6.5,2
        S= 6.    —       =   93,6 см²
            2

2.Лице на повърхнина на правилна пирамида.Задачи за 6 клас

ВСИЧКИ ОКОЛНИ СТЕНИ НА ДАДЕНА ПИРАМИДА ,ОБРАЗУВАТ НЕЙНАТА ОКОЛНА ПОВЪРХНИНА .

СБОРЪТ ОТ ЛИЦАТА НА ВСИЧКИ ОКОЛНИ СТЕНИ НАРИЧАМЕ ЛИЦЕ НА ОКОЛНА ПОВЪРХНИНА

ЛИЦЕТО НА ОКОЛНАТА ПОВЪРХНИНА ОЗНАЧАВАМЕ С S

ЛИЦЕТО НА ОКОЛНАТА ПОВЪРХНИНА НА ВСЯКА ПРАВИЛНА n – ЪГЪЛНА ПИРАМИДА ,Е , РАВНО НА :

Ако лицето на основата на пирамидата означим с В , то за лицето на цялата повърхнина S₁ получаваме формулата :

Бележка : Лицето на околна повърхнина на правилна n - ъгълна пирамида можем да намерим и с формулата:

              n.b.k            P.k
        S= —       =   ———
                2                2

където P =n. b е периметърът на основата

9.задача . Правилна триъгълна пирамида има периметър на основата 120мм и апотема равна на 50 мм.Намерете лицето на околната повърхнина на пирамидата в квадратни сантиметри .

Отговор :S =30 см²

Решение :

Във формулата за лицето на околна повърхнина ,заместваме с Р=120мм=12 см , к=50 мм =5 см

            Р.k           12.5
        S= —       =   ———
                2             2

и получаваме ,че S= 30 см ²

10.задача . Правилна петоъгълна пирамида има периметър на основата 40 см и лице на околна стена 20см². Намерете апотемата на пирамидата .

Отговор : k=5 см

Решение :

Във формулата за лицето на околна повърхнина ,заместваме Р=40 см и S=5.20=100 см²

                   40.k
        100 = —
                    2

и получаваме ,че k= 5 см

11. задача: Колко квадратни дециметра ламарина са необходими ,за да построим правилна четириъгълна пирамида , с основен ръб b = 8 дм , и апотема k=3 дм

Решение

За да отговорим на този въпрос , търсим лицето на повърхнината на правилна четириъгълна пирамида .Тя е сбор от лицата на :

основата - квадрат със страна b = 8 дм и лице В=8.8=64 кв.см

на околната повърхнина с лице S =4.( 8.3):2 = 48 дм²

Тогава S₁ = В+ S= 64+48=112 дм²

Ако разрежем пирамида по околните и ръбове и я поставим в равнината на основата и ,ще получим нейната развивка .Да разчитаме данни от развивка на тяло е основна задача ,защото с нея изчисляваме и построяваме всяка пирамида .

12.Задача Начертана е развивката на правилна петоъгълна пирамида .По данните от чертежа намерете пълната повърхнина на пирамидата .

Отговор : 105 см ²

Решение

Правилния петоъгълник се състои от пет триъгълника ,всеки с основа b=6 см и апотема на основата h=4,1 см

Тогава неговото лице B = 5 . ( 6.4,1 ):2 = 61,5 см ²

Околната повърхнина S се състои от пет триъгълника, всеки с основа b = 6 см и апотема k = 4см

Тогава S = 5.( 6.4):2 = 6 см ²

Тогава S₁ = В + S = 61,5 +60 = 121, 5 см ²

13.задача Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб b см , обиколка Р см ,лице на основата В см,апотема k см , лице на околна повърхнина S см ² и лице на повърхнината си S₁ см ²

Попълнете таблицата

	b	P	B	k	S	S₁
Първи случай	3			5
Втори случай		20		8
Трети случай			25		160

14.задача . Правилна десетоъгълна пирамида има периметър на основата 100 см , апотема k= 8 см и апотема на основата равна на 15,6 см. Намерете повърхнината на пирамидата .

Отговор : S₁ =1180 см²

15.задача . Майстор строи дървен покрив на беседка с форма на правилна петоъгълна пирамида (без основата ) .Поради разсеяност ,той увеличил апотемата на пирамидата 2 пъти .Колко пъти повече дървен материал е използвал майсторът за да направи покрива на беседката ?

Решение Щом майсторът строи само покривът,то ще проследим изменението на лицата на околните им повърхнини :

Лицето на околната повърхнина на правилна 5-ъгълна пирамида намираме с формулата:

              n.b.k            P.k
        S= —       =   ———
                2                2

Новият покрив ще има апотема ,два пъти по-голяма от дадената .Тогава лицето на околна му повърхнина е :

              n.b.2k
        S= —       = P. k
                2

Следователно майсторът е използвал два пъти по-повече дървен материал .

Много често знаем повърхнината на дадена пирамида,търсим нейни елементи

16.задача . Лицето на повърхнината на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб b=5см е S₁= 210 см² . Намерете апотемата на пирамидата.

Решение

Нека апотемата на пирамидата е k см .

В равенството S₁ = B+ S заместваме дадените елементи и получаваме:

210 = 5. 5 +4.(5.k):2

210 -25 = 10k

k= 185:10

k=18,5см

17.задача: Правилна петоъгълна пирамида има лице на повърхнината си 166,5 см ² ,дължинана основният ръб b= 6 см ,и апотема на пирамидата k= 7 см. Намерете апотемата на основата .

Отговор : 4,1 см

Решение

Нека апотемата на основата означим с х

Във формулата за повърхнина на пирамида

S₁ = B+ S

заместваме дадените елементи и получаваме равенството

Тогава 165,5.2 = 30.(х+7)

х+7 = 333:30

х= 11,1-7
х=4,1 см

18.задача Правилна четириъгълна пирамида има околна повърхнина S=84 см² и пълна повърхнина S₁= 184см². Намерете основата на пирамидата .

Отговор : b=10 см

19.задача : Правилна четириъгълна пирамида има лице на повърхнината си 54,25 см ² Дължината на основният ръб е 3,5 см .Намерете апотемата на пирамидата .

Отговор : 6 см